線性代數(shù)行列式的計(jì)算學(xué)習(xí)教案

1、線性代數(shù)線性代數(shù)(xin xn di sh) 行列式的行列式的計(jì)算計(jì)算第一頁，共18頁。一、一、 余子式和代數(shù)余子式和代數(shù)(dish)余子式余子式二、二、 行列式按一行行列式按一行(yxng)（列）展開（列）展開行列式的計(jì)算(j sun) 第一章 第1頁/共18頁第二頁，共18頁。劃去的第i行列元素，Dj階1n行列式置排成的剩下(shn xi)元素按原來相對(duì)位nnnjnjnjnnijijijiiinijijijinijijijiinjjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa111111111111111111111111111111第2頁/共18頁第三頁，共18頁。nnjnjnn

2、nijijiinijijiinjjaaaaaaaaaaaaaaaa1,1,1, 11, 11, 11 , 1, 11, 11, 11 , 111, 11, 111ijMijjiijMA) 1(稱為ija的得得 aij 的余子式余子式第3頁/共18頁第四頁，共18頁。44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa32a 的余子式322332) 1(MA44434124232114131132aaaaaaaaaM的代數(shù)余子式32a例如例如(lr)第4頁/共18頁第五頁，共18頁。定理定理(dngl)行列式D的任一行(yxng)（列）的每個(gè)元素與其對(duì)

3、應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于該行列式的值；行列式D的任一行（列）任一行（列）的每個(gè)元素與另一行（列）另一行（列）相應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零。ininiiiiAaAaAaD2211njnjjjjjAaAaAaD2211或按 j 列展開按 i 行展開第5頁/共18頁第六頁，共18頁。時(shí)時(shí)jijiD,0,時(shí)時(shí)jijiD,0,即按即按 i 行展開行展開(zhn ki) nnnjninijinjaaaaaaaaaD111111jninjijiAaAaAa22111122ijijninja Aa Aa A或按或按 j j 列展開列展開(zhn ki)(zhn ki)第6頁/共18頁第七頁，共18頁。

4、212203124D333231AAA333231212AAA計(jì)算(j sun)解解111203124333231AAA2112203124212333231AAA第7頁/共18頁第八頁，共18頁。hgfedcbaD00000000. 14hfedca00000000gfedcbfedcahfedcbg)(decfbgah第8頁/共18頁第九頁，共18頁。123121425212113111D12rr 23214252410031112110321425201007111211021452711211710183071121171183211716123233344cc 第9頁/共18頁第十頁

5、，共18頁。計(jì)算(j sun)4階行列式，12340a a a a 4D1234xaxxxxxaxxxxxaxxxxxa4 , 3 , 21irri4131211aaaaaaxxxax1234a a a a12341110010101001xxxxaaaa4321aaaa4321cccc411iiax41411iiiiaxa雙邊雙邊(shungbin)對(duì)角形對(duì)角形第10頁/共18頁第十一頁，共18頁。例例521000121000121000121000125D解解 此為三對(duì)角線行列式，5階行列式 D5 和4階行列式D4 有相同(xin tn)的形式。按第一行展開(zhn ki)21001210

6、0121001225D2100121001200011) 1(3342DD 這種關(guān)系(gun x)稱為遞推關(guān)系(gun x)式，由此式可得第11頁/共18頁第十二頁，共18頁。3452DDD34DD 23DD 12DD 221121145DD1) 1(3 D23 D632 D45DD 第12頁/共18頁第十三頁，共18頁。例例6dcdcdcbababaDn2（按第一行展開(zhn ki)）00000000abababababcdcdcdcddc)1(2)(nDbcadnbcad)(第13頁/共18頁第十四頁，共18頁。例例 7 計(jì)算計(jì)算(j sun) Vandermonde 行列式行列式123

7、222123111.Dxxxxxx 解解將將 D 的第的第 2 行乘以行乘以 1()x 加到第加到第 3 行，再將行，再將 D 的第的第1 行乘以行乘以1()x 加到第加到第 2 行，得行，得21312221231311100Dxxxxxx xxx x再對(duì)第一列用展開再對(duì)第一列用展開(zhn ki)定理得定理得第14頁/共18頁第十五頁，共18頁。213122212313xxxxDxx xxx x 利用利用(lyng)數(shù)學(xué)歸納法可得數(shù)學(xué)歸納法可得 n 階階 Vandermonde 行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD32131211)(xxxxxx 31231312).()()(jiijxxxxxxxx第15頁/