材料力學(xué)彎曲位移

1、 搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過(guò)大，就會(huì)影響零件的搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過(guò)大，就會(huì)影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。工程中的彎曲變形問(wèn)題工程中的彎曲變形問(wèn)題 橋式起重機(jī)的橫梁變形過(guò)大橋式起重機(jī)的橫梁變形過(guò)大, ,則會(huì)使小車行走困難，則會(huì)使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。因此在工程中，常常要對(duì)梁的變形加以控制因此在工程中，常常要對(duì)梁的變形加以控制 但在另外一些情況下，有時(shí)卻要求構(gòu)件具有較大但在另外一些情況下，有時(shí)卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。的彈性變形，以滿足特定的工作需要。 例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解例

2、如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動(dòng)作用。車輛受到的沖擊和振動(dòng)作用。P2P2P計(jì)算變形與位移的目的：計(jì)算變形與位移的目的：剛度校核、滿足工程要求、解超靜定梁。剛度校核、滿足工程要求、解超靜定梁。 撓曲線撓曲線撓曲線撓曲線1.梁的梁的撓曲線撓曲線：梁軸線變形后所形成的光滑連續(xù)的曲線梁軸線變形后所形成的光滑連續(xù)的曲線。6.1 6.1 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程 積分法求梁的位移積分法求梁的位移BAB1Fxq qq qwyx 2.梁位移的度量：梁位移的度量：撓度撓度：梁橫截面形心的豎向位移：梁橫截面形心的豎向位移w，向上的撓度為正，向上的撓度為正轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)

3、角：梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度：梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度q q，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正撓曲線方程撓曲線方程：撓度作為軸線坐標(biāo)的函數(shù)：撓度作為軸線坐標(biāo)的函數(shù) w=f(x) 轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程(小變形下小變形下)：轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系：轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系)( ddtanxfxwqq圖中圖中q q與與w的正負(fù)？的正負(fù)？一、梁的撓曲線一、梁的撓曲線 3 3、約束對(duì)位移的影響、約束對(duì)位移的影響沒(méi)有約束無(wú)法確定位移沒(méi)有約束無(wú)法確定位移連續(xù)光滑曲線，鉸支座對(duì)位移連續(xù)光滑曲線，鉸支座對(duì)位移的限制的限制0AByy連續(xù)光滑曲線，固定端對(duì)位移連續(xù)光滑曲線，固定端對(duì)位移的限制的限制0,0BByqPC光滑連續(xù)條件：光

4、滑連續(xù)條件：ccqqccyy二、撓曲線近似微分方程二、撓曲線近似微分方程EIxMx)()(11.力學(xué)關(guān)系力學(xué)關(guān)系：2.幾何關(guān)系幾何關(guān)系：2321)(1wwx 3.撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程：EIxMw)( yxMM00 wM，00 wM，yxMMw 略去高階微分)(xMwEI 三、積分法求梁的撓曲線三、積分法求梁的撓曲線 轉(zhuǎn)角方程；積分一次qEICdxxMEIw1)(2.支承條件與連續(xù)條件支承條件與連續(xù)條件: )(xMwEI 1.式中式中C1、C2為積分常數(shù)，由梁邊界、連續(xù)條件確定。為積分常數(shù)，由梁邊界、連續(xù)條件確定。 1) 支承條件：支承條件： 2) 連續(xù)條件：連續(xù)條件：撓曲線是光

5、滑連續(xù)唯一的撓曲線是光滑連續(xù)唯一的CxCxCxCxww|qq，y0wy0wy0; 0wwl lylwFABC撓曲線方程。再積分一次 21)(CxCdxdxxMEIwq qmaxfmax213212622)()(CxCFxFLxEIwCFxFlxEIwxlFxMEIw次：列撓曲線方程并積分兩00|00| 2010CwCwxx，得：；，得：數(shù)：由邊界條件決定積分常)3(6)2(22xlEIFxwxlEIFxwq為：轉(zhuǎn)角和撓曲線方程分別EIFLwfEIFLBB323max2maxqq解：建立坐標(biāo)系如圖解：建立坐標(biāo)系如圖x處彎矩方程為：處彎矩方程為： 例例1 圖示圖示B端作用集中力端作用集中力P的懸臂

6、梁，求其撓曲線方程。的懸臂梁，求其撓曲線方程。 yxFBAlx)()(xlFxM例例2 求圖示梁受集中力求圖示梁受集中力F作用時(shí)的撓曲線方程。作用時(shí)的撓曲線方程。 FabClABxFAFB解：解： 1、求支反力、求支反力lFaFlFbFBA；xlFbEIw 122ClFbxEIw)0(axAC段)(lxaCB段xlFbaxFEIw)(2222)(2ClFbxaxFEIw1136DxClFbxEIw22336)(6DxClFbxaxFEIw)(60; 000;2221212121bllFbCCwlxDDwxDDwwCCwwax，得處，得處，則，則時(shí)，)3(6222xblEIlFbw)(31)(2

7、2222blxaxblEIlFw)(6222xblEIlFbxw)()(62233xblxaxblEIlFw)0(axAC段)(lxaCB段 在材料服從胡克定律、且變形很小的前在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下提下,載荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。載荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。 當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷所引起的變形是各自獨(dú)立的，互不影響。所引起的變形是各自獨(dú)立的，互不影響。若計(jì)算幾個(gè)載荷共同作用下在某截面上引若計(jì)算幾個(gè)載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計(jì)算各個(gè)載荷單獨(dú)作起的變形，則可分別計(jì)算各個(gè)載荷單獨(dú)作用下的變形，然后疊加。用下的變

8、形，然后疊加。 6.2 6.2 疊加法求梁的位移疊加法求梁的位移例：例：用疊加法求用疊加法求CABfqq、Cw解：解：Cf53844qlEIPlEI348mlEI216qAqlEI324PlEI216mlEI3qBqlEI324PlEI216將梁上的各載荷分別引起的位移疊加將梁上的各載荷分別引起的位移疊加 （ ）（ ） （ ） EIml6Cw 幾個(gè)荷載共同作用下梁任意橫截面上的位移，等幾個(gè)荷載共同作用下梁任意橫截面上的位移，等于每個(gè)荷載單獨(dú)作用時(shí)該截面的位移的疊加。于每個(gè)荷載單獨(dú)作用時(shí)該截面的位移的疊加。 逐段剛化法：逐段剛化法：變形后：變形后：AB AB BC BC變形后變形后ABAB部部分

9、為曲線，分為曲線，但但BCBC部分仍部分仍為直線。為直線。C點(diǎn)的位移為：點(diǎn)的位移為：w wc c2LwwwwBBcBcq例：例：求外伸梁求外伸梁C C點(diǎn)的位移。點(diǎn)的位移。LaCABP解：解：將梁各部分分別將梁各部分分別引起的位移疊加引起的位移疊加ABCP剛化EI=PCwC11、BC部分引起的位移部分引起的位移wc1、c1c1313cpawEI EIpac221q2、AB部分引起的位移部分引起的位移wC2、 C2CABP剛化EI=wC2B2PPaB223BPaLEIq LaEIPawwwCCC3221)23(621LaEIpaCCCqqqaEIPaLafBc322q2CwaEIPaL3例例 如圖

10、所示懸臂梁，其抗彎剛度如圖所示懸臂梁，其抗彎剛度EIEI為常數(shù)，求為常數(shù)，求B點(diǎn)轉(zhuǎn)角點(diǎn)轉(zhuǎn)角和撓度。和撓度。FBA2/ l2/ lqCwBqwCqq qBFwBPFBABAqC1.在在F作用下：作用下：EIFlwEIFlBFBF3,232q查表：2.在在q作用下：作用下：EIqlEIlqwEIqlEIlqCqCq1288)2/(486)2/(4433q查表：EIqllwwEIqlCqCqBqCqBq384724843qqqBqBFBBqBFBwwwqqq3.在在F和和q共同作用下：共同作用下：例例; ;試用疊加法求圖試用疊加法求圖(a)(a)所示梁跨中截面所示梁跨中截面(B(B截面截面) )的撓

11、度。的撓度。解解:表中沒(méi)有要求的撓度公式，但仍可利用表中的有關(guān)公式。表中沒(méi)有要求的撓度公式，但仍可利用表中的有關(guān)公式。 比較圖比較圖(a),(b),(c)三者跨中的撓度值。顯然，圖三者跨中的撓度值。顯然，圖(a)和圖和圖(b)跨中的撓度值跨中的撓度值相等，而圖相等，而圖(a)和圖和圖(b)兩種情況相疊加就是圖兩種情況相疊加就是圖(c)之情況，因而有之情況，因而有由圖(c)查得wB，為所以圖(a)所示梁跨中撓度值為例例; ;試用疊加法求圖試用疊加法求圖(a)(a)所示梁跨中截面所示梁跨中截面(B(B截面截面) )的撓度。的撓度。與上題類似，圖與上題類似，圖 ( a）所示梁跨中的撓度亦為）所示梁跨

12、中的撓度亦為例例 疊加法求圖疊加法求圖(a)(a)所示梁所示梁C C截面的撓度。截面的撓度。 解解: :沒(méi)有外伸梁的計(jì)算公式?jīng)]有外伸梁的計(jì)算公式, , 利利用表中的用表中的懸臂梁懸臂梁和和簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁的有關(guān)的有關(guān)公式計(jì)算。公式計(jì)算。 外伸梁在外伸梁在q q作用下的撓曲線如圖作用下的撓曲線如圖(a)(a)中虛線所示，支座中虛線所示，支座B B處撓度等處撓度等于零、轉(zhuǎn)角不等于零。于零、轉(zhuǎn)角不等于零。 1 1、將梁的、將梁的BCBC段視為段視為B B端為固定端為固定端的懸臂梁端的懸臂梁(b),(b),此梁在此梁在q q作用下作用下C C截面的撓度為截面的撓度為y yC1C1。 2 2、外伸梁的、外伸

13、梁的B B截面并非固定不動(dòng)，而要產(chǎn)生轉(zhuǎn)角截面并非固定不動(dòng)，而要產(chǎn)生轉(zhuǎn)角q qB B，截面的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)截面的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)BCBC段位移段位移的影響，相當(dāng)于使的影響，相當(dāng)于使BCBC段繞段繞B B點(diǎn)剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)C C截面的豎向位移為截面的豎向位移為y yC2C2（圖（圖c c），），因因q qB B 很小，很小，y yC2C2=a=aq qB B。將圖。將圖(b)(b)和和(c)(c)所示的所示的y yC1C1與與y yC2C2疊加就是外伸梁疊加就是外伸梁c c截面的撓截面的撓度，即度，即 3 3、q qB B是外伸梁是外伸梁( (圖圖a)Ba)B截面的轉(zhuǎn)角，截面的轉(zhuǎn)角，求求q qB可利用

14、圖可利用圖(d)(d)所示的等效力系，所示的等效力系，即將即將BCBC段上段上q q的合力的合力qaqa平移到平移到B B處并附處并附加一力矩加一力矩m m= =0.5qa0.5qa2 2 4 4、由圖、由圖(d)(d)所示簡(jiǎn)支梁求得所示簡(jiǎn)支梁求得B B截面截面的轉(zhuǎn)角就是外伸梁的轉(zhuǎn)角就是外伸梁B B截面的轉(zhuǎn)角。在截面的轉(zhuǎn)角。在圖圖(d)(d)中，中，qaqa作用在梁的支座上，它作用在梁的支座上，它不引起梁的變形，僅不引起梁的變形，僅m m和和q q使梁變形。使梁變形。在在m m和和q q單獨(dú)作用下單獨(dú)作用下( (圖圖(e),(f)B(e),(f)B截面截面的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角q qB1和和q qB2分

15、別查得為分別查得為5 5、注意到、注意到q qB2B2為負(fù)值為負(fù)值( (圖圖(f)(f)。在在m m，q q共同作用下共同作用下B B截面的轉(zhuǎn)角為截面的轉(zhuǎn)角為外伸梁外伸梁C C截面的撓度為截面的撓度為 (1)疊加法求位移雖然比較簡(jiǎn)便、快速，但具體運(yùn)用時(shí)，往疊加法求位移雖然比較簡(jiǎn)便、快速，但具體運(yùn)用時(shí)，往往需經(jīng)過(guò)分析、處理及運(yùn)用等效力系后，才能利用表中的往需經(jīng)過(guò)分析、處理及運(yùn)用等效力系后，才能利用表中的公式，比較靈活。通過(guò)上面各例題，著重理解一些分析和公式，比較靈活。通過(guò)上面各例題，著重理解一些分析和處理方法以及對(duì)等效力系的正確運(yùn)用。處理方法以及對(duì)等效力系的正確運(yùn)用。 (2)疊加法中的疊加是代數(shù)

16、相加，在求若干荷載共同作用下疊加法中的疊加是代數(shù)相加，在求若干荷載共同作用下的轉(zhuǎn)角和撓度時(shí)，應(yīng)注意每項(xiàng)的正、負(fù)。的轉(zhuǎn)角和撓度時(shí)，應(yīng)注意每項(xiàng)的正、負(fù)。 (3)教材里表中所列公式不必強(qiáng)記，考試時(shí)，一般都是給出教材里表中所列公式不必強(qiáng)記，考試時(shí)，一般都是給出所需的有關(guān)公式。所需的有關(guān)公式。幾點(diǎn)注意幾點(diǎn)注意一、梁的剛度校核一、梁的剛度校核 除滿足強(qiáng)度條件外，梁的位移也需加以控制，從而保證其除滿足強(qiáng)度條件外，梁的位移也需加以控制，從而保證其正常工作。正常工作。 在工程中，通常對(duì)梁在工程中，通常對(duì)梁的的撓度撓度加以控制，例如：加以控制，例如：100012501lw梁的梁的剛度條件剛度條件為：為： qqma

17、xmaxlwlw通常情況通常情況下，強(qiáng)度條件滿足，剛度條件一般也滿足。下，強(qiáng)度條件滿足，剛度條件一般也滿足。 但是，但是，當(dāng)位移限制很嚴(yán)，或按強(qiáng)度條件所選截面過(guò)于單薄當(dāng)位移限制很嚴(yán)，或按強(qiáng)度條件所選截面過(guò)于單薄時(shí)，剛度條件也起控制作用。時(shí)，剛度條件也起控制作用。6.36.3 梁的剛度校核梁的剛度校核 提高梁的剛度措施提高梁的剛度措施 1000250llw 或 qqmaxww 例例 一簡(jiǎn)支梁受載如圖示，已知許用應(yīng)力一簡(jiǎn)支梁受載如圖示，已知許用應(yīng)力160 MPa，許用撓度，許用撓度w=l /500，彈性模量，彈性模量E=200GPa，試選擇工字鋼型號(hào)。，試選擇工字鋼型號(hào)。 解：解： 1、作出梁的彎

18、矩圖、作出梁的彎矩圖2、根據(jù)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件，要求、根據(jù)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件，要求3、梁的剛度條件為：、梁的剛度條件為：由此得由此得 由型鋼表中查得，由型鋼表中查得，NO.22a工字鋼的抗彎截面系數(shù)工字鋼的抗彎截面系數(shù)Wz3.09xl0-4m3 ，慣，慣性矩性矩Iz=3.40 x10-5m4，可見選擇，可見選擇NO.22a工字鋼作梁將同時(shí)滿足強(qiáng)度和剛度工字鋼作梁將同時(shí)滿足強(qiáng)度和剛度要求。要求。mN10354410354：得33maxFlM 3463maxm1019. 2101601035MWz500483lEIFlz459232m1092. 210200484103550048500EFlIz

19、F=35kN2mAB2ml=4mM4/Fl二、提高梁的剛度措施二、提高梁的剛度措施 2.調(diào)整跨長(zhǎng)和改變結(jié)構(gòu)；調(diào)整跨長(zhǎng)和改變結(jié)構(gòu)；縮短跨長(zhǎng)：縮短跨長(zhǎng)：如如將簡(jiǎn)支梁改為外伸將簡(jiǎn)支梁改為外伸梁；或增加支座等。梁；或增加支座等。 1.增大梁的抗彎剛度增大梁的抗彎剛度 EI；主要增大主要增大I值，在截面面積不變值，在截面面積不變的情況下，采用適當(dāng)形狀，盡量使面積分布在距中性軸較遠(yuǎn)的情況下，采用適當(dāng)形狀，盡量使面積分布在距中性軸較遠(yuǎn)的地方。的地方。例如例如：工字形、箱形等。工字形、箱形等。EIlwnqlABqlABqABALBq6.4 6.4 簡(jiǎn)單超靜定梁的解法簡(jiǎn)單超靜定梁的解法 用用“多余多余”反力反力

20、代替代替“多余多余”約束，約束，就得到一個(gè)形式上的就得到一個(gè)形式上的靜定梁，該梁稱為原靜定梁，該梁稱為原超靜定梁的超靜定梁的基本靜定基本靜定系系。基本靜定系基本靜定系 可不止一個(gè)可不止一個(gè) 也叫做原超靜定梁的也叫做原超靜定梁的梁的相當(dāng)系統(tǒng)梁的相當(dāng)系統(tǒng)例：例：求圖示靜不定梁的支反力。求圖示靜不定梁的支反力。 解法一：解法一：將支座將支座B看成多余約束，變看成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：形協(xié)調(diào)條件為：0Bw 即R lEIqlEIB34380RqlB38 解法二解法二：將支座：將支座A對(duì)對(duì)截面轉(zhuǎn)動(dòng)的約束看成多截面轉(zhuǎn)動(dòng)的約束看成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：為：qA 0即M lEIqlE

21、IA32403MqlA182例：例：為了提高懸臂梁為了提高懸臂梁AB的強(qiáng)度和剛度，的強(qiáng)度和剛度， 用短梁用短梁CD加固。設(shè)二梁加固。設(shè)二梁EI相同，試求相同，試求 (1) 二梁接觸處的壓力；二梁接觸處的壓力； (2) 加固前后加固前后AB梁最大彎矩的比值；梁最大彎矩的比值； (3) 加固前后加固前后B點(diǎn)撓度的比值。點(diǎn)撓度的比值。解：解：(1)變形協(xié)調(diào)條件為：變形協(xié)調(diào)條件為：DDABCDff即5633333PaEIR aEIR aEIDD54DRP(2)(3)自行完成自行完成例：例：梁梁ABC由由AB、BC兩段組成，兩段兩段組成，兩段梁的梁的EI相同。試?yán)L制剪力圖與彎矩圖。相同。試?yán)L制剪力圖與彎

22、矩圖。解：解：變形協(xié)調(diào)條件為：變形協(xié)調(diào)條件為：BBABBCff334833BBR aR aqaEIEIEI即316BRqa其余自行完成！自行完成！例：例：圖示結(jié)構(gòu)圖示結(jié)構(gòu)ABAB梁的抗彎剛度為梁的抗彎剛度為EIEI，CDCD桿的抗拉剛度為桿的抗拉剛度為EAEA，已知，已知P P、L L、a a。求求CDCD桿所受的拉力。桿所受的拉力。PABCDa2L2L解：解：變形協(xié)調(diào)條件為：變形協(xié)調(diào)條件為：DaCPABC2L2LCRCDClf3()48CCRaPRLEAEI3348CA LRPA LI a強(qiáng)度計(jì)算和剛度計(jì)算小結(jié)強(qiáng)度計(jì)算和剛度計(jì)算小結(jié)強(qiáng)度及剛度校核強(qiáng)度及剛度校核VW純彎曲：純彎曲：橫力彎曲：橫力彎曲：2( )d2( )lMxVxEI x12mq12mmlEIm lEIM lEI22226.56.5 梁