向量的概念及表示(公開課)38933教學(xué)文稿

1、高中數(shù)學(xué)必修 4 第二章平面(pngmin)向量第一頁，共23頁。問題(wnt)情境 請同學(xué)請同學(xué)(tng (tng xu)xu)們到我家們到我家來做客來做客! ! 如果要找一個物理量來刻畫從學(xué)校到老如果要找一個物理量來刻畫從學(xué)校到老師師(losh)家的位置變化，應(yīng)該用哪個家的位置變化，應(yīng)該用哪個量？量？ “位移位移”和和“路程路程”這兩個物理量一樣這兩個物理量一樣嗎？嗎？第二頁，共23頁。 老鼠由老鼠由A向東方向向東方向(fngxing)以每秒以每秒6米的米的速度逃竄速度逃竄,而貓由而貓由B向西北方向向西北方向(fngxing)每秒每秒10米的速度追米的速度追. 問貓能否抓到老鼠問貓能否抓到

2、老鼠? 速度是既有大小(dxio)又有方向的量。BA結(jié)論：貓 追上老鼠。 貓的速度(sd)再快也沒用，因為 錯了。不能方向第三頁，共23頁。一向量的相關(guān)一向量的相關(guān)(xinggun)概念概念建構(gòu)(jin u)數(shù)學(xué)路程路程(lc(lchng)hng)位移位移只有大小沒有方向只有大小沒有方向既有大小又有方向既有大小又有方向矢量矢量標量標量在你學(xué)過的量中，哪些是數(shù)量，哪些是在你學(xué)過的量中，哪些是數(shù)量，哪些是向量？向量？（只需用一個實數(shù)就可以表示的量）（只需用一個實數(shù)就可以表示的量）數(shù)量數(shù)量向量向量第四頁，共23頁。既有大小(dxio)又有方向的量叫 現(xiàn)實生活中還有哪些量既有大現(xiàn)實生活中還有哪些量既有

3、大小小(dxio)(dxio)又有方向？又有方向？哪些量只有哪些量只有(zhyu)(zhyu)大小沒有大小沒有方向？方向？距離、身高、質(zhì)量、時間、面積等距離、身高、質(zhì)量、時間、面積等位移、力、速度、加速度、電場強度等位移、力、速度、加速度、電場強度等向量向量數(shù)量數(shù)量向向 量量一一: :向量定義向量定義 第五頁，共23頁。學(xué)生(xu sheng)活動 判斷下列說法判斷下列說法(shuf)是否正確是否正確: 由于零上溫度可以用正數(shù)來表示由于零上溫度可以用正數(shù)來表示,零下溫度可以零下溫度可以用負數(shù)來表示用負數(shù)來表示,所以溫度是向量所以溫度是向量. 錯誤錯誤,因為溫度沒有方向因為溫度沒有方向. 坐標平

4、面上的坐標平面上的x軸和軸和y軸是向量軸是向量. 錯誤錯誤,因為無法刻畫因為無法刻畫x軸和軸和y軸的大小軸的大小.“大小大小”和和“方向方向”是向量的兩個重要方面！是向量的兩個重要方面！第六頁，共23頁。2、向量、向量(xingling)的表示的表示建構(gòu)(jin u)數(shù)學(xué)i : 有向線段的有向線段的長度長度表示向量的表示向量的大小大小.ii: 箭頭所指的箭頭所指的方向方向表示向量的表示向量的方向方向.向量向量常用一條常用一條有向線段有向線段來表示來表示.幾何表示幾何表示向量向量可以可以用有向線段的起點和終點字母表用有向線段的起點和終點字母表示示,AB如：如：字母表示字母表示在印刷時在印刷時,

5、,常用粗黑體小寫字母常用粗黑體小寫字母 來表示來表示; ; 手寫時則可用帶箭頭的小寫字母手寫時則可用帶箭頭的小寫字母 來表示來表示. . ,a b c f f第七頁，共23頁。有向線段與向量有向線段與向量(xingling)(xingling)的區(qū)別：的區(qū)別：有向線段：有固定起點、大小有向線段：有固定起點、大小(dxio)(dxio)、方向方向向量：可選任意點作為向量：可選任意點作為(zuwi)(zuwi)向量的起點、有大小、有向量的起點、有大小、有方向。方向。ABCDABCD有向線段有向線段ABAB、CDCD是是不同的不同的。向量向量 ABAB、CD CD 是是同一個向同一個向量量。說明說明

6、1 1：第八頁，共23頁。3、向量、向量(xingling)的的大小大小(模模)向量 的大小，也就是向量 的 長度(或稱 模).ABAB記作 | | .AB建構(gòu)(jin u)數(shù)學(xué)思考：思考：ABBAABBA與與相相同同嗎嗎？與與相相同同嗎嗎？ 第九頁，共23頁。這兩個量僅從大小這兩個量僅從大小(dxio)上刻畫了上刻畫了向量向量建構(gòu)(jin u)數(shù)學(xué) .0思考思考: 單位向量唯一嗎單位向量唯一嗎? 平面直角坐標系內(nèi)平面直角坐標系內(nèi),所有起點在原點的單位向量所有起點在原點的單位向量,它們終點的軌跡是什么圖形它們終點的軌跡是什么圖形?第十頁，共23頁。平行向量： 方向相同 或相反(xingfn)

7、的非零向量叫做平行向量。相等向量：相等向量： 長度相等長度相等 且方向且方向(fngxing)相同相同 的向量的向量叫做相等向量叫做相等向量 。共線向量：共線向量： 平行平行(pngxng)向量也叫做共線向向量也叫做共線向量。量。./ba記作：記作：. ba 記作：記作：建構(gòu)數(shù)學(xué)三、向量的關(guān)系三、向量的關(guān)系相反向量相反向量 ： 長度相等長度相等 且且方向相反方向相反的向量的向量叫做相反向量。叫做相反向量。 記作：記作：a 規(guī)定規(guī)定:零向量與任一向量平行零向量與任一向量平行.第十一頁，共23頁。注意：數(shù)學(xué)中的向量與物理注意：數(shù)學(xué)中的向量與物理(wl)(wl)中中的矢量是有區(qū)別的在數(shù)學(xué)中我們研的矢

8、量是有區(qū)別的在數(shù)學(xué)中我們研究的是僅由大小和方向確定，而與起究的是僅由大小和方向確定，而與起點位置無關(guān)的向量，也稱為自由向點位置無關(guān)的向量，也稱為自由向量量第十二頁，共23頁。什么什么(shn me)是相等向量？是相等向量？長度相等且方向相同長度相等且方向相同(xin tn)的向量叫相等向的向量叫相等向量量abc a=b=cA1B1=A2B2=A3B3=A4B4A1B1A2B2A3B3A4B4注：注：1.若向量若向量 相等，則記為相等，則記為 ； 2.任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來 表示，并且與有向線段的表示，并且與有向線段的起點無關(guān)

9、起點無關(guān)。baba=第十三頁，共23頁。思考思考(sko)： 1、若兩個向量相等，則它們的起點和終點、若兩個向量相等，則它們的起點和終點(zhngdin)分別重合嗎？分別重合嗎？ 2、向量與是共線向量，則、向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上嗎？四點必在一直線上嗎？ 3、平行于同一個向量的兩個向量平行嗎？、平行于同一個向量的兩個向量平行嗎？ 、若四邊形、若四邊形ABCD是平行四邊形，則有是平行四邊形，則有 嗎嗎?AB CD AB DCABCD第十四頁，共23頁。例例1.如圖，設(shè)如圖，設(shè)O是正六邊形是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與的中心，分別寫出圖中與 相等相等(xin

10、gdng)的向量。的向量。 OABCDEFOA、OB、OCOC=AB=ED=FO解：OA=CB=DO=EFOB=DC=EO=FA第十五頁，共23頁。例例2 2：如圖：如圖,D,D、E E、F F分別分別(fnbi)(fnbi)是是ABCABC各邊上的中點，四各邊上的中點，四邊形邊形BCMFBCMF是平行四邊形，請分別是平行四邊形，請分別(fnbi)(fnbi)寫出：寫出： （1 1）與）與EDED共線的向量；共線的向量；（2 2）與）與EDED相等的向量；相等的向量；（3 3）與）與FEFE相等的向量。相等的向量。ABCDFEM（2 2）FBFB、AFAF、MCMC（3）BDBD、DCDC、E

11、MEM解：（解：（1）DE、BF、FB、FA、 AF、CM、MC、AB、BA第十六頁，共23頁。AO AOAOAOCO AO第十七頁，共23頁。0 .)5(; 00)4(;)3(;)2(;) 1 (1ACDABBAAB其中正確命題的個數(shù)是大于向量向量向量向量就是有向線段定不平行方向不同的兩個向量一長度相等和向量向量確：判斷下列命題是否正練習(xí)1 .B2 .C2 .DB第十八頁，共23頁。2 ./,/,/)6(;,)5(;)4(;)3(;|,|)2(;) 1 (2AcacbbakmknnmDCABABCDABCDDCABbaba是其中不正確命題的個數(shù)則若則若中，一定有平行四邊形是平行四邊形，則四邊

12、形若則若的起點相同，終點相同兩個向量相等，則它們確：判斷下列命題是否正練習(xí)3 .B4 .C5 .DB第十九頁，共23頁。0, 0.,.|,.,/.|,|.0, 0|.|,|. 3aaGbabaFbabaEbabaDbababaCaaBbabaA則若不是共線向量與則若則若則若或則若則若則若下列說法是否正確練習(xí)第二十頁，共23頁。少個？少個？多多長度相等的共線向量有長度相等的共線向量有向量有多少個？與向量有多少個？與相等的相等的向量，其中與向量，其中與的格點為起點和終點作的格點為起點和終點作以圖中以圖中達到方格中有一個向量達到方格中有一個向量：在：在例例ABABAB,542 A相等相等(xingdng)的有的有7個個長度相等長度相等(xingdng)的有的有15個個B（除外（除外(chwi) ）AB 第二十一頁，共23頁。課堂(ktng)小結(jié)向量向量(xingling)第二十二頁，共23頁。 向量向量(xingling)最初被應(yīng)用于物理學(xué)，最初被應(yīng)用于物理學(xué)，被稱為矢量很多物理量，如力、速度、被稱為矢量很多物理量，如力、速度、位移、電場強度、磁場強度等都是向量位移、電場強度、磁場強度等都是向量(xingling)。 大約公元前年，古希臘著名學(xué)大約公元前年，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可