空間直線及其方程

1、Space of lines and equation高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)課課件件編編一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程二、空間直線的對稱式二、空間直線的對稱式 方程與參數(shù)方程方程與參數(shù)方程三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角五、小結(jié)五、小結(jié) 思考題思考題四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角xyzo1 2 L高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)2/13一、空間直線一般方程一、空間直線一般方程二、空間直線的對稱式二、空間直線的對稱式 方程與參數(shù)方程方程與參數(shù)方程2.1、方向向量、方向向量2.2、對稱式、對稱式(點向式點向式)方程方程2.3、直線的參數(shù)方程、直線的參數(shù)方程三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角3.1、

2、定義與夾角公式、定義與夾角公式3.2、兩直線的位置關(guān)系、兩直線的位置關(guān)系四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角4.1、定義與夾角公式、定義與夾角公式4.2、直線與平面的位置、直線與平面的位置關(guān)系：關(guān)系：五、小結(jié)五、小結(jié) 思考題思考題 在直線方程在直線方程pznymx+ +- -= = =- -6224中，中，m、n、p各怎樣取值時，各怎樣取值時，xoy、yoz都平行都平行. .直線與坐標(biāo)面直線與坐標(biāo)面 P49503；5；10；13；15。作業(yè)作業(yè)3/13xyzo1 2 空間直線可看成空間直線可看成兩平面的交線兩平面的交線0:11111= =+ + + + DzCyBxA0:22222= =+

3、 + + + DzCyBxA = =+ + + += =+ + + +0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程L注意注意: 通過空間一直線通過空間一直線L的平面有無數(shù)個的平面有無數(shù)個, 其方其方程組僅需要兩個聯(lián)立即可程組僅需要兩個聯(lián)立即可; 方程組中兩個平面方程組中兩個平面,既不平行也不重合既不平行也不重合, 否則就不是空間直線否則就不是空間直線.4/13xyzo2.1、方向向量、方向向量 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱一條已知直線，這個向量稱為這條直線的為這條直線的方向向量方向向量sL2.2、對稱式、對稱式(點向式

4、點向式)方程方程),(0000zyxM,LM ),(zyxMsMM0/pzznyymxx000- -= =- -= =- -),(pnms = =),(0000zzyyxxMM- - - -= =直線的直線的對稱式對稱式或或點向式點向式方程方程.5/13pzznyymxx000- -= =- -= =- -由直線的對稱式方程由直線的對稱式方程2.3、直線的參數(shù)方程、直線的參數(shù)方程tpzznyymxx= =- -= =- -= =- -000令令 + += =+ += =+ += =ptzzntyymtxx000直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程方向向量方向向量s= =

5、(m,n,p)的余弦的余弦稱為直線的稱為直線的方向余弦方向余弦. .6/13例例1 用對稱式方程用對稱式方程 及參數(shù)方程表示直線及參數(shù)方程表示直線.043201 = =+ + +- -= =+ + + +zyxzyx解解 在直線上任取一點在直線上任取一點),(000zyx令令10= =x,063020000 = =- - -= =+ + +zyzy解解2, 000- -= = =zy得點坐標(biāo)得點坐標(biāo)),2,0,1(- -因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取21nns = =對稱式方程對稱式方程,321041- -+ += =- - -= =- -zyx參數(shù)方程參

6、數(shù)方程.3241 - - -= =- -= =+ += =tztytx),3, 1, 4(- - -= =312111- -= =kji7/13解解例例2 2 一直線過點一直線過點)4 , 3, 2(- -A，且和且和y軸垂直相軸垂直相交，求其方程交，求其方程.因為直線和因為直線和y軸垂直相交軸垂直相交, 所以交點為所以交點為),0, 3, 0(- -B取取BAs = =),4, 0, 2(= =由點向式可得所求直線方程為由點向式可得所求直線方程為.440322- -= =+ += =- -zyxxyzoBA28/13定義定義直線直線:1L,111111pzznyymxx- -= =- -=

7、=- -直線直線:2L,222222pzznyymxx- -= =- -= =- -兩直線的方向向量的夾角稱之兩直線的方向向量的夾角稱之. .（銳角）（銳角）3.1、定義與夾角公式、定義與夾角公式22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL+ + + + + + + += =兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式9/133.2、兩直線的位置關(guān)系：、兩直線的位置關(guān)系：21)1(LL , 0212121= =+ + +ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm= = =直線直線:1L例如，例如，),0, 4, 1(1- -= =s直線直線:2L),1 ,

8、 0 , 0(2= =s, 021= = ss,21ss .21LL 即即10/13解解設(shè)所求直線的方向向量為設(shè)所求直線的方向向量為),(pnms = =根據(jù)題意知根據(jù)題意知,1ns ,2ns 取取21nns = =.153243- -= =- -= =+ +zyx所求直線的方程所求直線的方程例例3 3求過點求過點)5, 2, 3(- -且與兩平面且與兩平面34 = =- - zx和和152= =- - -zyx的交線平行的直線方程的交線平行的直線方程. .512401- - - -= =kji),1, 3, 4(- - - -= =11/13解解先作一過點先作一過點M且與已知直線垂直的平面且

9、與已知直線垂直的平面 0)3()1(2)2(3= =- - - -+ +- -zyx再求直線與該平面的交點再求直線與該平面的交點N,令令tzyx= =- -= =- -= =+ +12131. 1213 - -= =+ += =- -= =tztytx例例4 4 求過點求過點)3 , 1 , 2(M且與直線且與直線12131- -= =- -= =+ +zyx垂直相交的直線方程垂直相交的直線方程. .代入平面方程得代入平面方程得 , ,73= =t交點交點)73,713,72(- -N取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為MNMN373, 1713, 272- - - - -= =,72

10、4,76,712- - -= =所求直線方程為所求直線方程為.431122- -= =- - -= =- -zyx12/13定義定義 直線和它在平面上的投影直線的夾角直線和它在平面上的投影直線的夾角 稱為直線與平面的夾角稱為直線與平面的夾角 ,:000pzznyymxxL- -= =- -= =- - 0.2 4.1、定義與夾角公式、定義與夾角公式),(pnms = =, 0:= =+ + + + DCzByAx),(CBAn = = + += =2),(ns - -= =2),(ns直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式 - -= = cossin2 222222|sinpnmCBACpBnAm+ + + + + + + += = .cos + += =2 13/134.2、直線與平面的位置關(guān)系：、直線與平面的位置關(guān)系： L)1(.pCnBmA= = = L)2(/. 0= =+ + +CpBnAm例例5 5設(shè)直線設(shè)直線:L21121+ += =- -= =- -zyx, ,平面平面: 32 = =+ +- -zy