抽象函數(shù)專題1

1、抽象函數(shù)專題1適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級(jí)高中三年級(jí)適用區(qū)域人教B版課時(shí)時(shí)長（分鐘）60知識(shí)點(diǎn)抽象函數(shù)的定義域、值域，抽象函數(shù)的解析式；解決求值問題教學(xué)目標(biāo)抽象函數(shù)的定義域、值域、解析式求解；解決求值問題；會(huì)應(yīng)用代特殊值法教學(xué)重點(diǎn)會(huì)求抽象函數(shù)的定義域、值域、解析式；解決求值問題會(huì)應(yīng)用代特殊值法教學(xué)難點(diǎn)會(huì)求抽象函數(shù)的定義域、值域、解析式；解決求值問題教學(xué)過程一、課堂導(dǎo)入抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一。二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)特殊模型抽象函數(shù)正比例函數(shù)f(x)=kx (k0)f(x+y)=f(x)+f

2、(y)冪函數(shù) f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y) 或指數(shù)函數(shù) f(x)=ax (a>0且a1)f(x+y)=f(x)f(y) 對(duì)數(shù)函數(shù) f(x)=logax (a>0且a1)f(xy)=f(x)+f(y) 正、余弦函數(shù) f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函數(shù) f(x)=tanx余切函數(shù) f(x)=cotx常見的特殊模型:三、知識(shí)講解考點(diǎn)1定義域問題-多為簡單函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的定義域互求（1）已知f(x)的定義域是A，求的定義域問題，相當(dāng)于解內(nèi)函數(shù)的不等式問題。（2）已知函數(shù)的定義域是A，求函數(shù)f(x)的定義域。相當(dāng)于求內(nèi)函數(shù)的值域。?？碱愋?，將（

3、2）（1）結(jié)合，先（2）后（1）求解，是學(xué)生易錯(cuò)之處。考點(diǎn)2求值問題抽象函數(shù)的性質(zhì)是用條件恒等式給出的，可通過賦特殊值法使問題得以解決考點(diǎn)3值域問題參照函數(shù)值域求法 在處理抽象函數(shù)的問題時(shí)，通常情況下，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進(jìn)而保留一個(gè)變量，是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略?？键c(diǎn)4求解析式問題換元法，解方程組，待定系數(shù)法，遞推法換元法：表達(dá)式中形如f(x)和f(x表達(dá)式)這樣的形式同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，把x和x表達(dá)式分別看作兩個(gè)變量，實(shí)現(xiàn)由兩個(gè)變量向一個(gè)變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。常與解方程組方法結(jié)合。解方程組：通過解方程組的方法可求表達(dá)式，通常，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進(jìn)而保留

4、一個(gè)變量，是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。待定系數(shù)法：如果抽象函數(shù)的類型是確定的，則可用待定系數(shù)法來解答有關(guān)抽象函數(shù)的問題。遞推法：對(duì)于定義在正整數(shù)集N*上的抽象函數(shù),用數(shù)列中的遞推法來探究，如果給出的關(guān)系式具有遞推性，也常用遞推法來求解.四、例題精析例1 【題干】若函數(shù)y = f（x）的定義域是2，2，則函數(shù)y = f（x+1）+f（x1）的定義域?yàn)?。【規(guī)范解答】f(x)的定義域是，意思是凡被f作用的對(duì)象都在 中。 所以-2x+12,-2x-12, 所以-3x1,-1x3,交集得-1x1【總結(jié)與反思】已知f(x)的定義域是A，求的定義域問題，相當(dāng)于解內(nèi)函數(shù)的不等式問題例2 【題干】已知函數(shù)的定義

5、域?yàn)?，11，求函數(shù)f(x)的定義域 。【規(guī)范解答】已知函數(shù)的定義域是A，求函數(shù)f(x)的定義域。相當(dāng)于求內(nèi)函數(shù)的值域。 解得【總結(jié)與反思】一般地，已知函數(shù)的定義域是A，求f（x）的定義域問題，相當(dāng)于已知 中x的取值范圍為A，據(jù)此求的值域問題例3 【題干】對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y，均滿足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且f(1)0,則f(2001)=_.【規(guī)范解答】 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f(1)2, 令x=y=0,得：f(0)=0,f(1)=,【總結(jié)與反思】這種求較大自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，一般從找周期或遞推式著手，由于求的是f(2009)，可由y=f-1(x+2)求其反

6、函數(shù)y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通過遞推可得f(2009)=-4918.例4 【題干】設(shè)函數(shù)f（x）定義于實(shí)數(shù)集上，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y，總成立，且存在，使得，求函數(shù)的值域?！疽?guī)范解答】 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f(1)2, 令x=y=0,得：f(0)=0,f(1)=,【總結(jié)與反思】令，得，即有或。 若，則，對(duì)任意均成立，這與存 在實(shí)數(shù)，使得成立矛盾，故，必有。 由于對(duì)任意均成立，因此，對(duì)任意， 有 下面來證明，對(duì)任意 設(shè)存在，使得，則 這與上面已證的矛盾，因此，對(duì)任意，所以 在處理抽象函數(shù)的問題時(shí)，往往需要對(duì)某些變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值

7、，這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段。例5 【題干】設(shè)對(duì)滿足x0,x1的所有實(shí)數(shù)x，函數(shù)f(x)滿足, ,求f(x)的解析式?！疽?guī)范解答】（2）-（3）【總結(jié)與反思】通過換元及解方程組的方法可求表達(dá)式。怎樣實(shí)現(xiàn)由兩個(gè)變量向一個(gè)變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。通常，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進(jìn)而保留一個(gè)變量，是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。五、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1、 已知函數(shù)的定義域是1，2，求f（x）的定義域?！疽?guī)范解答】的定義域是1，2，是指，所以中的滿足，從而函數(shù)f（x）的定義域是1，42、已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)f（x），同時(shí)滿足下列條件：；，求f（3），f（9）的值?！疽?guī)范解答】取，得 因?yàn)?，所?

8、又取，得 【鞏固】1、R上的奇函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)y=f-1(x),由y=f(x+1)與y=f-1(x+2)互為反函數(shù)，則f(2009)= .【規(guī)范解答】由于求的是f(2009)，可由y=f-1(x+2)求其反函數(shù)y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通過遞推可得f(2009)=-4918.2已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x)【規(guī)范解答】令u=1+sinx,則sinx=u-1 (0u2),則f(u)=-u2+3u+1 (0u2)故f(x)=-x2+3x+1 (0u2)【解析】：換元法包括顯性換元法和隱性換元法，它是解答抽象函數(shù)問題的

9、基本方法.【拔高】1、設(shè)的定義域?yàn)樽匀粩?shù)集，且滿足條件,及=1,求【規(guī)范解答】的定義域?yàn)镹，取=1,則有 =1,=+2, 以上各式相加，有=1+2+3+=2、已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對(duì)于任意的都滿足: . (1)求的值; (2)判斷的奇偶性,并證明你的結(jié)論; (3)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【規(guī)范解答】（1）解：令，則 令，則 （2）證明：令，則， 令，則 是奇函數(shù)。 （3）當(dāng)時(shí)，令，則 故，所以，故課程小結(jié)這節(jié)課講解了抽象函數(shù)的定義域 、求值問題 、值域問題、解析式問題及其方法抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一.抽象性較強(qiáng)，靈活性大,解抽象函數(shù)重要的一點(diǎn)要抓住函數(shù)中的某