圓錐曲線復(fù)習(xí)講義教師版

1、江蘇省丹陽高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)創(chuàng)新班圓錐曲線復(fù)習(xí)講義圓錐曲線復(fù)習(xí)講義2填空題:21、設(shè)P是雙曲線乞2 a2Z=1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x-2y = 0, Fl、F2分別是9雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若IPF1 h5，則I PF2 |=2、設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 Fi、F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)巳若 FiPF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 72-1拋物線3、已知點(diǎn)A(2,0)、B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足PA卩B = y 29、橢圓=1的焦點(diǎn)為F1和F2,點(diǎn)P在橢圓上，如果線段 PF中點(diǎn)在y軸上，那么|PF1|123是|PF2|的，則點(diǎn)P的軌跡是4、如果橢圓xl+xlr

2、n的弦被點(diǎn)(4，92)平分，則這條弦所在的直線方程是X + 2y-8 = 03625、對于橢圓x1622+y rn和雙曲線x972y =有下列命題:9橢圓的焦點(diǎn)恰好是雙曲線的頂點(diǎn)雙曲線的焦點(diǎn)恰好是橢圓的頂點(diǎn)雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)；橢圓與雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)相同其中正確命題的序號(hào)是>b丸)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為Fi,F2，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足PFi PF2tanNPF1F2 =2，則該橢圓的離心率為7、拋物線y = -X2上的點(diǎn)到直線4x + 3y - 8 = 0的距離的最小值是C: y 2=4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B(4,1)與到焦點(diǎn)F的距離和最小，則點(diǎn)Q的坐210.若曲線Xa 42+ y =1的焦點(diǎn)為定點(diǎn)，

3、則焦點(diǎn)坐標(biāo)是a +5(0,± 3)11、在 ABC 中,AB=BC , cos B=-.若以A, B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C，則該橢圓的18離心率e =12、設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線y2 =2 px(p >0)的焦點(diǎn)，A是拋物線上的一點(diǎn)，F(xiàn)A與x軸正向的夾角為60°，則|OA|為721 -Tp2 213、已知F1、F2是橢圓X + y=1(5 <av 10)的兩個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，貝憶a2(10 a)2FiBF2的面積的最大值是100392 2X y.222214、P是雙曲線一-L =1的右支上一點(diǎn)，M N分別是圓(X + 5) + y= 4和(X 5)

4、+ y= 1上916的點(diǎn)，貝y |PM| - |PN|的最大值為二、解答題: 15、已知三點(diǎn) P (5, 2)、F1 (-6, 0)、F2 (6, 0)。(I)求以F1、F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(n)設(shè)點(diǎn)P、F1、F2關(guān)于直線y= X的對稱點(diǎn)分別為P'、F；、F2，求以F；、F2為焦點(diǎn)且 過點(diǎn)P'的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：(I )由題意，可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2a=|PF1 | +| PF2 | =112 +22 +12 +22 =652 X2a+十R(a>bA0)，其半焦距6。 a = 3J5b22 2=a -C =45 -36 =9，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

5、2 2X- 145+9(II )點(diǎn) P (5 , 2)、F1F1' (0, -6)、F2' (0,(-6,6)2x2ai2y-b12設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=| P' F1'| I P'F2'|-、1 +22aibi2f2 (6, 0)關(guān)于直線y= X的對稱點(diǎn)分別為：P'(2,5)、=1A 0, b, A 0)，由題意知半焦距G = 6 .a1 = 2J5無=4j52y22=c1 -a1二36-20"6，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 20 - 162x=10已知拋物線y2 =4x，焦點(diǎn)為F， FQ的中點(diǎn)，求點(diǎn) M的軌跡方程.16、頂

6、點(diǎn)為O,點(diǎn)P在拋物線上移動(dòng)，Q是OP的中點(diǎn)，M是解析:設(shè) M( x, y ), P ( xi,yi)(1, 0)v M是FQ的中點(diǎn)，Q ( X2,y2)，易求 _1 +X2十2_X. X2= 2 X -1y2p! =2y八2/ = 4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為,又Q是OP的中點(diǎn)=7 =卜叫_y1 b =2y2_2軌跡方程為y2x2y2"x2， P在拋物線 y2=4x上,/=4y(4y)2 =4(4x 2)，所以 M點(diǎn)的1=X 217、已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為Fi(0, - 2 J2)，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為y =_9O，且離心率e滿足:4l，e，3成等差數(shù)列。("求橢圓方程;(2)是否存在直

7、線丨，使丨與橢圓交于不同的兩點(diǎn) M N,且線段MN恰被直線x = -1平分,2若存在，求出丨的傾斜角的范圍；若不存在，請說明理由。(1)解：依題意 e=芻叵，：f _c 二色 _2恵座.a= 3, c= 2&2 , b= 1,3c44又F1(0，- 2血)，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為y4橢圓中心在原點(diǎn)，所求方程為x2+1v2 =191（2）假設(shè)存在直線I，依題意I交橢圓所得弦 mN被x = -1平分2直線I的斜率存在。設(shè)直線I:y = kx + m ,由;kxm消去y,整理得,x 4 =19(k2+ 9)x2 + 2km升 m 9 = 0, / I與橢圓交于不同的兩點(diǎn) A = 4k2m 4( k

8、2+ 9)( m 9) > 0即 m k2 9< 0設(shè) M(xi, yi), N(x2, y2)X1 +x2-km2=k2 旳1 k2 +9-m =2 2k把代入式中得（k2+9）k > 或 k< 222_(k +9) cO， 4k二直線I傾斜角d,2匸，竺）3 22318、已知橢圓 最小值為1 .C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 （I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為 3,I :y =kx +m與橢圓C相交于A , B兩點(diǎn)（A, B不是左右頂點(diǎn)），且以 AB為（n）若直線直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線I過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)._ 2【標(biāo)

9、準(zhǔn)答案】（I）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為篤+=1（aAbA0）a b2 2a+c=3,a-c=1 , a =2,c = lb2 = 31.43i y =kx +m(II)設(shè) A(X1，y1),B(X2, y2)，由 j 2 y2j 4 =1U 3(3+4k2)x2 +8mkx + 4(m2 -3) = 0, =64m2k2 -16(3+4k2)(m2 -3) aO, 3 + 4k22-m >0.2丄8mk4(m-3)=Xt +x2 =2 ,x1=廠.123+4k2 1 代3+4k22y12 =(kxi +m) (kx2 +m) =k xixmk(x<x2) +m3(m4k3+4k2T

10、以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn) D(2,0), kAD kBD=y1 ” y2 =1,xi 2 X2 2當(dāng)mk時(shí),7綜上可知，直線2I過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(0).19、已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為J2-1 ,離心率為e止2(I)求橢圓E的方程;M竺點(diǎn)O,0作直線"交E于p、Q兩點(diǎn)，試問:MP MQ為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn) M的坐標(biāo);在X軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M , 若不存在，請說明理由2 2解：(I )設(shè)橢圓E的方程為 務(wù)宅=1, 由已知得:a b|a-c=72Tr 廠L 証Mar2.b2 =a2 -c2m.橢a晉g2圓E的方程為+y12(n

11、)法一：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M(m,0)，又設(shè)P(xyJ'Qa 2，y 2)，貝U：TTMP =(xi -m,yi),MQ =(X2 -m, y2),MP MQ =(xi -m) g -m)十丫伉2=x1xm(x<*-x2p*'m +y1y2當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)直線I的方程為：y =k(x -1)，則2 p 2.J +y =12 丄22由 4 2得 X +2k (X -1) 2 =0ly =k(x -1)(最好是用向量點(diǎn)乘來)yiy2 +XiX2 -2(Xi +X2)+4 =0，2 2 2卅+加+器+4=0，7m2 +16mk +4k2 = 0 ,解得 m-2k,m2

12、k，且滿足 3 + 4k2 -m2 a0.l : y = k(x-2)，直線過定點(diǎn)(2,0),與已知矛盾;o2l:y=k(x7)'直線過定點(diǎn)(7,0).2 2燉2 =k(X1 1)(X2 1) =k X1X2 -(X1 +X2) +1=-r 2 , 2k +12k22(2k2+1)X24k2X+(2k22)=0X1+X2=2k,X1X2=2k2+1k2所以 MP MQ=2k "2MP MQ為定值，所以2k2 +1-m ”一22k2 +14k2+m2 一十-2k2 +12k2+12252m -4m +1 =2(m -2)，得 m =,4（2m-41）+（m-2）對于任意的k值,

13、所以 M(5,0),M? MQ =-47165M存在，起坐標(biāo)為（,0） 當(dāng) PM取得最小值當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，直線l: X =1,X1 +x2 =2,X1X2 =1,y2 =-丄2由m =5得 m?mq= -綜上述知，符合條件的點(diǎn)4162 22°、我們把由半橢圓尹糾（x A 0）與半橢圓 £+4=（Xw 0）合成的曲線稱作“果圓”，其中2 2 2a =b +c , a>0, b>c>0.如圖，設(shè)點(diǎn)Fo , Fi , F2是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，Ai , A2和B , B2是“果圓”與x , y軸的交點(diǎn)，M是線段A1A2的中點(diǎn).若 F0F1F2是邊長為1的等邊

14、三角形，求該“果圓”的方程;22設(shè)P是“果圓”的半橢圓 與+ X_ 1（X w 0）上任意一點(diǎn)求證:b2 c2時(shí),P在點(diǎn)B, B2或A處;若P是“果圓”上任意一點(diǎn)，求PM取得最小值時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo).解:二 |F0F2|=&bFjrc2"/, I F1F2I =2jb2 -c2 =1，于是 c2 =3, a2 =b2 +c2 =£所求“果圓”方程為4X2 +y2 =1 (x> 0) , y2+fx2 =1 (xw 0).73(2)設(shè) P(x,y)，則| PM i"* J +y2 4 V F (a c)x+¥ +b2' cw x w 0，1-b2<0，二|PM|2的最小值只能在x=0或x=Y處取到.c即當(dāng)PM 取得最小值時(shí)，P在點(diǎn)B, B2或A,處.2 2|AM |=|MA2| ,且Bi和B2同時(shí)位于“果圓”的半橢圓x y2(x > 0)和半a b2 2橢圓y+右T (Xw 0)上，所以，由(2)知，只需研究P位于“果圓”的半橢圓2 2尹右=1( X > 0)上的情形即可.| PM |2 =fx-HKy2=c2x-a(a；c)l +b2 +I 2 丿 y a2 2c2(a-c)2 a2(a-c)24c22當(dāng)x=葺嚴(yán)w a，即a w 2c時(shí)，|PM I2的最小值在-a (a