微分幾何第一章第一節(jié)向量函數(shù)

1、前前 言言 數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門科學(xué)關(guān)系的一門科學(xué). 幾何學(xué)幾何學(xué)（初等幾何）（初等幾何）解析幾何解析幾何仿射幾何仿射幾何射影幾何射影幾何微分幾何微分幾何計算幾何計算幾何代數(shù)幾何代數(shù)幾何歐氏幾何歐氏幾何 一、什么是微分幾何一、什么是微分幾何 微分幾何是以數(shù)學(xué)分析為工具研究空間形式微分幾何是以數(shù)學(xué)分析為工具研究空間形式（或幾何圖形）性質(zhì)的一門數(shù)學(xué)分科（或幾何圖形）性質(zhì)的一門數(shù)學(xué)分科. 研究方法：研究方法：研究對象：研究對象： 光滑曲線和光滑曲面光滑曲線和光滑曲面研究工具研究工具: : 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析向量分析法、向量分析法、張量分析法、張

2、量分析法、活動標(biāo)架法活動標(biāo)架法 整體微分幾何整體微分幾何局部微分幾何局部微分幾何二、微分幾何的分類二、微分幾何的分類 經(jīng)經(jīng)典典微微分分幾幾何何高維空間微分幾何高維空間微分幾何克萊因的愛爾蘭根綱領(lǐng)克萊因的愛爾蘭根綱領(lǐng)變換群變換群幾何學(xué)幾何學(xué)不不變變性性與與不不變變量量運(yùn)動變換群運(yùn)動變換群歐氏幾何歐氏幾何仿射變換群仿射變換群仿射幾何仿射幾何射影變換群射影變換群射影幾何射影幾何局部微分幾何局部微分幾何 局部歐氏微分幾何局部歐氏微分幾何局部仿射微分幾何局部仿射微分幾何局部射影微分幾何局部射影微分幾何 三、微分幾何的發(fā)展三、微分幾何的發(fā)展2 2、黎曼幾何、黎曼幾何3 3、現(xiàn)代微分幾何、現(xiàn)代微分幾何 四、

3、本課程的主要內(nèi)容四、本課程的主要內(nèi)容1.1.教材：教材：微分幾何微分幾何（第四版），梅向明、黃敬之（第四版），梅向明、黃敬之編編1 1、經(jīng)典微分幾何、經(jīng)典微分幾何局部歐氏微分幾何局部歐氏微分幾何 （經(jīng)典微分幾何）（經(jīng)典微分幾何）兩論兩論曲線論、曲面論曲線論、曲面論2 2、參考書：、參考書： (1) (1) 蘇步青編，蘇步青編，微分幾何微分幾何. .(2) (2) 吳大任編，吳大任編，微分幾何講義微分幾何講義. .老師聯(lián)系電話：老師聯(lián)系電話：1307533325113075333251；郵箱：郵箱：ss_；答疑時間：周四下午答疑時間：周四下午2 2：30305 5：0000；答疑地點：答疑地點：

4、7 7教教C304C304。1 向量函數(shù)1.1.向量函數(shù)的極限；向量函數(shù)的極限；2.2.向量函數(shù)的連續(xù)；向量函數(shù)的連續(xù)；3.3.向量函數(shù)的微商；向量函數(shù)的微商；4.4.向量函數(shù)的積分向量函數(shù)的積分. .定義定義（向量函數(shù)）（向量函數(shù)）是一個集合，是一個集合，設(shè)設(shè)G，如果對如果對Gx 和和它它對對應(yīng)應(yīng)，都都有有唯唯一一確確定定的的向向量量 r，上上給給定定了了一一個個向向量量函函數(shù)數(shù)則則稱稱在在G.),(Gxxrr 記作：記作：例如：例如：,baG 設(shè)設(shè).,),(battrr 則則得得一一元元向向量量函函數(shù)數(shù)ab Ott ,是是一一個個平平面面區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)GOuv),(vu.G則則得得二二元元向

5、向量量函函數(shù)數(shù)),(vurr .),(Gvu ,是是一一個個空空間間區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)GOyzxG),(zyx則則得得三三元元向向量量函函數(shù)數(shù)),(zyxrr .),(Gzyx 下，下，在空間標(biāo)架在空間標(biāo)架,;321eeeO321)()()()(etzetyetxtrr );(),(),(tztytx 321),(),(),(),(evuzevuyevuxvurr ),(),(),(vuzvuyvux 下，下，在空間標(biāo)架在空間標(biāo)架,;321eeeO一個向量函數(shù)一個向量函數(shù)三個實函數(shù)三個實函數(shù))(trr );(),(),(tzztyytxx ),(vurr ),(),(),(vuzzvuyyvuxx

6、1.1 向量函數(shù)的極限向量函數(shù)的極限定義定義atrtt )(lim0.)(,0 , 0, 00 atrtt命題命題，設(shè)設(shè))(),(),()(tztytxtr ，,321aaaa 則則atrtt )(lim0.)(lim)(lim)(lim321000 atzatyatxtttttt極限極限極限的分量等于分量的極限的分量等于分量的即即證：證：，若若atrtt )(lim0.)(,0 , 0, 00 atrtt則則.)()()(232221 atzatyatx即即.)()(1 atratx.)()(2 atraty.)()(2 atratz.)(lim)(lim)(lim321000 atzaty

7、atxtttttt,)(lim,)(lim,)(lim321000atzatyatxtttttt 若若, 0, 01 則則,3)(,0110 atxtt時時當(dāng)當(dāng),3)(,0220 atytt時時當(dāng)當(dāng),3)(,0330 atztt時時當(dāng)當(dāng), 0,min321 令令.)(,0 , 00 atrtt則則.)(lim0atrtt , 02 , 03 命題命題1 1,)(lim0atrtt 若若,)(lim0btstt .)(lim0 ttt.)()(lim)1(0batstrtt 則則.)()(lim)2(0atrttt .)()(lim)3(0batstrtt .)()(lim)4(0batstrt

8、t .)(lim)5(0atrtt 證：證：),(),(),()(),(),(),()(222111tztytxtstztytxtr 設(shè)設(shè)，,321aaaa ,321bbbb )()()()()()(lim)()(lim)3(21212100tztztytytxtxtstrtttt 332211bababa .ba 1.2 向量函數(shù)的連續(xù)性向量函數(shù)的連續(xù)性定義定義),()(lim00trtrtt 若若.)(0連續(xù)連續(xù)在點在點則稱則稱ttr上每一點都連續(xù)，上每一點都連續(xù)，在區(qū)間在區(qū)間若若,)(21tttr.,)(21上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間則稱則稱tttr注注連續(xù)連續(xù))(),(),()(tzty

9、txtr .)(),(),(均連續(xù)均連續(xù)tztytx命題命題2 2),(tr若若),(ts都連續(xù)，都連續(xù)，在點在點0)(tt ，則則)()(tstr ，)()(trt ，)()(tstr .)()(0都連續(xù)都連續(xù)在點在點ttstr 例例，且且處連續(xù)處連續(xù)在點在點若若0)(,),()(00 trbattrr. 0)(,),(),(),(00000 trtttbattt時時使得當(dāng)使得當(dāng)，的一個充分小鄰域的一個充分小鄰域則一定存在則一定存在 證：證：, 0)(),(),()(0000 tztytxtr. 0)(),(),(000不全為不全為tztytx. 0)(0 tz不妨設(shè)不妨設(shè),)(0處連續(xù)處連

10、續(xù)在點在點ttrr ,)(0處也連續(xù)處也連續(xù)在點在點ttzz . 0)(,),(),(),(00000 tztttbattt時時使得當(dāng)使得當(dāng)，的一個充分小鄰域的一個充分小鄰域故一定存在故一定存在 . 0)( tr1.3 向量函數(shù)的微商向量函數(shù)的微商定義定義)(0tr 內(nèi)每一點都有微商，內(nèi)每一點都有微商，在開區(qū)間在開區(qū)間若若),()(21tttr.),()(21內(nèi)可微內(nèi)可微在開區(qū)間在開區(qū)間則稱則稱tttrttrttrt )()(lim000.0ttdtrd ),(trt 的微商記作的微商記作在任意一點在任意一點.)( 的導(dǎo)向量函數(shù)的導(dǎo)向量函數(shù)也叫做也叫做tr注注可微可微）（)(),(),()(1

11、tztytxtr .)(),(),(均可微均可微tztytx.)(),(),()(且且tztytxtr 微商微商微商的分量等于分量的微商的分量等于分量的即即事事實實上上，ttrttr )()( ttzttzttyttyttxttx)()(,)()(,)()(.2不一定可微不一定可微）可微必連續(xù)，但連續(xù)）可微必連續(xù)，但連續(xù)（如如：處連續(xù)，處連續(xù)，在在03 ,sin,)(31 tttttr.0,cos, 1)(32處不存在處不存在在在但但 ttttr為常向量，為常向量，從而若從而若C. 0 C則則命題命題3 3),(tr若若),(ts都可微，都可微，)(t ，則則)()(tstr ，)()(trt

12、 ，)()(tstr ),()(tstr ),(tu.)(),(),(都可微都可微tutstr并且并且,)()1(srsr ,)()2(rrr ,)()3(srsrsr ,)()4(srsrsr ).,(),(),(),()5(usrusrusrusr 證：證：，設(shè)設(shè))(),(),()(),(),(),()(321321tststststrtrtrtr 212113133232,)(ssrrssrrssrrsr則則 212121211313131332323232,ssrrssrrssrrssrrssrrssrr 212113133232212113133232,ssrrssrrssrrssr

13、rssrrssrr.srsr 定義定義的二階微商；的二階微商；稱為稱為)()(trtr )(類函數(shù)類函數(shù)kC的三階微商；的三階微商；稱為稱為)()(trtr .)( 的高階微商的高階微商叫叫二階及二階以上的微商二階及二階以上的微商tr.,21類函數(shù)類函數(shù)階連續(xù)微商的函數(shù)稱為階連續(xù)微商的函數(shù)稱為上有直至上有直至在區(qū)間在區(qū)間kCktt.0類函數(shù)類函數(shù)連續(xù)函數(shù)稱為連續(xù)函數(shù)稱為C.類函數(shù)類函數(shù)無限可微的函數(shù)稱為無限可微的函數(shù)稱為 C.類函數(shù)類函數(shù)解析函數(shù)稱為解析函數(shù)稱為 C命題命題4 4,)(),(),()(21ttCtztytxtrk .,)(),(),(21ttCtztytxk 證：證：,)()(

14、)()(321etzetyetxtr ,)()(1etrtx ,)(21ttCtrk 為常向量，為常向量，1e;,)(21ttCtxk .,)(),(21ttCtztyk 同理同理對于二元向量函數(shù)，對于二元向量函數(shù)，.分等概念分等概念也可定義偏微商、全微也可定義偏微商、全微定義定義),(vurr 對于二元向量函數(shù)對于二元向量函數(shù)uvurvuurruu ),(),(lim0.ur vvurvvurrvv ),(),(lim0.vr 注注,),(),(),(),(若若vuzvuyvuxvur ,則則uuuuzyxr .,vvvvzyxr 定義定義上的二元函數(shù)，上的二元函數(shù)，是定義在平面區(qū)域是定義在

15、平面區(qū)域設(shè)設(shè)Dvuzvuyvuxvur),(),(),(),( 上可微，上可微，在在若若Dvuzvuyvux),(),(),(上可微，上可微，在在則稱則稱Dvur),(.),(的全微分的全微分為為且稱且稱vurrdvrdurrdvu 1.4 向量函數(shù)的泰勒公式向量函數(shù)的泰勒公式定理定理,)(001tttCtrn 設(shè)設(shè)公式：公式：則有以下則有以下Taylor),()()!1()()(!)()(! 2)()()()(00)1(10)(02000tttrnttrnttrttr ttrttrnnnn . 0),(,00 ttt 時時其中其中特別地，特別地，,)(時時當(dāng)當(dāng) Ctr )(!)()(! 2)

16、()()()(0)(02000trnttrttr ttrttrnn.上述級數(shù)是收斂的上述級數(shù)是收斂的,)(時時當(dāng)當(dāng) Ctr 1.5 向量函數(shù)的積分向量函數(shù)的積分定義定義)(不定積分不定積分,),()(battrtR 若若.)()(的一個原函數(shù)的一個原函數(shù)為為則稱則稱trtRR .)()(的不定積分的不定積分做做的所有原函數(shù)的集合叫的所有原函數(shù)的集合叫trtr.)( dttr記作記作易易知知，trtR的一個原函數(shù)的一個原函數(shù)為為若若)()(.)()(CtRdttr 則則命題命題),(),(),()(tztytxtr 若若),(ts都連續(xù)，都連續(xù)，)(tf ;)(,)(,)()(1 dttzdtt

17、ydttxdttr）（ dttrdttr)()(2 ）（；為常數(shù)為常數(shù))( ;)()()()(3 dttsdttrdttstr）（ dttrmdttrm)()(4）（；為常向量為常向量)(m.)()()()(5 dttsdttrdttstr）（定義定義)(定積分定積分 badttr)( niiiTltr10)()(lim 注注可積可積)(),(),()()1(tztytxtr .)(),(),(可積可積tztytx可積，可積，若若)(),(),()()2(tztytxtr .)(,)(,)()(則則 babababadttzdttydttxdttr積分積分積分的分量等于分量的積分的分量等于分量

18、的即即命題命題5 5上可積，上可積，在在上連續(xù)，則上連續(xù)，則在在若若,)(,)(batrbatrr bccabadttrdttrdttr)()()(1）（；為常數(shù)為常數(shù))(m；為常向量為常向量)(m而且而且 babadttrmdttrm)()(2）（ babadttrmdttrm)()(3）（ babadttrmdttrm)()(；為常向量為常向量)(m).()(4xrdttrdxdxa ）（注注.分析中來分析中來所有結(jié)果都平移到向量所有結(jié)果都平移到向量并不能把數(shù)學(xué)分析中的并不能把數(shù)學(xué)分析中的.),()()()(:一般不成立一般不成立微分中值定理微分中值定理例如例如baabrarbr ),(,0 ,sin,cos)(: ttttr設(shè)向量函數(shù)設(shè)向量函數(shù)如如，取取)