金融工程課件16復(fù)習(xí)課程

1、金融工程課件161.1.敲出障礙期權(quán)（敲出障礙期權(quán)（Knock-out OptionsKnock-out Options）：）：當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格達(dá)到一個特定的障礙水平時，該期權(quán)作廢（即被“敲出”）；如果在規(guī)定時間內(nèi)資產(chǎn)價格并未觸及障礙水平，則仍然是一個常規(guī)期權(quán)。2.2.敲入障礙期權(quán)（敲入障礙期權(quán)（Knock-in OptionsKnock-in Options）：）：正好與敲出期權(quán)相反，只有資產(chǎn)價格在規(guī)定時間內(nèi)達(dá)到障礙水平，該期權(quán)才得以存在（即“敲入”），其回報與相應(yīng)的常規(guī)期權(quán)相同；反之該期權(quán)作廢。在此基礎(chǔ)之上，我們可以通過考察障礙水平與標(biāo)的資產(chǎn)初始價格的相對位置，進(jìn)一步為障礙期權(quán)分類： 1.如

2、果障礙水平高于初始價格，則我們把它叫做向上期權(quán)向上期權(quán)。 2.如果障礙水平低于初始價格，則我們把它叫做向下期權(quán)向下期權(quán)。將以上分類進(jìn)行組合，我們可以得到諸如向下敲出看漲期權(quán)向下敲出看漲期權(quán)（Down-and-out Call）、向下敲入看跌期權(quán)向下敲入看跌期權(quán)（Down-and-in Put）等組合形式。根據(jù)市場需求而變形的特殊交易條款 障礙水平的重新設(shè)定障礙水平的時間依賴性外部障礙 期權(quán)提前執(zhí)行的可能性多次觸及 障礙水平特殊交易條款折扣折扣返還返還雙重障礙 障礙期權(quán)是路徑依賴期權(quán)，它們的回報，以及它們的價值要受到資產(chǎn)到期前遵循的路徑的影響。 障礙期權(quán)是屬于弱式路徑依賴。障礙期權(quán)是屬于弱式路徑

3、依賴。我們只需要知道這個障礙是否被觸發(fā)，而并不需要關(guān)于路徑的其他任何信息。關(guān)于路徑的信息不會成為我們定價模型中的一個新增獨立變量，如果障礙水平?jīng)]有被觸發(fā)，障礙期權(quán)到期時的回報仍然和常規(guī)期權(quán)是相同的。 障礙期權(quán)障礙期權(quán)通常比常規(guī)期權(quán)便宜通常比常規(guī)期權(quán)便宜。障礙距離資產(chǎn)價格現(xiàn)價越近，期權(quán)被敲出的可能性越大，合約就越便宜。相反，一個敲入期權(quán)將會被某個相信障礙水平將會實現(xiàn)的人購買，這時期權(quán)同樣也會比相 應(yīng)的普通期權(quán)便宜。購買者可以使用它們來為某些非常特定的具有類似性質(zhì)的現(xiàn)金流保值。 亞式期權(quán)（Asian Options）是當(dāng)今金融衍生品市場上交易最為活躍的奇異期權(quán)之一。 它最重要的特點在于：其到期回報

4、依賴于標(biāo)的資產(chǎn)在 一段特定時間（整個期權(quán)有效期或其中部分時段）內(nèi)的平均價格。它屬于強式路徑依賴期權(quán)，因為這一平均價格將成為定價公式中的一個獨立狀態(tài)變量。 121.nISSSn1231lnlnlnln.lnnISSSSn平均資產(chǎn)價期權(quán) 平均執(zhí)行價期權(quán) 幾何平均 算術(shù)平均在亞式期權(quán)中，只有幾何平均期權(quán)能得到精確的解析解。幾何平均期權(quán)的解析價格公式之所以存在，是因為布萊克-舒爾斯模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格服從對數(shù)正態(tài)分布，而一系列對數(shù)正態(tài)分布變量的幾何平均值仍為對數(shù)正態(tài)分布。 幾何平均亞式期權(quán)亞式期權(quán)中更常見的情況是取算術(shù)平均，但是一系列對數(shù)正態(tài)分布值的算術(shù)平均值并不服從對數(shù)正態(tài)分布。為了解決這個問題，人

5、們采用了各種方法，但是仍然無法得到解析的定價公式。對標(biāo)的算術(shù)平均亞式期權(quán)更多的是采用數(shù)值方法或以標(biāo)的幾何平均亞式期權(quán)來近似逼近，常見的如下： 算術(shù)平均亞式期權(quán)二階矩近似法 控制方差法相似變量代換法能在價格最高點賣出，或在最低點買進(jìn)，是市場交易者夢寐以求的情形?；厮萜跈?quán)（回溯期權(quán)（Lookback OptionsLookback Options）就提供了這樣一種可能?；厮萜跈?quán)的收益依附于標(biāo)的資產(chǎn)在某個確定的時段（稱為回溯時段）中達(dá)到的最大或最小價格（又稱為回溯價），根據(jù)是資產(chǎn)價還是執(zhí)行價采用這個回溯價格，回溯期權(quán)可以分為： 固定執(zhí)行價期權(quán)固定執(zhí)行價期權(quán) 浮動執(zhí)行價期權(quán)浮動執(zhí)行價期權(quán) 回溯期權(quán)定價

6、模型中包含路徑依賴變量，屬于強式路徑依賴期權(quán)?？梢狼笆龅膹娛铰窂揭蕾嚩▋r的思路，根據(jù)連續(xù)觀測和離散觀測的不同，將回溯期權(quán)定價納入到布萊克-舒爾斯模型框架中。但回溯期權(quán)的定價和亞式期權(quán)有所不同：亞式期權(quán)中平均價必然會隨著觀測值的增加而改變，取最值的回溯價則不一定會改變 奇異期權(quán)的種類非常繁多，而且正在不斷擴(kuò)大中除了前面具體分析的三種期權(quán)，本節(jié)還將介紹其他一些常見的奇異期權(quán) 兩值期權(quán)打包期權(quán)標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)遠(yuǎn)期開始期權(quán)吶喊期權(quán)復(fù)合期權(quán)和選擇者期權(quán)多資產(chǎn)期權(quán)兩值期權(quán)（兩值期權(quán)（Binary OptionsBinary Options）也是一種基本期權(quán)，其到期回報是不連續(xù)的。其中一種是現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)

7、（Cash-or-nothing Call）。到期日時，如果標(biāo)的資產(chǎn)價格低于執(zhí)行價格，該期權(quán)沒有價值；如果高于執(zhí)行價格，則該期權(quán)支付一個固定的數(shù)額Q。期權(quán)到期時價格超過執(zhí)行價格的概率為因此現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)的價值就是相應(yīng)地現(xiàn)金或無價值看跌期權(quán)的價值是2N d2r T tQeN d2r T tQeNd 兩值期權(quán)（續(xù)） 資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)（資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)（Asset-or-nothing CallAsset-or-nothing Call）。）。如果標(biāo)的資產(chǎn)價格在到期日時低于執(zhí)行價格，該期權(quán)沒有價值；如果高于執(zhí)行價格，則該期權(quán)支付一個等于資產(chǎn)價格本身的款額。這種或有資產(chǎn)看漲期權(quán)的價值就是

8、 。 類似地，或有資產(chǎn)看跌期權(quán)的價值就是 。常規(guī)期權(quán)可以分解為兩值期權(quán)的組合。比如一份常規(guī)歐式看漲期權(quán)就等于一份或有資產(chǎn)看漲期權(quán)多頭和一份或有現(xiàn)金看漲期權(quán)空頭之和，一份常規(guī)歐式看跌期權(quán)等于一份或有資產(chǎn)看跌期權(quán)多頭和一份或有現(xiàn)金看跌期權(quán)空頭之和，其中的現(xiàn)金支付金額等于執(zhí)行價格 。 1q T tS eN d1q T tS eNd 打包期權(quán)打包期權(quán)通常是由常規(guī)的歐式期權(quán)、遠(yuǎn)期合約、現(xiàn)金和標(biāo)的資產(chǎn)等構(gòu)成的證券組合。 經(jīng)濟(jì)意義：經(jīng)濟(jì)意義：可以利用這些金融工具之間的關(guān)系，組合成符合需要的投資工具。 最常見的打包期權(quán)：具有零初始成本的期權(quán)組合。 另一種可以實現(xiàn)零初始成本的期權(quán)是延遲支付期權(quán)（Deferred

9、 Payment Options）。 原理：原理：目前不支付期權(quán)價格，到期時支付期權(quán)價格的終值。 執(zhí)行價格等于相應(yīng)資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價格時，這類延遲支付期權(quán)又叫做不完全遠(yuǎn)期、波士頓期權(quán)、可選退出的遠(yuǎn)期和可撤銷遠(yuǎn)期。 標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)在有效期內(nèi)任何時間都可執(zhí)行且執(zhí)行價格總是相同的，非標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)則對其做了一些改動： 百慕大期權(quán)（百慕大期權(quán)（Bermudan OptionsBermudan Options）只能在事先確定的時間內(nèi)提前執(zhí)行 公司發(fā)行的認(rèn)股權(quán)證（認(rèn)股權(quán)證（WarrantsWarrants）往）往往規(guī)定提前執(zhí)行的時間段，而且執(zhí)行價格也會有所不同 遠(yuǎn)期開始期權(quán)（遠(yuǎn)期開始期權(quán)（Forward

10、 Start OptionsForward Start Options）是現(xiàn)在支付期權(quán)費而在未來某時刻才開始的期權(quán) 零時刻的期權(quán)為 遠(yuǎn)期開始期權(quán)的價值與具有相同有效期的處于平價狀態(tài)的常規(guī)期權(quán)價值完全相同。 2100102r ttcS N dS eN d 吶喊期權(quán)吶喊期權(quán)(Shout Options)(Shout Options) 是一個常規(guī)歐式期權(quán)加上一個額外的特征：在整個期權(quán)有效期內(nèi)，持有者可以向空頭方“吶喊”一次。在期權(quán)到期時，期權(quán)持有者可以選擇以下兩種損益中的一種：一個常規(guī)歐式期權(quán)的回報；根據(jù)吶喊時刻的內(nèi)在價值得到的回報。吶喊期權(quán)的回報寫為其中T 是到期時刻， 是指吶喊時刻的資產(chǎn)價格。我

11、們也可以用二叉樹或三叉樹模型為吶喊期權(quán)定價，在每個結(jié)點我們都要分別計算持有者吶喊和持有者沒有吶喊的期權(quán)價值，取其大者。 整個過程很類似美式期權(quán)的定價過程。 max,0TSSSXS 復(fù)合期權(quán)：復(fù)合期權(quán)： 在 時刻給予持有者一個在特定時間 以特定價格買賣另一個期權(quán)的權(quán)利，后面這個標(biāo)的期權(quán)將在 時刻到期。復(fù)合期權(quán)是二階期權(quán)，因為復(fù)合期權(quán)給了我們對另一個衍生工具的權(quán)利。首先，為標(biāo)的期權(quán)定價假設(shè)我們的復(fù)合期權(quán)是看漲期權(quán)的看漲期權(quán)，則標(biāo)的期權(quán)價值 滿足 條件為其中 為 時刻標(biāo)的期權(quán)中的標(biāo)的資產(chǎn)理論價格， 為標(biāo)的期權(quán)執(zhí)行價格。通過以上公式計算出 時刻的標(biāo)的期權(quán)理論價值 。10tt210ttt1f222111

12、12102fffSrSrftSS12221,max,0fS tSX2S2t1X111,fS t0t1t復(fù)合期權(quán)（續(xù)）復(fù)合期權(quán)（續(xù)）然后為復(fù)合期權(quán)定價，得到 時刻的復(fù)合期權(quán)價值滿足：條件為其中 為 時刻標(biāo)的期權(quán)中的標(biāo)的資產(chǎn)價格， 為復(fù)合期權(quán)執(zhí)行價格。0t222000110211102ffffrfrftff0111110,max,0ff tfS tX1S1t0X復(fù)合期權(quán)和選擇者期權(quán)的定價模型在實際應(yīng)用方面存在著同樣的問題：期權(quán)價值對資產(chǎn)價格服從的概率分布性質(zhì)非常敏感，這些公式在實際當(dāng)中都很少直接使用，交易者常常用隨機波動率模型或是隱含波動率矩陣來定價。 （一）彩虹期權(quán)（一）彩虹期權(quán) 彩虹期權(quán)（彩虹

13、期權(quán)（Rainbow OptionsRainbow Options）是指標(biāo)的資產(chǎn)有兩種以上的期權(quán)，比如籃子期權(quán)（Basket Options）。籃子期權(quán)的回報取決于一籃子資產(chǎn)的價值。這些資產(chǎn)包括單個股票、股票指數(shù)或是外匯等?；@子期權(quán)的價值可以在高維的布萊克-舒爾斯框架中得到解釋。 建立一個包括一籃子期權(quán) 和 份各項標(biāo)的資產(chǎn)的組合，令 ，我們就可以得到無風(fēng)險組合，這樣根據(jù)布萊克-舒爾斯的建模思想，我們得到籃子期權(quán)的價值方程為：12,.,nf S SS tiiifS 211112nnniijijijiijiijfffrSS SrftSS S （二）資產(chǎn)交換期權(quán)（二）資產(chǎn)交換期權(quán) 資產(chǎn)交換期權(quán)（Ex

14、change Options）是另一種常見的多資產(chǎn)期權(quán)，它可以有多種形式：比如對于一個美國投資者而言，用澳元購買日元的期權(quán)就是用一種外幣資產(chǎn)交換另一種外幣資產(chǎn)的期權(quán)，股權(quán)收購（Stock Tender Offer）則可以看成是用一個公司的股份換取另一個公司股份的期權(quán)。 一個在 時刻用價值為 的資產(chǎn)來換取價值為 的資產(chǎn)的歐式期權(quán)，其回報為 TTUTVmax,0TTVU1.1.奇異期權(quán)的基本類型包括分拆與組合、弱式路徑依賴、強式路徑依賴、時間依賴、維數(shù)和階數(shù)。2.2.奇異期權(quán)的變化很多，并且處在不斷的衍生和變化當(dāng)中。3.3.障礙期權(quán)的回報依賴于標(biāo)的資產(chǎn)的價格在特定時間內(nèi)是否達(dá)到了一個特定的水平，一

15、般可以分為敲出期權(quán)、敲入期權(quán)、向上期權(quán)和向下期權(quán)等。障礙期權(quán)屬于弱式路徑依賴期權(quán)。4.4.亞式期權(quán)的回報依賴于標(biāo)的資產(chǎn)在一段時間內(nèi)的平均價格，回溯期權(quán)的損益則依賴于標(biāo)的資產(chǎn)在某個確定的時段中達(dá)到的最大或最小價格，它們都屬于強式路徑依賴期權(quán)。5.5.其他的奇異期權(quán)還包括兩值期權(quán)（現(xiàn)金或無價值期權(quán)、資產(chǎn)或無價值期權(quán)）、打包期權(quán)（由期權(quán)和其他金融資產(chǎn)組成的證券組合）、遠(yuǎn)期開始期權(quán)（現(xiàn)在支付期權(quán)費而在未來某時刻才開始的期權(quán)）、二階期權(quán)（復(fù)合期權(quán)和選擇者期權(quán)）、多資產(chǎn)期權(quán)（多個標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)）以及吶喊期權(quán)等等。6.6.大多數(shù)奇異期權(quán)和路徑依賴期權(quán)的定價仍然可以在布萊克舒爾斯模型框架中進(jìn)行。例如障礙期權(quán)中的障礙條件主要反映在相應(yīng)的邊界條件上，連續(xù)平均的亞式期權(quán)在原來的偏微分方程中加進(jìn)了對新的平均值變量的一階偏導(dǎo)。我們也可以得到其中一些奇異期權(quán)的定價公式。但是大部分情況下，我們無法得到精確的解析解，或者是這些公式難以在實際中運用，大多時