BBD二階常系數(shù)非齊次PPT課件

1、1二階線性常系數(shù)第六節(jié)第六節(jié)二、二、 第四章 一、非齊次微分方程三、三、第1頁/共23頁2二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法待定系數(shù)法第2頁/共23頁3一、一、特征方程令：令：令：其中是 x 的 m多項(xiàng)式第3頁/共23頁4例例1.的通解.解解: 先求Y特征方程為設(shè)所求特解為代入方程 :比較系數(shù), 得于是所求特解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：再求 y*,通解為第4頁/共23頁5例例2：的通解解解: 先求Y特征方程為設(shè)所求特解為對(duì)應(yīng)齊次方程的

2、通解為：再求 y*,代入方程整理得 :矛盾！問題是 y* 所設(shè)，本題與例1的區(qū)別在于題中缺 y 項(xiàng)。設(shè)第5頁/共23頁6將將代入原方程比較系數(shù), 得于是所求特解為通解為若有初始條件求特解將初始條件代入整理得特解為第6頁/共23頁7例例3：的通解解解: 先求Y特征方程為設(shè)所求特解為代入方程 :于是所求特解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：再求 y*,通解為第7頁/共23頁8二、二、 為實(shí)數(shù) ,設(shè)特解為其中 為待定多項(xiàng)式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 則取從而得到特解形式為為 m 次多項(xiàng)式 .Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項(xiàng)式第8頁/共23頁9(2) 若 是特征方程的單根 , 為

3、m 次多項(xiàng)式,故特解形式為(3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多項(xiàng)式,故特解形式為小結(jié)小結(jié)對(duì)方程,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .即即當(dāng) 是特征方程的 k 重根 時(shí),可設(shè)特解第9頁/共23頁10例例1：的通解。解解: 先求Y特征方程為設(shè)所求特解為代入方程 :比較系數(shù), 得于是所求特解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：再求 y*,通解為第10頁/共23頁11例例2. 的通解. 解解: 本題特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為特解為代入方程比較系數(shù), 得所求通解為若設(shè)非齊次方程特解為代入方程比較系數(shù), 得矛盾第11頁/共23頁12例例3. 求方程求方程的通解. 解解: 本題

4、特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù) , 得因此特解為代入方程得所求通解為第12頁/共23頁13例例4 求滿足求滿足且在原點(diǎn)處與直線相切的曲線表達(dá)式。解解: 先求Y特征方程為設(shè)所求特解為代入方程整理得 :比較系數(shù), 得于是所求特解為再求 y*,通解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為第13頁/共23頁14由題意可得初始條件由題意可得初始條件：代入代入所求曲線方程為：例例4：求滿足且在原點(diǎn)處與直線相切的曲線表達(dá)式。第14頁/共23頁15可以證明可以證明具有如下形式的特解其中 a , b 為待定系數(shù)。 k 的取法規(guī)則是： 取取對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程的特征根上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情

5、形. 三、三、其中均為常數(shù)。第15頁/共23頁16例例1 求微分方求微分方程程的通解此方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程特征根設(shè)將代入原方程，整理后并約去非零因式對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解解解第16頁/共23頁17比較兩端的同類項(xiàng)系數(shù)，比較兩端的同類項(xiàng)系數(shù)，得得方程的特解方程的通解得第17頁/共23頁18例例2. 的通解. 解解: 特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù), 得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的根 ,因此設(shè)非齊次方程特解為第18頁/共23頁19例例3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解特征根:齊次方程通解:令非齊次方程特解為代入方程可得原方程通解為解解特征方程第19頁/共23頁20例例4.且滿足方程提示提示: 則問題化為解初值問題:最后求得第20頁/共23頁21例例5 求求的通解解：解：由由設(shè)代入上式整理得：通解：第21頁/共23頁22內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 為特征方程的 k (0, 1,