公司的投資問題

1、高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽承諾書我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）：我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設置報名號的話）：所屬學

2、校（請?zhí)顚懲暾娜簠①愱爢T（打印并簽名）：1.2.3.指導教師或指導教師組負責人（打印并簽名廣日期：年月日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：公司的投資問題摘要本文在認真分析題意的基礎上提出了多個模型，求解公司如何利用自己有限的金融資金20億，在考慮投資風險與不考慮風險的前提下，對利潤最大化進行了研究。對問題一，我們在較為理想的情況下得出利潤最大化方案，為此，我們建

3、立單目標多元線性回歸方程，并利用了lingo軟件求解的第五年的最大利潤為17.41405億。具體投資方案見表三。對問題二，我們先用時間序列模型和灰色預測模型分別對表2、表3的未來五年利潤率進行了預測和比較。時間序列模型的結果受個別數(shù)據(jù)影響較小，因此選用時間序列模型的結果。再建立起方差分析模型對結果進行了分析，算出對應的風險損失率。具體數(shù)據(jù)見表四、表五、表六、表七、表八、表九。對問題三，建立的是單目標線性規(guī)劃模型，在問題一的基礎上考慮了項目1的捐贈和項目5的固定可重復投資以及各項目之間的投資對利潤率也會產(chǎn)生響。利用問題二的預測結果，得五年末的最大利潤為55.6481億，具體投資方案見表十。對問題

4、四，考慮到投資風險，利用問題二中計算的結果，把投資風險也作為一個目標進行規(guī)劃，然后把雙目標線性規(guī)劃轉化為單目標線性規(guī)劃，得五年末的最大利潤為47.5476億，具體投資方案見表十一。對問題五，我們查閱了06-10年的存貸款利率，在問題三的基礎上，根據(jù)題目條件列出約束方程，解得五年末的最大利潤為42.3480億，具體投資方案見表十四。關鍵詞單目標多元線性規(guī)劃時間序列模型灰色預測模型一問題重述某公司現(xiàn)有數(shù)額為20億的一筆資金可作為未來5年內(nèi)的投資資金，市場上有8個投資項目（如股票、債券、房地產(chǎn)、）可供公司作投資選擇。其中項目1、項目2每年初投資，當年年末回收本利（本金和利潤）；項目3、項目4每年初投

5、資，要到第二年末才可回收本利；項目5、項目6每年初投資，要到第三年末才可回收本利；項目7只能在第二年年初投資，到第五年末回收本利；項目8只能在第三年年初投資，到第五年末回收本利。一、公司財務分析人員給出一組實驗數(shù)據(jù)，見附錄1。試根據(jù)實驗數(shù)據(jù)確定5年內(nèi)如何安排投資？使得第五年末所得利潤最大？二、公司財務分析人員收集了8個項目近20年的投資額與到期利潤數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)：在具體對這些項目投資時，實際還會出現(xiàn)項目之間相互影響等情況。8個項目獨立投資的往年數(shù)據(jù)見表2。同時對項目3和項目4投資的往年數(shù)據(jù)；同時對項目5和項目6投資的往年數(shù)據(jù)；同時對項目5、項目6和項目8投資的往年數(shù)據(jù)見表3。（注：同時投資項目是指

6、某年年初投資時同時投資的項目）試根據(jù)往年數(shù)據(jù)，預測今后五年各項目獨立投資及項目之間相互影響下的投資的到期利潤率、風險損失率。三、未來5年的投資計劃中，還包含一些其他情況。對投資項目1,公司管理層爭取到一筆資金捐贈，若在項目1中投資超過20000萬，則同時可獲得該筆投資金額的1%勺捐贈，用于當年對各項目的投資。項目5的投資額固定，為500萬，可重復投資。各投資項目的投資上限見表4。在此情況下，根據(jù)問題二預測結果，確定5年內(nèi)如何安排20億的投資？使得第五年末所得利潤最大？四、考慮到投資越分散，總的風險越小，公司確定，當用這筆資金投資若干種項目時，總體風險可用所投資的項目中最大的一個風險來度量。如果

7、考慮投資風險，問題三的投資問題又應該如何決策？五、為了降低投資風險，公司可拿一部分資金存銀行，為了獲得更高的收益，公司可在銀行貸款進行投資，在此情況下，公司又應該如何對5年的投資進行決策？二、問題分析本題旨在如何最大限度的利用過去20年的數(shù)據(jù)，在公司現(xiàn)有資金的基礎上，通過合理的預測和不同方案的組合，使公司在未來5年內(nèi)收益最大。對問題一，針對該投資問題，如何確定投資方案，使得第五年末所得利潤最大。可知，我們要用目標規(guī)劃來解決此問題，首先我們要進行合理的假設后確定目標函數(shù)，其次，要確定約束條件，最后，用軟件解決此問題，并對所得結果進行合理的分析。對問題二，由數(shù)據(jù)分析可得，數(shù)據(jù)變化呈上下波動，我們嘗

8、試用時間序列模型和灰色預測模型分別對表2、表3的未來五年利潤率進行了預測和比較。對兩組結果進行分析，選擇一組較好的數(shù)據(jù)。再建立起方差分析模型對所選數(shù)據(jù)進行了分析，算出對應的風險損失率。對問題三，在問題一的基礎上考慮了項目1的捐贈和項目5的固定可重復投資以及各項目之間的投資對利潤率也會產(chǎn)生影響。利用問題二的預測結果，列出相應的約束條件，算出結果。對問題四，我們引入了投資風險，把雙目標規(guī)劃轉化為單目標規(guī)劃，利用問題二預測的風險損失率，即可算出結果。對問題五，結合當時的具體實際，在問題四的基礎上改進，即可求得結果。三模型假設(1)未來五年的投資環(huán)境穩(wěn)定，沒有突發(fā)事件(2)前一年的利潤可以用于下一年的

9、投資(3)每個項目的投資上限為當年的上限而不是在同一項目上累計投資的上限(4)存貸款只在每年年初進行，且期限均為一年，無手續(xù)費四符號說明Xj第i年投資第j個項目的投資額(億元)(i=1,2,-5,j=1,2,mj第j個項目的投資額上限(億元)Pj第j個項目的到期利潤率S5第五年末時的本利(億元)ni第i年投資后所剩余的錢數(shù)(i=1,2,3,4)Qi第i個項目的風險損失率(i=1,2,8)Pij第i個項目第j年的到期利潤率(i=1,2,，8,j=2006,2007,2010)備第i個項目的未來五年的平均到期利潤率Xi第i個項目(i=1,2,，8)ki5項目五第i年投資的重復次數(shù)(i=1,2,3)

10、rj同時投資第i個項目和第j個項目的到期利潤率rUk同時投資第i個、第j個和第k個項目的到期利潤率Mi第i年存款數(shù)目Ni第i年貸款數(shù)目Ci第i年存款利率Di第i年貸款利率五數(shù)據(jù)處理與分析我們首先對附錄中所給的數(shù)據(jù)進行處理，分別將各投資項目獨立投資和一些投資項目同時投資的投資額及到期利潤換算成對應的利潤率，結果如表一和表二所示。表一各投資項目獨立投資時歷年的利潤率項目1234567819860.15950.02190.31070.1581-1.82791.85273.23791.799919870.16740.02380.43590.19410.6743-0.2122.11.945819880.

11、15160.11120.38110.1641-0.6035-1.34097.28632.300619890.14830.0960.1320.23942.00320.66912.6132-1.775719900.15470.06890.53710.20413.58521.371-3.2187-0.511819910.17270.12190.42680.21370.7418-1.43852.86360.431419920.13040.11960.24230.18011.61010.2004-9.54454.225219930.21350.17480.45810.32141.64730.94755.

12、61744.064719940.08580.16220.37290.23911.3885-0.3611-5.78081.501319950.15090.1810.20290.17411.39260.306113.5173.028319960.13480.1930.54920.33611.37811.3683-3.15781.011419970.14720.15210.23330.29420.6990.751518.4492.49419980.18430.18960.25130.33170.7371.3867-4.277-1.198119990.10370.18550.25560.3082-0.

13、16141.4925-4.8448-1.371720000.14450.21070.51920.25981.03991.29992.82965.18620010.18170.24580.51640.3211.21551.3099-9.60762.673620020.1470.19730.26770.34120.64831.045717.547-2.139420030.10390.18120.2640.370.92911.1083.901920040.19080.18040.31830.415920050.13080.1548表二一些投資項目同時投資時歷年的利潤率項目同時投資項目3、4同時投資項

14、目5、6同時投資項目5、6、8345656819860.238220.466720.331340.873631.53450.84312-0.6298819870.431560.448730.402270.53725-0.516182.76772.747419880.490920.428860.0741053.15930.801940.41334-0.7456119890.32370.411620.0852750.605110.744170.209552.644219900.29390.470470.096624-1.0626-0.13698-0.76648-0.3022819910.45756

15、0.48561.48931.46862.980.891491.149619920.675430.438240.0547140.165270.81727-0.0272162.39419930.472120.48190.92467-0.655190.56719-0.0525494.050419940.325540.45867-0.193380.38031.43983.00872.32119950.539580.393021.24510.0108720.705780.424211.653819960.639120.323210.181990.20187-0.510611.51492.58471997

16、0.309620.44849-0.016682.1279-0.578290.783281.706419980.731870.393910.97240.361911.01590.871922.60319990.56240.436411.9492-0.65438-0.248332.0649-0.5438620000.26360.391071.00631.69440.880740.387382.389520010.520860.382091.3142-1.08411.7369-0.74814-1.006420020.616690.453070.284973.3110.615030.168810.82

17、62620030.4650.441851.27851.54932.18360.916790.7111320040.470870.474482005由于單獨看數(shù)據(jù)不能很好的把握對各個年份的變化，因此依據(jù)表一、表二數(shù)據(jù),以時間為橫坐標（以序號1-20表示）繪圖如下：20圖一獨立投資時的利潤率一二三四五六七八目目目目目目目目項項項項項項項項由圖一可得，獨立投資時項目七的波動最大，其次是項目八；波動最小的是項目三和項目四。圖二聯(lián)合投資時的利潤率51；1LL01項目3ASI項目4A4-A項目5Bj項目5B項目5c1/項目6c31項目8c-1AJ11|A,分析圖二，聯(lián)合投資時項目6和8的波動較大，項目3和

18、4的波動較小圖一和圖二對比分析，對比相同的項目，總體上聯(lián)合投資利潤率較高，波動也較大。這與實際情況是相符的，分開投資風險較小，聯(lián)合投資利潤較高，風險也大。五模型的建立與求解5.1問題一不考慮投資風險的利潤最大化由于項目1、項目2每年初投資，當年年末回收本利(本金和利潤)；項目3、項目4每年初投資，要到第二年末才可回收本利；項目5、項目6每年初投資，要到第三年末才可回收本利；項目7只能在第二年年初投資，到第五年末回收本利；項目8只能在第三年年初投資，到第五年末回收本利，想要在第五年末利潤達到最大，只需在第五年末使利本達到最大即可。故可建立如下單目標決策目標函數(shù)：246maxs5=X5j(1+Pj

19、)+X4j(1+Pj)+X3j(1+Pj)+X27(1+P7)+X38(1+P8)j1j3j5約束條件：(1)各項目投資要滿足投資上限 項目1、2五年內(nèi)每年應滿足的投資上限Xjmj(i=1,2,5,j=1,2) 項目3、4在前四年內(nèi)每年應滿足的投資上限Xjmj(i=1,2,4,j=3,4) 項目5、6在前3年內(nèi)每年應滿足的投資上限Xjmj(i=1,2,3,j=5,6) 項目7在第二年滿足的投資上限X27m7 項目8在第三年應滿足的投資上限X38m8(2)每一年的投資額應小于上一年的本利，即滿足以下約束條件：第一年應滿足的投資條件：6X1j20j1第二年應滿足的投資條件:72X2jXij(1+P

20、j)+nijiji第三年應滿足的投資條件：624X3j+X38X2j(1+Pj)+Xij(1+Pj)+n2j1jij3第四年應滿足的投資條件：4246X4jX3j(1+Pj)+X2j(1+Pj)+Xij(1+Pj)+n3j1j1j3j5第五年應滿足的投資條件:2246X5jX4j(1+Pj)+X3j(1+Pj)+X2j(1+Pj)+n4j1j1j3j5綜上所述，得到的問題一的單目標最優(yōu)化模型為:目標函數(shù)：maXs5=X5j(1+Pj)+X4j(1+Pj)+j1j3jX3j(1+Pj)+X27(1+P7)+X38(1+P8)5s.tXijmj(i1,2,3,4,5.j1,2)Xijmj(i1,2

21、,3,4.j3,4)Xjmj(i1,2,3.j5,6)X27m7X38m8X1jj120X2jj1Xij(1j1Pj)niX3jX38X2j(1j1j142Pj)Xij(1Pj)n2j346X4jj1X3j(1j1Pj)X2j(1Pj)Xij(1Pj)n3j3j5X5jj1X4j(1j14Pj)X3j(1j36Pj)X2j(1Pj)n4j5利用lingo,我們可以得到S5=37.41405億元，故五年內(nèi)的最大利潤為17.41405億元,各項目的投資情況見表三。表三各項目的投資方案（億）份A年第二年第三年第四年第五年項目一5.1545455.521859項目二30.353項目三3.8454554

22、項目四30.61681823項目五333項目六222項目七4項目八3在不考慮投資風險的情況下，要是總利潤最大，應將投資投在到期利潤率最大的項目上，從表一中數(shù)據(jù)可以看出，這與實際是吻合的。因此，該模型真實可靠。5.2問題二預測未來五年的利潤率和風險損失率5.2.1 時間序列模型由圖一和圖二可得，各項目隨時間呈循環(huán)變動，因此我們考慮建立時間序列模型進行預測。數(shù)值由于受周期變動和不規(guī)則變動的影響，起伏較大，不易顯示出發(fā)展趨勢時，而且考慮到最近年份對下年的影響較大，所以對最近年份的權重較大，采用加權移動平均法進行預測。取移動平均項n=5,權值w=1/101/101/51/52/5;設時間序列為yi,y

23、2y20加權移動平均公式為Mtwwytw2y2w5yt4tnW1w2w5利用加權移動平均數(shù)來做預測，其預測公式為yt1Mtw用matlab計算結果如表四、表五所示表四各項目獨立投資時的利潤率項目1234567820060.151910.185010.365060.361920.882951.20052.35672.051420070.145790.180580.330270.36330.816811.16175.91581.453120080.141640.1790.325990.369150.844391.16774.34952.189220090.152250.177780.332850.

24、375550.814131.1824.21031.953220100.145160.174430.340340.368280.836111.18294.09322.0753平均值0.14740.17940.33890.36760.83891.17904.18511.9444表五一些項目同時投資時的利潤率項目同時投資項目3、4同時投資項目5、6同時投資項目5、6、8年份345656820060.485640.436761.09441.05411.40150.319950.3658320070.500750.444930.960251.63121.28910.433930.5893820080.4

25、8230.445131.0871.431.48670.550040.5784520090.480590.44961.08371.38171.36750.545660.5610720100.47690.445011.07491.37851.37970.506430.5944平均值0.48520.44431.06001.37511.38490.47120.53785.2.2 灰色理論GM(1,1)改進模型我們以其獨立投資情況為例進行說明對于每一列，每年的利潤率數(shù)據(jù)記為X(0)(1、(0)(2(2的人(X(I),X(2),.,X(20)按照一次的構造GM(1,1)模型的方法記X為X(0)的1-AGO

26、(一次累加生成)序列，X(x(1)(1),x(1)(2),.,x(1)(20)令Z為X的緊鄰均值(MEAN生成序列(1) /(1)(1)(1),Z(z,z(2),.,z(20)其中取為0.5,則其GM(1,1)方程模型為x(0)(k)az(k)b利用最小二乘法可求的a,b其特解(0)bkbx(k1)(x(1)-)e一aa則(0)(i)a，x(k1)x(k1)x(k)(x(0)(i)B)(eakea(k1)a由于傳統(tǒng)的GM(1,1)模型往往計算誤差較大，無法滿足要求，而通過二次模擬改進后的預測模型，則大大提高了計算精度。以下是二次模擬灰色預測模型的建模過程：將一次模擬所得的模型記為x(k1)Me

27、akN根據(jù)第一次用K擬所得的a值及原始1-AGOR列X(1)對M和N進行估計將原方程組寫成矩陣形式X(1)X(1)其中(x(1)(1),x(2),x(1)(20)te01ea1ea(19)1由最小二乘法可得(GtG)1GTX求出M和N后即可得到更精確的二次擬合參數(shù)模型x(k1)MeakN則x(k1)x(1)(k1)x(1)(k)M(eakea(k1)經(jīng)Matlab軟件進行處理得到未來五年各項目獨立投資及項目之間相互影響下的投資的到期利潤率如下表所示表六灰色預測獨立投資項目未來五年的利潤率項目1234567820060.17770.19440.37830.27632.35140.05220.23

28、176.007620070.14330.18350.41660.28022.05960.1011-0.49793.889120080.14110.21810.35170.22511.07840.02732.94654.943320090.12990.23690.33510.29600.84641.79510.17363.130520100.12790.19780.32680.31411.25211.552840.08322.3917平均值0.14400.20610.36170.27831.51760.70578.58744.0724表七灰色預測投資項目同時投資時未來五年的利潤率、一、項目同時投

29、資項目3、4同時投資項目5、6同時投資項目5、6、8345656820060.34580.48143.91420.48907.15570.00160.310320070.62870.47800.77120.00821.85030.06853.362820080.68130.49311.11050.09381.24990.08445.279020090.49480.45840.35670.15591.400613.5134.814020100.43970.40780.32550.00010.30011.55352.7547平均值0.51810.46371.29560.14942.39133.04

30、423.3042結果分析：分析時間序列模擬的結果和灰色預測模擬的結果，發(fā)現(xiàn)時間序列的模擬結果受個別數(shù)據(jù)的影響較小，波動不大，總體上反映了利潤率的變化趨勢；灰色模擬的結果受個別數(shù)據(jù)的影響較大，個別數(shù)據(jù)波動很大，個別數(shù)據(jù)出現(xiàn)值如40.0832,這與實際情況是不相符的。綜上所述，時間序列模型在時間序列較為平穩(wěn)的情況下更能反映總體的變化趨勢，因而，下面計算將采用時間序列模型的預測值。5.2.3方差分析風險，是指對未來投資收益的不確定性，在投資中可能遭受收益損失甚至本金損失的風險。這種不確定性越大，在投資中的風險也就越大，遭受損失的可能性也就越大。為了準確的描述這種不確定性，我們采用標準差的波動情況來定

31、義出未來五年的風險損失率：2010_(PijPi)2j2006Qi=15利用以上預測出未來五年的到期利潤率，用matlab算出未來五年的各項目獨立投資及項目之間相互影響下的風險損失率，見下表:表八各項目獨立投資時的風險損失率項目一項目二項目三項目四項目五項目六項目七項目八風險損失率0.00410.00350.01390.00480.02480.01351.12910.2569表九一些項目相互影響下的風險損失率項目同時投資項目3、4同時投資項目5、6同時投資項目5、6、83456568風險損失率0.00830.00420.05030.18530.06350.08630.0868結果分析：獨立投資

32、時，項目七的風險損失率是最大的，同時由表一可得，項目七的利潤率也是最大的，這與實際情況是相符合的。同時可以看出，相互影響下的風險損失率也比獨立投資時的大。5.3問題三不考慮投資風險的未來五年收益由于項目1、項目2每年初投資，當年年末回收本利(本金和利潤)；項目3、項目4每年初投資，要到第二年末才可回收本利；項目5、項目6每年初投資，要到第三年末才可回收本利；項目7只能在第二年年初投資，到第五年末回收本利；項目8只能在第三年年初投資，到第五年末回收本利，想要在第五年末利潤達到最大，只需在第五年末使利本達到最大即可。故可建立如下單目標決策，目標函數(shù)：246maxs5=X5j(1+Pj)+X4j(1

33、+Pj)+X3j(1+Pj)+X27(1+P7)+X38(1+P8)j1j3j5約束條件：(3)各項目投資要滿足投資上限 項目1、2五年內(nèi)每年應滿足的投資上限Xjmj(i=1,2,5,j=1,2) 項目3、4在前四年內(nèi)每年應滿足的投資上限Xjmj(i=1,2,4,j=3,4) 項目5、6在前3年內(nèi)每年應滿足的投資上限Xjmj(i=1,2,3,j=5,6) 項目7在第二年滿足的投資上限X27m7 項目8在第三年應滿足的投資上限X38m8(4)每一年的投資額應小于等于上一年的本利和余額，即滿足以下約束條件:第一年應滿足的投資條件：6Xij20ji6x1j20+1%Xiiji第二年應滿足的投資條件：

34、72X2jXij(1+Pj)+nijiji72X2jXij(i+Pj)+i%X2i+nijiji(Xii2)(Xii2)6X3j+X38jiX2j(i+Pj)+jiXij(i+Pj)+n2j3(Xii2)第四年應滿足的投資條件:X4jX3jjiji(i+4Pj)+X2j(i+Pj)+j36Xij(i+Pj)+n3j5(Xii2)第五年應滿足的投資條件:2x5jj1(Xii2)4(1+Pj)+X3jj3(1+4Pj)+X3j(1+j3(5)項目五的投資額固定,6(1+Pj)+X2j(1+Pj)+n4j56Pj)+X2j(1+Pj)+1%X51j5+n4為500萬，可重復投資，則第i年項目五投資額

35、為:Xi5=0.05ki5(i=1,2,3)(6)當一些項目相互影響時，利潤率的選擇:同時投資項目3、4時(X3XX4W0)P3T34,P4=43同時投資項目5、6時(X5XX6W0,X8=0)P5T56,P6T65同時投資項目5、6、8時P5=568,P6=658,P8=856(X5XX6XXg*綜上所述，得到的問題三的單目標最優(yōu)化模型為：目標函數(shù)：maX246S5=X5j(1+Pj)+X4j(1+Pj)+X3j(1+Pj)+X27(1+P7)+X38(1+P8)-20j1j3j5s.tXjmj(i1,2,3,4,5.j1,2)Xjmj(i1,2,3,4.j3,4)Xjmj(i1,2,3.j

36、5,6)X27m7X38m8X1j20(X112)X1j201%x11(x112)72X2jX1j(1Pj)j1j172X2jX1j(1Pj)j1j162X3jX38X2j(1j1j162X3jX38X2j(1j1j142X4jX3j(1Pj)j1j142X4jX3j(1Pj)j1j122X5jX4j(1Pj)j1j122X5jX4j(1Pj)j1j1Xi50.05ki5(i1,2,3)01(X212)1%x2101(X214Pj)X1j(1j34Pj)X1j(1j34X2j(1Pj)j34X2j(1Pj)j34X3j(1Pj)j34X3j(1Pj)j32)Pj)02(X312)Pj)1%X3

37、102(X312)6X1j(1Pj)03(X412)j56X1j(1Pj)1%X4103(X41j56X2j(1Pj)04(X512)j56X2j(1Pj)1%X5104(X51j52)2)P334，P4小(X3X40)P556,P665,(X5X60,Xg0)P5r568，P6r658，P8r856,(X5X6X80)用li0go我們得到最大利潤為48.5238億，各項目的投資方案見下表。表十各項目的投資方案（億）咨份二言、第一年第二年第三年第四年第五年項目二、項目一2.291700265.9745項目二3.5003.50項目四1.25300030項目五32.75000項目六3.978044

38、00項目七03000項目八003005.4問題四考慮投資風險的利潤最大化相對于題三，問題四要求我們在風險最小的情況下確定使利潤最大的方案，為此，我們建立多目標線性規(guī)劃模型MAXS5MINQi由假設可知我們用所投資的項目中最大的一個風險來度量總體風險可因此上式可簡化為MAXS5MINMAXQi利用下式我們將多目標規(guī)劃轉換為單目標問題246max*=X5j(1+Pj)+X4j(1+Pj)+X3j(1+Pj)+X27(1+P7)+X38(1+P8)-j1j3j585xjMAXQii1j1建立約束條件1234567820063.535363.530400200700.4150.767403430200

39、800003403各項目投資方案（億）表dXijXijXijmj(imj(imj(i1,2,3,4,5.j1,2)1,2,3,4.j3,4)1,2,3.j5,6)X27myX386m8X1j20(X112)X1j201%x11(x112)Xi5P3P5P5X2jX2jX3jX3jX4jX4jX5jX5jX38X38Xij(1Xij(1X3j(1X3j(1j12X4j(1j12X4j(1j1Pj)(X212)Pj)X2j(1X2j(1Pj)Pj)Pj)Pj)0.05。1,2,3)34，P456,P6r568，P61%x21(x212)Pj)Pj)4Xj34Xj34r43,(X365,(X5658

40、,P84X1j(1j34X1j(12j(12j(1X3j(1j34X3j(13X4X60)0,X8r856,(X5Pj)(X312)Pj)1%X31(X312)Pj)Pj)Pj)Pj)0)X6X8利用lingo語言求解，第五年的收益為一所示。6X1j(1j56X1j(1j56X2j(1j56X2j(150)47.5476億,Pj)(X412)Pj)1%X41(X412)Pj)(X512)Pj)1%X51(X512)各項目投資方案如表4200903.45373.5300020106600000005.5問題五存貸機制下的利潤最大化問題五在問題四基礎上引入存貸機制首先我們查閱了06-10年央行的存

41、貸款利率，如下表所示表十二06-10年央行存貸款利率（）20062007200820092010存款利率2.252.524.142.252.75貸款利率5.586.127.475.315.31確定目標函數(shù)246maxs5=X5j(1+Pj)+X4j(1+Pj)+X3j(1+Pj)+X27(1+P7)+X38(1+P8)j1j3j55585-20MiCiNiDi-XjMAXQii1I1i1j1約束條件(7)各項目投資要滿足投資上限，同時投資，項目五的投資對應的約束條件與問題三相同即Xjmj(i=1,2,-5,j=1,2)Xjmj(i=1,2,4,j=3,4)Xijmj(i=1,2,3,j=5,6

42、)X27m7X38m18Xi5=0.05ki5(i=1,2,3)P3T34,P4=43(X3XX4W0)(X5XX6XX8*0)P5T56,P6=65(X5XX6W0,X8=0)P5T568,P6T658,P8T856(8)每一年的投資額應小于等于上一年的本利和余額，即滿足以下約束條件:第一年應滿足的投資條件：6X1J20M1N1(x112)ji6x1j201%x11M1N1ji(xii2)第二年應滿足的投資條件:72x2jxn(1pj)n1M2N2M1(1C1)N1(1D1)jij1(x112)72x2jxn(1pj)n11%x21M2N2M1(1C1)N1(1D1)j1j1(xn2)第三年

43、應滿足的投資條件:62x3jx38x2j(1pj)j1jqx1j(1Pj)n2M3N3M2(1C2)N2(1D2)j3xx312)62x3jx38x2j(1pj)j1jq4x1j(1Pj)n21%x31M3N3j3M2(1C2)N2(1D2)x312)第四年應滿足的投資條件42x4jx3j(1j1j14Pj)x2j(1Pj)j36x1j(1Pj)j3n3M4N4M3(1C3)N3(1D3)(*412)4x4jj12x3j(1j14Pj)x2j(1j36Pj)x1j(1Pj)n31%x31M4N4M3(1C3)N3(1D3)j3x412)第五年應滿足的投資條件2X5jj12X4j(1j14Pj)X2j(1j36Pj)X2j(1Pj)n4M5N5M4(1C4)N43(1D4)j5(X512)2X5jj12X4j(1j14Pj)X2j(1j36Pj)X2j(1Pj)n41%X41M5N5M4(1C4)N43(1D4)j5(X512)