線性代數(shù)復(fù)習(xí)課新

1、返回 上頁 下頁 結(jié)束 第一章復(fù)習(xí)第一章復(fù)習(xí) 矩陣及其運算矩陣及其運算 (加法，數(shù)乘，乘法，冪，轉(zhuǎn)置) 特殊矩陣特殊矩陣 零矩陣，單位矩陣，對角矩陣，三角矩陣，對稱矩陣，行矩陣(向量), 列矩陣(向量) 矩陣乘法運算的可行性矩陣乘法運算的可行性nmnppmCBA A 的列數(shù)= B 的行數(shù)! 矩陣乘法一般不成立交換律，消去律矩陣乘法一般不成立交換律，消去律AB = BA BA = CA B = C 一般情況下: AB = O A = O 或 B = O 返回 上頁 下頁 結(jié)束 行列式的計算行列式的計算1.二、三階行列式的對角線法則二、三階行列式的對角線法則2.矩陣的余子式和代數(shù)余子式矩陣的余子式

2、和代數(shù)余子式3.行列式的按行或按列展開計算（行列式的按行或按列展開計算（Laplace展開展開定理）定理）4.利用行列式的性質(zhì)計算利用行列式的性質(zhì)計算一般結(jié)合3,4，先利用行列式的性質(zhì)化零，再按照零元素多的行或列展開計算返回 上頁 下頁 結(jié)束 矩陣的初等變換矩陣的初等變換1.利用初等行變換將矩陣化為階梯矩陣?yán)贸醯刃凶儞Q將矩陣化為階梯矩陣2.利用初等行變換將矩陣化為行標(biāo)準(zhǔn)形利用初等行變換將矩陣化為行標(biāo)準(zhǔn)形3.利用初等行變換求矩陣的秩利用初等行變換求矩陣的秩返回 上頁 下頁 結(jié)束 逆矩陣逆矩陣1BAEAB 矩陣可逆的充要條件是矩陣的行列式不為零矩陣可逆的充要條件是矩陣的行列式不為零 矩陣可逆的充

3、要條件是矩陣的秩等于其階數(shù)矩陣可逆的充要條件是矩陣的秩等于其階數(shù)1.利用伴隨矩陣求逆矩陣（利用伴隨矩陣求逆矩陣（2階或簡單階或簡單3階階）11AAA2.利用初等行變換求逆矩陣?yán)贸醯刃凶儞Q求逆矩陣)()(1AEEA3.利用恒等變換求逆矩陣?yán)煤愕茸儞Q求逆矩陣EAEA )()(或或則則 1A返回 上頁 下頁 結(jié)束 克拉默法則克拉默法則11212111bxaxaxann22222121bxaxaxannnnnnnnbxaxaxa2211的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式 則方程組則方程組 有唯一解有唯一解:DDxDDxDDxnn,22110212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD若線性方程組

4、若線性方程組返回 上頁 下頁 結(jié)束 齊次線性方程組齊次線性方程組11 112210nna xa xa x21 122220nna xa xa x1 1220nnnnna xa xa x有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式 1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa返回 上頁 下頁 結(jié)束 第二章復(fù)習(xí)第二章復(fù)習(xí) 線性方程組有解判定條件線性方程組有解判定條件n 元線性方程組元線性方程組 Axb, )AA b（為增廣矩陣為增廣矩陣) 無解無解 有唯一解有唯一解 有無窮多解有無窮多解 ( )( )R AR A( )( )R AR An( )( )R AR An

5、 齊次線性方程組有非零解的充要條件是齊次線性方程組有非零解的充要條件是( )R An返回 上頁 下頁 結(jié)束 求解線性方程組的一般步驟：求解線性方程組的一般步驟：1. 對給定的線性方程組，對給定的線性方程組，寫出寫出它的它的增廣矩陣，增廣矩陣，利用利用初等行變換，初等行變換，將其將其化為階梯矩陣或行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣；化為階梯矩陣或行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣；2. 根據(jù)增廣矩陣和系數(shù)矩陣的根據(jù)增廣矩陣和系數(shù)矩陣的秩秩以及線性方程組的以及線性方程組的可解條件，可解條件，分析分析給定的線性方程給定的線性方程解的情況解的情況；3. 當(dāng)線性方程組有唯一解時，直接當(dāng)線性方程組有唯一解時，直接寫出其解寫出其解；當(dāng)線性；當(dāng)線性方程

6、組有無窮多個解時，由行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣還原成方程組，方程組有無窮多個解時，由行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣還原成方程組，再確定自由變量，寫出其再確定自由變量，寫出其通解通解。返回 上頁 下頁 結(jié)束 求解齊次線性方程組的一般步驟：求解齊次線性方程組的一般步驟：1. 對給定的線性方程組，對給定的線性方程組，寫出寫出它的系數(shù)矩陣，利用它的系數(shù)矩陣，利用初等行變換，初等行變換， 將其將其化為階梯矩陣或行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣；化為階梯矩陣或行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣；2. 由行階梯矩陣或行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣由行階梯矩陣或行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣求求出系數(shù)矩陣的出系數(shù)矩陣的秩秩,判斷判斷 給定的齊次線性方程給定的齊次線性方程是否有非零解是否有非零解；3. 當(dāng)齊次線性方程組

7、有唯一解時，只有零解；否則，當(dāng)齊次線性方程組有唯一解時，只有零解；否則，由行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣還原成方程組，再確定自由變量，寫出其由行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣還原成方程組，再確定自由變量，寫出其通解通解。返回 上頁 下頁 結(jié)束 向量與向量組向量與向量組 向量經(jīng)向量組線性表出向量經(jīng)向量組線性表出 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性1.其中存在一個向量可經(jīng)其余向量線性表出其中存在一個向量可經(jīng)其余向量線性表出2.存在向量組的非零線性組合使之等于零存在向量組的非零線性組合使之等于零 向量組的線性無關(guān)性（不是線性相關(guān)的）向量組的線性無關(guān)性（不是線性相關(guān)的）1.若向量組的線性組合等于零，則組合系數(shù)全若向量組的線性組合等于零，

8、則組合系數(shù)全為零為零返回 上頁 下頁 結(jié)束 sAR)(110sskk有非零解。有非零解。 線性線性相相關(guān)關(guān) 只有零解。只有零解。 線性線性無無關(guān)關(guān) 齊次線性方程組齊次線性方程組 1,s 齊次線性方程組齊次線性方程組 1,s12,.sA ( ),R As其中其中A為系數(shù)矩陣：為系數(shù)矩陣： 110sskk返回 上頁 下頁 結(jié)束 向量組的線性相關(guān)性判別方法向量組的線性相關(guān)性判別方法方法方法1: 對矩陣對矩陣 12(,)s作初等行變換作初等行變換 12,s秩小于小于s 時時, 線性相關(guān)線性相關(guān)等于等于s 時時, 線性無關(guān)線性無關(guān)方法方法2:當(dāng)向量維數(shù)當(dāng)向量維數(shù) n = 向量個數(shù)向量個數(shù) n 時時, 利

9、用行列式利用行列式 12,n= 0 , 線性相關(guān)線性相關(guān) 0, 線性無關(guān)線性無關(guān)返回 上頁 下頁 結(jié)束 向量組的最大線性無關(guān)組向量組的最大線性無關(guān)組1.本身線性無關(guān)本身線性無關(guān)2.和向量組等價和向量組等價返回 上頁 下頁 結(jié)束 及其它向量用該及其它向量用該最大無關(guān)組的線性表出式的方法：最大無關(guān)組的線性表出式的方法：的一個最大線性無關(guān)組，的一個最大線性無關(guān)組，求一般向量組求一般向量組s,21),(21sA第一步：第一步：對矩陣對矩陣施行初等行變換施行初等行變換B化為行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣化為行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣則該向量組線性無關(guān)，則該向量組線性無關(guān)，s,21的一個最大無關(guān)組的一個最大無關(guān)組. .A零元所在列對應(yīng)的

10、矩陣零元所在列對應(yīng)的矩陣的相應(yīng)列構(gòu)成的向量組為向量組的相應(yīng)列構(gòu)成的向量組為向量組BrAR)(,rs第二步：第二步：令矩陣令矩陣的非零行數(shù)的非零行數(shù), , 如果如果B第四步第四步: : 位于其它各列的向量由最大無關(guān)組線性表出位于其它各列的向量由最大無關(guān)組線性表出的組合系數(shù)即為行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的組合系數(shù)即為行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣B對應(yīng)列的相應(yīng)分量對應(yīng)列的相應(yīng)分量. . 則它的一個最大無關(guān)組就是它本身則它的一個最大無關(guān)組就是它本身. .矩陣矩陣 B第三步：第三步：當(dāng)當(dāng)?shù)拿恳粋€非零行的第一個非的每一個非零行的第一個非,rs返回 上頁 下頁 結(jié)束 齊次線性方程組基礎(chǔ)解系齊次線性方程組基礎(chǔ)解系1.本身由解向量組成，且線

11、性無關(guān)本身由解向量組成，且線性無關(guān)2.任何解均可由其線性表出任何解均可由其線性表出返回 上頁 下頁 結(jié)束 求基礎(chǔ)解系和齊次方程組通解的步驟：求基礎(chǔ)解系和齊次方程組通解的步驟：1. 先將系數(shù)矩陣經(jīng)過行初等變換化為行標(biāo)準(zhǔn)型；先將系數(shù)矩陣經(jīng)過行初等變換化為行標(biāo)準(zhǔn)型；2. 非零行中第一個非零元所在列的未知元（非零行中第一個非零元所在列的未知元（r 個）留個）留下，其余未知元作為自由變量（下，其余未知元作為自由變量（nr個）；個）；3. 分別令自由變量中某一個取分別令自由變量中某一個取1，其余全取零，得到，其余全取零，得到 nr個解向量。這些解向量即構(gòu)成一個基礎(chǔ)解系；個解向量。這些解向量即構(gòu)成一個基礎(chǔ)解

12、系；4. 通解即為基礎(chǔ)解系中向量的線性組合。通解即為基礎(chǔ)解系中向量的線性組合。返回 上頁 下頁 結(jié)束 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)的通解為 x齊次方程通解非齊次方程特解Axb 非齊次線性方程組的求解過程非齊次線性方程組的求解過程1.求齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系（可得通解）求齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系（可得通解）2.求非齊次線性方程組的一個特解（如令求非齊次線性方程組的一個特解（如令自由變量全為零）自由變量全為零）返回 上頁 下頁 結(jié)束 第三章復(fù)習(xí)第三章復(fù)習(xí)二次型二次型 二次型的表示法二次型的表示法T( )f xx Ax (A為對稱矩陣) 二次型的矩陣二次型的矩陣對稱矩陣

13、 A 二次型的秩二次型的秩矩陣 A 的秩 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二次型的標(biāo)準(zhǔn)形T( )f yyy (為對角矩陣) 可逆的線性變換可逆的線性變換xCy (C為可逆的矩陣) 二次型二次型T( )f xx Ax經(jīng)可逆的線性變換經(jīng)可逆的線性變換xCy化為化為T( )f yy By，則則TBC AC (合同關(guān)系) 返回 上頁 下頁 結(jié)束 特征值與特征向量的概念特征值與特征向量的概念A(yù)(0) ： A 的的特征值特征值矩陣矩陣A的對應(yīng)于特征值的對應(yīng)于特征值 的的特征向量特征向量：特征值與特征向量的求法特征值與特征向量的求法:第一步第一步. 特征方程特征方程 求求 A 的所有特征值的所有特征值 i 0AE第二步第二步

14、. 通過求齊次線性方程組通過求齊次線性方程組 ()0iAE x的基礎(chǔ)解系可求出對應(yīng)于的基礎(chǔ)解系可求出對應(yīng)于 i 的全體的全體特征向量特征向量 （基礎(chǔ)解系中解向量的非零線性組合）（基礎(chǔ)解系中解向量的非零線性組合）返回 上頁 下頁 結(jié)束 特征值與特征向量的性質(zhì)特征值與特征向量的性質(zhì)A(0) k 為為kA的特征值的特征值 m 為為Am 的特征值的特征值 A 可逆時可逆時, .1, 01的特征值為A 矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān) )(tr121Aanii inAn21 返回 上頁 下頁 結(jié)束 向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積1( ,)nkkkx y TT1212(

15、,) ,(,)nnx xxy yy其中 向量間的長度（大小或模）向量間的長度（大小或模）| |( , ) 單位向量單位向量| |1 非零向量間的夾角非零向量間的夾角, 滿足關(guān)系滿足關(guān)系( ,)cos,| | 向量向量, ,正交的充要條件是正交的充要條件是( ,)0 返回 上頁 下頁 結(jié)束 正交規(guī)范向量組正交規(guī)范向量組13,s 0,1,kiikik （）(兩兩正交兩兩正交) (都是單位向量都是單位向量) 通過線性無關(guān)向量組求等價的正交規(guī)范向量組通過線性無關(guān)向量組求等價的正交規(guī)范向量組的方法的方法施米特正交規(guī)范化方法施米特正交規(guī)范化方法 1. 正交化正交化 2. 單位化（規(guī)范化）單位化（規(guī)范化）返

16、回 上頁 下頁 結(jié)束 設(shè)線性無關(guān)向量組：設(shè)線性無關(guān)向量組：123,. 第一步第一步. 正交化正交化: 111222111(,)(,) 1221(,) 132333121122(,)(,)(,)(,) 第二步第二步. 規(guī)范化規(guī)范化: kkk(1,2,3)k 返回 上頁 下頁 結(jié)束 正交矩陣正交矩陣 ATA AET1AAA 的列向量為正交規(guī)范向量組的列向量為正交規(guī)范向量組 A 的行向量為正交規(guī)范向量組的行向量為正交規(guī)范向量組 正交矩陣正交矩陣 A可逆可逆11A 或 正交變換正交變換 x = PyP 為正交矩陣為正交矩陣 正交變換正交變換 x = Py 保持長度不變保持長度不變yx返回 上頁 下頁

17、結(jié)束 相似關(guān)系相似關(guān)系-1BC AC 相似矩陣有相同的特征值相似矩陣有相同的特征值 實對稱矩陣的特征值全為實數(shù)實對稱矩陣的特征值全為實數(shù) 實對稱矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量正交實對稱矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量正交 二次型可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形二次型可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形 實對稱矩陣相似于一個對角矩陣實對稱矩陣相似于一個對角矩陣u 二次型的矩陣的特征值構(gòu)成該標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣的對角元二次型的矩陣的特征值構(gòu)成該標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣的對角元u 二次型的矩陣的正交規(guī)范特征向量組構(gòu)成正交變換矩陣的列二次型的矩陣的正交規(guī)范特征向量組構(gòu)成正交變換矩陣的列返回 上頁 下頁 結(jié)束 二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形的方法二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形

18、的方法u 配方法配方法u 正交變換法正交變換法返回 上頁 下頁 結(jié)束 u 配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟（以配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟（以3元二元二次型為例）次型為例）首先：將含有首先：將含有x1的項和在一起，進(jìn)行配方的項和在一起，進(jìn)行配方其次：將剩余的項中含有其次：將剩余的項中含有x2的項和在一起，進(jìn)行配方的項和在一起，進(jìn)行配方然后：由于剩下的項僅含有然后：由于剩下的項僅含有x3的平方項，二次型已的平方項，二次型已經(jīng)化成了標(biāo)準(zhǔn)形，寫出相應(yīng)的可逆的線性變換經(jīng)化成了標(biāo)準(zhǔn)形，寫出相應(yīng)的可逆的線性變換xCy注意：若果二次型只有交叉項，則需先進(jìn)行一注意：若果二次型只有交叉項，則需先進(jìn)行一次可逆線性變換

19、，使之變換之后含有平方項次可逆線性變換，使之變換之后含有平方項返回 上頁 下頁 結(jié)束 u 正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟（以正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟（以3元二次型為例）元二次型為例）1.寫出二次型的矩陣寫出二次型的矩陣 A （對稱）（對稱）2.求出矩陣求出矩陣 A 的特征值的特征值 （構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣的（構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣的對角元）對角元）3.對于每個特征值，求出特征向量滿足的齊次方對于每個特征值，求出特征向量滿足的齊次方程組的基礎(chǔ)解系并將其正交化、單位化程組的基礎(chǔ)解系并將其正交化、單位化4.寫出正交變換矩陣寫出正交變換矩陣 P （其列由上述正交規(guī)范的（其列由上述正交規(guī)范的特征向量組成）特征向量組成）5.寫出正交變換寫出正交變換和二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和二次型的標(biāo)準(zhǔn)形返回 上頁 下頁 結(jié)束 在第在第3步中，可能有下面三種情況步中，可能有下面三種情況1.三個特征值互不相同，此時對應(yīng)的三個特三個特征值互不相同，此時對應(yīng)的三個特征向量征向量必正交必