第3章 地基中的應(yīng)力計(jì)算

1、第第3 3章章 地基中的應(yīng)力計(jì)算地基中的應(yīng)力計(jì)算 3.4 基底壓力計(jì)算3.1 概述3.2 地基中的自重應(yīng)力3.3 有效應(yīng)力原理3.5 地基中的附加應(yīng)力 3.7 剛性基礎(chǔ)的傾斜 3.8 幾個(gè)問題的討論3.6 平面問題條件下的附加應(yīng)力 3.1 概述概述3.1.1 3.1.1 研究土中應(yīng)力的目的研究土中應(yīng)力的目的 建筑物地基的土體在上部荷載的作用下會(huì)發(fā)生變形，建筑物地基的土體在上部荷載的作用下會(huì)發(fā)生變形，使建筑物發(fā)生使建筑物發(fā)生沉降、傾斜沉降、傾斜和和水平位移水平位移等破壞，過大的變形等破壞，過大的變形會(huì)影響建筑物的安全和正常使用，因此有必要了解和掌握會(huì)影響建筑物的安全和正常使用，因此有必要了解和掌

2、握土體中應(yīng)力土體中應(yīng)力的分布規(guī)律和計(jì)算方法。的分布規(guī)律和計(jì)算方法。 自重應(yīng)力：自重應(yīng)力：由土體本身有效重量產(chǎn)生的應(yīng)力，通常認(rèn)由土體本身有效重量產(chǎn)生的應(yīng)力，通常認(rèn)為變形已經(jīng)穩(wěn)定；為變形已經(jīng)穩(wěn)定； 附加應(yīng)力：附加應(yīng)力：由于外荷在地基內(nèi)部引起的應(yīng)力，是使地由于外荷在地基內(nèi)部引起的應(yīng)力，是使地基失穩(wěn)和產(chǎn)生變形的主要原因?；Х€(wěn)和產(chǎn)生變形的主要原因。3.1.2 3.1.2 土中的應(yīng)力狀態(tài)土中的應(yīng)力狀態(tài) 一、應(yīng)力一、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的假設(shè)應(yīng)變關(guān)系的假設(shè) 在計(jì)算地基中的附加應(yīng)力時(shí)，把土當(dāng)成線彈在計(jì)算地基中的附加應(yīng)力時(shí)，把土當(dāng)成線彈性體，即假定其應(yīng)力與應(yīng)變呈性體，即假定其應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系線性關(guān)系。 1.1.連

3、續(xù)介質(zhì)假設(shè)連續(xù)介質(zhì)假設(shè) 2.2.線彈性體假設(shè)線彈性體假設(shè) 3.3.均質(zhì)和各向同性假設(shè)均質(zhì)和各向同性假設(shè) 3.1 概述概述 二、地基中的幾種應(yīng)力狀態(tài)二、地基中的幾種應(yīng)力狀態(tài) 計(jì)算地基應(yīng)力時(shí)，將地基看作具有水平界面、深度和計(jì)算地基應(yīng)力時(shí)，將地基看作具有水平界面、深度和廣度都無(wú)限大的廣度都無(wú)限大的半空間無(wú)限體半空間無(wú)限體。1.1.三維應(yīng)力狀態(tài)三維應(yīng)力狀態(tài) 3.1 概述概述yyzz=xzxyyxyzzyzxxxijyzxo二維問題0000 2.2.二維應(yīng)變狀態(tài)二維應(yīng)變狀態(tài)（平面應(yīng)變狀態(tài)）（平面應(yīng)變狀態(tài)） 3.1 概述概述yyzz=xzzxxxijAByzxo 3.1 概述概述 3.3.側(cè)限應(yīng)力狀態(tài)側(cè)限

4、應(yīng)力狀態(tài) 它是指它是指?jìng)?cè)向應(yīng)變?yōu)榱銈?cè)向應(yīng)變?yōu)榱愕囊环N應(yīng)力狀態(tài)，土體只記的一種應(yīng)力狀態(tài)，土體只記豎向豎向變形變形。000000=xxijyyzz由由x=y=0可得到可得到x=y，且與，且與z成正比。成正比。 三、土力學(xué)中應(yīng)力符號(hào)的規(guī)定三、土力學(xué)中應(yīng)力符號(hào)的規(guī)定 （1 1）應(yīng)力符號(hào)的規(guī)定法與彈性力學(xué)相同，但）應(yīng)力符號(hào)的規(guī)定法與彈性力學(xué)相同，但方向相反方向相反，即，即正應(yīng)力：正應(yīng)力：拉為正，壓為負(fù)，拉為正，壓為負(fù)，剪應(yīng)力：剪應(yīng)力：順時(shí)針為正，逆時(shí)針為順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)負(fù)。 （2 2）用）用摩爾圓摩爾圓進(jìn)行應(yīng)力分析時(shí)，進(jìn)行應(yīng)力分析時(shí)，正正應(yīng)力應(yīng)力以壓應(yīng)力為正，以壓應(yīng)力為正，剪剪應(yīng)力應(yīng)力以逆時(shí)針為正

5、，順時(shí)針為負(fù)。以逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。 3.1 概述概述 ( () ) 材料力學(xué)材料力學(xué) ( () ) 土力學(xué)土力學(xué) 3.2.1 3.2.1 豎向自重應(yīng)力豎向自重應(yīng)力均質(zhì)土層：均質(zhì)土層：設(shè)地基中某單元設(shè)地基中某單元體離地面的距離體離地面的距離h h，則，則單元體單元體上豎向自重應(yīng)力為：上豎向自重應(yīng)力為：式中式中 土的天然重度，土的天然重度，kN/mkN/m3 3 h h計(jì)算應(yīng)力點(diǎn)以上土層厚度，計(jì)算應(yīng)力點(diǎn)以上土層厚度，m m3.2 地基中的自重應(yīng)力地基中的自重應(yīng)力天然地面hh11hcz成層土層：成層土層：自重應(yīng)力是由多層土自重應(yīng)力是由多層土組成，設(shè)各層土的厚度為組成，設(shè)各層土的厚度為h h1

6、1，h h2 2.h.hn n，相應(yīng)重度為，相應(yīng)重度為1 1，2 2.n n，則地基中第，則地基中第n n層土底面層土底面處的豎向自重應(yīng)力為：處的豎向自重應(yīng)力為： 式中式中 h hi ii i 層土的厚度，層土的厚度，m m n n計(jì)算深度范圍內(nèi)土層數(shù)計(jì)算深度范圍內(nèi)土層數(shù)i i第第i i層土的的天然重度，層土的的天然重度，kN/mkN/m3 3 ，地，地下水位以下應(yīng)取浮重度下水位以下應(yīng)取浮重度i iisatisat-w w 3.2 地基中的自重應(yīng)力地基中的自重應(yīng)力niiiczh1123sat天然地面11h11h22h+11h22h+33h+1h2h3h計(jì)算時(shí)應(yīng)注意：計(jì)算時(shí)應(yīng)注意： 地下水位以上

7、用地下水位以上用天然容重；天然容重；當(dāng)?shù)叵滤灰韵聻楫?dāng)?shù)叵滤灰韵聻樯巴辽巴習(xí)r，土中水為自由水，計(jì)算時(shí)用時(shí)，土中水為自由水，計(jì)算時(shí)用浮重度浮重度，對(duì)粘性土：，對(duì)粘性土：當(dāng)水下為當(dāng)水下為堅(jiān)硬粘土?xí)r（不透水層，即液性指數(shù)堅(jiān)硬粘土?xí)r（不透水層，即液性指數(shù)IL00，即即w 1時(shí)，為流動(dòng)狀時(shí)，為流動(dòng)狀態(tài)，考慮水浮力作用，用態(tài)，考慮水浮力作用，用。3.2 地基中的自重應(yīng)力地基中的自重應(yīng)力地下水位升降時(shí)的土中自重應(yīng)力地下水位升降時(shí)的土中自重應(yīng)力3.2 地基中的自重應(yīng)力地基中的自重應(yīng)力說明：說明：自重應(yīng)力在均質(zhì)地基中自重應(yīng)力在均質(zhì)地基中隨深度呈直線分布隨深度呈直線分布；自重應(yīng)力在成層地基中呈自重應(yīng)力在成層地基

8、中呈折線分布折線分布；在土層在土層分界面處和地下水位處發(fā)生轉(zhuǎn)折分界面處和地下水位處發(fā)生轉(zhuǎn)折；3.2 地基中的自重應(yīng)力地基中的自重應(yīng)力均質(zhì)地基均質(zhì)地基( (同一土層同一土層) ) 成層地基成層地基212)(21 3.2.2 3.2.2 水平自重應(yīng)力水平自重應(yīng)力 根據(jù)胡克定律根據(jù)胡克定律 土的泊松比，0.20-0.450土的側(cè)壓力(靜止土壓力)系數(shù)zzyxK01xzxzyzyzxyxyyxzzxzyyzyxxEEEEEE)1 (2)1 (2)1 (2)(1)(1)(1yxyx0側(cè)限條件側(cè)限條件3.2 地基中的自重應(yīng)力地基中的自重應(yīng)力例題例題1 1：按例圖所給的資料，計(jì)算并繪制地基中的自重應(yīng)：按例圖

9、所給的資料，計(jì)算并繪制地基中的自重應(yīng)力沿深度的分布曲線。力沿深度的分布曲線。例題4-1：按例圖所給的資料，計(jì)算并繪制地基中的自重應(yīng)力沿深度的分布曲線。土中兩種應(yīng)力試驗(yàn)土中兩種應(yīng)力試驗(yàn) 3.3 有效應(yīng)力原理有效應(yīng)力原理甲乙鋼球砂砂水h 3. 3.3 3.1 .1 土中兩種應(yīng)力試驗(yàn)土中兩種應(yīng)力試驗(yàn) （1 1）有效應(yīng)力）有效應(yīng)力 由鋼球施加的應(yīng)力，通過土由鋼球施加的應(yīng)力，通過土體骨架傳遞的應(yīng)力為體骨架傳遞的應(yīng)力為有效應(yīng)力有效應(yīng)力，只有這種應(yīng)力才使得土體變形，只有這種應(yīng)力才使得土體變形，強(qiáng)度改變。強(qiáng)度改變。 （2 2）孔隙水壓力）孔隙水壓力 由水施加的應(yīng)力通過孔隙水由水施加的應(yīng)力通過孔隙水來(lái)傳遞，即來(lái)

10、傳遞，即孔隙水壓力孔隙水壓力，這種應(yīng)這種應(yīng)力不會(huì)使土體發(fā)生壓縮變形。力不會(huì)使土體發(fā)生壓縮變形。3.3.2 3.3.2 有效應(yīng)力原理有效應(yīng)力原理 截面總應(yīng)力的一部分由土顆粒截面總應(yīng)力的一部分由土顆粒間的接觸面承擔(dān)和傳遞，即間的接觸面承擔(dān)和傳遞，即有效應(yīng)有效應(yīng)力力；另一部分由；另一部分由孔隙壓力孔隙壓力承擔(dān)承擔(dān)。 土體在外力作用下處于平衡，土體在外力作用下處于平衡，沿沿a-aa-a截面取脫離體，土顆粒接觸截面取脫離體，土顆粒接觸面的法向應(yīng)力面的法向應(yīng)力s s。s s土顆粒接觸面積之和，土顆粒接觸面積之和，u u孔隙水壓孔隙水壓力，力，A Aw w孔隙水橫截面積，孔隙水橫截面積，u a a孔隙氣壓孔

11、隙氣壓力，力，A Aa a空氣截面積空氣截面積有效應(yīng)力原理示意圖有效應(yīng)力原理示意圖 3.3 有效應(yīng)力原理有效應(yīng)力原理 根據(jù)平衡條件根據(jù)平衡條件： A= A=s ss s+ u+ uw wA Aw w+ u+ ua aA Aa a對(duì)于對(duì)于飽和土體飽和土體：A Aa a則則A=A=s ss s+ u+ uw wA Aw w式中，式中，作用于截面上的總作用于截面上的總應(yīng)力。應(yīng)力。變換得：變換得：=s ss sA A + + u uw w(A(A A As s) )A A 或或 =s ss sA A + + u uw w( (A As s) )又已知又已知s ss sA A為為，A As s很小，可忽

12、略。很小，可忽略。= + u有效應(yīng)力原理有效應(yīng)力原理 3.3 有效應(yīng)力原理有效應(yīng)力原理有效應(yīng)力原理示意圖有效應(yīng)力原理示意圖3.3.3 3.3.3 有效應(yīng)力原理應(yīng)用舉例有效應(yīng)力原理應(yīng)用舉例1.1.靜水條件下靜水條件下C C點(diǎn)水平面上：豎向點(diǎn)水平面上：豎向總應(yīng)力總應(yīng)力：=h=h1 1+sat sat h h2 2 孔隙水壓力孔隙水壓力： u =u =w w h h2 2 有效應(yīng)力有效應(yīng)力：u uhh1 1+h+h2 2sath1h2h1h1h2+sath2wh1h1h2+ uABC靜水條件下各應(yīng)力的分布靜水條件下各應(yīng)力的分布 3.3 有效應(yīng)力原理有效應(yīng)力原理2.2.毛細(xì)水上升時(shí)土中有效自重應(yīng)力的變

13、化毛細(xì)水上升時(shí)土中有效自重應(yīng)力的變化 毛細(xì)水上升區(qū)由于毛細(xì)水上升區(qū)由于表面張力表面張力的作用使的作用使孔隙水壓力為孔隙水壓力為負(fù)值負(fù)值，u=u=w wh hc c，使，使有效應(yīng)力增加有效應(yīng)力增加。 在在地下水位以下地下水位以下，由于水對(duì)土粒的浮力作用，使，由于水對(duì)土粒的浮力作用，使有有效應(yīng)力減小效應(yīng)力減小。毛細(xì)水上升時(shí)土中總應(yīng)力、孔隙水壓力及有效應(yīng)力計(jì)算毛細(xì)水上升時(shí)土中總應(yīng)力、孔隙水壓力及有效應(yīng)力計(jì)算 3.3 有效應(yīng)力原理有效應(yīng)力原理 3.3.穩(wěn)定性滲流條件下穩(wěn)定性滲流條件下 土中水滲流時(shí)土中水滲流時(shí)總應(yīng)力總應(yīng)力、孔隙水壓力孔隙水壓力及及有效應(yīng)力計(jì)算有效應(yīng)力計(jì)算： ( (a) a) 靜水時(shí)靜水

14、時(shí) ( (b) b) 水自上向下滲流水自上向下滲流 ( (c) c) 水自下向上滲流水自下向上滲流 ( (a) a) 靜水時(shí)靜水時(shí)( (b) b) 水自上向下滲流水自上向下滲流( (c) c) 水自下向上滲流水自下向上滲流21hhubbbhhhwb21hhhwb21 3.3 有效應(yīng)力原理有效應(yīng)力原理 3.4 基底壓力計(jì)算基底壓力計(jì)算3.4.1 3.4.1 基底接觸應(yīng)力的實(shí)際分布基底接觸應(yīng)力的實(shí)際分布 基底接觸應(yīng)力的實(shí)際分布取決于基底接觸應(yīng)力的實(shí)際分布取決于地基土的性質(zhì)地基土的性質(zhì)，地地基與基礎(chǔ)的相對(duì)剛度，荷載大小、性質(zhì)及其分布基與基礎(chǔ)的相對(duì)剛度，荷載大小、性質(zhì)及其分布情況，情況，基礎(chǔ)埋深、面積

15、、形狀基礎(chǔ)埋深、面積、形狀等。等。 （1 1）剛性很小的基礎(chǔ)和）剛性很小的基礎(chǔ)和柔性基礎(chǔ)柔性基礎(chǔ) 剛度很小，基礎(chǔ)剛度很小，基礎(chǔ)與地基共同變形，接觸應(yīng)力同上部荷載分布。與地基共同變形，接觸應(yīng)力同上部荷載分布。 中心荷載作用下柔性基礎(chǔ)中心荷載作用下柔性基礎(chǔ)底面處接觸應(yīng)力分布圖底面處接觸應(yīng)力分布圖 3.4 基底壓力計(jì)算基底壓力計(jì)算 （2 2）剛性基礎(chǔ)）剛性基礎(chǔ) 剛度大，基礎(chǔ)與地基變形必須相互剛度大，基礎(chǔ)與地基變形必須相互協(xié)調(diào)，出現(xiàn)應(yīng)力重分布現(xiàn)象。協(xié)調(diào)，出現(xiàn)應(yīng)力重分布現(xiàn)象。中心荷載作用下剛性基礎(chǔ)中心荷載作用下剛性基礎(chǔ)底面處接觸應(yīng)力分布圖底面處接觸應(yīng)力分布圖(a) (a) 馬鞍形馬鞍形 (b) (b)

16、拋物線形拋物線形 (b) (b) 鐘形鐘形3.4.2 3.4.2 基底接觸應(yīng)力簡(jiǎn)化計(jì)算基底接觸應(yīng)力簡(jiǎn)化計(jì)算1.1.豎向中心荷載豎向中心荷載作用下的基底壓力作用下的基底壓力基底壓力基底壓力均勻分布均勻分布，按下式計(jì)算：，按下式計(jì)算： p p = (F+G) / A= (F+G) / (l= (F+G) / A= (F+G) / (lb) b) 中心荷載矩形、條形基底壓力計(jì)算中心荷載矩形、條形基底壓力計(jì)算 3.4 基底壓力計(jì)算基底壓力計(jì)算 2.2.單向偏心荷載單向偏心荷載作用下的基底壓力作用下的基底壓力 此時(shí)基底壓力按此時(shí)基底壓力按材料力學(xué)材料力學(xué)偏心受壓偏心受壓簡(jiǎn)化公式計(jì)算：簡(jiǎn)化公式計(jì)算： e

17、e l/6l/6時(shí)時(shí)大偏心大偏心受壓，基底壓力進(jìn)受壓，基底壓力進(jìn)行行重分布，此時(shí)可得到：重分布，此時(shí)可得到：偏心荷載下接觸壓力的計(jì)算)6(1 maxminleAGFWMAGFpelabaGFp2 ,3)( 2max 3.4 基底壓力計(jì)算基底壓力計(jì)算3.3.雙向偏心荷載雙向偏心荷載作用下的基底壓力作用下的基底壓力 同樣按同樣按材料力學(xué)材料力學(xué)偏心受壓公式計(jì)偏心受壓公式計(jì)算基底壓力：算基底壓力： M Mx x=(F+G)e=(F+G)ey y ，M My y=(F+G)e=(F+G)ex x I Ix x， I Iy y 為對(duì)為對(duì)x x軸軸的慣性矩，軸軸的慣性矩，m m4 4 。雙向偏心荷載作用下

18、的基底壓力yyxxIxMIyMAGFpmaxmin 3.4 基底壓力計(jì)算基底壓力計(jì)算4.4.水平荷載水平荷載作用下的基底壓力作用下的基底壓力 承受水壓力和土壓力的建筑承受水壓力和土壓力的建筑物，基礎(chǔ)常會(huì)受到物，基礎(chǔ)常會(huì)受到傾斜荷載傾斜荷載作用。作用。此時(shí)計(jì)算基底受力將斜向荷載分此時(shí)計(jì)算基底受力將斜向荷載分解為解為水平荷載水平荷載F Fh h和和豎向荷載豎向荷載F Fv v，并假定由并假定由F Fh h引起的基底水平應(yīng)力引起的基底水平應(yīng)力p ph h均勻分布于整個(gè)基底，則：均勻分布于整個(gè)基底，則： 矩形基礎(chǔ)矩形基礎(chǔ) p ph h F Fh hA A F Fh hlblb 條形基礎(chǔ)條形基礎(chǔ)，取，取

19、l=1.0ml=1.0m，則，則 p ph h F Fh hA A F Fh hb b 傾斜荷載作用下的基底壓力 3.4 基底壓力計(jì)算基底壓力計(jì)算(a) 基礎(chǔ)無(wú)埋深 (b)基礎(chǔ)有埋深基底附加應(yīng)力分布圖 3.4.3 3.4.3 基礎(chǔ)底面附加壓力基礎(chǔ)底面附加壓力基礎(chǔ)在地面上，基礎(chǔ)在地面上，無(wú)埋深無(wú)埋深 基底平均附加壓力：基底平均附加壓力： p p0 0=p=p基礎(chǔ)在地面下基礎(chǔ)在地面下埋深埋深d d處處 基底平均附加壓力：基底平均附加壓力： 為基礎(chǔ)底面以上土的為基礎(chǔ)底面以上土的加權(quán)加權(quán)平均重度平均重度。 從上式可知，增大埋深可減從上式可知，增大埋深可減少附加應(yīng)力。少附加應(yīng)力。dpppc000 3.4

20、 基底壓力計(jì)算基底壓力計(jì)算解：基礎(chǔ)底面作用的彎矩解：基礎(chǔ)底面作用的彎矩 傳到基底的力為傳到基底的力為F F，偏心距為，偏心距為e e。13600 20 12 3.5 4440(kN)GFFAd22000.495(m)44406MleF判斷為大偏心判斷為大偏心 設(shè)設(shè)a為偏心荷載作用點(diǎn)至最大為偏心荷載作用點(diǎn)至最大壓應(yīng)力壓應(yīng)力pmax 作用邊緣的距離：作用邊緣的距離：1.167(m)2lae max22 4440845.5(kPa)33 3 1.167Fpba 基底基底附加壓力附加壓力0maxmax0845.5 16 3.5789.5(kPa)ppd基底水平方向附加壓力基底水平方向附加壓力26005

21、0(kPa)12HFpA3a=3.5m0.5m基底接觸應(yīng)力基底接觸應(yīng)力845.5kPa3.27m0.73m789.5kPa基底附加壓力基底附加壓力50kPa50kPa3.5 地基中的附加應(yīng)力地基中的附加應(yīng)力1 1、基本概念、基本概念 建筑物荷載在地基中產(chǎn)生的應(yīng)力稱為土中的建筑物荷載在地基中產(chǎn)生的應(yīng)力稱為土中的附加應(yīng)力附加應(yīng)力。2 2、基本假定基本假定： 地基是半無(wú)限彈性體；地基是半無(wú)限彈性體； 地基土是均勻、連續(xù)、各向同性的。地基土是均勻、連續(xù)、各向同性的。3 3、地基中、地基中附加應(yīng)力擴(kuò)散作用附加應(yīng)力擴(kuò)散作用 在地面下某一深度的在地面下某一深度的水平面水平面上各點(diǎn)的附加應(yīng)力在基上各點(diǎn)的附加應(yīng)

22、力在基礎(chǔ)底面礎(chǔ)底面中心線上中心線上應(yīng)力應(yīng)力最大最大，向兩側(cè)逐漸減??；，向兩側(cè)逐漸減小； 距地面越深，附加應(yīng)力分布越廣，但在同一距地面越深，附加應(yīng)力分布越廣，但在同一垂直線垂直線上的應(yīng)力隨深度上的應(yīng)力隨深度越深越深，附加應(yīng)力，附加應(yīng)力越小越小。集中荷載作用下地基中的應(yīng)力 3.5.1 3.5.1 布西內(nèi)斯克解答布西內(nèi)斯克解答 基于彈性理論，在半空基于彈性理論，在半空間彈性無(wú)限體表面作用有間彈性無(wú)限體表面作用有集集中力中力時(shí)，在彈性體內(nèi)任意點(diǎn)時(shí)，在彈性體內(nèi)任意點(diǎn)M M所引起的所引起的豎向應(yīng)力豎向應(yīng)力： 該應(yīng)力是使地基土壓縮該應(yīng)力是使地基土壓縮變形產(chǎn)生沉降。變形產(chǎn)生沉降。 3253cos2323RFR

23、zFz3.5 地基中的附加應(yīng)力地基中的附加應(yīng)力 利用利用 R R2 2=r=r2 2+z+z2 2 關(guān)系，改寫上式為：關(guān)系，改寫上式為： 為應(yīng)力系數(shù)，是為應(yīng)力系數(shù)，是r/zr/z的函數(shù)可查表獲得。的函數(shù)可查表獲得。22/5221123zFzrzFz2/521123zr3.5 地基中的附加應(yīng)力地基中的附加應(yīng)力地基中豎向應(yīng)力地基中豎向應(yīng)力z z分布規(guī)律：分布規(guī)律： 在集中力作用線上，在集中力作用線上，z z值隨深度增加而遞減。值隨深度增加而遞減。 在離集中力作用線某一距離時(shí)，在地表處在離集中力作用線某一距離時(shí)，在地表處z z從零從零開始隨深度增加而增大，但到一定深度后又減少。開始隨深度增加而增大，

24、但到一定深度后又減少。 當(dāng)當(dāng)z z一定時(shí)，即一定時(shí)，即在同一水平面上，隨著與集中力在同一水平面上，隨著與集中力作用線距離的增大作用線距離的增大z z值減小。值減小。3.5 地基中的附加應(yīng)力地基中的附加應(yīng)力 3.5.2 3.5.2 矩形基底受豎向均布荷載作用時(shí)的豎向附加應(yīng)力矩形基底受豎向均布荷載作用時(shí)的豎向附加應(yīng)力 1. 1.矩形基底受豎向均布荷載時(shí)矩形基底受豎向均布荷載時(shí)角點(diǎn)角點(diǎn)下的豎向附加應(yīng)力下的豎向附加應(yīng)力 取荷載微單元取荷載微單元 dp=pdp=p0 0dxdydxdy 運(yùn)用集中力公式運(yùn)用集中力公式 在基礎(chǔ)面積范圍內(nèi)在基礎(chǔ)面積范圍內(nèi)積分積分： c c(l/b, z/b)(l/b, z/b

25、)矩形豎直向均布荷載矩形豎直向均布荷載角點(diǎn)下角點(diǎn)下的的附加應(yīng)力附加應(yīng)力系數(shù)系數(shù), ,可可查表查表獲得。獲得。dp0002/52223023pzyxdxdyzpclbz 222530532323yxrRzdxdypRzdpdz3.5 地基中的附加應(yīng)力地基中的附加應(yīng)力2.2.矩形基底均布荷載下矩形基底均布荷載下任意點(diǎn)任意點(diǎn)的豎向附加應(yīng)力的豎向附加應(yīng)力角點(diǎn)法角點(diǎn)法：把非角點(diǎn)化為：把非角點(diǎn)化為幾個(gè)矩形的角點(diǎn)下再疊加幾個(gè)矩形的角點(diǎn)下再疊加 (a) (a) 邊點(diǎn)邊點(diǎn)MM z z= (= (cc+ + cc) p) p0 0 (b) (b) 內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)MM z z= (= (cc+c c +c c +cc)

26、p) p0 0 (c) (c) 外點(diǎn)外點(diǎn)MM z z= (= (cc+c c - - c c - - cc) p) p0 0 (d) (d) 斜向外點(diǎn)斜向外點(diǎn)MMz z= (= (cc - - c c - - c c + + cc) p) p0 0角點(diǎn)法計(jì)算角點(diǎn)法計(jì)算M點(diǎn)的豎向附加應(yīng)力點(diǎn)的豎向附加應(yīng)力bechMfbecagdMbecadhMfgbecagdhMfhf(a)(b)(c)(d)3.5 地基中的附加應(yīng)力地基中的附加應(yīng)力角點(diǎn)法的運(yùn)用：角點(diǎn)法的運(yùn)用：計(jì)算地基中任意計(jì)算地基中任意M M點(diǎn)的附加應(yīng)力時(shí)：點(diǎn)的附加應(yīng)力時(shí)：劃分的每個(gè)矩形都要有一個(gè)劃分的每個(gè)矩形都要有一個(gè)角點(diǎn)是角點(diǎn)是M M點(diǎn)點(diǎn)；所

27、有劃分的矩形面積總和應(yīng)等于所有劃分的矩形面積總和應(yīng)等于原受荷面積原受荷面積；劃分后的每個(gè)矩形面積，劃分后的每個(gè)矩形面積，短邊短邊都用都用b b表示，表示，長(zhǎng)邊長(zhǎng)邊用用l l表示。表示。3.5 地基中的附加應(yīng)力地基中的附加應(yīng)力例例題題4 圖示有三個(gè)不同的基礎(chǔ)底面形式，均布荷載均為圖示有三個(gè)不同的基礎(chǔ)底面形式，均布荷載均為p p0 0=40k=40kP Pa a，試求各種情況下，試求各種情況下，A A點(diǎn)處地下點(diǎn)處地下6m6m的豎向附加應(yīng)的豎向附加應(yīng)力值。力值。A6m6m4m10m2m4m 解：解： 運(yùn)用運(yùn)用角點(diǎn)法角點(diǎn)法，劃分四部分，分別計(jì)算，劃分四部分，分別計(jì)算I I、IIII、IIIIII、IV

28、IV四四個(gè)矩形的個(gè)矩形的l l/b/b、z z/b/b，通過查表得附加應(yīng)力系數(shù)，通過查表得附加應(yīng)力系數(shù)c c： l l/b/b=6/2=3=6/2=3， z z/b/b =6/2=3 =6/2=3，cIcI=0.0870=0.0870 l l/b/b=4/2=2=4/2=2， z z/b/b =6/2=3 =6/2=3，cIIcII=0.0732=0.0732 l l/b/b=6/4=1.5=6/4=1.5，z z/b/b =6/4=1.5 =6/4=1.5，cIIIcIII=0.1451=0.1451 l l/b/b= =4 4/4=1./4=1.0 0，z z/b/b =6/4=1.5 =

29、6/4=1.5，cIVcIV=0.1216 =0.1216 注意注意：這里：這里l l是矩形的是矩形的長(zhǎng)邊長(zhǎng)邊；b b是是短邊短邊。 于是：于是：z z= p= p0 0 ( (cIcI+cIIcII+cIIIcIII+cIVcIV) = 17.076 kPa) = 17.076 kPa 令令A(yù)CIGACIG 、ACFDACFD、ABHGABHG、ABEDABED四個(gè)矩形分別為四個(gè)矩形分別為矩形矩形I I、IIII、IIIIII、IVIV。 計(jì)算各矩形計(jì)算各矩形l l/b/b、z z/b/b，通過查表得：，通過查表得： cIcI=0.1999 =0.1999 cIIcII=0.0870=0.0

30、870 cIIIcIII=0.0973 =0.0973 cIVcIV=0.0447=0.0447z z = p= p0 0( (cIcI-cIIcII-cIIIcIII+cIVcIV)= 2.412 )= 2.412 kPakPa 令令A(yù)BCDABCD、ADHGADHG、AFIHAFIH、AFKEAFKE四個(gè)矩形分四個(gè)矩形分 別為矩形別為矩形I I、IIII、IIIIII、IVIV。 計(jì)算各矩形計(jì)算各矩形l l/b/b、z z/b/b，通過查表得：，通過查表得： cIcI=0.0840 =0.0840 cIIcII=0.1202=0.1202 cIIIcIII=0.1752 =0.1752 c

31、IVcIV=0.0870=0.0870 z z= p= p0 0 (cIcI+cIIcII+cIIIcIII-cIVcIV) =11.696 kPa) =11.696 kPaADGBEHIFC2m4m2m10mCDGBAHIF3m6m3m4m2mKEADGBEHIFC2m4m2m10mCDGBAHIF3m6m3m4m2mKE3.3.矩形基底受矩形基底受豎向三角形荷載豎向三角形荷載時(shí)時(shí)角點(diǎn)角點(diǎn)下的豎向附加應(yīng)力下的豎向附加應(yīng)力對(duì)于對(duì)于梯形荷載梯形荷載也可以化為也可以化為三角形荷載與矩形均布荷載的疊加三角形荷載與矩形均布荷載的疊加取取微單元荷載微單元荷載 dp=p(x)dxdy=(x/b)pdp=p

32、(x)dxdy=(x/b)p0 0dxdydxdy 運(yùn)用運(yùn)用集中力集中力的公式的公式 在矩形基礎(chǔ)面積范圍內(nèi)積分在矩形基礎(chǔ)面積范圍內(nèi)積分tctc(l/b, z/b) (l/b, z/b) 附加應(yīng)力系數(shù)。附加應(yīng)力系數(shù)。注：注：以上計(jì)算是三角形荷載為以上計(jì)算是三角形荷載為0 0的角點(diǎn)下的角點(diǎn)下M M點(diǎn)，對(duì)于其它點(diǎn)可通過應(yīng)力疊加原理計(jì)算。點(diǎn)，對(duì)于其它點(diǎn)可通過應(yīng)力疊加原理計(jì)算。p(x)0002/522232)(3pzyxzdxdyxptclbz 2/52223053)(2)/(323zyxzdxdypbxRzdpdz3.5 地基中的附加應(yīng)力地基中的附加應(yīng)力【例【例5 5】 如圖所示，有一矩形面積基礎(chǔ)長(zhǎng)如

33、圖所示，有一矩形面積基礎(chǔ)長(zhǎng)l=5ml=5m，寬，寬b=3mb=3m，三角形，三角形分布荷載作用在地基表面，荷載最大值分布荷載作用在地基表面，荷載最大值為為150kPa150kPa。試計(jì)算矩形截。試計(jì)算矩形截面內(nèi)面內(nèi)O O點(diǎn)下深度點(diǎn)下深度z=3mz=3m處的豎向附加應(yīng)力。處的豎向附加應(yīng)力?！窘狻俊窘狻?求解時(shí)需要通過兩次疊加來(lái)計(jì)算。第一次是荷載作用求解時(shí)需要通過兩次疊加來(lái)計(jì)算。第一次是荷載作用面積的疊加，可利用前面的角點(diǎn)法進(jìn)行計(jì)算；第二次是荷載分面積的疊加，可利用前面的角點(diǎn)法進(jìn)行計(jì)算；第二次是荷載分布圖形的疊加。布圖形的疊加。 （1 1）荷載作用面積的疊加。）荷載作用面積的疊加。 如圖（如圖（a

34、 a）、（）、（b b）所示，由于）所示，由于O O點(diǎn)位于矩形面積點(diǎn)位于矩形面積abcdabcd內(nèi)。通內(nèi)。通過過O O點(diǎn)將矩形面積劃分為點(diǎn)將矩形面積劃分為4 4塊，假定其上作用塊，假定其上作用均布荷載均布荷載P1P1，即圖，即圖（c c）中的荷載）中的荷載DABEDABE。而。而P1=50kPaP1=50kPa。作用下點(diǎn)處產(chǎn)生的豎向應(yīng)。作用下點(diǎn)處產(chǎn)生的豎向應(yīng)力可用前面介紹的角點(diǎn)法進(jìn)行計(jì)算，即力可用前面介紹的角點(diǎn)法進(jìn)行計(jì)算，即11,1,1,1,11234()zz aeOhz ebfOz Ofcgz hOgdccccp11i500.0450.0930.1560.073zcp50 0.36718.3

35、5kPakPa（2 2）荷載分布圖形的疊加。）荷載分布圖形的疊加。 由角點(diǎn)法求得的應(yīng)力是由均布荷載由角點(diǎn)法求得的應(yīng)力是由均布荷載p1p1引起的，但實(shí)際作用的荷載是三角引起的，但實(shí)際作用的荷載是三角形分布。為此，可以將圖（形分布。為此，可以將圖（c c）所示的三角形分布荷載）所示的三角形分布荷載ABCABC分割成分割成3 3塊，即均布?jí)K，即均布荷載荷載DABEDABE、三角形荷載、三角形荷載AFDAFD和和CFECFE。三角形荷載。三角形荷載ABCABC等于均布荷載等于均布荷載DABEDABE減去三角減去三角形荷載形荷載AFDAFD，再加上三角形荷載，再加上三角形荷載CFECFE。這樣，將此。這

36、樣，將此3 3塊分布荷載產(chǎn)生的附加應(yīng)力塊分布荷載產(chǎn)生的附加應(yīng)力進(jìn)行疊加即可。進(jìn)行疊加即可。 三角形分布荷載三角形分布荷載AFDAFD，其最大值為，其最大值為p1p1，作用在矩形面積，作用在矩形面積aeOhaeOh及及ebfOebfO上，并上，并且且O O點(diǎn)在荷載為點(diǎn)在荷載為0 0處。因此，它在處。因此，它在M M點(diǎn)引起的豎向應(yīng)力是點(diǎn)引起的豎向應(yīng)力是2 2塊矩形面積上三角形塊矩形面積上三角形分布荷載引起的附加應(yīng)力之和，即：分布荷載引起的附加應(yīng)力之和，即：1122,2,112()ttzzaeOhzebfOccp2500.0210.0453.3zkPakPa（） 三角形分布荷載三角形分布荷載CEFC

37、EF的最大值為的最大值為p-p1p-p1，作用在矩形面積，作用在矩形面積OfcgOfcg及及hOgdhOgd上，同上，同樣樣O O點(diǎn)也在荷載為點(diǎn)也在荷載為0 0處。因此，它在處。因此，它在M M點(diǎn)處產(chǎn)生的豎向應(yīng)力是這兩塊矩形面積上點(diǎn)處產(chǎn)生的豎向應(yīng)力是這兩塊矩形面積上三角形分布荷載引起的附加應(yīng)力之和，即：三角形分布荷載引起的附加應(yīng)力之和，即：1133,3,134()()ttzzOfcgzhOgdccpp 將上述計(jì)算結(jié)果進(jìn)行疊加，即可求得三角形分布荷載將上述計(jì)算結(jié)果進(jìn)行疊加，即可求得三角形分布荷載ABCABC在在M M點(diǎn)產(chǎn)生的豎向點(diǎn)產(chǎn)生的豎向應(yīng)力應(yīng)力 ，即：，即：kpa10)032. 0069. 0()50150(kpazz