pbi多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1pbi多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用2設(shè)空間曲線的方程設(shè)空間曲線的方程)1()()()()( ttzztyytxx(1)式中的三個(gè)函數(shù)均式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo)可導(dǎo).M),(000zzyyxxM ),(000zyxM設(shè)設(shè)M 1. 空間曲線的方程為參數(shù)方程空間曲線的方程為參數(shù)方程一、空間曲線的切線與法平面Oxyz.0ttt 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于;0tt 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于第1頁/共41頁3考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置 xxx0t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t MM 割線割線 的方程的方程為為MM ,000zzzyyyxxx yyy0zzz 0切線的過程Oxy

2、z),(000zzyyxxM ),(000zyxM第2頁/共41頁4,0,時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) tMM曲線在曲線在M處的切線方程處的切線方程)()()(000000tzzztyyytxxx 切向量切向量法平面法平面切線的方向向量稱為曲線的切向量.過M點(diǎn)且與切線垂直的平面.MM Oxyz平面的點(diǎn)法式方程t t t zzzyyyxxx000 0limt0limt0limt0000),(ttzyxM 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于)(),(),(000tztytxT . 0)()()(000000 zztzyytyxxtx第3頁/共41頁5.0處的切線與法平面方程處的切線與法平面方程在在 t: 求曲線求曲線 ttuzttyu

3、ux30e1cossin2dcose解解, 0 x,cosetxt ,sincos2tty tz3e3 , 1)0( x, 2)0( y3)0( z切線方程322110 zyx法平面方程0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx)()()(000000tzzztyyytxxx 0)()()(000000 zztzyytyxxtx例例即,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t2 z, 1 y第4頁/共41頁6設(shè)曲線直角坐標(biāo)方程為設(shè)曲線直角坐標(biāo)方程為,)()(100000 xzzzxyyyxx . 0)()()(100000 zzxzyyxyxx法平面方程為2. 空間曲線的方程為空間曲線的方程為曲線的參數(shù)方程是曲線的

4、參數(shù)方程是由前面得到的結(jié)果由前面得到的結(jié)果, 在在M(x0, y0, z0)處處,令令 )()(xzzxyy切線方程為x為參數(shù),兩個(gè)柱面 的交線)()()(000000tzzztyyytxxx xx ,)()( xzzxyy第5頁/共41頁7例例 在拋物柱面在拋物柱面 與與 的交線上的交線上, x為參數(shù)為參數(shù),于是于是 , 1 x,12xy xz24 212xz 26xy 21 x解 22126xzxyxx所以交線上與所以交線上與21 x對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切向量為: T).12, 6, 1(交線的參數(shù)方程為取求對(duì)應(yīng) 的點(diǎn)處的切向量.第6頁/共41頁8設(shè)空間曲線方程為設(shè)空間曲線方程為,0),(0),( z

5、yxGzyxF3.空間曲線的方程為空間曲線的方程為確定了隱函數(shù)確定了隱函數(shù)(此曲線方程仍可用方程組此曲線方程仍可用方程組:.)()( xzzxyy 表示表示.)兩個(gè)曲面的交線xx )(xyy )(xzz 利用利用2. 結(jié)果結(jié)果, 切線方程為. 0)()()(100000 zzxzyyxyxx法平面方程為在在M(x0, y0, z0)處處,)()(100000 xzzzxyyyxx 兩邊分別對(duì)兩邊分別對(duì)x求導(dǎo):),(),(xzxy 求出求出 0),(0),(zyxGzyxF將將下面求出下面求出.第7頁/共41頁9 xydd 利用利用2.結(jié)果結(jié)果, 0dddd xzGxyGGzyxzyzyGGFF

6、xzxzGGFFzyzyGGFFyxyxGGFF)()(100000 xzzzxyyyxx 0dddd xzFxyFFzyx)()(100000 xzzzxyyyxx 兩邊分別對(duì)兩邊分別對(duì),0)(),(,(0)(),(,( xzxyxGxzxyxFx求全導(dǎo)數(shù): xzdd第8頁/共41頁10. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy法平面方程為法平面方程為,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 切線方程為切線方程為,0),(0),( zyxGzyxF所所以以在點(diǎn) M(x0, y0, z0)處的第9頁/共41頁1

7、1解解的的在點(diǎn)在點(diǎn)求曲線求曲線)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 例例 切線方程和法平面方程切線方程和法平面方程.法一法一 直接用公式直接用公式., 8),(222 zyxzyxF令,),(222zyxzyxG 0PxF000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 代入公式代入公式, 得切線方程得切線方程,023331 zyx 02Px, 2 0PyF 02Py, 32 0PzF 02Pz; 4令 0PxG 02Px, 2 0PyG 02Py, 32 0PzG 02Pz, 4 第10頁/共41頁120)()()(000000 zzGGFFyyGGFF

8、xxGGFFyxyxxzxzzyzy代入公式代入公式, 得法平面方程得法平面方程法平面方程公式法平面方程公式:. 0633 yx第11頁/共41頁13切線方程切線方程 1x33dd0 Pxy0dd0 Pxz 解解 將所給方程的兩邊對(duì)將所給方程的兩邊對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo), 得得法平面方程法平面方程0)2(0)3(33)1(1 zyx. 0633 yx 3 y2 z133 0的的在點(diǎn)在點(diǎn)求曲線求曲線)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 例例 切線方程和法平面方程切線方程和法平面方程. 推導(dǎo)法推導(dǎo)法)()(100000 xzzzxyyyxx 0dd2dd22 xzzxyyxxzzxyyxdd2

9、dd22 法二法二即即第12頁/共41頁14設(shè)曲線設(shè)曲線)(),(),(tzztyytxx 證)()(txXtx 因原點(diǎn)因原點(diǎn)(0,0,0)在法平面上在法平面上,0)()()()()()( tztztytytxtx即即0 于是于是 2220)(0)(0)(tztytx證明此曲線必在以原點(diǎn)為中的法平面都過原點(diǎn),在任一點(diǎn)心的某球面上.曲線過該點(diǎn)的法平面方程為曲線過該點(diǎn)的法平面方程為),(),(),(tztytx故有故有)()(tyYty )()(tzZtz 0 C)()()(222tztytx 任取曲線上一點(diǎn)任取曲線上一點(diǎn)0)()()(000000 zztzyytyxxtx000第13頁/共41頁

10、15yxzO 0),( zyxF今在曲面上任取一條1. 設(shè)曲面設(shè)曲面的方程為的方程為F(x, y, z) = 0的情形的情形隱式方程隱式方程二、曲面的切平面與法線),(000zyxM ,),(000 zyxM函數(shù)F(x, y, z)的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同 ,0tt )(),(),(000tztytx 且且點(diǎn)M 對(duì)應(yīng)于參數(shù) 不全為零.過點(diǎn)M 的曲線, 設(shè)其參數(shù)方程為),(),(),(tzztyytxx 時(shí)為零.過點(diǎn)M 的曲線,過點(diǎn)M 的曲線,第14頁/共41頁16),(),(),(000tztytxT yxzO 0),( zyxF),(000zyxM T 由于曲線在曲面上, 所以, 0 F 在

11、恒等式兩端對(duì)t 求全導(dǎo)數(shù), 并令,0tt 則得 )(),(0000txzyxFx 若記向量),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲線在點(diǎn)M處切線的方向向量記為 則式可改寫成, 0 Tn即向量 Tn與與垂直. )(),(0000tyzyxFyn),(ty),(tx)(tz. 0)(),(0000 tzzyxFz第15頁/共41頁17 因?yàn)榍€因?yàn)榍€是曲面是曲面上過點(diǎn)上過點(diǎn) M 的的任意任意一條一條所有這些曲線在點(diǎn)所有這些曲線在點(diǎn) M 的切線都與同一向量的切線都與同一向量垂直垂直, 因此這些切線必共面因此這些切線必共面,稱為曲面稱為曲面在點(diǎn)在點(diǎn)M的的nyxzO 0

12、),( zyxF),(000zyxM n過點(diǎn)過點(diǎn)M且垂直于切且垂直于切法線法線, ,又是法線的方向向量.向量n稱為曲法向量法向量. .切平面,由切線形成的這一由切線形成的這一平面,平面的直線稱為曲面在點(diǎn)M的面在點(diǎn)M的n),(000zyxM 曲線,第16頁/共41頁18),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M(x0, y0 , z0)處的法向量處的法向量:切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法線方程為法線方程為.),(),(),(000000000000zyxFzzzyx

13、FyyzyxFxxzyx 所以曲面所以曲面上在點(diǎn)上在點(diǎn)M的的第17頁/共41頁19解解,3),(33azxyzzyxF 令令切平面方程法線方程; 0 azx1010azayx ), 0(),(aazyxFFFn )3, 0 ,3(22aa 例例處的處的上點(diǎn)上點(diǎn)求曲面求曲面), 0(333aaazxyz ).0( a切平面和法線方程切平面和法線方程,3yzFx ,3xzFy ,332zxyFz )1 , 0 , 1(. ayazx0)(1)(0)0(1 azayx切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法線方程為法線方

14、程為),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 0),(: zyxF曲面方程曲面方程MzyxFFFn),(, 曲面在曲面在M處的法向量處的法向量:第18頁/共41頁20842232222 yzxzxyzyx在曲面在曲面上求一點(diǎn)的坐標(biāo)上求一點(diǎn)的坐標(biāo), 使此點(diǎn)處的切平面平行于使此點(diǎn)處的切平面平行于yOz平面平面.解解 設(shè)所求點(diǎn)為設(shè)所求點(diǎn)為(x, y, z),則切平面的法向量為則切平面的法向量為)32,22,(zyxzyxzyx 由題意由題意,)32,22,(zyxzyxzyx )0 , 0 , 1(由此得由此得022 zyx. 0,2 zyx所求之點(diǎn)所求之

15、點(diǎn):).0 , 2, 4()0 , 2 , 4( 及及 032 zyx),(2zyx n)(),22(2zyx )32(2zyx 第19頁/共41頁21曲面在曲面在M處的處的切平面方程切平面方程為為, 0)()(,()(,(0000000 zzyyyxfxxyxfyx曲面在曲面在M處的處的法線方程法線方程為為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令,xxfF . 1 zF,yyfF 或,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx )1,( yxffn顯式方程顯式方程),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxF

16、nzyx 2. 曲面方程形為曲面方程形為z = f (x, y)的情形的情形第20頁/共41頁22 例例過過上所有點(diǎn)處的切平面都上所有點(diǎn)處的切平面都證明曲面證明曲面xyxze .一定點(diǎn)一定點(diǎn) 證證00e00 xyxz 則法向量為則法向量為切平面方程為0)()(e)(e )1(000000000 zzyyxxxyxyxy),(yxfz )1,( yxffn,e )1(0000 xyxy n)(,e00 xy1 設(shè)設(shè)(x0, y0, z0)是曲面上任一點(diǎn)是曲面上任一點(diǎn),0)()(,()(,(0000000 zzyyyxfxxyxfyx第21頁/共41頁230ee )1(ee )1(00000000

17、0000000 zyxxyzyxxyxyxyxyxy0 0)()(e)(e )1(000000000 zzyyxxxyxyxy0ee )1(000000 zyxxyxyxy所以這些平面都過所以這些平面都過000 xyxze 原點(diǎn).過過上所有點(diǎn)處的切平面都上所有點(diǎn)處的切平面都證明曲面證明曲面xyxze .一定點(diǎn)一定點(diǎn)第22頁/共41頁24考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)(一一), 3分分04222 zyxyxz與平面與平面曲面曲面的切平面的方程是的切平面的方程是( ).542 zyx 解解則法向量為則法向量為切平面方程為0)5()2(4)1(2 zyx),(yxfz )1,( yxffn)1,2 ,2(00 y

18、xn)1, 4 , 2( 11422200 yx, 2, 100 yx50 z即. 542 zyx平行設(shè)設(shè)(x0, y0, z0)是曲面上一點(diǎn)是曲面上一點(diǎn),第23頁/共41頁25 例例 證證, 0)().( aufczbyfaxz可微可微證明曲面證明曲面)均為常數(shù)均為常數(shù)、cb的所有的所有切平面都與一常向量平行切平面都與一常向量平行.則曲面在任一點(diǎn)處的則曲面在任一點(diǎn)處的法向量法向量:, azczbyfaxzyxF )(),(令令則則),( A nAbczbyfbcczbyfbcb )()(, 0 即即nA 所以所以, 所有的切平面均與所有的切平面均與),(bcab 常向量常向量平行平行.0),

19、(: zyxF曲面方程曲面方程MzyxFFFn),(, 曲面在曲面在M處的法向量處的法向量:1)( czbyf c n)(),(czbyfb ,ab取取, c b第24頁/共41頁263. 曲面方程為參數(shù)方程的情形曲面方程為參數(shù)方程的情形 ),(),(),(vuzzvuyyvuxx(u,v為雙參變量為雙參變量)求求(u0, v0 )對(duì)應(yīng)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M0(x0, y0 , z0)處的法向量處的法向量 固定固定v = v0, 讓讓u變變,),(),(),(000 vuzzvuyyvuxx它在它在M0處的切向量為處的切向量為),(0000zyxM 曲面曲面的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 .n得到曲面得到曲

20、面上一條所謂的上一條所謂的u 曲線曲線 us00),(vvuuuzuyux 雙切線雙切線法法第25頁/共41頁27 ),(),(),(vuzzvuyyvuxx(u,v為雙參變量為雙參變量)求求(u0, v0 )對(duì)應(yīng)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M0(x0, y0 , z0)處的法向量處的法向量 它在它在M0處的切向量為處的切向量為 ),(),(),(000vuzzvuyyvuxx),(0000zyxM 曲面曲面的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 .n vs00),(vvuuvzvyvx 同樣同樣, 固定固定u = u0, 讓讓v變變,得到另一條所謂的得到另一條所謂的v曲線曲線,曲面曲面的法向量的法向量 0Mn同時(shí)與同時(shí)與

21、 vuss,垂直垂直, 故有公式故有公式 00MvvvuuuvuMzyxzyxkjissn 雙切線法雙切線法第26頁/共41頁28,11 vzvyvx 例例 求馬鞍面求馬鞍面 1, 1, vuuvzvuyvux上上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切平面方程對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切平面方程.解解u = 1 , 得曲線得曲線, 即即v = 1, , 11 uzuyux它們?cè)邳c(diǎn)它們?cè)邳c(diǎn)(u , v) = (1, 1)處的切向量分別為處的切向量分別為 11vs 12uszbyax 2222馬鞍面在曲面上分別令在曲面上分別令 ),1 , 1(1, )1 , 1(1,切平面的法向量為切平面的法向量為 21ssn111111 kji)2 ,

22、 0 , 2( 切平面方程為切平面方程為. 01 zx,1, 1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) vu1, 0, 2 zyx雙切線法雙切線法第27頁/共41頁29 例例 求馬鞍面求馬鞍面 1, 1, vuuvzvuyvux上上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切平面方程對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切平面方程.解解將每個(gè)方程的兩端求微分將每個(gè)方程的兩端求微分, 得得,1, 1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) vu1, 0, 2 zyx0)()(,()(,(0000000 zzyyyxfxxyxfyx,dddvux ,dddvuy uvvuzddd yvuxvuzd)(21d)(21d yxzd0dd , 1)0 , 2( xz, 0)0 , 2( yz切平面方程為切平面方程為. 01

23、 zx全微分法全微分法第28頁/共41頁308),(222 zyxzyxF令)2 , 3, 1(2 )2 , 3, 1( 解解的的在點(diǎn)在點(diǎn)求曲線求曲線)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 切線方程和法平面方程切線方程和法平面方程.垂直于垂直于2222228zyxzyx 和和曲面曲面)2,3, 1()2 ,2 ,2(zyx 1n曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn))2 , 3, 1(0P.210nnP和和的法向量的法向量在點(diǎn)在點(diǎn) 例例 當(dāng)空間當(dāng)空間曲線方程為曲線方程為一般式時(shí)一般式時(shí),求切向量曾求切向量曾采用了采用了推導(dǎo)推導(dǎo)法法.處切線向量 再用再用向量代數(shù)法向量代數(shù)法做此題做此題. .應(yīng)應(yīng)同時(shí)同時(shí)s

24、第29頁/共41頁31 21nns)2, 3, 1()2 , 3, 1( )0, 4, 34( )0 ,33, 1( 令222),(zyxzyxG )2,3, 1()2,2,2(zyx )2, 3, 1(2 )2, 3, 1( 的的在點(diǎn)在點(diǎn)求曲線求曲線)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 切線方程和法平面方程切線方程和法平面方程.)2 , 3, 1( 1n 2n 例例第30頁/共41頁32的的在點(diǎn)在點(diǎn)求曲線求曲線)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 切線方程和法平面方程切線方程和法平面方程. 解解 雙切平面法雙切平面法 由于兩曲面的交線的切線等于兩曲面的切平面的交線

25、, 所以求出兩曲面在點(diǎn)P0處的切平面方程, 再將兩切平面方程聯(lián)立即為所求.),2 , 3, 1(1 n),2, 3, 1(2 n 0)2(2)3(3)1(1 zyx0)2(2)3(3)1(1 zyx0823 zyx 023 zyx第31頁/共41頁33一元函數(shù)微分的一元函數(shù)微分的(如圖)xxfyd)(d0 三、全微分的幾何意義對(duì)應(yīng)的增量.增量時(shí);當(dāng)y是曲線的縱坐標(biāo)dy就是切線縱坐標(biāo) xyO)(xfy T0 xM xx0 N PQy ydx 幾何意義第32頁/共41頁34)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 因?yàn)榍嬖谝驗(yàn)榍嬖贛處的切平面方程處的切平面方程:全微分的幾何意

26、義全微分的幾何意義表示表示平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量.切平面切平面上點(diǎn)的上點(diǎn)的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo)的增量的增量曲面曲面z = f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0, z0)處的切處的切z = f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)的全微分的全微分,切平面切平面曲面曲面z = f (x, y)0P),(00yyxx ),(00yxx ),(000yxM),(00yyx z zd函數(shù)函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)的全微分的全微分第33頁/共41頁35),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff 或或)1,( yxff法向量法向量 ,若若表示曲面的法向量的方向角表示曲面的法向量的方向角,并假定并假定法向量的方向是向上法向量的方向是向上的的, 即使得它與即使得它與z 軸的正向所成的角 是銳角, 則法向量的則法向量的方向余弦為n)1 ,(yxffn 第34頁/共41頁36求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面122 yxz因?yàn)橐驗(yàn)?第三個(gè)分量為負(fù)第三個(gè)分量為負(fù)),解, 1),(22 yxyxf而而Pyxff)1,( )1,2 ,2( yx).1 ,2,2(yx 為向下的法向量故向上的法向量應(yīng)為:在任意點(diǎn)