第五講球面三角形全等

1、 類似于平面上研究全等的思路，首類似于平面上研究全等的思路，首先給出球面上全等的定義先給出球面上全等的定義 兩個球面三角形全等兩個球面三角形全等：兩個圖形完全兩個圖形完全相等，即球面三角形的六個要素相等，即球面三角形的六個要素三三條邊、三個角分別相等條邊、三個角分別相等 由于球面的半徑不同，球面的大小也由于球面的半徑不同，球面的大小也不一樣，所以研究球面三角形的全等問題不一樣，所以研究球面三角形的全等問題只能在只能在同一球面上同一球面上或者是或者是半徑相等半徑相等的球面的球面上上注意注意下面討論兩個球面三角形全等的判定下面討論兩個球面三角形全等的判定1 1、“邊邊邊邊邊邊”（s.s.s）判定定

2、理）判定定理 我們知道，如果平面三角形的三我們知道，如果平面三角形的三條邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全條邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等等 如果兩個球面三角形的如果兩個球面三角形的三對邊對應(yīng)相等，則兩個球三對邊對應(yīng)相等，則兩個球面三角形全等面三角形全等類似地，我們可以得到：類似地，我們可以得到： 分析：分析： 由球面由球面ABC與三面角與三面角O-ABC的對應(yīng)關(guān)系可知，由于球面三的對應(yīng)關(guān)系可知，由于球面三角形的三條邊對應(yīng)相等，所以與球面角形的三條邊對應(yīng)相等，所以與球面三角形對應(yīng)的兩個三面角相等這時，三角形對應(yīng)的兩個三面角相等這時，如果能夠證明這兩個三面角中每兩個如果能夠證明這兩個三面角中每兩個

3、面所成的二面角也相等，那么就證明面所成的二面角也相等，那么就證明了球面三角形中的角對應(yīng)相等，也即了球面三角形中的角對應(yīng)相等，也即兩個球面三角形全等兩個球面三角形全等證明：證明：圖圖 5-15-1AOODEFBCA D E F B C 如圖如圖5-15-1，在兩個三面，在兩個三面角角O-ABC和和O-A B C 中，中，連結(jié)連結(jié)AB，BC，CA，A B ，B C ，C A ， 因為球面因為球面ABC與球與球面面A B C 的三條邊對應(yīng)的三條邊對應(yīng)相等相等又因等弧上的弦相等，又因等弧上的弦相等，所以所以AB=A B ,BC=B C , ,CA=C A 因為三對面角因為三對面角AOB=A O B ,

4、 ,BOC=B O C , ,COA=C O A 又因為又因為OA=OB=OC=OA =OB =OC , , 所以所以AOB A OB , ,BOCB OC , ,COAC OA 所以所以O(shè)AB=OA B ,OBC=OB C , ,OCA=OC A 又因為又因為AOBA OB ，所以所以BAC=B A C . . 在在OA和和OA 上分別取點上分別取點D和和D ，使，使AD=A D ，再過，再過點點D在平面在平面OAB和和OAC上作上作OA的垂線，分別交的垂線，分別交AB和和AC于點于點E和和F；同樣地，過點；同樣地，過點D 在平在平面面OA B 和和OA C 上作上作OA 的垂線，分別交的垂

5、線，分別交A B 和和A C 于于點點E 和和F ，容易證明：，容易證明： EDF=E D F . 又因為又因為EDF和和E D F 分別是二分別是二面角面角B-OA-C和和B -OA -C 的平面角，的平面角，所以這兩個二面角所以這兩個二面角相等相等 同理可證，另外兩對二面角也同理可證，另外兩對二面角也相等相等 由球面三角形的內(nèi)角與三面由球面三角形的內(nèi)角與三面角中二面角的對應(yīng)關(guān)系，可得：角中二面角的對應(yīng)關(guān)系，可得： 球面球面ABC的和球面的和球面A B C 的三對內(nèi)角對應(yīng)相的三對內(nèi)角對應(yīng)相等所以，等所以，球面球面ABC球面球面A B C 2 2、“邊角邊邊角邊”（s.a.s）判定定理）判定定

6、理 如果兩個球面三角形的兩對邊對如果兩個球面三角形的兩對邊對應(yīng)相等，且它們的夾角也相等，那么應(yīng)相等，且它們的夾角也相等，那么這兩個球面三角形全等這兩個球面三角形全等 借助三面角這個借助三面角這個“腳手架腳手架”，我們，我們還可以證明下面一些球面三角形全等的還可以證明下面一些球面三角形全等的判定定理判定定理3 3、“角邊角角邊角”（a.s.a）判定定理）判定定理 如果兩個球面三角形的兩對角對如果兩個球面三角形的兩對角對應(yīng)相等，且夾邊相等，則兩個球面三應(yīng)相等，且夾邊相等，則兩個球面三角形全等角形全等4 4、“角角角角角角”（a.a.a）判定定理）判定定理 在平面上，我們知道，三對角對應(yīng)在平面上，我

7、們知道，三對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等也就是相等的兩個三角形不一定全等也就是說，平面三角形全等的一個必要條件是說，平面三角形全等的一個必要條件是至少有一對邊對應(yīng)相等在球面上，三至少有一對邊對應(yīng)相等在球面上，三對角對應(yīng)相等的兩個球面三角形是否也對角對應(yīng)相等的兩個球面三角形是否也有類似的結(jié)論呢？有類似的結(jié)論呢？ 答案是否定的。我們知道，半徑為答案是否定的。我們知道，半徑為r的的球面上，球面上， 球面球面ABC的面積的面積=（A+B+C-）r2 因此，若兩個球面三角形的三對內(nèi)角因此，若兩個球面三角形的三對內(nèi)角相等，那么它們的面積一定相等所以，相等，那么它們的面積一定相等所以，若兩個球面三角形的

8、三對內(nèi)角相等（可以若兩個球面三角形的三對內(nèi)角相等（可以理解為一樣），則它們的面積必相等，形理解為一樣），則它們的面積必相等，形狀和大小一樣的兩個三角形當(dāng)然全等狀和大小一樣的兩個三角形當(dāng)然全等 如果兩個球面三角形的三對角對應(yīng)如果兩個球面三角形的三對角對應(yīng)相等，則兩個球面三角形全等相等，則兩個球面三角形全等 所以，在球面上有兩個球面三角形所以，在球面上有兩個球面三角形全等的全等的“角角角（角角角（a.a.a）”判定定理判定定理下面我們給出它的證明下面我們給出它的證明 分析：分析：由于已經(jīng)學(xué)過三個判定球面三角由于已經(jīng)學(xué)過三個判定球面三角形全等的判定定理，我們嘗試把球面三角形形全等的判定定理，我們嘗試

9、把球面三角形中角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，由邊的關(guān)系判中角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，由邊的關(guān)系判定球面三角形全等由于球面三角形與它的定球面三角形全等由于球面三角形與它的球極三角形之間存在定量的邊角關(guān)系，因此球極三角形之間存在定量的邊角關(guān)系，因此我們設(shè)法通過構(gòu)造球面三角形的球極三角形，我們設(shè)法通過構(gòu)造球面三角形的球極三角形，實現(xiàn)球面三角形和球極三角形之間邊角的轉(zhuǎn)實現(xiàn)球面三角形和球極三角形之間邊角的轉(zhuǎn)換，進(jìn)而證明結(jié)論換，進(jìn)而證明結(jié)論 證明：證明：設(shè)球面設(shè)球面ABC和和DEF的極的極對稱三角形分別為球面對稱三角形分別為球面A B C 和和D E F ，且這四個球面三角形的邊，且這四個球面三角形的邊長分別為長

10、分別為a，b，c；d，e，f；a ，b ，c ；d ，e ，f 根據(jù)球面三角形和球根據(jù)球面三角形和球極三角形之間的邊角關(guān)系，有：極三角形之間的邊角關(guān)系，有： a =-A，d =-D， b =-B，e =-E， c =-C，f =-F.又因為又因為A=D，B=E， C=F，所以所以a =d , ,b =e , ,c =f 因此，球面因此，球面A B C 球面球面D E F .所以所以A =D , ,B =E , ,C =F . . 又根據(jù)球面三角形和球極三角形之間又根據(jù)球面三角形和球極三角形之間的邊角關(guān)系，有：的邊角關(guān)系，有： a=-A ，d=-D ， b=-B ，e=-E ， c=-C ，f=

11、-F .所以所以a=d, ,b=e, ,c=f因此，球面因此，球面ABC球面球面DEF 從第四個判定定理可以看出，平面幾從第四個判定定理可以看出，平面幾何與球面幾何有顯著不同之處：何與球面幾何有顯著不同之處： 1. 平面幾何中，如果兩個三角形的三平面幾何中，如果兩個三角形的三個角對應(yīng)相等，那么兩個三角形相似，不個角對應(yīng)相等，那么兩個三角形相似，不一定全等一定全等 2. 2.球面幾何中，在同一球面上，如果兩球面幾何中，在同一球面上，如果兩個球面三角形的三對角對應(yīng)相等，那么它們個球面三角形的三對角對應(yīng)相等，那么它們?nèi)热?由由1 1、2 2知道，在同一個球面上不存在相知道，在同一個球面上不存在相似三角形似三角形 1. 1. 求證求證: :球面三角形與它的對頂三球面三角形與它的對頂三角形全等角形全等 2. 2.利用球面三角形全等