數(shù)字信號(hào)處理 第6章 上

1、1 第六章第六章 無限長單位沖激響應(yīng)無限長單位沖激響應(yīng) ( IIR ) ( IIR ) 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的方法數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的方法二、最小與最大相位延遲系統(tǒng)、 最小與最大相位超前系統(tǒng)三、全通系統(tǒng)四、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法概述一、引言2七、模擬頻率變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器六、常用模擬低通濾波器特性及設(shè)計(jì)方法五、用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的方法九、直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器十、最優(yōu)化方法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器十一、與本章內(nèi)容相關(guān)的Matlab文件八、數(shù)字頻率變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器3一、引言1、濾波器的基本概念 數(shù)字濾波器: 是一種具有頻率選擇性的離散線性不變系統(tǒng)，利用有限精度算法來實(shí)現(xiàn)，

2、它在確定信號(hào)與隨機(jī)信的數(shù)字處理中有著廣泛的應(yīng)用。4)(nx通過系統(tǒng))(nh后，使輸出)(ny不含有c的頻率成分，c的頻率無失真通過。濾波原理（以低通濾波器為例）：5 有用成分和希望去除的成分各自占有不同的頻帶，通過一個(gè)線性系統(tǒng)可將欲去除的成分有效去除。分類: 低通(LP), 高通(HP),帶通(BP), 帶阻(BS) 。每一種又有模擬(AF)、數(shù)字(DF)兩種濾波器。濾波器的分類1）經(jīng)典濾波器( )( )( )x ns nu n加法性噪聲6信號(hào)的頻譜和噪聲道頻譜混迭在一起，靠經(jīng)典的濾波方法難以去除噪聲。 從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄(又稱時(shí)間序列)中估計(jì)出信號(hào)的某些特征或信號(hào)本身。包括：維納濾波器、卡

3、爾曼濾波器、線性預(yù)測濾波器、自適應(yīng)濾波器等。2）現(xiàn)代濾波器( )( ) ( )x ns n u n乘法性噪聲( )( )* ( )x ns nu n卷積性噪聲7 對數(shù)字濾波器, 從實(shí)現(xiàn)方法上劃分, 有IIR濾波器和FIR濾波器之分, 系統(tǒng)（轉(zhuǎn)移）函數(shù)分別為:81）確定實(shí)際濾波器的性能指標(biāo)要求；2）用因果穩(wěn)定系統(tǒng)（）用因果穩(wěn)定系統(tǒng)（IIR）或（）或（FIR）逼近逼近實(shí)際性能要求；性能要求；3）選擇合適的結(jié)構(gòu)、字長及處理方法；4）采用通用或?qū)Ｓ密浖蛴布砭唧w實(shí)現(xiàn)。2、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)問題 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)是確定其系統(tǒng)函數(shù)并實(shí)現(xiàn)的過程。包括：9 這里主要討論數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的逼近過程（第二步）。

4、 以下討論實(shí)際濾波器對理想幅度頻率響應(yīng)逼近的問題。10各種濾波器的理想幅度頻率響應(yīng)特性：11圖中頻率為數(shù)字頻率，由于數(shù)字2/s222sssssffTfT采樣頻率折疊頻率為： 按照奈奎斯特采樣定理，頻率響應(yīng)只能限于：2/|s故只考慮 |的頻率范圍。但同時(shí)需給出抽樣頻率。12 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)就是對理想頻率響應(yīng)特性的逼近。 一般以頻率響應(yīng)的幅度特性的允許誤差來表征。以低通濾波器為例，頻率響應(yīng)有通帶、過渡帶、阻帶三個(gè)范圍。在通帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差)(ppRa逼近1，即cjpeHa| , 1| )(|1在阻帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差小于()ssa A13逼近0，即|,| )(|stsjaeH其中stc分別是

5、通帶、阻帶截止頻率，都是數(shù)字域頻率。非零寬度的過渡帶cst下降到阻帶，以保證濾波器的物理可實(shí)現(xiàn)性。一般使用通帶允許的最大衰減（波紋）內(nèi)，幅度響應(yīng)平滑地從通帶21，阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減。（波紋）來描述。14二者分別定義如下：)1lg(20| )(|lg20| )(| )(|lg2001pjjjaeHeHeHccsjjjaeHeHeHststlg20| )(|lg20| )(| )(|lg2002單位都為分貝（dB）。1| )(|0jeH其中假定 已歸一化了。也可考慮相位或時(shí)域沖激響應(yīng)的逼近要求。以下為各實(shí)際型濾波器的性能指標(biāo)描述。15各型實(shí)際濾波器的性能指標(biāo)描述：161718jezjjjjjzH

6、zHeHeHeHeHeH| )()(|)()()()(| )(|12 只需要逼近幅度響應(yīng)而不考慮相位時(shí)，根據(jù)幅度平方響應(yīng)來進(jìn)行設(shè)計(jì)很方便，定義：3、數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)特性1）幅度平方響應(yīng)19使用幅度平方響應(yīng)函數(shù)的理由：（1）表示功率傳遞關(guān)系；（2）可通過分配零、極點(diǎn)來設(shè)計(jì)出系統(tǒng)函數(shù)；（3）可表示為 的有理函數(shù)。20如果沖激響應(yīng) h（n）為實(shí)函數(shù)，則)()(jjeHeH即滿足共軛對稱條件，因此)()(1zHzH的極點(diǎn)既是共軛的，又是以單位圓鏡像對稱的。jImzRez121為使)(zH成為可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，?。簡挝粓A內(nèi)的極點(diǎn)為)(zH的極點(diǎn)；單位圓外的極點(diǎn)為)(1zH的極點(diǎn)；如果：單位圓內(nèi)的零點(diǎn)為)(

7、zH的零點(diǎn)，則所得到的系統(tǒng)是最小相位延遲濾波器；單位圓外的零點(diǎn)為)(zH的零點(diǎn)，則所得到的系統(tǒng)是最大相位延遲濾波器；22例子z根據(jù)以下幅度平方函數(shù) 確定系統(tǒng)函數(shù)Ha(s).)(2A)36)(49()25(16)(22222A2131004)6)(7()25(4)(4,36492516)0()0(4225)0()0(,)6)(7()25()()(5;6,7(5;6,7)36)(49()25(16)()(22222222222222sssssssHKAHKKAHsssKsHKsHjsssjssssssAsHsHsaaaaasaa最后：益常數(shù)的條件，低通，可得增由，則得設(shè)增益常數(shù)為的零點(diǎn)。一對虛軸零

8、點(diǎn)）為取取左半平面極點(diǎn)：皆為二階）零點(diǎn)：其極點(diǎn)：）（代入：解：用23)(| )(|)(jejjjeeHeH)(| )(|)(jejjjeeHeH由于jezjjjjjzHzHjeHeHjeHeHe)()(ln21)()(ln21)(Re)(Imtanarg)(12）相位響應(yīng)（上兩式相除，可得。）24dedejj)()(定義為相位對角頻率的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值：( )( )()jjjz ez edzdzdzejzdzddz 3）群延遲響應(yīng))(| )(|ln)(lnjjjejeHeH由于)(| )(|)(jejjjeeHeH()Im ln()jjeH e25jjjjezezezezjjzHdzzdHzzHdz

9、dzdzzHdjzdzzHdddzeHdde)(1)(Re)(lnRe)(lnIm)(lnIm)(lnIm)(26 群延遲響應(yīng)是濾波器平均延遲的一個(gè)度量。 濾波器為線性相位響應(yīng)特性時(shí)，則通帶內(nèi)群延遲特性是常數(shù)，在視頻、圖象的傳輸和處理中很重要。27二、最小與最大相位延遲系統(tǒng) 最小與最大相位超前系統(tǒng) 任一個(gè)線性移不變系統(tǒng) ，可用系統(tǒng)函數(shù)表示為:NkkMmmMNNkkMmmNkkkMmmmdzczKzzdzcKzazbzH11111110)()()1 ()1 (1)(28)(arg11)(11)()()()1 ()1 ()(jeHjjNkkjMmmjMNjNkjkMmjmjeeHdeceKeede

10、cKeH其頻率響應(yīng)為：這里，我們只討論相位的影響。由于沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，故K只能是實(shí)數(shù)（正數(shù)或負(fù)數(shù)），它對輻角只引入固定值（0或 弧度）。所以，我們可以研究 。keHj)(29各極矢量模的連乘積各零矢量模的連乘積NkkjMmmjjdeceKeH11)(的模即幅頻響應(yīng)為：keHj)(其中零矢（極矢）是零點(diǎn)（極點(diǎn)）指向Z平面單位圓上要研究的頻率點(diǎn) （幅角）的矢量。30)()(argarg)(arg11MNMNdecekeHNkkjMmmjj各極矢量幅角之和各零矢量幅角之和keHj)(的相角為：單位圓內(nèi)（外）的零點(diǎn)（極點(diǎn)）對輻角變化的不同影響：31321）單位圓內(nèi)的零點(diǎn)（極點(diǎn)），當(dāng)從20逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周

11、時(shí)，零矢（極矢）輻角變化為2弧度；2）單位圓外的零點(diǎn)（極點(diǎn)），當(dāng)從20逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，零矢（極矢）輻角變化為0弧度；所以，當(dāng)從0 變到 時(shí)，只有單位圓 內(nèi)的零點(diǎn)、極點(diǎn)對 有影響。keHj)(arg33若oimm ,分別表示單位圓內(nèi)外的零點(diǎn)數(shù)，oipp ,分別表示單位圓內(nèi)外的極點(diǎn)數(shù)，則有：oioippNmmM,下面我們具體討論零點(diǎn)、極點(diǎn)的分布對系統(tǒng)相角的影響。34oiiijmMmMNpmkeH222)(2)(2)(arg0,oipNp從20變化時(shí)，有：1）對于因果穩(wěn)定系統(tǒng)，有這種系統(tǒng)，當(dāng)增加時(shí)，輻角變化為負(fù)，故稱為相位“ 延時(shí) ”（或 “滯后”）系統(tǒng)。又可分兩種情況討論。35A、當(dāng)全部零點(diǎn)在單

12、位圓內(nèi)時(shí)，0om0)(argkeHj這就是最小相位延遲系統(tǒng)。B、當(dāng)全部零點(diǎn)在單位圓外時(shí)，MmoMkeHj2)(arg這就是最大相位延遲系統(tǒng)。Mmi0im362）對于非因果穩(wěn)定系統(tǒng)，有Nppoi , 0()arg2 ()2 ()22 ()jiiiH empNMkmNM從20變化時(shí)，有：一般，系統(tǒng)總滿足NM（ 即H(z)分子z-1的階次小于分母的階次 ），因而這種系統(tǒng)當(dāng)由0而增加時(shí)，輻角變化為正，故稱為相位 “超前”（或 “領(lǐng)先”）系統(tǒng)。37A、當(dāng)全部零點(diǎn)在單位圓內(nèi)時(shí)，MmiojpNkeH22)(arg這就是最大相位超前系統(tǒng)。B、當(dāng)全部零點(diǎn)在單位圓外時(shí)，0im)(2)(2)(argoojmpMNk

13、eH這就是最小相位超前系統(tǒng)。0omMmo38單位圓內(nèi)、外都有零點(diǎn)： 混合相位系統(tǒng)。00.20.4024(a)00.20.4-1.501.53(b)0510152000.20.40.60.81(c)05101520-1-0.500.51(d)1111( ),1,11zbbzH zabzaaz1211( ),1,11bzbzHzabzaaz與非最小相位延遲系統(tǒng)：舉例：最小相位延遲系統(tǒng)：39 與以上四種系統(tǒng)對應(yīng)的沖激響應(yīng)分別有四種相應(yīng)的序列。1）在傅立葉變換 相同的所有系統(tǒng)中，最小相位延遲系統(tǒng)具有最小的相位滯后，即它的負(fù)的相位最?。ㄏ辔唤^對值最?。?。2）按照帕塞瓦定理，由于傅立葉變換幅度相同的各系統(tǒng)

14、的總能量應(yīng)當(dāng)相同，但最小最小相位延遲系統(tǒng)的性質(zhì)：)(jeH40相位延時(shí)系統(tǒng)hmin(n)的能量集中在n=0附近，一般系統(tǒng)h (n)的能量則集中在n0 處，也就是說，如果hmin(n) , h (n)是N點(diǎn)有限長序列（n=0,1,N-1),則有：1,| )(| )(| )(| )(|002min210102min2NmnhnhnhnhmnmnNnNn全部能量413)、由上一條關(guān)系可得出，對相同傅里葉變換幅度的各序列，最小相位序列的hmin(0)最大（可用初值定理加以證明）： hmin(0) h (0)4）、在幅度響應(yīng) 相同的系統(tǒng)中，只有唯一一個(gè)最小相位延時(shí)系統(tǒng)。| )(|jeH421)(jape

15、H三、全通系統(tǒng)系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幅度在所有下均為1或某一常數(shù)的系統(tǒng)。系統(tǒng)函數(shù)滿足：( )kapHzz最簡單的全通系統(tǒng)，純延遲43一階全通系統(tǒng)：10,1)(11aazazzHapjImzRez1a1/aa為實(shí)數(shù),1pozaza10,1)(11aazazzHap或者a為復(fù)數(shù)44jImzRez1a1/a* 令其極點(diǎn)為ZP，零點(diǎn)為Z0 則滿足： ZP Z0*=1，即零極點(diǎn)互成共軛倒數(shù) ( 共軛反演 ) 關(guān)系。45令jrea 則jrea1)sin()cos(1)sin()cos(11111)()(11jrjrrereeerereeazazjjjjjjjezj即全通系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)為1。證:461,11)(11

16、11azaazazazzHap1jImzReza1/a*a*1/a（二個(gè)一階全通系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)）二階全通系統(tǒng)：47展開后系數(shù)為實(shí)數(shù)，故其 零極點(diǎn)是共軛存在的。 高階實(shí)系數(shù)全通系統(tǒng)可看成是由一 階實(shí)系數(shù)全通系統(tǒng)和二階實(shí)系數(shù)全通系統(tǒng)級(jí)聯(lián)而成。 N階全通系統(tǒng)：48)()()1 ()1 ()1 ()1 (1)1 (1)(111111111111111zDzDzzazazzazazzazazzaazzHNNkkNkkNNkkNkkNNkkkNkkkapN階全通系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)為：49其中：NNNkkzdzdzazD11111)1 ()()()(1zDzD1)()()(1zDzDezHjNezj由于：D（Z）的根

17、（H（Z）的極點(diǎn)）應(yīng)是單位圓內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)，D（Z-1）的根（H（Z）的零點(diǎn)）應(yīng)在單位圓外，二者以單位圓互為“鏡像”。50I、最小相位延遲系統(tǒng)與非最小相位延遲系統(tǒng)的變換。 任何一個(gè)非最小相位延遲系統(tǒng)都可以表示成最小相位延遲系統(tǒng)與全通系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)，即：)()()(minzHzHzHap全通系統(tǒng)的應(yīng)用：結(jié)果：可以獲得幅頻特性相同，但相頻特性不同的濾波器。51II、改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若濾波器有一對極點(diǎn)jerz1在單位圓外，則可以級(jí)聯(lián)如下全通系統(tǒng)：111111)(zrerezzrerezzHjjjjap在單位圓內(nèi)引入極點(diǎn)，抵消單位圓外極點(diǎn)，達(dá)到穩(wěn)定系統(tǒng)目的，同時(shí)不改變系統(tǒng)的幅頻特性。52III、相位均衡器

18、。)()()(zHzHzHdap)()()()()()(dapdap若：群延遲0)(（常數(shù)）則系統(tǒng)是線性相位響應(yīng)。全通系統(tǒng)IIR系統(tǒng)53IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為Z-1的有理分式：)()(1)(10zXzYzazbzHNkkkMmmm四、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法概述一般滿足MN時(shí)，可看成是一個(gè)N階IIR子系統(tǒng)和一個(gè)M-N階FIR子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)，以下都設(shè)M=N。54 IIR濾波器的逼近即確定系統(tǒng)函數(shù)分子、分母的各個(gè)系數(shù)aK，bK，使得在規(guī)定得意義上，如通帶起伏及阻帶衰減的要求或采用最優(yōu)化準(zhǔn)則逼近所要求的特性。 如果在S平面逼近，得到的就是模擬濾波器，如果在Z平面逼近，得到的就是數(shù)字濾波器。 設(shè)計(jì)I

19、IR數(shù)字濾波器一般有以下兩種方法：55A、間接方法 這種方法通常要先設(shè)計(jì)一中間合適的模擬濾波器 ，然后通過映射或頻率變換法完成最終IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。頻率變換法：從歸一化模擬低通濾波器出發(fā)，通過在一定頻帶范圍的頻率變換，實(shí)現(xiàn)低通到高通、帶通、帶阻的映射，從而完成各種常見濾波器的設(shè)計(jì)。 常用下面兩種變換方法：模擬頻率變換法，數(shù)字頻率變換法。 56包括頻域、時(shí)域直接設(shè)計(jì)；最優(yōu)化設(shè)計(jì)法（計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法），此法根據(jù)性能指標(biāo)和一定的逼近準(zhǔn)則，直接利用計(jì)算機(jī)完成設(shè)計(jì)。B、直接方法571）給定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：stcstc,2）將3）利用下一節(jié)的方法設(shè)計(jì)模擬濾波器；stc,轉(zhuǎn)換成;,stcstc,

20、保持不變；4）將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。五、用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的方法（間接方法，模擬數(shù)字化的方法）58從模擬系統(tǒng)函數(shù))(sHa變換到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù))(zH需滿足：1、)(zH的頻率響應(yīng)能模仿)(sHa的頻率響應(yīng)；。 為保持模擬濾波器的頻率軸的映射關(guān)系，S平面的虛軸j必須映射到Z平面的單位圓 上，即S=j，Z= ，jejejeje592、因果穩(wěn)定的)(sHa能映射成因果穩(wěn)定的)(zH 為保持濾波器穩(wěn)定性，S平面的左半平面必須映射到Z平面的單位圓內(nèi)， 即 Res0 |z|1用這方法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器存在一定的局限性：(1) 只適于設(shè)計(jì)振幅響應(yīng)分段恒定的濾波器，不能解決多帶

21、或任意幅度的濾波器的設(shè)計(jì)問題。(系統(tǒng)函數(shù)確定)：60 沖激響應(yīng)不變法；階躍響應(yīng)不變法；雙線性變換法；時(shí)域變換域模擬濾波器映射成數(shù)字濾波器的方法主要有：(2) 只是一種可行的方法，而不是最優(yōu)的方法。 它們原則上可用于各型模擬濾波器（低通, 高通,帶通, 帶阻 ）的數(shù)字化。61從時(shí)域出發(fā)，要求數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)h(n)對應(yīng)于模擬濾波器ha（t）的等間隔抽樣，即滿足：)()(nThnha其中T是抽樣周期。1、沖激(抽樣、取樣)響應(yīng)不變法變換原理：由雷道（Rader),戈?duì)柕拢℅old)提出62kaezkTjsHTzHsT)2(1)(由時(shí)域抽樣序列的Z變換與模擬信號(hào) 的拉氏變換的關(guān)系，有： 存在多對

22、一的映射關(guān)系。63 具體推導(dǎo)（復(fù)習(xí)） 設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t) ( )( )aaHsLT h t 設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將Ha(s)用部分分式表示： 1( )NiaiiAHsss 式中si為Ha(s)的單階極點(diǎn)。將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到ha(t)：1( )( )iNs ntaiih tAeu t64 式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到： 1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nT對上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： 11

23、( )1iNis TiAH zez設(shè)ha(t)的采樣信號(hào)用 表示，( )( ) ()aanh th ttnT( )ah t65z 對 進(jìn)行拉氏變換，得到: ( )aht( )( )( ) ()()staastansnTanHsh t edth ttnT edth nT e 式中ha(nT)是ha(t)在采樣點(diǎn)t=nT時(shí)的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到: ( )( )( )( )sTsTsnTnaz ez ennHsh n eh n zH z66z 上式表示采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示： z 而且模擬信號(hào)ha(t)的傅

24、里葉變換Ha(j)和其采樣信號(hào) 的傅里葉變換 之間的關(guān)系滿足：sTze( )aht()aHj1()()aaskHjHjjkT 671( )()1( )()sTaaskasz ekHsHsjkTH zHsjkT將s=j代入上式，得同樣得到:68z=esT, s平面與z平面之間的映射關(guān)系映射關(guān)系圖：69映射規(guī)則的要點(diǎn)zS平面上每一條寬為 的橫帶部分，將重疊映射到z平面的整個(gè)平面上。z每一橫條的左半邊映射到z平面單位園內(nèi)，每一橫條的右半邊映射到z平面單位園外。zS平面的虛軸（j )軸映射到z平面單位園上，虛軸上每一段長為 的線段都映射到z平面單位園上一周。z數(shù)字濾波器的頻響 并不是簡單地重現(xiàn)模擬濾波

25、器的頻響，而是模擬濾波器頻響 的周期延拓。T2T2)(jeH)( jHa70根據(jù)s域與z域的的映射關(guān)系zTsezsTln1,zTsasHzHln1)()( T 為 抽 樣 周 期。注意：這種映射并不是簡單的代數(shù)映射，故不能將其直接代入來得到H(z)。映射關(guān)系：頻率映射關(guān)系：T71)(zH不再是z的有理多項(xiàng)式，給零極點(diǎn)分析帶來困難。由映射關(guān)系圖：Z平面的單位圓內(nèi)S平面的左半平面72 數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)為對應(yīng)模擬濾波器沖激響應(yīng)的抽樣，由抽樣定理可知其頻譜為模擬濾波器頻譜的周期延拓。性能分析：kajTkjHTeH)2(1)(只有模擬濾波器的頻譜限帶于折疊頻率內(nèi)時(shí)，即要滿足2| , 0)(saTjH

26、才能避免混疊失真。即73而實(shí)際的濾波器并非嚴(yán)格限帶，所以用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器不可避免地會(huì)產(chǎn)生混疊失真。所以此法只適于設(shè)計(jì)帶限（如低通）濾波器。模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以外衰減越大、抽樣間隔T越小混疊失真越小。|),(1)(TjHTeHaj74z但在濾波器的指標(biāo)用數(shù)字頻率 給出時(shí)，用減小T的方法不能解決混疊失真。z原因： z減小T ， 同時(shí)增大。cTccc75沖激響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象76實(shí)現(xiàn)方法（模擬濾波器數(shù)字化）： 用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的思路為，先根據(jù)要求，設(shè)計(jì)出中間模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù) ，然后經(jīng)下列變換設(shè)計(jì)出H(z)：)(sHa可見整個(gè)過程很復(fù)雜的。 h(n)

27、H(z)(sHa)(tha77 實(shí)際使用時(shí)，可把模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)展開為并聯(lián)形式（部分分式表達(dá)式），且要求其分母的階次大于分子的階次因?yàn)橹挥羞@樣才是一個(gè)穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)）。利用下列變換關(guān)系完成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)設(shè)計(jì)。78NkkkassAsH1)(設(shè)：NktskaatueAsHthk11)()(L)(NknTskanueAnThnhk1)()()(NkTsknnTsNkknNknTsknnzeAzeAzeAznhzHkkk110110111)()()()(79ksssH1)(111)(zezHTsk111111)!1() 1()(zesmzHTsmkmmk1階m階即同樣：mksssH)(1)(平面

28、）（平面）zzeAzHsssAsHNkTskNkkkak1111)()(8022)()(ssHTTTeTezzTzezH22)cos(2)sin()(22)()(sssHTTTeTezzTzezzH222)cos(2)cos()(81共軛極點(diǎn)的留數(shù)也為共軛：kkssAsH)(11)(zeAzHTskk*)(kkssAsH1*1)(zeAzHTskk注意到?jīng)_激響應(yīng)不變法將S平面極點(diǎn)SK映射到Z平面極點(diǎn) ，因而只有極點(diǎn)有這種簡單映射關(guān)系（零點(diǎn)不滿足這種簡單的對應(yīng)關(guān)系）。Tske82還注意到數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：與抽樣周期T成反比，當(dāng)抽樣頻率很高時(shí)，將產(chǎn)生很高的增益，為穩(wěn)定增益，令 則)()(nTT

29、hnha|),()2()(TjHTkjHeHakaezjsTkaezjTkjHTeHsT)2(1)(831）s平面的單極點(diǎn)kss 變換到z平面的單極點(diǎn)Tskez 處；2）)(sHa與)(zH的系數(shù)相同；3）如果模擬系統(tǒng)穩(wěn)定，則數(shù)字系統(tǒng)也穩(wěn)定，即 0Reks則1Tske4）零點(diǎn)沒有相應(yīng)的映射關(guān)系。特點(diǎn)：84優(yōu)點(diǎn)： 時(shí)域逼近良好，且模擬頻率 和數(shù)字頻率 之間呈線性關(guān)系一個(gè)線性相位的模擬濾波器（例貝塞爾濾波器）可以映射成一個(gè)線性相位的數(shù)字濾波器。T85 存在頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)，所以沖激響應(yīng)不變法只適用于帶限（低通、帶通）濾波器，高通、帶阻濾波器不適用。缺點(diǎn)：若c不變，則提高采樣頻率（減小T）不能解決

30、混疊問題。sf86z由于具有頻率的混疊效應(yīng)，所以高通和帶阻濾高通和帶阻濾波器波器不宜采用沖激不變法。因?yàn)樗鼈兏哳l部分不衰減，將完全混淆在低頻中，從而使整個(gè)頻響面目全非。z若要對高通和帶阻實(shí)行沖激不變法，則必須先對高通和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻帶。z它會(huì)增加設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)，因而只有在一定要追求頻率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響應(yīng)不變時(shí)才使用。z對于帶通和低通濾波器，需充分限帶，若阻帶衰減越大，則混疊效應(yīng)越小。871、根據(jù)設(shè)計(jì)要求，設(shè)定指標(biāo)。2、將數(shù)字濾波器性能指標(biāo)變換為中間模擬濾波器的性能指標(biāo)。3、設(shè)計(jì)出符合要求的中間模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 。設(shè)計(jì)流程：)(sHa8

31、84、將 展成部分分式的并聯(lián)形式，利用前面的變換式設(shè)計(jì)出H(z) 。5、將H(z)乘以抽樣周期T，完成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的設(shè)計(jì)。)(sHa89設(shè)計(jì)舉例： 題目：設(shè)根據(jù)要求設(shè)計(jì)出的模擬原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)為342)(2sssHa利用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字IIR濾波器。解答：(1) 將 分解為部分分式形式：)(sHa3111342)(2sssssHa90(2) 將 數(shù)字化)(sHa241313131)(1)(1111)(zezeezeezezezHTTTTTTT(3) 進(jìn)行增益修正后，得H(z)241313)(1)()(zezeezeeTzHTTTTT91設(shè)T=1，則21101831. 04

32、177. 01318. 0)(zzzzH201831. 04177. 01318. 0)(jjjjeeeeH4)3(2)(2jjHa相應(yīng)的模擬濾波器和數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)分別為：92|Ha(j)|Tw|H(ejw)|二者的幅頻響應(yīng)比較，由于 不是充分限帶的，有很大的混疊失真。)( jHa93階躍響應(yīng)不變法仍是從時(shí)間域上用數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng) 模仿模擬濾波器的階躍響應(yīng) 的等間隔抽樣：)(ng)(tga2、階躍響應(yīng)不變法變換原理：)(| )()(nTgtgnganTtaT為抽樣間隔。94( )( )( ), ( )1( ) ( )1( )( )1( )zg nu nh n Z u nzzG zZ

33、g nzH zGzzzHz設(shè)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 ，其輸入作用一個(gè)階躍序列 ，則其輸出端即為階躍響應(yīng) ，( ) ( )H zZ h n)(nu)(ng而對于模擬濾波器，同樣有：951( )( )( ), ( )aag tu th tL u ts11( )( )( )1( )L( )aaaaaG sL g tHssg tHss要滿足階躍響應(yīng)不變，有nTtaasHsnTgng)(1L)()(1G(Z)(1L1)(1)(1nTtasHsZzzzGzzzH961）時(shí)域逼近良好；2） 階躍響應(yīng)不變法使數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng)對應(yīng)于模擬濾波器階躍響應(yīng)的抽樣。 模擬濾波器階躍響應(yīng)的理想抽樣信號(hào)：特點(diǎn)：)()(

34、)(ttgtgTaa的拉氏變換為：snTanaaenTgtgLsG)()()( )H z( )aHs的關(guān)系:和97數(shù)字階躍響應(yīng)序列的Z變換為：nnzngngZzG)()()(比較上兩式有：( )|( )sTaz eG zG s而模擬階躍響應(yīng)的 的拉氏變換)(tga)(sGa與 的理想抽樣信號(hào) 的拉氏變換 的關(guān)系為：)(tga)(tga)(sGa12( )()aakG sG sjkTT()( )agnTg n要求：9821( )|( )|1( )|()1 1()1 12( )|()|2sTsTsTsTsTz ez eaz eaz eaekkzzH zG zzzH zG szzH zG sjkzT

35、HsjkzTH zzTTsjkT可見，同樣產(chǎn)生了頻率響應(yīng)的周期延拓，造成頻率混疊失真。99同由沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)出的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：kanTtaTkjHTsHzH)2(1)(LZ)(1nTtasHszzzH)(1LZ1)(1但此法設(shè)計(jì)出的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)：100注意：數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)仍有 1/T的系數(shù)。 同樣為穩(wěn)定增益，也要乘以一系數(shù)T。相比，由于有因子 ，使頻率響應(yīng)幅度與頻率 成反比，隨著 的增加而衰減加快，混疊現(xiàn)象比沖激響應(yīng)不變法小。但也只適于通帶有限濾波器的設(shè)計(jì)。s/11014、 由Ha(s)得到模擬濾波器階躍響應(yīng) 的拉普拉斯變換Ga(s) ，)(tga)(1)(sH

36、ssGaa1、根據(jù)要求，設(shè)定指標(biāo)。2、將數(shù)字濾波器性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為中間模擬濾波器性能指標(biāo)。3、設(shè)計(jì)出符合要求的中間模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 。)(sHa設(shè)計(jì)流程：1027、 對g(n)作Z變換，得到 G(z)G(z)=Zg(n)。)(1)(zGzzzH得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。8、由6、 對 抽樣，得到數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng)g(n)， g(n)= ， T為抽樣周期。)(tga)(nTga5、 求中間模擬濾波器的階躍響應(yīng)g(n)。103設(shè)計(jì)舉例： 題目：設(shè)模擬原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s) fs=500HZ，用階躍響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一數(shù)字低通濾波器。424108696044. 928830.444108696

37、044. 9)(sssHa104 解答：(1) 求模擬濾波器階躍響應(yīng)的拉普拉斯變換Ga(s)：14415.222)14415.222(14415.222)14415.222(1)108696044. 928830.444(108696044. 9)(1)(2424sssssssHssGaa105(2) 求ga(t)：)()14415.222cos()14415.222sin(1)(L)(14415.2221tuttesGtgtaa 這樣，得到g(n)： )()14415.222cos()14415.222sin(1)(14415.222nunTnTengnT106(3) 對g(n) 作Z 變

38、換 得G(z)：)41124070. 01580459. 11)(-(z10784999. 014534481. 041124070. 01580459. 130339071. 01-zzZg(n)G(z)2222zzzzzzzz(4) 求 得H(z)：212141124070. 01580459. 1110784999. 014534481. 0)(1)(zzzzzGzzzH107 沖激響應(yīng)不變法和階躍響應(yīng)不變法從s平面到z平面的映射關(guān)系是多值的，因此會(huì)出現(xiàn)頻率的混疊現(xiàn)象。 雙線性變換從頻域出發(fā)，從s平面到z平面的映射關(guān)系是單值的，所以消除了頻率混疊現(xiàn)象。3、雙線性變換法變換原理:108映射

39、關(guān)系:實(shí)現(xiàn)S平面與Z平面一一對應(yīng)的關(guān)系。第一次變換：頻率壓縮第二次變換：數(shù)字化109整個(gè)s平面平面的1sTT,z平面的單位圓內(nèi)00,11T111111122122tantan221tan21TTjjjTTTjTjjTTeeejjeee 可取壓縮變換數(shù)字化110z把整個(gè)S平面壓縮變換到某一中介的S1平面的一條橫帶里：)2tan(1T1111利用Tsezjsjs1,1111111(),211sTzssthzzs 由于從SZ和從ZS的映射規(guī)則都是分式線性變換，因此稱其為雙線性變換。由于這種映射是單值映射，是簡單的代數(shù)關(guān)系，因此用雙線性變換法可以方便地設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。112為了嚴(yán)格對應(yīng)模擬濾波器與數(shù)字

40、濾波器的某一頻率，常引入待定常數(shù)c，此時(shí)變換關(guān)系為：2tan2tan1cTcscsczzzcs,1111即為雙線性變換的變換關(guān)系。113常數(shù)c的確定： 用不同的方法選擇c可使模擬與數(shù)字濾波器頻率特性在不同頻率點(diǎn)有對應(yīng)關(guān)系，也就是可以調(diào)節(jié)頻帶間的的對應(yīng)關(guān)系。以下是兩種方法：（ 1）、采用使模擬濾波器與數(shù)字濾波器在低頻處有較確切的對應(yīng)關(guān)系，即在低頻處有 。當(dāng)較小時(shí)有：111422tan11TTTcTcTc222tan111因而可得115（2）采用數(shù)字濾波器某一特定頻率（如截止頻率 ）處與模擬原形濾波器頻率 嚴(yán)格相對應(yīng)，即Tcc12cot2tan11TcTccccc可以較準(zhǔn)確的控制截止頻率的位置。c

41、1161）將代入變換式，有jez jjceecsjj2tan11即z平面單位圓對應(yīng)s平面虛軸；2）將js代入變換式，有jcjcscscz)()(時(shí)當(dāng)0, 1z即s負(fù)半平面對應(yīng)z平面單位圓內(nèi)；逼近情況：117優(yōu)點(diǎn)：消除了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象；缺點(diǎn)：1）在低頻時(shí)，頻率變換關(guān)系接近于線性關(guān)系，但隨著頻率的增加，存在嚴(yán)重的非線性關(guān)系。其結(jié)果是，相頻特性受到嚴(yán)重影響，不適于設(shè)計(jì)線性相位的數(shù)字濾波器。118c1tan2或2tan2tan1cTc頻率變換關(guān)系：1192）它要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)是分段常數(shù)型（一般的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的頻率響應(yīng)特性）。對于分段常數(shù)型濾波器，由于雙線性變換法帶來的頻率失真，各分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生畸變，要通過頻率預(yù)畸加以校正。120z一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位。如一個(gè)模擬微分器將不能通過雙線性變換成為數(shù)字微分器。212112)(tan21c)( jHa)( jHa模擬微分器數(shù)字121頻率預(yù)畸校正：12212343124123411234(),2(),TTTTtgc 如要求數(shù)字帶通濾波器的四個(gè)截止頻率即臨