大物實驗----誤差理論與數(shù)據(jù)處理.

1、誤差理論與數(shù)據(jù)處理v實驗課三個部分：課前預習實驗課三個部分：課前預習 、實驗操作、實驗操作 、數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)處理v1.1.課前預習課前預習 預習報告:（1）實驗題目；（2）實驗目的；（3）實驗儀器；（4）實驗原理：必要的定理、定律、簡單的公式推導、光路圖、電路圖、原理示意圖以及相關(guān)的文字說明；（5）實驗內(nèi)容（不包括實驗步驟）；（6）數(shù)據(jù)表格（范表見78頁）。v2.2.實驗操作實驗操作 實驗完畢后老師簽字v3.3.數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)處理 實驗不僅僅是為了追求數(shù)據(jù)的準確性，更主要的是培養(yǎng)大家動手能力、發(fā)現(xiàn)問題解決并問題的能力。如果實驗不成功，一定要分析實驗失敗的原因，總結(jié)經(jīng)驗。 v本節(jié)課我們將介紹：測量與

2、誤差、有效數(shù)字、測量結(jié)果的誤差評定以及實驗課常用的幾種數(shù)據(jù)處理方法。 第一節(jié) 測量與誤差v一一. .測量測量v1.測量的定義v 測量是指借助一定的實驗器具，通過一定的實驗方法直接或間接的把待測量與選作計量標準單位的同類物理量進行比較得出其倍數(shù)的過程。測量值包括數(shù)值和單位。v2 測量的分類v（1）按照測量值獲得的方法不同：直接測量、間接測量v直接測量:使用測量儀器能直接測得結(jié)果的測量。v間接測量:先直接測量另一些相關(guān)的物理量，然后通過這些量之間的數(shù)學關(guān)系運算才能得到結(jié)果。 （2）按照測量條件的不同：等精度測量、非等精度測量 等精度測量:在相同條件下進行的測量。 非等精度測量:不同的人使用不同的儀

3、器采用不同的方法進行測量，則各測量結(jié)果的可靠程度自然也不相同。 二二 . .誤差誤差 1.誤差的定義 我們把被測物理量在一定客觀條件下的真實大小，稱為該物理量的真值，記為 ；把每次對應的測量值記為 ，那么 與 之差就稱為測得值的誤差,即0 xxxx0 x0 x 2. 誤差的分類 （1）系統(tǒng)誤差:在同一條件下多次測量同一物理量時，誤差大小和符號始終保持不變，或者按照某種確定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。 （2）隨機誤差:在同一條件下多次測量同一物理量時，測得值總有差異，并在消除系統(tǒng)誤差以后，差異依然存在，即誤差的絕對值和符號是變化不定、不可預知的，這種誤差稱為隨機誤差。 （3）過失誤差:由于

4、觀測者的粗心大意或操作不當造成的人為差錯。 研究誤差的目的是為了在測量過程中盡量減小誤差，并對殘存誤差給出適當?shù)墓烙嬛怠三三. .精度精度v 精度是個籠統(tǒng)的概念，通常用它來反映測得值的可靠程度以評價測量結(jié)果。按誤差的性質(zhì)，精度又可分為下面幾種： v 1正確度 例v 正確度反映的是測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響程度。如果系統(tǒng)誤差小，則稱測量的正確度高；如果系統(tǒng)誤差大，則稱測量的正確度低。v 2精密度 例v 精密度反映的是測量結(jié)果中隨機誤差的影響程度。隨機誤差小，即重復測量所得的結(jié)果相互接近，則稱測量的精密度高；反之，則稱測量的精密度低。v 3準確度 例 （對比）v 準確度反映的是測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和

5、隨機誤差綜合的影響程度。對于具體的測量，正確度高的測量其精密度不一定高，精密度高的測量其正確度也不一定高。但準確度高，則表示測量的正確度和精密度都高。第二節(jié) 系統(tǒng)誤差和隨機誤差系統(tǒng)誤差和隨機誤差 v一一. .系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差v 系統(tǒng)誤差總是使測量結(jié)果向一個方向偏離，其數(shù)值一定或按一定規(guī)律變化。 1.系統(tǒng)誤差的來源 （1）儀器 由于儀器本身的缺陷或沒有按規(guī)定的條件使用儀器而造成的誤差。 （2）理論 由于測量所依據(jù)的理論公式本身的近似性，或者實驗條件不能達到理論公式所規(guī)定的要求，或者由于測量方法所帶來的誤差。 （3）人的因素 由于觀測者本人的生理或心理特點所造成的誤差。 （4）環(huán)境 由于環(huán)境條件如

6、溫度、氣壓、濕度的變化等所引起的誤差。 v2.系統(tǒng)誤差的分類 （1）按掌握程度分為：v 已定系統(tǒng)誤差v 未定系統(tǒng)誤差 （2）按其數(shù)值特征或其表現(xiàn)規(guī)律分為：v 定值系統(tǒng)誤差v 變值系統(tǒng)誤差 3.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn) （1）理論分析法 v 觀測者憑借有關(guān)某項實驗的物理理論、實驗方法和實驗經(jīng)驗等對實驗理論公式的近似性、所采用的實驗方法的完善性等進行研究與分析。 （2）對比法 （3）數(shù)據(jù)分析法4.系統(tǒng)誤差的減小或消除 （1）利用標準器具減消系統(tǒng)誤差； （2）修正已經(jīng)確定的定值系統(tǒng)誤差； （3）采用合理、規(guī)范的測量步驟減消系統(tǒng)誤差； （4）選擇或改進測量方法減消系統(tǒng)誤差。二二. .隨機誤差隨機誤差 1.隨機誤

7、差的特點v 在相同的條件下多次測量同一被測量時，如果已經(jīng)精心地排除了產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素（實際上不可能也不必要絕對排除），發(fā)現(xiàn)每次測量結(jié)果一般都不一樣。測量誤差或大、或小、或正、或負，初看顯得毫無規(guī)律，但當測量次數(shù)足夠多時，可以發(fā)現(xiàn)誤差的大小以及正負誤差的出現(xiàn)，都是服從某種統(tǒng)計規(guī)律的。 2. 2.隨機誤差的來源 v 是由實驗中各種因素的微小變動引起的。 （1）實驗裝置的變動性 儀器的穩(wěn)定性差，測量示值變動。 （2）觀測者本人在判斷和估計讀數(shù)上的變動性 v 觀測者的生理分辨本領(lǐng)、手的靈活程度及操作熟練程度。 （3）實驗條件和環(huán)境因素的微小變動v 如氣流、溫度、濕度等微小的、無規(guī)則的起伏變化，電壓的

8、波動以及雜散磁場的不規(guī)則脈動引起的誤差。v3.3.隨機誤差的正態(tài)分布規(guī)律v 假設(shè)對某一被測量進行多次重復測量 ,測量結(jié)果 x1,x2,x3,xn,被測量的真值為x，則根據(jù)誤差的定義，各次測量的誤差 v 大量的實驗事實和統(tǒng)計理論都證明，在絕大多數(shù)物理測量中，隨機誤差服從正態(tài)分布（或稱高斯分布）規(guī)律。 xxiiv隨機誤差具有以下的性質(zhì)：v（1 1）單峰性）單峰性 絕對值小的誤差出現(xiàn)的機會（概率）大，絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會（概率）小。v（2 2）對稱性）對稱性 大小相等、v符號相反的誤差出現(xiàn)的概v率相等。v（3 3）有界性）有界性 非常大的正v負誤差出現(xiàn)的概率趨于零。v（4 4）抵償性）抵償性 當

9、測量次數(shù)v非常多時，由于正負誤差v相互抵消，各誤差的代數(shù)v和趨于零。 隨機誤差的正態(tài)分布曲線隨機誤差的正態(tài)分布曲線v 根據(jù)統(tǒng)計理論可得：v v式中是一個取決于具體測量條件的常數(shù)稱為標準誤差（或稱均方誤差）。v 反映的是一組測量數(shù)據(jù)的離散程度，常稱它為測量列的標準誤差；它的數(shù)學表達式為：2221( )2fenaxin2)(lim 可以證明 即由-到之間正態(tài)分布曲線下的面積占總面積的68.3。這就是說，如果測量次數(shù)n很大，則在所測得的數(shù)據(jù)中，將有占總數(shù)68.3數(shù)據(jù)的誤差落在區(qū)間之內(nèi)；也可以這樣講，在所測得的數(shù)據(jù)中，任一個數(shù)據(jù)Xi的誤差落在區(qū)間之內(nèi)的概率為 68.3。區(qū)間稱為置信區(qū)間，其對應的概率(

10、p=68.3)稱為置信概率。 %3 .68683. 0)(dfv4.算術(shù)平均值和標準偏差（1）算術(shù)平均值v 根據(jù)隨機誤差的正態(tài)分布規(guī)律，測得值偏大或偏小的機會是相等的，即絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的概率是相等的,因此，各次測得值的算術(shù)平均值最為接近被測量的真值。（2）算術(shù)平均值的誤差 算術(shù)平均值本身具有離散性。為了評定算術(shù)平均值的離散性，我們引入算術(shù)平均值的標準誤差。 算術(shù)平均值 的標準誤差：123.inxxxxxxnn xxn（）（3）標準偏差 由于算術(shù)平均值最接近真值，因此可以用平均值參與對標準誤差的估計。我們常用如下的貝塞爾公式去估計標準誤差 貝塞爾公式是用殘差去求標準誤差的估計值，稱此估

11、計值為測量列的標準偏差。 算術(shù)平均值的標準誤差 的估計值為算術(shù)平均值的標準偏差 ，若測量列的標準誤差為 ，則： )(xS)(x xS nxSxS)(11)(22nvnxxxSii）（那么我們可以區(qū)分理解那么我們可以區(qū)分理解v標準誤差標準誤差v算術(shù)平均值算術(shù)平均值的的標標準誤準誤差差v測量列的標準誤差測量列的標準誤差 v算術(shù)平均值的標準偏差算術(shù)平均值的標準偏差 nxSxS)()(11)(22nvnxxxSii）（nx）（naxin2)(lim 5.絕對誤差與相對誤差 設(shè)某一測得值 的真值為 則誤差 稱為絕對誤差。絕對誤差。 相對誤差相對誤差是誤差與真值之比；通常用標準偏差和平均值之比作為相對誤差

12、的估計值。相對誤差常他用符號 來表示，并表示成百分數(shù)。三三. .過失誤差過失誤差( (異常值異常值) )的剔除的剔除 1. .拉依達準則：適用于測量次數(shù)n較大的測量。 2.肖維涅準則： （16頁） 3.格拉布斯準則：x0 x0 xxE)(xScxn)(),(xSgxPn第三節(jié) 有效數(shù)字一一. .有效數(shù)字的概念有效數(shù)字的概念 我們把測量結(jié)果中準確數(shù)字和存疑數(shù)字的全體統(tǒng)稱為測量結(jié)果的有效數(shù)字。二二. .運算后的有效數(shù)字運算后的有效數(shù)字 1.一般按以下原則處理： （1 1）準確數(shù)字與準確數(shù)字相運算，其結(jié)果為準確）準確數(shù)字與準確數(shù)字相運算，其結(jié)果為準確數(shù)字；數(shù)字； （2 2）準確數(shù)字與存疑數(shù)字或存疑數(shù)

13、字與存疑數(shù)字）準確數(shù)字與存疑數(shù)字或存疑數(shù)字與存疑數(shù)字相運算，其結(jié)果為存疑數(shù)字；相運算，其結(jié)果為存疑數(shù)字； （3 3）存疑數(shù)字一般取一位）存疑數(shù)字一般取一位。 2.計算誤差時有效數(shù)字的確定 實驗結(jié)果位數(shù)取舍：實驗結(jié)果的末位必須與實驗結(jié)果位數(shù)取舍：實驗結(jié)果的末位必須與誤差所在的位對齊。誤差所在的位對齊。 標準偏差只取一位有效數(shù)字，相對誤差取兩標準偏差只取一位有效數(shù)字，相對誤差取兩位有效數(shù)字，取位時一律進位（只進不舍）。位有效數(shù)字，取位時一律進位（只進不舍）。3.不計算誤差時有效數(shù)字的確定 示例 （1）加減運算后結(jié)果的末位和參加運算的各數(shù)值加減運算后結(jié)果的末位和參加運算的各數(shù)值中最先出現(xiàn)的可疑位（小

14、數(shù)位最少）一致中最先出現(xiàn)的可疑位（小數(shù)位最少）一致。 （2）乘除運算后所得數(shù)值的有效數(shù)字的位數(shù)和參乘除運算后所得數(shù)值的有效數(shù)字的位數(shù)和參加運算的各數(shù)值中有效數(shù)字最少的數(shù)值的位數(shù)相加運算的各數(shù)值中有效數(shù)字最少的數(shù)值的位數(shù)相同同。 （3 3）函數(shù)運算后的有效數(shù)字由誤差來決定。）函數(shù)運算后的有效數(shù)字由誤差來決定。三三. .使用有效數(shù)字運算規(guī)則時應注意的問題使用有效數(shù)字運算規(guī)則時應注意的問題 1. 在運算中，常數(shù)、無理數(shù)、常系數(shù)等他們的位數(shù)可以認為是無限制的。計算中所取的位數(shù)應足夠多，以免引入計算誤差。 2.對數(shù)運算時，首數(shù)不算有效數(shù)字。 3.首數(shù)是8或9的m位數(shù)值的有效數(shù)字可多取一位（算作m+1位）

15、 4. 有多個數(shù)值參加運算時，在運算中途各數(shù)值的位數(shù)應比按有效數(shù)字運算規(guī)則規(guī)定的位數(shù)多取一位，以防止由于多次取舍引入計算誤差，但運算最后仍應舍去。 四四. .數(shù)值的修約規(guī)則數(shù)值的修約規(guī)則: :四舍六入五湊偶四舍六入五湊偶（20頁） 要舍去的第一位數(shù)是1、2、3、4時就直接舍去。是6、7、8、9時，在舍去的同時向上一位進1。要舍去的一位是5，而保留的最后一位為奇數(shù)時，則舍5進1；如果要保留的最后一位是偶數(shù)，則舍去5不進位，但5的下一位不是零時仍然要進位。 例如，將下列數(shù)值保留三位有效數(shù)字 3.54253.54（小于五舍去） 3.54503.54 （等于五湊偶） 3.54663.55 （大于五進位

16、) 3.545013.55 （大于五進位） 3.53503.54 （等于五湊偶） 3.54493.54 （小于五舍去） 第四節(jié) 數(shù)據(jù)處理v 大學物理實驗課中常用的數(shù)據(jù)處理方法有以下幾種：v 直接測量量的數(shù)據(jù)處理；v 間接測量量的數(shù)據(jù)處理；v 列表作圖法；v 逐差法。 一一. .直接測量的數(shù)據(jù)處理步驟直接測量的數(shù)據(jù)處理步驟 示例示例1 1 1.計算被測量測量列 的算術(shù)平均值 ； 2.用貝塞爾公式計算測量列的標準誤差 ； 3.用肖維涅準則審查實驗數(shù)據(jù)，如發(fā)現(xiàn)有異常數(shù)據(jù)應予舍棄，舍棄該數(shù)據(jù)后再重復第1、2、3步； 4.計算算術(shù)平均值的標準偏差 ,將其與儀器誤差限（可估讀儀器為半精度，不可估讀儀器為精

17、度）進行比較，取較大值作為此次測量的誤差； 5.如有已知的系統(tǒng)誤差，則將平均值加上修正值作為最后的測量結(jié)果； 6.計算相對誤差： 7.實驗結(jié)果表示為： 單位 )(xS%100)(xxSE)(xsxxx)(xSixE 二二. .間接測量的數(shù)據(jù)處理步驟間接測量的數(shù)據(jù)處理步驟 示例2. 設(shè)待測量 ,可測得測量列 1.對已測得的各直接測量列 進行數(shù)據(jù)處理得出其結(jié)果表達式（步驟同前）； 2.將第1步算得的各測量列的平均值代入函數(shù)式計算間接測量量 的算術(shù)平均值，即 ； 3.將第1步結(jié)果中各量的標準偏差或相對誤差代入誤差傳遞公式（公式表）計算間接測量量 的標準偏差 或相對誤差 ； 4.寫出間接測量量 的結(jié)果

18、表達式 單位單位),(zyxfN ),(zyxfN )(NS( )NNS xENNNiiizyx,Eiziiizyx, 三三. . 實驗數(shù)據(jù)列表與作圖法處理實驗數(shù)據(jù)實驗數(shù)據(jù)列表與作圖法處理實驗數(shù)據(jù) 1.實驗數(shù)據(jù)列表 在記錄和處理實驗數(shù)據(jù)時常常將數(shù)據(jù)列成數(shù)據(jù)列表，數(shù)據(jù)列表可以簡潔而明確地表示出有關(guān)物理量之間的對應關(guān)系，便于及時檢查測量結(jié)果是否合理、及時發(fā)現(xiàn)問題和分析問題，有助于找出有關(guān)物理量之間規(guī)律性的聯(lián)系。 2.作圖步驟（21頁）： （1）選擇合適的直角坐標紙。 （2）確定坐標軸，選擇合適的坐標原點，畫出坐標軸線，標出箭頭方向并注明坐標軸所代表的物理量符號及其單位，注明坐標分度值。 （3）根據(jù)列表中的數(shù)據(jù)，實驗點可用“”