離散數(shù)學(xué) 1_2(集合)[2014_9_17]

1、n 文氏圖文氏圖法法 解：解：A B = B A = a，b，c，d，e，fA B = B A = a，dA B = b，c ，B A = e，f A =e，f，g，h，i，j，k，l，m，n，o，p，q，r，s，t，v，w，x，z B =b，c，g，h，i，j，k，l，m，n，o，p，q，r，s，t，v，w，x，y A B = B A = b，c，e，f 對(duì)于任意對(duì)于任意x A B，根據(jù)對(duì)稱(chēng)差的定義知：，根據(jù)對(duì)稱(chēng)差的定義知：x A且且x B，或者，或者x B且且x A；又根據(jù)差集的定義知：；又根據(jù)差集的定義知：x AB，或者，或者x B A；再根據(jù)并集的定義知：；再根據(jù)并集的定義知：x (A

2、B) (BA)。由此，。由此，A B (AB) (BA)。對(duì)于任意對(duì)于任意x (AB) (BA)，根據(jù)并集的定義知：，根據(jù)并集的定義知：x AB，或者，或者x B A；又根據(jù)差集的定義知：；又根據(jù)差集的定義知：x A且且x B，或者，或者x B且且x A；再根據(jù)對(duì)稱(chēng)差的；再根據(jù)對(duì)稱(chēng)差的定義知：定義知：x (AB) (BA)。由此，。由此， (AB) (BA) A B。綜上述，綜上述，A B = (AB) (BA)。證畢。證畢。 證明證明 對(duì)于任意對(duì)于任意x B，分兩種情形討論。，分兩種情形討論。情形一：情形一：x A。由。由x A及交集的定義，及交集的定義，x A B。從而，由對(duì)稱(chēng)。從而，由對(duì)

3、稱(chēng)差的定義知差的定義知x A B，那么由已知條件得到，那么由已知條件得到x A C。假定。假定x C，那么由差集的定義知：，那么由差集的定義知：x AC；進(jìn)而，由；進(jìn)而，由A C = (AC) (CA)知：知：x A C。矛盾。所以有。矛盾。所以有x C。故。故B C情形二：情形二：x A。由。由x B及差集的定義，及差集的定義，x BA。由。由A B = (AB) (BA)知：知：x A B，那么由已知條件得到，那么由已知條件得到x A C。再由。再由A C = (AC) (CA)知：知：x AC或或x CA。由于。由于x A，于是，于是x AC。由此，。由此，x CA。進(jìn)而。進(jìn)而x C。故

4、。故B C同理，可證得同理，可證得C B。綜上知，如果綜上知，如果A B = A C，則，則B = C。證畢。證畢。 證明證明B = B (A B) （吸收律）（吸收律）= B (A C) （已知條件）（已知條件）= (B A) ( B C) （分配律）（分配律）= (A B) ( B C) （交換律）（交換律）= (A C) ( B C) （已知條件）（已知條件）= (A B) C （分配律）（分配律）= (A C) C = C （已知條件、吸收律）（已知條件、吸收律）證畢。證畢。 證明證明 對(duì)于任意對(duì)于任意x P(AB)，如果，如果x = ，顯然，顯然x (P(A) P(B) ；如果；如果

5、x ，根據(jù)冪集定義，根據(jù)冪集定義，x AB。從而，。從而，x A且且x中的任何元素不是中的任何元素不是B的的元素。那么，元素。那么，x不是不是B的子集合。因此，的子集合。因此，x P(A)且且x P(B)。所以，。所以，x (P(A) P(B)。故。故P(AB) (P(A) P(B) 。 證畢。證畢。 （計(jì)數(shù)問(wèn)題）（計(jì)數(shù)問(wèn)題）設(shè)設(shè)A，B是有限集合，當(dāng)是有限集合，當(dāng)A和和B不相交時(shí)，顯然有不相交時(shí)，顯然有|AB| = |A|+|B|由集合運(yùn)算的文氏圖（圖由集合運(yùn)算的文氏圖（圖1.2）可以看出）可以看出（證明省略）（證明省略） 對(duì)于有限集合對(duì)于有限集合A、B和和C，A B C的基數(shù)為的基數(shù)為 解：設(shè)解：設(shè)1到到500間分別能被間分別能被3，5，7整除的整數(shù)集合為整除的整數(shù)集合為A，B和和C|A| = 500/3=166 ，|B|=500/5=100|C|=500/7=71|A B|=500/(3 5)=33，|A C|=500/(3 7)=23|B C|=500/(5 7)=14|A B C|=500/(3 5 7)=4根據(jù)定理根據(jù)定理1.5得到得到|A B C | = (|A|+ |B|+ |C|) (|A B|+|A C|+|B C|)+ |A B C| =166+1