回歸分析、方差分析、統(tǒng)計(jì)優(yōu)化

1、概率統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)模型新 鄉(xiāng) 學(xué) 院 1、保險(xiǎn)儲備策略問題、保險(xiǎn)儲備策略問題 某企業(yè)每年耗用某種材料3650件，每日平均耗用10件，材料單價(jià)10元，一次訂購費(fèi)每件25元，每件年儲存費(fèi)2元，每件缺貨一次費(fèi)用4元，平均交貨期10天，交貨期內(nèi)不同耗用量X的概率分布如下表所示，試求使用平均費(fèi)用達(dá)到最小的訂貨量、訂購次數(shù)及含有保險(xiǎn)儲量的最佳訂貨點(diǎn)。 Xi80859095100105110115120125130Pi0.010.020.0040.020.01/*數(shù)學(xué)建模步驟: (1)問題分析及模型的建立: a、求最佳訂貨量及訂貨次數(shù); b、求最佳訂貨點(diǎn)和保險(xiǎn)儲備量

2、(2) 模型的Matlab實(shí)現(xiàn)方法*/(1)問題分析及模型的建立 名詞解釋：保險(xiǎn)儲備是指企業(yè)在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，按照某一經(jīng)濟(jì)訂貨批量，在訂貨點(diǎn)發(fā)出訂貨單后，如果需求增大或送貨延遲，就會(huì)發(fā)生缺貨或供貨中斷。為防止由此造成的損失，需要多儲備一些存貨以備應(yīng)急之需，稱為保險(xiǎn)儲備。這些存貨在正常情況下不動(dòng)用，只有當(dāng)存貨過量使用或送貨延遲時(shí)才使用。 假設(shè)：）;/(C ）；/(21天件元儲存費(fèi)次元訂購費(fèi)C);/();/(3件元單價(jià)件次元缺貨費(fèi)UC;訂購量訂貨周期日平均需求量年需求量QTRD。B;L；S;保險(xiǎn)儲備量平均送貨期訂貨點(diǎn)訂購次數(shù)Na、求最佳訂貨量及訂貨次數(shù) 貨物訂貨量 Q=RT 記任意時(shí)刻t的庫存量為q(

3、t) ,則有： q(t+t)=q(t)-Rt,0ts Q(j)=X(j)-s; else Q(j)=0; end end Q; E(i)=Q*P; C(i)=n*g*E(i); H(i)=h*B(i); T(i)=C(i)+H(i); end E,C,R,T;Mint=min(T); 運(yùn)算結(jié)果為：E=（5.6000 3.000 1.4000 0.55000 0.2000 0.50 0) C=268.800 144.000 67.200 26.400 9.600 2.400 0 H=0 50 100 150 200 250 300 T=26.800 194.000 167.200 176.400

4、 209.600 252.400 300.00 minT=167.2000, B*=10,S*=10. 結(jié)果： （1）不采用儲存策略，缺貨費(fèi)用較多； （2）保存較多的庫存量，儲備費(fèi)用較多； （3）建立合理的保險(xiǎn)儲備量，則企業(yè)的年度平均費(fèi)用最少. 2、回歸分析商品銷量與價(jià)格的關(guān)系 某廠生產(chǎn)的一種電器的銷量y與競爭對手的價(jià)格x1和本廠的價(jià)格x2有關(guān)，下表是該商品在10個(gè)城市的銷售記錄，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立y與x1、x2的關(guān)系式。若某市本廠產(chǎn)品銷價(jià)160元，競爭對手銷價(jià)170元，預(yù)測商品在該市的銷量.x1/元120140190130155175125145180150X2/元1001109015021

5、0150250270300250y/個(gè)10210012077469326696585（1）模型的建立 將(x1,y)和(x2,y)各10個(gè)點(diǎn)繪成散點(diǎn)圖，可以看出y與x2有比較明顯的線性關(guān)系，而y與x1之間的關(guān)系則難以確定，用回歸分析進(jìn)行研究(plot(x,y,:r+) 回歸分析的類型: 最簡單形式:y=b0 + b1x 多元形式:y=b0 + b1x1 + b2x2 + + bmxm 更一般形式: (多元線性回歸的標(biāo)準(zhǔn)形) y=b0 + b1f1(x) + b2f2(x) + bmfm(x) 其中m2,x=(x1,x2, ,xm),fj是已知函數(shù) b=(b0,b1, ,bm)為回歸系數(shù) 在回歸

6、分析中自變量x=(x1,x2, ,xm)是影響變量y的主要因素,是能夠被控制和觀察的,且還受到隨機(jī)因素干擾,可以合理假設(shè)這種干擾服叢正態(tài)分布,模型記為:)(0,2110Nxbxbbymm 其中未知,現(xiàn)在得到n個(gè)獨(dú)立觀察數(shù)據(jù)(yi,xi1,xi2,xim),i=1、2、n),nm 由模型得:n、2、1),(0,2110iNxbxbbyiiimmii 記TmnnnmmnbbbyyYxxxxX),(,1110111111 則回歸模型的矩陣形式為：), 0(2NXy 由以上分析，對于商品銷售量與價(jià)格的回歸模型為：22110 xbxbby (2)模型在Matlab中的實(shí)現(xiàn)方法 命令形式： b=regre

7、ss(Y,X) /*求解多元線性回歸*/ b,bint,r,rint,stays=regress(Y,X,alpha) 實(shí)現(xiàn)方法： X1=120 140 190 130 155 175 125 145 180 150; X2=100 110 90 150 210 150 250 270 300 250; Y=102 100 120 77 46 93 26 69 65 85; X=ones(10,1) x1 x2; b,bint,r,rint,stays=regress(Y,X,alpha) 3、單因素方差分析廣告宣傳對產(chǎn)品銷售量的影響 某公司為了研究三種內(nèi)容的廣告宣傳對某種洗衣機(jī)銷售量的影響，

8、進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)調(diào)查，經(jīng)過廣泛宣傳后，按寄回的廣告上的訂購計(jì)算，一年四個(gè)季度的銷售量統(tǒng)計(jì)如下表所示：季度季度廣告類型廣告類型A1A2A31163184206217619819131701792184185190224 其中A1是強(qiáng)調(diào)運(yùn)輸方便性的廣告；A2是強(qiáng)調(diào)節(jié)省能源的經(jīng)濟(jì)廣告；A3是強(qiáng)調(diào)噪音低的優(yōu)良廣告.試問哪一種類型的廣告促進(jìn)洗衣機(jī)銷量增加所起的宣傳效果最好？ (1) 問題分析及模型的建立 單因素方差分析： 若只考慮一個(gè)因素對實(shí)驗(yàn)指標(biāo)的影響，而用方差進(jìn)行分析，這種這種方法稱為單因素方差分析。方差分析的主要目的是通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析推斷因素A對實(shí)驗(yàn)指標(biāo)影響是否顯著，即當(dāng)因素A取不同水平的實(shí)驗(yàn)指標(biāo)有無顯

9、著差異。 假設(shè)檢驗(yàn)的因子有m種水平，X1，X2，Xm是m個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)總體，分別服從于N（ i i，2）， i=1,2, ,m； 另外，xij（ i=1,2, ,m ；j=1,2ni,)是抽得的分別服從于正態(tài)分布的簡單隨機(jī)樣本。 單因素方差分析模型是： xij = i + ij ij N(0，2) ) 對于上述模型中所提出的多個(gè)正態(tài)總體均值是否相等的問題，提出假設(shè)檢驗(yàn)： H0: 1 =2 = m 定義平方和分解公式)()()(1,1,2111212112111QQxxxxxxQxnnxxnxnnmimiinjiijminjijmiiinjijiimiiiii 其中Q1為內(nèi)差平方和，Q1是反映

10、數(shù)據(jù)xij在抽樣過程中產(chǎn)生總的程度的一個(gè)評價(jià)指標(biāo)。Q2是各組平均值與總平均值的離差平方和。通過Q2取值的大小可以反映原假設(shè)H0是否成立 構(gòu)造F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：)() 1(12mnQmQFF(m-1，n-m) 檢驗(yàn)方法：給定顯著水平，當(dāng)FF(m-1,n-m)時(shí)，則拒絕H0，其方差分析表如下所示：方差來源平方和自由度方差F值因子Q2m-1s22=Q2/(m-1)s22/s12誤差Q1n-ms12=Q1/(n-m)總和QN-1s22=Q/(n-1) 方差分析一般用的顯著性水平是： 取=0.01、0.05 概念解釋：洗衣機(jī)銷售是一個(gè)試驗(yàn)指標(biāo)，新聞廣告是影響試驗(yàn)指標(biāo)的一個(gè)因素A，三個(gè)不同廣告內(nèi)容可以看種不

11、同狀態(tài)，稱為水平，記為A1，A2，A3，該試驗(yàn)是一個(gè)單因子三水平的試驗(yàn)。 試驗(yàn)分析： I、雖然用同一種廣告，但在同一年里不同季度的銷售量不同，分析原因可以認(rèn)為是由于其他隨機(jī)原因造成。 II、不同的新聞廣告引起洗衣機(jī)銷售量的不同，可能是廣告內(nèi)容的不同所致，也可能是其他隨機(jī)因素所致。 III、由于存在其他隨機(jī)因素，為了便于簡化與可操作性，假設(shè)這些隨機(jī)因素對洗衣機(jī)銷售量的影響是次要的，并且假設(shè)三種廣告類型為三種不同的總體，由于經(jīng)常遇到的是正態(tài)總體，因此，假定它們分別是方差相同的正態(tài)總體。 所以該問題是一個(gè)單因素方差分析模型。 (2) 模型求解及Matlab中的實(shí)現(xiàn)方法 單因素方差分析 anova1(

12、): 命令形式：p=anova1(X) 其中X為mn階的矩陣。 功能：返回p=PFF(m-1,n-1),當(dāng)p時(shí)，表示接收H0。 模型求解命令： fm=163 184 206 ；176 198 191；170 179 218；185 190 224； anova1(fm). 其運(yùn)算結(jié)果為：ans=0.0039(p值）其方差分析表如下：SourceSSdfMSFProbFColums2668.1721334.0810.930.0039Error1098.59122.06Total3766.6711 由計(jì)算結(jié)果知 p=0.0039=0.05，故拒絕H0。查表可求得F0.05(2,9)=4.26F=1

13、0.93,所以拒絕H0 認(rèn)為不同類型的廣告內(nèi)容對洗衣機(jī)銷售有顯著影響。 最好廣告形式的確定方法： 定義 minmiimiii, 2 , 1,11 i 稱為第i個(gè)水平對試驗(yàn)結(jié)果的效應(yīng)值， i 反映第i個(gè)水平因子對試驗(yàn)指標(biāo)作用的大小。.,iiiiiixxxx來估計(jì)參數(shù)計(jì)值可以用點(diǎn)估的無偏估計(jì)是點(diǎn)估計(jì)值 根據(jù)上述計(jì)算可知，廣告內(nèi)容對洗衣機(jī)銷量有顯著影響，因此計(jì)算出各水平效應(yīng)值如下：42.1933.19075.20958. 233.19075.18783.1633.1905 .173332211xxxxxx 效應(yīng)值3最大，說明廣告A3引起的洗衣機(jī)銷量最多，即廣告A3對洗衣機(jī)銷量所起的宣傳效果最好。 4

14、、統(tǒng)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì) 安裝在汽車頭部的車燈的形狀為一旋轉(zhuǎn)拋物面，車燈的對稱軸水平地指向正前方，其開口半徑為36mm，深度為21.6mm。經(jīng)過車燈的焦點(diǎn)，在與對稱軸相垂直的水平方向，對稱地放置一定長度的均勻分布的線光源要求在某一設(shè)計(jì)規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)下確定線光源的長度 該設(shè)計(jì)規(guī)范簡化為：在焦點(diǎn)F正前方25m處的A點(diǎn)放置一測試屏,屏與FA垂直,用以測試車燈的反射光.在屏上過A點(diǎn)引出一條與地面相平行的直線,在該直線A點(diǎn)的同側(cè)取B點(diǎn)和C點(diǎn),使AC=2AB=2.6m,要求C點(diǎn)的光強(qiáng)度不小于某一額定值,B點(diǎn)的光強(qiáng)度不小于該額定值的兩值. 試解決下列問題: (1) 在滿足設(shè)計(jì)規(guī)范的條件下,計(jì)算線光源長度

15、,使線光源的功率最小. (2) 對得到的線光源長度,在有標(biāo)尺的坐標(biāo)系中繪出測試屏上反射光的亮區(qū). (3)討論該設(shè)計(jì)規(guī)范的合理性. (1) 模型的建立 建立坐標(biāo)系如下圖所示,記線光源長度為L,功率為W、B、C點(diǎn)的點(diǎn)光源強(qiáng)度分別為hB(L)W, hC(L)W, hB(L)、 hC(L)待求。 車燈反射面方程為z=(x2+y2)/60,焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0，15）。 1、位于點(diǎn)P（0，w，15）單位能量的點(diǎn)光源反射到點(diǎn)C（0，2600，25015）的能量 設(shè)反射點(diǎn)的坐標(biāo)為Q(x,y, (x2+y2)/60),a為入射向量，該點(diǎn)反射面外法線方向?yàn)閎,則反射向量 c=a - (2ab)b/|b|2xyzc

16、abAFBCoQ.)900(6081000036001800,900)9002(,9002c:),(cc) 1,30,30(),1560rw,-y(x,a,r2242222xx2222rwyrrcrrywcrxywccyxbyxzyzy的表達(dá)式可得由記wyrkcykcxzy2900r-k0 x，k6025015,2600,kc：，C22x或從上述公式解得為常數(shù)其中應(yīng)有點(diǎn)注意到反射光通過223459005200)2600(133750021060000001350810000)8100009360000()46800001498200(1800)2600(y0 x:yyxwwywywywyyw中

17、以下兩組方程由此可得反射點(diǎn)坐標(biāo)滿. 2 , 1),60, 0(,ww.36rww,56. 1w，2iC022C0C0iyyQ，ii有兩個(gè)反射點(diǎn)時(shí)而當(dāng)即無反射點(diǎn)的實(shí)根第一組方程不存在滿足時(shí)當(dāng)存在通過計(jì)算可知.),60 xy,x,(36r-1.5609w3.8119-432222，QQy，記為反射點(diǎn)即有兩個(gè)的一對實(shí)根存在滿足時(shí)而第二組方程僅當(dāng).QC60r-25015cosz.4cosMCQw,15)P(0,z),y,Q(x,22軸的夾角為反射向量與而點(diǎn)有能量密度為點(diǎn)反射到單位能量點(diǎn)光源經(jīng)的則位于若反射點(diǎn)的坐標(biāo)為PQ 2、hB(L)、hC(L)的表達(dá)式 長L的具有單位能量的線光源位于點(diǎn)P(0,w,1

18、5)的長dw的微小線光源段反射到C點(diǎn)的能量密度為4 , 3,5609. 1,8119. 3, 0,5609. 1,8119. 3,4cos)(2 , 1,30, 0,2,4cos)(f/ )()(20002i41iwwPQwfiwwwLwPQwLwfwEiiiCCiiii其中相應(yīng)的反射點(diǎn)方程為的表達(dá)式同理可得點(diǎn)的能量密度為反射到的具有單位能量的光線長，LdwwELLL)(h)()(h:CLB22C.0.7800005-0.1906,-w,78. 0w9005200)2600(133750021060000001350810000)8100009360000()46800001498200(1800)2600(y0 xC022345點(diǎn)的范圍為而第二組