《超級(jí)畫板》第七篇立體幾何

1、超級(jí)畫板第七篇 立體幾何 本書介紹的超級(jí)畫板的版本，并不具有立體幾何作圖的功能；但它也可以用來畫一些模擬立體關(guān)系的圖形。偶爾用上了，就免去了切換軟件的麻煩。如果您在某一段相當(dāng)長的時(shí)間內(nèi)都要作立體圖形，建議使用其他的軟件，例如Z+Z智能教育平臺(tái)系列中的“立體幾何”。該軟件具有的立體幾何動(dòng)態(tài)測量、直接作出3維坐標(biāo)點(diǎn)、在空間對(duì)點(diǎn)、線、圓的跟蹤以及空間參數(shù)曲線等功能，更要方便一些。但是，用超級(jí)畫板作出的圖形，要更漂亮一些。一 長方體的截面 用一張平面截割一個(gè)長方體，得到的截面都是什么形狀？這是立體幾何課上常常要講的內(nèi)容。也常常被作為多媒體課件的題材。 本書配套資源中的文件“7-1長方體的截面.zjz”

2、的第1頁中，顯示出用超級(jí)畫板制作的交互性模擬長方體，如圖7-1： 圖7-1 拖動(dòng)點(diǎn)A可以改變視角。當(dāng)點(diǎn)A被拖到直線OF的右側(cè)時(shí)，線段HG由實(shí)線變?yōu)樘摼€，而OF由虛線變?yōu)閷?shí)線；當(dāng)點(diǎn)A被拖到直線OH的上方時(shí)，線段OH由虛線變?yōu)閷?shí)線，而GF由實(shí)線變?yōu)樘摼€；等等。 不妨先想想，這種模擬立體感的效果，是如何做出來的？ 用來截割立方體的平面，是由分別在射線CD、DE、DG上所取的3個(gè)點(diǎn)I、J、K所確定的。文件中另外作了3個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)地命名為i、j、k，拖動(dòng)點(diǎn)i、j、k可以控制點(diǎn)I、J、K的位置，從而改變截割平面的位置。相應(yīng)地，截面的形狀變?yōu)槿切?、四邊形、五邊形或六邊形這些在不同情形分別顯示出不同的截面的效

3、果，又是如何做出來的？下面來說明制作這樣的立體效果的操作原理。說明了其實(shí)很簡單。先來說明虛線和實(shí)線相互轉(zhuǎn)化的道理。其實(shí)，這些能夠虛實(shí)變化的線段，都是兩條線重疊而成。當(dāng)兩條線中的實(shí)線隱藏起來時(shí)，就只看見虛線了。你會(huì)想到，在一定條件下隱藏實(shí)線，要用到動(dòng)態(tài)alpha參數(shù)。類似地，截面的變化，也是利用動(dòng)態(tài)alpha參數(shù)做出來的效果。大致操作分為4步：（1）畫出長方體的骨架；（2）作出截割平面和有關(guān)截面的頂點(diǎn)；（3）實(shí)現(xiàn)虛實(shí)線變化的效果；（4）作出截面多邊形并設(shè)置其動(dòng)態(tài)alpha參數(shù)。本課件具體步驟較為繁瑣，此處從略，有興趣的讀者參看超級(jí)畫板自由行。 習(xí)題7-1 掌握本課件的使用操作。打開上述文件的第2

4、頁，觀察圖中的立方體和截面。這里確定切割平面的三個(gè)點(diǎn)I、J、K分別在3條相互平行的棱上。找尋應(yīng)當(dāng)填充而未填充或填充錯(cuò)誤的截面，填充并且正確設(shè)置其動(dòng)態(tài)alpha參數(shù)。二 圓錐、圓臺(tái)和圓柱的體積 打開配套資源中文件“圓錐圓臺(tái)和圓柱的體積.zjz”的第一頁，如圖7-2。 圖7-2 圖中有一個(gè)圓錐體的直觀圖。下方有參數(shù)R和h的變量尺。左上部的測量數(shù)據(jù)文本指出h=AB是圓錐體的高，R=AC是圓錐體底面的半徑，V=R2h/3是圓錐的體積。拖動(dòng)變量尺上的滑鈕，可以改變圓錐的高h(yuǎn)和底半徑R，這時(shí)圖上的圓錐和3個(gè)測量數(shù)據(jù)都會(huì)作相應(yīng)的改變。 拖動(dòng)變量尺上的滑鈕來改變參數(shù)，很難讓參數(shù)取到準(zhǔn)確的整數(shù)值，這對(duì)于有些練習(xí)

5、題的呈現(xiàn)很不方便。我們可以將變量動(dòng)畫和變量尺結(jié)合起來，方便地對(duì)參數(shù)R和h進(jìn)行設(shè)置。注意到左下部有一條較短的變量尺，尺的右方注有“設(shè)置整數(shù)值”的字樣。拖動(dòng)這條變量尺上的滑鈕，變量尺上面的數(shù)字框里的整數(shù)會(huì)改變。圖上的當(dāng)前整數(shù)值是11。這時(shí)單擊標(biāo)注有“設(shè)置h為整數(shù)”的按鈕，h的值就會(huì)準(zhǔn)確地變成11；若再拖動(dòng)此變量尺的滑鈕使上面的整數(shù)值調(diào)整為7, 單擊標(biāo)注有“設(shè)置R為整數(shù)”的按鈕，R的值就會(huì)準(zhǔn)確地變成7。當(dāng)然，圓錐體積的測量數(shù)據(jù)也會(huì)相應(yīng)地變化。 如果需要參數(shù)R和h準(zhǔn)確地取其它數(shù)值，還可以打開這兩個(gè)標(biāo)注有“設(shè)置為整數(shù)”的按鈕的屬性對(duì)話框，直接進(jìn)行設(shè)置。 文件的第2頁畫了一個(gè)直觀的圓臺(tái)體，有類似的變量尺、

6、測量數(shù)據(jù)文本框和按鈕，只是多了一個(gè)參數(shù)r，即圓臺(tái)上底的半徑。如圖7-3。 圖7-3 在兩個(gè)圖中，右上部都有一個(gè)標(biāo)注有“渲染”字樣的按鈕和一條標(biāo)注有“渲染顏色”的變量尺。拖動(dòng)該變量尺上的滑鈕，錐體(臺(tái)體)的渲染顏色會(huì)有多種多樣的變化。單擊“渲染”按鈕，渲染顏色會(huì)消失而留下線條圖，如圖7-4；再單擊“渲染”按鈕，渲染顏色恢復(fù)。 圖7-4 下面以第一頁為例，說明圓錐體直觀圖的畫法，渲染著色的方法，設(shè)置參數(shù)為整數(shù)的方法以及隱藏和恢復(fù)渲染顏色的按鈕的制作方法。至于第2頁，還多了一些功能，留作習(xí)題。 注意這里的說明中，操作順序和上述文件不完全一樣。1. 圓錐體直觀圖的畫法(1) 用文本作圖命令，作錐體底面

7、中心A、頂點(diǎn)B和底面圓周上一點(diǎn)C(編號(hào)順次為5、6、7):Point(0, 0, , , ,);Point(0, h, , , ,);Point(R, 0, , , ,); (2) 連接線段AB、AC、BC(編號(hào)順次為8、9、10)：Segment(5, 6, );Segment(5, 7, );Segment(6, 7, ); (3) 順次選擇點(diǎn)C和線段AC、BC、AB（最后選擇的是對(duì)稱軸），在右鍵菜單中單擊“關(guān)于直線的對(duì)稱圖形”，作出點(diǎn)C和線段AC、BC關(guān)于直線的對(duì)稱圖形點(diǎn)D和線段AD、BD。若用文本命令，其函數(shù)序列為： Symmetric(7, 8, );Symmetric(9, 8,

8、);Symmetric(10, 8, ); 這里的作圖函數(shù)“Symmetric(, , );”是文本作圖對(duì)話框里“圖形變換”類里的第1個(gè)。其中第一個(gè)參數(shù)是要作對(duì)稱變換的幾何對(duì)象的編號(hào)，第2個(gè)參數(shù)是對(duì)稱軸的編號(hào)。每執(zhí)行1條命令只能對(duì)1個(gè)幾何對(duì)象作變換。(4) 使用文本作圖命令做出圓錐底面的直觀圖。它是一個(gè)以A為心，AC=R為長半軸的標(biāo)準(zhǔn)橢圓（編號(hào)14）。作圖函數(shù)是文本作圖對(duì)話框中“圓錐曲線”類里的第1個(gè)：NormalEllipse(5, a=R, b=R/6, x, ); 其中第1個(gè)參數(shù)是橢圓中心A的編號(hào)；第2個(gè)參數(shù)a=R表示橢圓的長半軸為R；第3個(gè)參數(shù)b=R/6表示橢圓的短半軸為R/6；第4個(gè)

9、參數(shù)x表示橢圓的長軸平行于X軸。嚴(yán)格說來，等腰三角形BCD是圓錐體的平行于畫面的軸截面，不是圓錐體的直觀的輪廓線。直觀地看，輪廓線應(yīng)當(dāng)是自點(diǎn)B所作的橢圓的兩條切線段，它們與BC、BD很接近。另外，下面作出的圓錐體母線的軌跡，也就形成了圓錐體的直觀的輪廓線。2. 圓錐體渲染著色的方法 (5) 用智能畫筆，在橢圓上取任意點(diǎn)E（編號(hào)15）；作線段BE（編號(hào)16，注意上述文件中為線段BG, 編號(hào)也不同）。文本作圖命令為： PointOnConic(14, );Segment(6, 15, ); (6) 用文本作圖命令做出線段BE的軌跡（編號(hào)17）： Locus(15, , , , , ,16 );(7

10、) 對(duì)軌跡的屬性進(jìn)行設(shè)置：頻率設(shè)置在200到400之間；參數(shù)保持缺省值0到2*pi；(8) 注意，這軌跡是線段BE的軌跡，將線段BE的畫筆設(shè)置為動(dòng)態(tài)顏色，軌跡的顏色才能多姿多彩。選擇線段BE，單擊右鍵打開其屬性對(duì)話框，在“畫筆”欄中點(diǎn)選“動(dòng)態(tài)顏色”，打開“動(dòng)態(tài)顏色”對(duì)話框；在對(duì)話框上部“顏色類型”欄點(diǎn)選“HLS()顏色空間”；如圖7-5，在下部第一行左欄鍵入顏色參數(shù) a+u000*36，將此行右欄中的255改為360；在第2行左欄鍵入亮度參數(shù)0.5；在第3行鍵入飽和度參數(shù)1。單擊“確定”關(guān)閉動(dòng)態(tài)顏色對(duì)話框；再單擊“確定”關(guān)閉屬性對(duì)話框。 圖7-5 上面設(shè)置的顏色參數(shù)a+u000*36中的變量u

11、000，是點(diǎn)E在橢圓上的位置參數(shù)，也是BE的軌跡的參數(shù)。隨著點(diǎn)E在橢圓上的位置的變化，u000在0到2之間取不同的值，BE的軌跡也就呈現(xiàn)出不同的顏色。參數(shù)a是一個(gè)自由變量，a的變化可以影響軌跡顏色的范圍。(9) 用文本命令做出參數(shù)a的變量尺，變化范圍設(shè)置為0到360： Variable(a, 0, 360, ); 拖動(dòng)變量尺上的滑鈕，可以看到軌跡顏色的變化。3.設(shè)置參數(shù)為整數(shù)的方法（10）執(zhí)行菜單命令“測量|測量表達(dá)式”，在測量表達(dá)式對(duì)話框中分別輸入R、h和 pi*h*R2/3，作出R、h和圓錐體積 R2h/3的測量數(shù)據(jù)文本框。另外，再輸入表達(dá)式 floor(x)，作出其測量數(shù)據(jù)的文本框，為設(shè)

12、置參數(shù)為整數(shù)作準(zhǔn)備。這些操作的文本命令為： MeasureExpress(R);MeasureExpress(h);MeasureExpress(pi*R2*h/3);MeasureExpress(floor(x);(11) 用文本作圖命令作出參數(shù)R、h和x的變量尺： Variable(R, 0, 20, );Variable(h, 0, 20, );Variable(x, 0, 20, );（12）在右鍵菜單中單擊“動(dòng)畫”，在對(duì)話框中輸入R 和h，兩參數(shù)之間用逗號(hào)分開。單擊確定，作出參數(shù)R和h的動(dòng)畫按鈕。其文本命令為： AnimationVar(R, );AnimationVar(h, );

13、 兩個(gè)按鈕的屬性設(shè)置相同：頻率設(shè)置為1（或不超過10），最大值和最小值都設(shè)置為floor(x)，類型設(shè)置為一次運(yùn)動(dòng)，文本寫成“設(shè)置R為整數(shù)”或“設(shè)置h為整數(shù)”。 這樣操作后，只要單擊其中一個(gè)按鈕，就可以把R或h設(shè)置為floor(x)的當(dāng)前值了。4 制作隱藏和顯示對(duì)象的按鈕前面我們都是用設(shè)置動(dòng)態(tài)alpha參數(shù)的辦法來控制對(duì)象的隱藏和顯示。現(xiàn)在介紹直接制作隱藏顯示按鈕的方法。(1) 打開文本作圖命令對(duì)話框，展開“對(duì)象的屬性”條目下的函數(shù)列表，兩次雙擊第一行的“Button”函數(shù)（這是單變?cè)瘮?shù)，用來制作隱藏或顯示按鈕），再雙擊第2行的“Button” 函數(shù)（這是多變?cè)瘮?shù)，用來制作序列按鈕）。在上

14、方的文本編輯欄里鍵入?yún)?shù)構(gòu)造3行文本命令： Button(A);Button(B);Button(28, 29, ,渲染 );如圖7-6： 圖7-6這里，前兩個(gè)函數(shù)中的參數(shù)A和B分別是所生成的按鈕上的文本，即按鈕的名字。至于按鈕的作用，下面要再作設(shè)置。第3個(gè)函數(shù)中的參數(shù)28、29分別是按鈕A、B的編號(hào)。這是因?yàn)楫?dāng)前的對(duì)象編號(hào)已到27，新生成的按鈕編號(hào)自然是28、29了。參數(shù)“渲染”是第3個(gè)按鈕上面的文本，即該按鈕的名字。運(yùn)行文本命令后，生成按鈕A、按鈕B和渲染按鈕。（2）右鍵單擊按鈕A，在右鍵菜單中單擊“屬性”打開屬性對(duì)話框，如圖7-7的左部。 7-7在對(duì)話框的“動(dòng)作”欄的左上部空白條的右端，

15、有一個(gè)帶黑三角的按鈕。單擊黑三角展開一個(gè)功能目錄，其中第1行是“Hide”（隱藏），第3行是“Show”（顯示），這是最常用的兩種功能。單擊“Hide”，則“Hide”出現(xiàn)在上部空白條內(nèi)，功能目錄關(guān)閉；單擊“增加動(dòng)作”按鈕，則在左下部空白欄中出現(xiàn)“隱藏對(duì)象”字樣。單擊“隱藏對(duì)象”，則此行文本被黑色覆蓋，文字反白。這時(shí)可以指定要隱藏的對(duì)象了。在對(duì)話框右部的對(duì)象列表欄里，雙擊17號(hào)對(duì)象“軌跡 BE”，則在中上部空白欄里出現(xiàn)一行“17 軌跡 BE”。如果需要，還可以雙擊想隱藏的其它對(duì)象。這里我們只要隱藏此軌跡，就單擊“確定”關(guān)閉對(duì)話框。（3）右鍵單擊按鈕B，在右鍵菜單中單擊“屬性”打開屬性對(duì)話框，如

16、圖7-11的右部。單擊左上部空白條的右端黑三角，展開功能目錄，單擊“Show”，則“Show”出現(xiàn)在上部空白條內(nèi)，功能目錄關(guān)閉；單擊“增加動(dòng)作”按鈕，則在左下部空白欄中出現(xiàn)“顯示對(duì)象”字樣。單擊“顯示對(duì)象”，則此行文本被黑色覆蓋，文字反白。這時(shí)可以指定要顯示的對(duì)象了。在對(duì)話框右部的對(duì)象列表欄里，雙擊17號(hào)對(duì)象“軌跡 BE”，則在中上部空白欄里出現(xiàn)一行“17 軌跡 BE”。單擊“確定”關(guān)閉對(duì)話框。上述設(shè)置完成后，單擊按鈕A則軌跡隱藏，單擊按鈕B則軌跡出現(xiàn)。若單擊渲染按鈕，則軌跡隱藏；再單擊它，軌跡出現(xiàn)。所以，渲染按鈕兼有按鈕A和按鈕B的作用，從而可以把按鈕A和按鈕B隱藏起來。這只要在對(duì)象工作區(qū)單

17、擊這兩個(gè)按鈕項(xiàng)前面的小方形；或選擇這兩個(gè)按鈕再在右鍵菜單中單擊“隱藏”。文件的第2頁，比第一頁多了一個(gè)長半軸為r橢圓（圓臺(tái)的上底面）。相應(yīng)地多了有關(guān)r的變量尺、測量數(shù)據(jù)文本框和設(shè)置r為整數(shù)的動(dòng)畫按鈕。此外，當(dāng)設(shè)置r=0時(shí)，圓臺(tái)成為圓錐；當(dāng)設(shè)置R和r為同一數(shù)值時(shí)，圓臺(tái)又成為圓柱。相應(yīng)的，在這兩種情形下，會(huì)出現(xiàn)圓錐體積公式和圓柱體積公式的測量數(shù)據(jù)文本框，如圖7-8和圖7-9。 圖7-8 圖7-9習(xí)題7-2 參考上述文件的第2頁，做出一個(gè)圓臺(tái)的直觀圖和體積的測量數(shù)據(jù)文本框。要求當(dāng)圓臺(tái)上底半徑為0時(shí)成為圓錐，當(dāng)兩底半徑相等時(shí)成為圓柱，并同時(shí)出現(xiàn)圓錐和圓柱的體積公式和測量數(shù)據(jù)。習(xí)題7-3 試畫出上述圓臺(tái)

18、的側(cè)面展開圖，并制作其面積測量數(shù)據(jù)文本框(參看文件第3頁)。 三 空間的曲線這一節(jié)里，我們以空間的螺旋線和李薩如曲線為例，說明繪制動(dòng)態(tài)空間曲線的方法。打開本書配套資源中的文件“7-3圓柱面上的螺旋線.zjz”第一頁，如圖7-10。 圖7-10 圖中的點(diǎn)A、B、C、E是可以拖動(dòng)的。單擊“顯示或隱藏說明”按鈕，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)文本框，其中有操作說明和空間曲線參數(shù)方程以及它在平面上的投影的參數(shù)方程。操作說明指出：拖動(dòng)點(diǎn)A(a,0)改變螺旋圈數(shù)，拖動(dòng)點(diǎn)B(b,c)改變投影方向，拖動(dòng)點(diǎn)C (b*k,c*k)改變螺圈直徑，拖動(dòng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)螺旋線。你不妨動(dòng)手拖一拖，先有些感性認(rèn)識(shí)。再來看空間曲線的參數(shù)方程:從方程看出

19、，螺旋線的軸線應(yīng)當(dāng)和X軸重合，這和圖上的曲線不一樣。原來，圖上的曲線是旋轉(zhuǎn)過的。在左方的對(duì)象工作區(qū)用鼠標(biāo)單擊編號(hào)為5的曲線前的小方形來勾選它，就可以看見曲線的原型。知道了空間曲線的參數(shù)方程，如何在平面坐標(biāo)系里直觀地把曲線畫出來呢？設(shè)想把空間曲線投影在XY平面上，會(huì)有多種投影方法。不論哪種方法，都相當(dāng)于用一組變換公式，把空間點(diǎn)的三維坐標(biāo)變成投影點(diǎn)的二維坐標(biāo)。用（x,y,z）表示空間點(diǎn)的三維坐標(biāo)，(f,g)表示投影點(diǎn)的二維坐標(biāo)，u、v是兩個(gè)參數(shù)，有一個(gè)簡單的常用的變換是： 這個(gè)變換表示的一類投影叫做“斜二側(cè)類投影”。在上述變換公式中，取u=b、v=c、x=x(t)、y=y(t)、z=z(t) 則上

20、述空間曲線在XY平面上的投影的參數(shù)方程為： 有這個(gè)公式，以下的操作就是順理成章的了。1. 根據(jù)空間曲線參數(shù)方程繪制圓柱面上的螺旋線(1) 用文本命令作出曲線和有關(guān)的控制點(diǎn)： Function(t+b*k*cos(a*t), k*sin(a*t)+c*k*cos(a*t), t, 0, 6*pi, 500, );Point(a, 0, a , , );Point(b, c, b, c, , );Point(b*k,c*k, k, , , );Point(b*k*cos(6*a*pi)+6*pi, k*sin(6*a*pi)+c*k*cos(6*a*pi), , , , );這里第1行作出曲線，以

21、下幾行順次作出坐標(biāo)點(diǎn)A、B、C、D；其中C和D分別是曲線的兩端點(diǎn)，而點(diǎn)D是不能拖動(dòng)的。(2) 單擊“文本”圖標(biāo)或執(zhí)行菜單命令“插入|文本”，在打開的對(duì)話框里輸入說明文字和有關(guān)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，單擊“確定”作出說明文本，編號(hào)為10。 此操作若用文本命令執(zhí)行，命令文本為： Text(拖動(dòng)點(diǎn)A(a,0)改變螺旋圈數(shù)拖動(dòng)點(diǎn)B(b,c)改變投影方向拖動(dòng)點(diǎn)C (b*k,c*k)改變螺圈直徑拖動(dòng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)螺旋線空間曲線參數(shù)方程:$fcx(t)=t,y(t)=k*sin(a*t),z(t)=k*cos(a*t)曲線在x-y平面上的投影的參數(shù)方程:$fcx(t)=t+b*k*cos(a*t),y(t)=k*sin(a

22、*t)+c*k*cos(a*t);注意，在文本命令函數(shù)內(nèi)使用分號(hào)可能會(huì)出錯(cuò)，所以這里在方程的表達(dá)式之間用逗號(hào)分隔。運(yùn)行后，再將方程表達(dá)式中的逗號(hào)重新編輯為分號(hào)，才能正確顯示。 (3) 以下添加其他文本標(biāo)題，并制作按鈕來控制編號(hào)為10的說明文本的隱藏和顯示。TransformText(等徑螺旋線);Text(圓柱面上的螺旋線);Button(1);Button(2);Button(13, 14, , 顯示或隱藏說明); Text(參數(shù)方程作圖); 控制隱藏顯示的按鈕的制作方法見前一節(jié)“二 圓錐、圓臺(tái)和圓柱的體積”的第4段“4制作隱藏和顯示對(duì)象的按鈕”。 (4) 最后，對(duì)曲線作一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換：Poi

23、nt(3, 2, );MeasureAngleOfVector(7,17 );Rotate(5, 7, m000, );Rotate(8, 7, m000, );Rotate(9, 7, m000, );這里第1行命令作出編號(hào)為17的自由點(diǎn)E, 其初始位置為（3，2）；第2行命令測量出BE的方向角m000（注意，點(diǎn)E的編號(hào)為7），作為后面旋轉(zhuǎn)的參數(shù)。以下3條命令，分別對(duì)曲線（編號(hào)5）、點(diǎn)C和點(diǎn)D（編號(hào)分別為8和9）作旋轉(zhuǎn)；旋轉(zhuǎn)中心為B, 旋轉(zhuǎn)角為m000。這樣，把原來編號(hào)為5的曲線隱藏后，就是圖7-10中的曲線了。2繪制圓柱面上的螺旋線的軌跡方法上述文件的第2頁，如圖7-11，畫出了圓柱側(cè)面上

24、的螺旋線。圖7-11其文本作圖程序只有13行： Point(1, 1, );Point(1, -1, );EllipseOfFocusPoint(1, 5, 6, );Point(1, 5, );Translate(7, 1, 8, );PointOnConic(7, );Segment(1, 8, );PointOnLine(11, );Parallelogram(10, 1, 12, );Locus(10, 12, , , , , 13);Translate(11, 1, 10, );Locus(10, , , , , ,15 );TransformText(圓柱面上的螺旋線);這里開始2

25、行作出自由點(diǎn)A、B（編號(hào)分別為5，6）；第3行，作出以O(shè)、A為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)B的橢圓（編號(hào)為7）作為圓柱體的下底面；第4行，作出自由點(diǎn)C；第5行，對(duì)橢圓作沿向量OC的平移，得到圓柱體的上底面；第6行，在前一個(gè)橢圓（編號(hào)為7）上取點(diǎn)D（編號(hào)為10）；第7行，連接線段OC（編號(hào)為11）；第8行，在線段OC上取點(diǎn)E（編號(hào)為12）；第9行，作點(diǎn)F（編號(hào)為13）使EODF為平行四邊形;第10行，以點(diǎn)D、E為主動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)F的軌跡（螺旋線）；第11行，對(duì)線段OC作沿向量OD的平移，得到圓柱體的一條母線（編號(hào)為15）；第12行，以點(diǎn)D為主動(dòng)點(diǎn)，作圓柱體的母線的軌跡（渲染用）；第13行，添加標(biāo)題。運(yùn)行后，要對(duì)軌跡

26、的屬性進(jìn)行設(shè)置。點(diǎn)F的軌跡頻率設(shè)置在200以上，周期比設(shè)置為10和1。母線的軌跡的顏色變化，是通設(shè)置母線本身的動(dòng)態(tài)顏色而實(shí)現(xiàn)的，方法和前一節(jié)類似。3. 根據(jù)空間曲線參數(shù)方程繪制圓錐面上的螺旋線操作過程和根據(jù)空間曲線參數(shù)方程繪制圓柱面上的螺旋線完全一樣，不同的只是曲線的參數(shù)方程，可作為習(xí)題。操作時(shí)可參看文件“7-4圓錐面上的螺旋線.zjz”第1頁，如圖7-12。 圖7-12 從圖中可以看出曲線在空間和在投影平面上的參數(shù)方程。文本命令程序如下：Function(t+b*(y*t/(6*pi)+(1-t/(6*pi)*k*sin(a*t), (x+c*y)*t/(6*pi)+(1-t/(6*pi)*

27、k*(cos(a*t)+c*sin(a*t), t, 0, 6*pi, 500, );Point(a, 0, a , , );Point(b, c, b, c, , );Point(0, k, , k, , );Point(6*pi+b*y, x+c*y, y, x, , );Text(拖動(dòng)點(diǎn)A(a,0)改變螺旋圈數(shù) 拖動(dòng)點(diǎn)B(b,c)改變投影方向 拖動(dòng)點(diǎn)C (0,k)改變螺圈直徑 拖動(dòng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)螺旋線 拖動(dòng)點(diǎn)D改變圓錐頂點(diǎn)位置空間曲線參數(shù)方程:$fcx(t)=t,y(t)=x*t/(6*pi)+(1-t/(6*pi)*k*cos(a*t),z(t)=y*t/(6*pi)+(1-t/(6*pi)

28、*k*sin(a*t)曲線在x-y平面上的投影的參數(shù)方程:$fcx(t)=t+b*(y*t/(6*pi)+(1-t/(6*pi)*k*sin(a*t),y(t)=(x+c*y)*t/(6*pi)+(1-t/(6*pi)*k*(cos(a*t)+c*sin(a*t);/運(yùn)行后將方程表達(dá)式中的逗號(hào)重新編輯為分號(hào);TransformText(圓錐面上的螺旋線);Button(1);Button(2);Button(12, 13, , 顯示或隱藏說明); Text(參數(shù)方程作圖);Point(3, 2, );MeasureAngleOfVector(7,16 );Rotate(5, 7, m000,

29、);Rotate(8, 7, m000, );Rotate(9, 7, m000, );4繪制圓錐面上的螺旋線的軌跡方法操作類似于繪制圓柱面上的螺旋線的軌跡方法。參看上述文件的第2頁(圖7-13)和后面的文本作圖命令，可作為習(xí)題。 圖7-13在運(yùn)行下述程序后，注意對(duì)軌跡的屬性進(jìn)行設(shè)置。Point(1, 1, );Point(1, -1, );EllipseOfFocusPoint(1, 5, 6, );Point(1, 5, );PointOnConic(7, );TransformText(圓柱面上的螺旋線);Text(軌跡作圖);Segment(8, 9, );Segment(5, 8,

30、);PointOnLine(13, );Segment(5, 9, );IntersectionOfLinePLine(12,14, 15, );Locus(9, 14, , , , , 16);Locus(9, , , , , ,12 );5 根據(jù)空間曲線參數(shù)方程繪制3維李薩如曲線在第四篇中我們介紹過2維的李薩如曲線(圖4-25)。3維的李薩如曲線變化更多，更有趣。它的空間參數(shù)方程為： 用帶有參數(shù)u、v的斜二側(cè)類投影，投影到XY平面上，其參數(shù)方程為 有了方程，以下就可以用文本命令繪制曲線了。文本命令程序?yàn)椋?Function(a*cos(k*t)+u*cos(n*t), b*sin(m*t)

31、+v*cos(n*t), t, 0, 8*pi, 1000, );Point(a, b, a, b, , );Point(u, v, u, v, , );Variable(k, );Variable(m, );Variable(n, );Variable(x, );AnimationVar(k, );AnimationVar(m, );AnimationVar(n, );MeasureExpress(k);MeasureExpress(m);MeasureExpress(n);TransformText(空間李薩如曲線);Text(方程作圖);這15行命令可以分為3組：1-6行是畫曲線并作出有

32、關(guān)參數(shù)的控制點(diǎn)或變量尺；7-13行是制作按鈕用來設(shè)置變量k、m、n為整數(shù)并顯示出其當(dāng)前值；最后兩行是添加標(biāo)題。 選擇不同的參數(shù)，曲線顯示出有趣的變化，如圖7-14，7-15，7-16和7-17。 圖7-14 圖7-15 圖7-16 圖7-176 繪制空間李薩如曲線的軌跡方法下面我們用軌跡方法繪制空間李薩如曲線。為了使曲線看起來更加直觀更有立體感，我們用線條構(gòu)作一個(gè)長方體的骨架，把曲線安排在長方體內(nèi)。以下的很多操作是可以用鼠標(biāo)菜單執(zhí)行的。(1) 構(gòu)作一個(gè)長方體的骨架;這里除了開始的兩個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)A、B之外，都可以用鼠標(biāo)菜單實(shí)現(xiàn)。 Point(a, b, a, b, , );Point(u, v, u

33、, v, , );Foot(5, 2, );Foot(5, 3, );Parallelogram(6, 1, 7, );Parallelogram(6, 1, 8, );Parallelogram(5, 7, 9, );Segment(1, 6, );Segment(1, 7, );Segment(1, 8, );Segment(5, 7, );Segment(5, 8, );Segment(6, 9, );Segment(6, 10, );Segment(7, 9, );Segment(11,10 , );Segment(11, 5, );Segment(11, 9, );Segment(1

34、0, 8, );（2）作出軌跡曲線Point(a*(1+cos(k*t)/2, b*(1+sin(m*t)/2, t, , , );Point(u*(1+sin(n*t)/2, v*(1+sin(n*t)/2, t, , , );Foot(24, 2, );Parallelogram(25, 1, 26, );Parallelogram(24, 26, 27, );Locus(24, , , , , ,28 );這里第1行和第2行作出兩個(gè)以變量t為拖動(dòng)參數(shù)的坐標(biāo)點(diǎn)H、I（編號(hào)為24和25，注意I在線段OB上）；第3行，自H向X軸引垂足J（編號(hào)為26）；第4行，作點(diǎn)K（編號(hào)為27）使IOJK為平

35、行四邊形；第5行，作點(diǎn)L（編號(hào)為28）使HJKL為平行四邊形（如圖7-18）；第6行，以點(diǎn)H為主動(dòng)點(diǎn)作點(diǎn)L的軌跡.運(yùn)行后，將軌跡的頻率設(shè)置為1000以上，軌跡參數(shù)設(shè)置為0到T，T增加時(shí)曲線會(huì)延長。 圖7-18(2) 以下就容易理解了。無非是作出有關(guān)參數(shù)的變量尺，做出可以將k、m、n設(shè)置為整數(shù)的按鈕，顯示這些參數(shù)的變量值以及添加標(biāo)題等。文本作圖程序如下： Variable(T, );Variable(k, );Variable(m, );Variable(n, );Variable(x, );AnimationVar(k, );AnimationVar(m, );AnimationVar(n,

36、);MeasureExpress(k);MeasureExpress(m);MeasureExpress(n);TransformText(空間的李薩如曲線);Text(軌跡作圖);對(duì)參數(shù)T、k、m、n作不同的設(shè)置，得到豐富的圖形，例如圖7-19至7-24。 圖7-19 圖7-20 圖7-21 圖7-22 圖7-23 圖7-24習(xí)題7-4參看文件“7-4圓錐面上的螺旋線.zjz”第1頁和有關(guān)的文本命令，用參數(shù)曲線作圖命令作出圓錐面上的螺旋線。習(xí)題7-5參看文件“7-4圓錐面上的螺旋線.zjz”第2頁和有關(guān)的文本命令，用軌跡作圖命令作出圓錐面上的螺旋線。四 圓錐的截線和截面平面和圓錐面相截，其截

37、線可能是橢圓、拋物線或雙曲線等。用動(dòng)態(tài)圖形直觀地表現(xiàn)這個(gè)事實(shí)，當(dāng)然是數(shù)學(xué)教學(xué)的要求。本書配套資源中的文件“7-6圓錐的截線.zjz”，可供這部分課程使用。如圖7-25，圓錐和平面LMPN相截，截線是橢圓。拖動(dòng)圖上的幾個(gè)紅點(diǎn)，可以改變圓錐和平面的位置，從而改變截線的形狀。 圖7-25圖中圓錐體有一個(gè)外切正四棱錐，四棱錐的底為正方形ADBK。在直線BK上取一點(diǎn)L，過L作BD的平行線和直線AD交于N。在棱錐的側(cè)棱JK上取點(diǎn)M, 平面LMN和另一條側(cè)棱JA交于P；圖上畫出了等腰梯形LMPN和它所在的平面和圓錐面的截線，是一個(gè)與梯形的3條邊相切的橢圓。截線上任一點(diǎn)都是圓錐母線和梯形所在平面的交點(diǎn)。交點(diǎn)作

38、法如下：在圓錐體底面周界上任取一點(diǎn)Q，過Q作AN的平行線分別和LN、KA交于T和U, 設(shè)JU和MP交于V，則TV和圓錐母線JQ都在平面JTU上。設(shè)W是直線TV和JQ的交點(diǎn)。由于TV在梯形所在平面上，所以W也就是圓錐母線JQ和梯形所在平面的交點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)Q在圓錐底面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)W的軌跡就是梯形所在平面和圓錐面的截線。拖動(dòng)點(diǎn)L，使L向點(diǎn)K方面運(yùn)動(dòng)，則所截割出的橢圓更傾斜變長變大，當(dāng)梯形所在平面和平面JBD平行時(shí)，截線成為拋物線，如圖7-26。 圖7-26繼續(xù)讓點(diǎn)L向點(diǎn)K方面運(yùn)動(dòng)，則等腰梯形所在平面和圓錐面的截線將成為雙曲線。這時(shí)可將母線JQ（文件中的32號(hào)對(duì)象）屬性中的類型轉(zhuǎn)換為直線或射線，如圖7-2

39、7。 圖7-27對(duì)上述文件中的圖形有了初步的了解后，現(xiàn)在可以進(jìn)而掌握構(gòu)圖的操作方法了。下面列出的步驟和文件中完全一致。1. 作圓錐的底面和軸線(1)作自由點(diǎn)A；自A作Y軸的垂線段AB, B為垂足。取AB中點(diǎn)C（圓錐底面中心，編號(hào)為8）；再取自由點(diǎn)D；(2)在X軸上取點(diǎn)E（編號(hào)10）；以E為心過O作圓（編號(hào)11）；過E作X軸的垂線和圓交于F（編號(hào)12）；(3) 連接線段BD、DA，分別作DA、BD的中點(diǎn)H、I（編號(hào)為16,17）；(4) 使用把三角形OEF變?yōu)槿切蜪CH的仿射變換，對(duì)編號(hào)為11的圓作變換，得到以C為心的橢圓，編號(hào)為18，即圓錐底面。這一步操作要用仿射變換文本作圖命令：Affin

40、eTriangle(11, 1, 10, 12, 17, 8, 16, );其中的7個(gè)參數(shù)，第一個(gè)是被變換的對(duì)象（圓）的編號(hào)，其次是三角形OEF的頂點(diǎn)號(hào)，然后是三角形ICH的頂點(diǎn)號(hào)； （5）自點(diǎn)C作AB的垂線CJ，J是圓錐的頂點(diǎn)；連線段JA、JB、JD； (6) 作點(diǎn)K使ADBK是平行四邊形；連線段KJ、KA、BK；2. 作截割平面和截線 （7）在BK上作點(diǎn)L，在JK上作點(diǎn)M，連線段ML； （8）在橢圓上取點(diǎn)Q（編號(hào)31），連線段QJ（編號(hào)32）； （9）連線段LB，過L作BD的平行線，交直線AD于N； （10）連線段LN，過M作BD的平行線，交直線AJ于P； （11）連線段MP、PN、DN；

41、 （12）過Q作AD的平行線，交LN于T，交AK于U；連QT、QU； （13）連JU，交MP于V； （14）連TV，交JQ于W（編號(hào)47）； （15）用文本作圖命令，作點(diǎn)W的軌跡，即截線（編號(hào)48）： Locus(31, , , , , ,47 ); （16）用文本作圖命令，作線段QJ的軌跡，即用來渲染圓錐的線條：Locus(31, , , , , ,32 );3. 修飾和截面的填充(17)用文本命令，自圓錐頂點(diǎn)J（編號(hào)19）向底面橢圓（編號(hào)18）作兩切線： Tangent(19,18 , 0, );Tangent(19,18 , 1, ); （18）作出上述兩切線與橢圓的切點(diǎn)X、Y； （19

42、）隱藏兩切線，連接線段JX、YJ； （20）順次選擇N、L、M、P四點(diǎn)，執(zhí)行右鍵菜單中“多邊形”命令，作出多邊形NLMP(編號(hào)56)；在多邊性屬性中不選擇填充； （21）用文本命令，作出多邊形NLMP與截線（編號(hào)48）區(qū)域的差（編號(hào)57）：RegionDiff(56,48, );對(duì)此區(qū)域和截線區(qū)域分別用不同的顏色填充，并使用“增加透明”圖標(biāo)，把填充的顏色調(diào)整為半透明狀態(tài)；（22）用文本命令，作出可變換文本的標(biāo)題： TransformText(圓錐的截線);在上面的操作中，步驟（21）用到了作出兩區(qū)域的差的文本作圖命令。類似的文本命令一共有4個(gè)，分別可以作出兩區(qū)域的和、交、差以及與和： Regi

43、onOr( m, n , );RegionAnd(m, n , );RegionDiff(m, n , );RegionXor(m, n, ); 其中參數(shù)m和n是兩個(gè)可填充的對(duì)象的編號(hào)。這是幾個(gè)很有用的文本作圖命令。 在上述文件中，截割平面沒有圓錐的一部份截掉。用適當(dāng)?shù)奶畛浼记?，可以作出將圓錐的一部份截掉的效果，見配套資源中文件“7-7圓錐的截面.zjz”，如圖7-28，7-29，7-30所示。有興趣的讀者，可以仔細(xì)分析該文件的作圖過程，作為習(xí)題，自己動(dòng)手模仿制作。 圖7-28 圖7-29 圖7-30 在完成下列習(xí)題時(shí)，可能遇到這樣的困難：在文件“7-7圓錐的截面.zjz”的對(duì)象工作區(qū)里列出的不少對(duì)象沒有名字。這時(shí)，你可以用右鍵單擊該對(duì)象的所在行，打開對(duì)象的屬性表， 在“文本”欄里給對(duì)象添上名字，問題就解決了。習(xí)題7-6 參看文件“7-7圓錐的截面.zjz”的第1頁（如圖7-28），制作圓錐的橢圓形截面的直觀圖。習(xí)題7-7 參看文件“7-7圓錐的截面.zjz”的第2頁（如圖7-29），制作圓錐的拋物線形截面的直觀圖。習(xí)題7-8 參看文件“7-7圓錐的截面.zjz”的第3頁（如圖7-30），制作圓錐的雙曲線形截面的直觀圖。5一些有用的立體幾何素材在教學(xué)中要用到的立體幾何動(dòng)態(tài)圖形，如果都用超級(jí)畫板來制作，