第2章工程隨機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題答案教材

1、第2章 隨機(jī)變量及其分布習(xí)題 21設(shè)有函數(shù) 試說明能否是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)。解：不能，易知對，有：又，因此在定義域內(nèi)必為單調(diào)遞增函數(shù)。然而在上不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以不是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)。2筐中裝有7只藍(lán)球，編號為1，23，4，5，6，7.在筐中同時取3只，以表示取出的3只當(dāng)中的最大號碼，寫出隨機(jī)變量的分布列。解：的可能值為3，4，5，6，7。在7只籃球中任取3個共有種取法。表示取出的3只籃球以3為最大值，其余兩個數(shù)是1，2，僅有這一種情況，故表示取出的3只籃球以4為最大值，其余兩個數(shù)可以在1，2，3中任取兩個，共有種取法，故。表示取出的3只籃球以5為最大值，其余兩個數(shù)可在1，2，3，4中

2、任取2個，共有種取法，故，表示取出的3只籃球以6為最大值，其余兩個數(shù)可在1，2，3，4，5中任取2個，共有種取法，故，表示取出的3只籃球以7為最大值，其余兩個數(shù)可在1，2，3，4，5，6中任取2個，共有種取法，故。3. 設(shè)服從分布，其分布列為 求的分布函數(shù)，并作出其圖形。解：服從（0-1）分布，其分布律為：01當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，即有： ，其分布圖形如下圖2-14將一顆骰子拋擲兩次，以表示兩次所得點(diǎn)數(shù)之和，以表示兩次中得到的小的點(diǎn)數(shù)，試分別求與的分布列。解 以分別記第一次，第二次投擲時的點(diǎn)數(shù)，樣本空間為 故X的分布列如下：X23456789101112P 1/362/363/364/365/36

3、6/365/364/363/361/351/36Y的取值為1,2,3,4,5,6Y的分布列為：Y123456P11/369/367/365/363/361/365試求下列分布列中的待定系數(shù)k（1）（2）（3）為常數(shù)。解：（1）由分布列的性質(zhì)有，所以 （2）由分布列的性質(zhì)有，所以?；蚪?由 所以服從幾何分布， 故有 。（3）由分布列的性質(zhì)有 ，所以 。6進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立試驗，設(shè)每次試驗成功的概率為p失敗的概率為。（1）將試驗進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止，以表示所需的試驗次數(shù)，求的分布列。（此時稱服從以p為參數(shù)的幾何分布。）（2）將試驗進(jìn)行到出現(xiàn)r次成功為止，以表示所需的試驗次數(shù)，求的分布列。（此時稱服從以

4、r,p為參數(shù)的巴斯卡分布。）（3）一籃球運(yùn)動員的投籃命中率為45%。以表示他首次投中時累汁已投籃的次數(shù)，寫出的分布列，并計算取偶數(shù)的概率。解（1）此試驗至少做一次，此即X可能值的最小值。若需做k次，則前k-1次試驗均失敗最后一次成功，由于各次試驗是相互獨(dú)立的，故分布律為。（1） 此試驗至少做r次，若需做k次，則第k次比為成功，而前k-1次中有r-1次成功，由于各次試驗是相互獨(dú)立的，故分布律為 。（2） 先寫出X的分布律。它是題（1）中p=0.45的情形。所求的分布律為 。因故X取偶數(shù)的概率為.7有甲、乙 兩個口袋，兩袋分別裝有3個白球和2個黑球?，F(xiàn)從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋任取4個球，

5、求從乙袋中取出的4個球中包含的黑球數(shù)的分布列。解：分為以下兩種情況，即從甲袋中取一球放入乙袋，取出的球為白球的概率為，黑球為。（1） 假設(shè)取出的是白球，乙袋此時為4白球2黑球。從中取出4球，黑球數(shù)可為0,1,2，概率如下 , , .（2） 假設(shè)取出的是黑球，乙袋此時為3白球3黑球，從中取出4球，黑球數(shù)可為1,2,3.概率如下 , , .綜合以上兩種情況，又已知從甲袋取出為白球的概率為，黑球是.所以 分布列為X01238. 設(shè)服從 Poisson 分布，且已知，求。解：由于即X的分布律為于是有由條件可得方程 解得(舍去) 所以于是(查表)。9一大樓裝有5套同類型的空調(diào)系統(tǒng)，調(diào)查表明在任一時刻t每

6、套系統(tǒng)被使用的概率為0.1，問在同一時刻 （1）恰有2套系統(tǒng)被使用的概率是多少? （2）至少有3套系統(tǒng)被使用的概率是多少? （3）至多有3套系統(tǒng)被使用的概率是多少? （4）至少有1套系統(tǒng)被使用的概率是多少？解： 以表示同一時刻被使用的設(shè)備的個數(shù)，則。（3） 所求的概率為。（4） 所求的概率為（5） 所求的概率為（6） 所求的概率為10在紡織廠里一個女工照顧800個紗錠。每個紗錠旋轉(zhuǎn)時，由于偶然的原因，紗會被扯斷。設(shè)在某段時間內(nèi)每個紗錠上的紗被扯斷的概率是0.005,求在這段時間內(nèi)斷紗次數(shù)不大于10的概率。解：設(shè)紗被扯斷的概率是P，P=0.005.用X表示在某段時間內(nèi)的紗斷次數(shù)，所求的概率為，而

7、利用柏松定理，有：，查表得：11一尋呼臺每分鐘收到尋呼的次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布。求（1）每分鐘恰有7次尋呼的概率。（2）每分鐘的尋呼次數(shù)大于10的概率。解：（1）（2）12. 某商店出售某種商品,據(jù)歷史記載分析,月銷售量服從泊松分布，參數(shù)為5，問在月初進(jìn)貨時要庫存多少件此種商品，才能以0.999的概率滿足顧客的需要。 解：設(shè)表示商品的月銷售量，則由服從參數(shù)為5的泊松分布，其概率分布為由題意，應(yīng)確定 m 使得即 ，查泊松分布表得 m+1=14,或 m=13，即在月初進(jìn)貨時，至少要庫存13件此種商品。13確定下列函數(shù)中的待定系數(shù)a，使它們成為分布密度，并求它們的分布函數(shù)。（1） （2） 。解：

8、（1）因時 ，且x為其他值時，為0. 根據(jù)公式有： 解得.分布函數(shù)為： (2)對 有 所以.分布函數(shù)為：14設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 （1）求； （2）求分布密度。解：（1） （2），15. 設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為,且是隨機(jī)變量的分布函數(shù),則對任意實數(shù)a有試證之。 證明：因，有 易知 。 又為偶函數(shù)，有，即 。所以有 將代入上式，得：，即得證。16. 設(shè)k在(0,5)上服從均勻分布，求方程有實根的概率。 解：x的二次方程有實根的充要條件是它的判別式 即 解得。 由假設(shè)k在區(qū)間(0,5)上服從均勻分布，其概率密度為 故這個二次方程有實根的概率為 17設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間（以分計）服從

9、指教分布，其分布密度為 某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘，他就離開。他一個月要到銀行5次。以表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)。寫出的分布律，并求。解：顧客在窗口等待服務(wù)超過10min的概率為 故顧客去銀行一次因未等到服務(wù)而離開的概率為.從而Y的分布率為18設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布試求 （1）；（2）；（3）確定C，使得。 解：，（1）（2）（3）19在電源電壓不超過200伏，在200-240伏和超過240伏三種情況下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2。假設(shè)電源電壓服從正態(tài)分布，試求：(1)該電子元件損壞的概率；(2)該電子元件損壞時，電源電壓在200-240之間

10、的概率。解：（1）由題意知則電壓不超過200V： 電壓在200240V： 電壓超過240V： 設(shè)電子元件損壞為事件A，則 (2)設(shè)電源電壓在200240V之間為事件B則 20一個袋中有6個一樣的球,其中3個球各標(biāo)有一個點(diǎn),2個球各標(biāo)有2個點(diǎn),一個球上標(biāo)有3個點(diǎn),從袋中任取3個球,設(shè)表示這3個球上點(diǎn)數(shù)的和。（1）求的分布列；（2）若任取10次（有放回抽樣），求8次出現(xiàn)的概率；（3）求的概率分布。解：（1）X34567(2) 此為貝努利概型，因，所以，任取10次出現(xiàn)X=6 k 次的概率為的概率為 （3） 6810121421設(shè)隨機(jī)變量的分布列為-2-1013求的分布列。解：所有可能取值為0，1，4

11、，9.故X的分布律為：Y014922設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間內(nèi)服從均勻分布。（1）求的分布密度。（2）求的分布密度。解：（1）Y的分布函數(shù)當(dāng)y>0時，（注意x在有值，y在）， （2）（注意x在有值，y在）， 23（1）設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為。求的分布密度。 （2）設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為 求的分布密度。解：（1），即有它嚴(yán)格單調(diào)增加，解得且有的分布密度為： （2），即有，在時，嚴(yán)格單調(diào)增加，具有反函數(shù)又有的分布密度為： 24設(shè)隨機(jī)變量（1）求的分布密度。（2）求的分布密度，（3）求的分布密度。解:(1) 因為，故不取負(fù)值，從而，若，則；若，注意到，故的分布函數(shù)為：從而，時，。于是，的概率密度為(2) 因故在取值，從而時；若，注意到，故的分布函數(shù)為：故時，于