空間中直線與直線所成的角

1、空間中直線與直線所成的空間中直線與直線所成的角（夾角）角（夾角）從有無公共點的角度：從有無公共點的角度：有且僅有一個公共點有且僅有一個公共點-相交直線相交直線在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi)-相交直線相交直線從是否共面的角度從是否共面的角度沒有公共點沒有公共點-平行直線平行直線異面直線異面直線不同在任何一個平面內(nèi)不同在任何一個平面內(nèi)-異面直線異面直線平行直線平行直線三線平行公理三線平行公理 平行同一條直線的兩條直線互相平行平行同一條直線的兩條直線互相平行等角定理等角定理 空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么 這兩個角相等或互補這兩個角相等或互補. . 異面直

2、線異面直線 不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線1.1.如圖是一個正方體的表面展開圖如圖是一個正方體的表面展開圖, ,如果將它還原如果將它還原為正方體，那么為正方體，那么ABAB，CDCD，EFEF，GHGH這四條線段所在這四條線段所在直線是異面直線的有多少對直線是異面直線的有多少對? ? FAHGEDCBCDBAEFGHkeykey：ABAB與與CDCD，ABAB與與GHGH，EFEF與與GHGH2.,.a cc a babAb c如圖， 求證：為異面直線acbA, b c證明：假設不是異面直線，,.b c則平行或相交,.b cc ab a（1）若平行，由得,abAb

3、 c這與矛盾，所以不平行.,.b cbcB（2）若相交，設,bcB是平面 和 的公共點a又Bacac a與 相交，這與矛盾, b c不相交, b c綜上，假設不成立，是異面直線.3.3.如圖，空間四邊形如圖，空間四邊形ABCDABCD中，中，E E，F(xiàn) F，G G，H H分別是分別是 AB AB，BCBC，CDCD，DADA的中點的中點. . 求證：四邊形求證：四邊形EFGHEFGH是平行四邊形是平行四邊形. .FGDAEBCHBD解：連接EHABD是的中位線EH BDEHBD，且FG BDFGBD同理，且EH FGEHFG，且EH FG四邊形是平行四邊形3.3.如圖，空間四邊形如圖，空間四邊

4、形ABCDABCD中，中，E E，F(xiàn) F，G G，H H分別是分別是 AB AB，BCBC，CDCD，DADA的中點的中點. . 求證：四邊形求證：四邊形EFGHEFGH是平行四邊形是平行四邊形. .FGDAEBCH (1) (1)若若AC=BDAC=BD，那么四邊形，那么四邊形EFGHEFGH是什么圖形是什么圖形? ? (2) (2)若若ACBDACBD，那么四邊形，那么四邊形EFGHEFGH是什么圖形是什么圖形? ? 解：解：(1)(1)若若AC=BDAC=BD， 那么四邊形那么四邊形EFGHEFGH是菱形；是菱形； (2) (2)若若ACBDACBD， 那么四邊形那么四邊形EFGHEFG

5、H是矩形是矩形. . 變一變：變一變：思考思考1 1: :兩條異面直線之間有一個相對傾斜度，若將兩異面兩條異面直線之間有一個相對傾斜度，若將兩異面直線分別平行移動，它們的相對傾斜度是否發(fā)生變化？直線分別平行移動，它們的相對傾斜度是否發(fā)生變化？ 思考思考2 2: :設想用一個角反映異面直線的相對傾斜度，但不能設想用一個角反映異面直線的相對傾斜度，但不能直接度量，你有什么辦法解決這個矛盾？直接度量，你有什么辦法解決這個矛盾？ aboba定義：定義：直線直線a a、b b為異面直線，經(jīng)過空間任一點為異面直線，經(jīng)過空間任一點O O，分別引分別引aaaa，bbbb，則相交直線，則相交直線aa，bb所所成

6、的成的銳角（或直角）銳角（或直角）叫做兩條異面直線叫做兩條異面直線a a、b b所成所成的角的角( (或夾角或夾角) )注注1 1：異面直線：異面直線a a、b b所成角，只與所成角，只與a a、b b的相互位置有關(guān)，的相互位置有關(guān)， 而與點而與點O O位置無關(guān)，一般常把點位置無關(guān)，一般常把點O O取在直線取在直線a a或或b b上；上；注注2 2：規(guī)定兩條平行直線的夾角為：規(guī)定兩條平行直線的夾角為0 0，則異面直線所成角，則異面直線所成角 的取值范圍是：的取值范圍是： ，090如果兩條異面直線所成的角是如果兩條異面直線所成的角是9090，則稱這兩條異面，則稱這兩條異面直線直線互相垂直互相垂直

7、，記作：，記作： . .ab想一想：想一想：在平面幾何中，垂直于同一條直線的兩直線互相在平面幾何中，垂直于同一條直線的兩直線互相平行，在空間中這個結(jié)論還成立嗎平行，在空間中這個結(jié)論還成立嗎 ?再想想：再想想：如果兩條平行直線中有一條與某一條直線垂直如果兩條平行直線中有一條與某一條直線垂直, ,那么另一條是否也與這條直線垂直？為什么？那么另一條是否也與這條直線垂直？為什么？ 不成立不成立成立（定理）成立（定理）.a bacbc若，則1.ABCDA B C D例 如圖，在正方體中，(1)A BCC直線和的夾角是多少？ABCDABCD(2)AAA B哪些棱所在的直線與直線垂直？哪些棱所在的直線與直線

8、垂直？(1)BBCC解：A BBA BCC即異面直線和所成的角或其補角4545 .A BBA BCC異面直線和的夾角為(2),;AAAB BC CD DAA B B C C D D A與直線垂直的直線有,.A BA D B C BC AD與直線垂直的直線有1.ABCDA B C D例 如圖，在正方體中，(1)A BCC直線和的夾角是多少？ABCDABCD(2)AAA B哪些棱所在的直線與直線垂直？哪些棱所在的直線與直線垂直？想一想：在正方體里棱與棱的夾角是多少？090或再想想：在正方體里面對角線與棱的夾角是多少？4590或1.ABCDA B C D例 如圖，在正方體中，(3)A BB C直線和

9、的夾角是多少？ABCDABCD(3)A DDB解： 連結(jié)，BA DA BB C即異面直線和所成的角或其補角60 ,60.BA DA BB C 即異面直線和的夾角為,A BDCA BDCA B CD四邊形是平行四邊形 ,A D B CA DB CA DDBA B1.ABCDA B C D例 如圖，在正方體中，(3)A BB C直線和的夾角是多少？ABCDABCD還要想： 在正方體里面對角線與 面對角線的夾角是多少？0090或6或1.ABCDA B C D例 如圖，在正方體中，ABCDABCD,.A CD BEAAFEF FD解：連結(jié)與交于點 ， 取中點 ，連結(jié)(4)ACB D直線和的夾角是多少？EFAA CEF AC中，F(xiàn)EDACB D即異面直線和所成的角或其補角132,222aEFACa EDa設正方體棱長為 ，則52FDa222EFEDFD90FEDACB D直線和的夾角是90思考：思考：如圖，在如圖，在棱長為棱長為4 4正正四面體四面體ABCDABCD中，求異面中，求異面