數(shù)值分析與計算方法 第六章 向量范數(shù)和矩陣范數(shù)

1、 Tn),x,x(xx21nRnRnR .nR（1 1）|x| 0，|x|=0當且僅當當且僅當x=0，( (非負性非負性) )（2 2）對任意實數(shù)對任意實數(shù) ，| x|=| | |x|，(齊次性齊次性) )（3 3）對任意向量對任意向量 y Rn，|x+y| |x|+|y|，(三角不等性三角不等性) )。 稱滿足上述三個條件的函數(shù)稱滿足上述三個條件的函數(shù) |x| 為向量為向量 x 的范數(shù)。的范數(shù)。例如，下面的函數(shù)就是向量的一種范數(shù)：例如，下面的函數(shù)就是向量的一種范數(shù)：這里稱上述定義的范數(shù)為向量這里稱上述定義的范數(shù)為向量 x 的的 p p- - 范數(shù)。范數(shù)。常用的范數(shù)是：常用的范數(shù)是：. 1 為

2、正整數(shù)且這里,)()(11pppxxfpnipi, 2 , 1p按上述定義，常用范數(shù)：按上述定義，常用范數(shù)：范數(shù)范數(shù)范數(shù)-max-2-1-12121211ininiiniixx)x(xxx1x2xx 。，314321632132221xxx. 則,R, 1.nyxyxyx設. , ,)( yxyxyxxyxyyxyxyyxyyxx于是有及因為. R 則,R 2.nnxMxxmxmM，有使得對所有的，和存在正數(shù)上任意兩種向量范數(shù)是和設此性質(zhì)也稱為向量范數(shù)的等價關系，可以證明三種常用范數(shù)是相互等價的。 定義定義6.6.4 (向量序列收斂向量序列收斂) )：定理定理6.6.4 (向量序列收斂的必要充

3、分條件向量序列收斂的必要充分條件) )：.lim ,21,lim ), 2 , 1(),( )()(k*)()(k)()(2)(1)(21*kk*ikiTknkkknT*n*xxxx,n,ixxnkxxxxR,x,xx x記為：收斂到則稱向量序列如果和設. , 0 )(*)(時當?shù)某湟獥l件是收斂到向量序列kxxxx*kk。，即，于是有，由性質(zhì)時當證明：kxxxxkxxxxxxMxxxxmkxx,n,ixxxx*k*k*k*k*k*k*k*k*iki*k 0lim 00 , 2. , 0)21(limlim )()(k)()()()()()()(k)(k6.6.2 矩陣范數(shù)矩陣范數(shù)約定約定 記記

4、 表示所有表示所有 n 階實矩陣階實矩陣 A=(aij) 的實線性空間。的實線性空間。定義定義6.46.4： 上的一個矩陣范數(shù)是定義在上的一個矩陣范數(shù)是定義在 上的某個實值上的某個實值函數(shù)函數(shù) , ,對所有的對所有的 A, B , ,它滿足以下四個條件它滿足以下四個條件：nnRnnRnnR . nnR。上的一個矩陣范數(shù)或模為則稱次可乘性三角不等性齊次性非負性，且nnR ).(4) );(3) );R(,(2) );(000(1) ABAABBABAAAAAA矩陣矩陣 A A 的的F-F-范數(shù)：范數(shù)：1 22,1nijFi jAa矩陣矩陣 A A 的算子范數(shù)的算子范數(shù)( (定義定義6.5) )：

5、上的矩陣算子范數(shù)。為稱上的一種向量范數(shù)是設nn0nnnnRmax ,R ,R ,R xAxAAxx是一種矩陣范數(shù)是一種矩陣范數(shù)依賴于向量范數(shù)依賴于向量范數(shù)的含義的含義是一種矩陣是一種矩陣范數(shù)范數(shù)相容性條件：相容性條件：.R,R nnnAxxAAx用于誤差估用于誤差估計計常用矩陣范數(shù)有下面三種情形：常用矩陣范數(shù)有下面三種情形：. -2 - -1211111112222111211maxmax最大特征值是范數(shù)：行范數(shù)范數(shù)：列范數(shù)范數(shù)：設AAAaAaAaaaaaaaaaATnkjknjnkkjnjnnnnnn例4.求矩陣A的各種常用范數(shù)110121021A解:1A niijnja11max25234

6、252 , 5 , 2max1 njA njijnia11max42 , 4 , 3max1 ni2A)(AAT 由于由于的特征值因此先求AATAAT110121021110122011211190102特征方程為)det(AAIT 2111901020的特征值為可得AAT9361. 0,9211. 2,1428. 93211428. 9)(AAT2A)(AAT0237. 31AA2A容易計算計算較復雜對矩陣元素的變化比較敏感使用最廣泛性質(zhì)較好矩陣矩陣 A A 的譜半徑的譜半徑( (定義定義6.6)6.6)：的譜半徑。為矩陣的特征值，稱是矩陣設AAAniininni1max)( R), 2 ,

7、 1(定理定理6.56.5.)( RAAAnn有，對任一算子范數(shù)設矩陣范數(shù)與矩陣范數(shù)與譜半徑的關譜半徑的關系系證明：證明：.)( 0 , . AAAxxAAxxxxAxA即由相容性條件得量使的特征值，則有非零向是設定理定理6.6(6.6(矩陣范數(shù)的等價關系) ). ,2121ACAACCCAA使則有正數(shù)是任何兩種矩陣范數(shù)，設定義定義6.66.6 (矩陣序列收斂矩陣序列收斂) )：. 0)(lim ijkkAAn稱作是收斂的，如果有階矩陣定理定理6.6.7 (矩陣序列收斂的等價條件矩陣序列收斂的等價條件) )下列命題等價：下列命題等價：.R , 0lim )4(. 1)( )3(. 0lim )

8、2(. ) 1 (knkkkxxAAAA對任意算子范數(shù)有是收斂的矩陣6.7.1 方程組的條件數(shù)方程組的條件數(shù)1 1、定義、定義( (條件數(shù)條件數(shù)) ).AA )A(cond ),A(condAAA RA11nn即：的條件數(shù)，記作為矩陣是非奇異的。則稱設6.7 6.7 誤差分析誤差分析2、條件數(shù)的性質(zhì)條件數(shù)的性質(zhì)Cond(A);)(4)Cond(A d(B);Cond(A)Con)(3)Cond(AB 0kCond(A),)(2)Cond(kA 1;(A)Cond,A1.(1)Cond(A) RB,A-12nn是常數(shù)；是常數(shù)；則則為正交矩陣為正交矩陣如果如果具有如下基本性質(zhì)：具有如下基本性質(zhì)：則條件數(shù)則條件數(shù)是任意一種矩陣范數(shù)，是任意一種矩陣范數(shù)，均非奇異，均非奇異，設設3、方程組右端攝動方程組右端攝動4、方程組系數(shù)矩陣攝動方程組系數(shù)矩陣攝動5、結論：結論：設設方程組是“良態(tài)”的。方程組是“良態(tài)”的。，則，則矩陣的條件數(shù)不是很大矩陣的條件數(shù)不是很大解比