復(fù)變函數(shù)與積分變換第5章

1、第五章 留 數(shù)一.奇點(diǎn)的分類二.留數(shù)的定義,計(jì)算，留數(shù)定理三.利用留數(shù)定理計(jì)算定積分（計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分的重要工具）dzezzz1134 . 3計(jì)計(jì)算算積積分分：例例解：.)(內(nèi)內(nèi)的的洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)在在圓圓環(huán)環(huán)函函數(shù)數(shù)zezzfz013zezzf13)(3011nnzn!dzezzz113dzznznn 10311!dzzzzzzz1223151141312.!dzzz13dzzz12dzzz12!dzz131!dzzz1411!dzzz21151!.! 42 i 的去心鄰域的去心鄰域奇點(diǎn)奇點(diǎn)0z在其中解析在其中解析)(zfi 21c項(xiàng)的系數(shù)）項(xiàng)的系數(shù)）洛朗級數(shù)中洛朗級數(shù)中（11zc:第一節(jié)

2、孤立奇點(diǎn)一、奇點(diǎn)的分類一、奇點(diǎn)的分類 定義： 0( )f zz若函數(shù)在 處不解析，000zzz但在 的某一去心鄰域內(nèi)處處解析，0( )zf z則稱 為函數(shù)的10( )zf zz如：是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，1( ).zf ze也是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)10( )1sinzf zz如是函數(shù)的一個奇點(diǎn)，1(1, 2,)nznn 除此之外，也是它的一個奇點(diǎn)，10nzn當(dāng) 的絕對值逐漸增大時(shí)，可任意接近，0( )zf z即在不論怎樣小的去心鄰域，總有函數(shù)的奇點(diǎn)存在，0( ).zf z所以不是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)注：(1) 不是所有的奇點(diǎn)都是孤立奇點(diǎn)；的孤立奇點(diǎn)。的孤立奇點(diǎn)。則它們?nèi)际莿t它們?nèi)际怯杏邢薅鄠€奇點(diǎn)，有

3、有限多個奇點(diǎn)，若函數(shù)若函數(shù))()(zfzf（2）孤立奇點(diǎn)的簡單判定方法：約定：本章所討論的函數(shù)的奇點(diǎn)都是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)。內(nèi)內(nèi)解解析析在在圓圓環(huán)環(huán)域域 00)(zzzf存存在在。對對應(yīng)應(yīng)的的洛洛朗朗展展開開式式nnzzczf)()(-n0孤立奇點(diǎn)的類型：的的一一個個孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)，為為若若)(0zfznnnzzc)(0 )1(01)(nnnzzc )()(200nnnzzc 解析部分主要部分 根據(jù)主要部分中 負(fù)冪項(xiàng)的多少，)(0zz 對孤立奇點(diǎn)分類：可去奇點(diǎn)：極點(diǎn)：本性奇點(diǎn)：孤立奇點(diǎn)不包含負(fù)冪項(xiàng)有限多個負(fù)冪項(xiàng)無窮多個負(fù)冪項(xiàng)負(fù)負(fù)冪冪項(xiàng)項(xiàng)的的多多少少）洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)中中(1) 可去奇點(diǎn),)(0負(fù)

4、負(fù)冪冪項(xiàng)項(xiàng)洛洛朗朗展展開開式式中中不不含含有有zz 內(nèi)內(nèi)的的去去心心鄰鄰域域在在孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù) 000)(zzzzf.)(0的的可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)為為稱稱zfz定義1.2 f (z)= c0 + c1(zz0) +.+ cn(zz0)n +. .)(lim00czfzz顯顯然然，:0)(0內(nèi)內(nèi)的的洛洛朗朗展展開開式式在在 zzzf性質(zhì)：為一常數(shù)為一常數(shù)，時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)MMzfzz)(0（收斂數(shù)列為有界的）結(jié)論 的孤立奇點(diǎn)，的孤立奇點(diǎn)，為函數(shù)為函數(shù)若若)(zfz0的的可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)是是點(diǎn)點(diǎn))()(zfz01則下列四個條件等價(jià)00(2)( )f zzzz函數(shù)在 點(diǎn)的洛朗級數(shù)展開式中不含

5、的負(fù)冪項(xiàng)，即010( )()()nnf zCC zzCzz為為一一復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù)。0c,0)(lim)3(0czfzz 的的某某個個去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有界界在在點(diǎn)點(diǎn)0)()4(zzf)()(,(MzfrzzzfMr內(nèi)內(nèi)滿滿足足在在使使得得即即存存在在正正數(shù)數(shù)00 例1解：sin0( )zzf zz說明點(diǎn)是函數(shù)的可去奇點(diǎn).( )0f zz 函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)可展開成洛朗級數(shù)為：35sin1( )()3!5!zzzf zzzz24111,3!5!zz 展開式中不含負(fù)冪項(xiàng)，sin0( )zzf zz是函數(shù)的可去奇點(diǎn).例2 判定下列函數(shù)的孤立奇點(diǎn)的類型。zezfz1)( 為為孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)0zze

6、zz1lim01lim0zze的可去奇點(diǎn)。的可去奇點(diǎn)。為為)(zfz0（洛必達(dá)法則）)()1(lim0zezz解解0( )zf z若 為函數(shù)的可去奇點(diǎn)，則0( )f zz在 的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)就是一個不含負(fù)冪項(xiàng)的級數(shù)為：20102000( )()()(),0nnf zCC zzCzzCzzzz0( )F zzz顯然這個冪級數(shù)的和函數(shù)在內(nèi)處處解析.0000()lim( )lim( ).zzzzf zCF zf z令可去奇點(diǎn)的解析化：極極點(diǎn)點(diǎn)：)2(內(nèi)內(nèi)的的去去心心鄰鄰域域在在孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù) 000)(zzzzf中中洛朗展開式洛朗展開式nnnzzc)(0,)(0負(fù)負(fù)冪冪項(xiàng)項(xiàng)含含有

7、有有有限限多多個個zz 定義1.3：011010zzczzczzcmmmm)()(0mc)(mzz的的負(fù)負(fù)冪冪項(xiàng)項(xiàng)最最高高次次數(shù)數(shù)為為關(guān)關(guān)于于0的的是是則則稱稱)(0zfz 級極點(diǎn).m式式去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的洛洛朗朗展展開開級級極極點(diǎn)點(diǎn)，則則在在的的是是若若00)(zmzfz011010)()()(zzczzczzczfmmmmnnzzczzcc)()(00100mc)(1)(0mzzzfmmmzzczzcc)()(0001)(0mnnzzc)()(10zzzm 。解解析析，且且在在函函數(shù)數(shù)000mczzz)()( 冪級數(shù)冪級數(shù)的和函數(shù)定理1.2內(nèi)解析，內(nèi)解析，的去心鄰域的去心鄰域在孤立奇

8、點(diǎn)在孤立奇點(diǎn)若函數(shù)若函數(shù))0(0)(00 zzzzf則級極點(diǎn)級極點(diǎn)的的是是mzfz)(0的充要條件是可表示為可表示為)(zf)()(1)(0zzzzfm 的形式，其中，. 0)()(00zzz 解解析析，在在推論1.2極點(diǎn)極點(diǎn)的的是是)(0zfz的充要條件是)(lim0zfzz 例321( )(1)(2)f zzz研究函數(shù)孤立奇點(diǎn)的類型.解：1,2( )zzf z 是函數(shù)的兩個孤立奇點(diǎn)，1 ,z 當(dāng)時(shí)211( ),1 (2)f zzz2111(2)zzz在的某鄰域內(nèi)解析，且處取值不等于0,1( )zf z 是函數(shù)的一階極點(diǎn)；2,z 當(dāng)時(shí)211( ),(2)1f zzz1221zzz在的某鄰域內(nèi)

9、解析，且處取值不等于0,2( )zf z 是函數(shù)的二階極點(diǎn).3124)()()(zzzf為為孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)1z3112)(limzzz的的極極點(diǎn)點(diǎn)為為)(zfz1)()()()(zzzzzf 331112又2 zz)( .)()(011 解析，解析，點(diǎn)點(diǎn)在在z的的三三級級極極點(diǎn)點(diǎn)為為)(zfz1所以，解解注：對于不可約分式函數(shù)，極點(diǎn) 的級數(shù)m=分母中相應(yīng)因式的次數(shù)。0z 例421( )0zef zzz判別函數(shù)在處是幾階極點(diǎn).解： 220111111( )!2!3!znnezzzzznzz( )0(0)0zz其中在解析，且，210( )zezf zz所以是函數(shù)的一階極點(diǎn).3sin zz練 習(xí)

10、：；0z 是二階極點(diǎn)，而不是三階極點(diǎn).(3) 本性奇點(diǎn)的的去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的在在孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)0)(zzf中中洛朗展開式洛朗展開式nnnzzc)(0.)(0負(fù)負(fù)冪冪項(xiàng)項(xiàng)含含有有無無窮窮多多個個zz ）。）。也不為也不為不存在不存在()(lim0zfzz本本性性奇奇點(diǎn)點(diǎn)為為)(0zfz結(jié)論：的充要條件是11)()1( zezf為為孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)1z111limzze11的的左左側(cè)側(cè)趨趨向向于于點(diǎn)點(diǎn)軸軸從從點(diǎn)點(diǎn)沿沿 xz011的的右右側(cè)側(cè)趨趨向向于于點(diǎn)點(diǎn)軸軸從從點(diǎn)點(diǎn)沿沿 xz111limzze不存在的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn)為為)(zfz1解解例5 判定下列函數(shù)的孤立奇點(diǎn)的類型。1

11、1sin)1()()2( zzzf為為孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)1z開式為開式為的去心鄰域內(nèi)的洛朗展的去心鄰域內(nèi)的洛朗展在在1111zzzsin)()!()()(sin)(121111111120nzzzznnn有無限多負(fù)冪項(xiàng)，所以為為本本性性奇奇點(diǎn)點(diǎn)1z復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的三角函數(shù)是無界的。10z解解:)(0類類型型的的判判定定的的孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)zzf項(xiàng)的多少項(xiàng)的多少內(nèi)的洛朗展開式中負(fù)冪內(nèi)的洛朗展開式中負(fù)冪的去心鄰域的去心鄰域在在定義：根據(jù)定義：根據(jù) 000)() 1 (zzzzf的取值情況。的取值情況。根據(jù)極限根據(jù)極限)(lim)2(0zfzz沒有負(fù)冪項(xiàng)可去奇點(diǎn)有限多負(fù)冪項(xiàng)極點(diǎn)無限多負(fù)冪項(xiàng)本性奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)

12、極點(diǎn)本性奇點(diǎn)有限值無窮大不存在，且不是無窮大（洛必達(dá)法則）1.2. 函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能表表示示成成在在數(shù)數(shù)若若不不恒恒等等于于零零的的解解析析函函0)(zzf) 1()()()(0mzgzzzfm.)(, 0)()(000級級零零點(diǎn)點(diǎn)的的為為則則稱稱解解析析且且在在其其中中mzfzzgzzg重根重根的的是是mzfz0)(0定義1.5注：重重根根級級零零點(diǎn)點(diǎn)mm如何判定？如何判定？的級數(shù)的級數(shù)零點(diǎn)零點(diǎn)mz0問題：例:3) 1()(zzzf函數(shù)函數(shù)0z1z級級零零點(diǎn)點(diǎn)。的的是是)(zf一級級零零點(diǎn)點(diǎn)。的的是是)(zf三)(zf復(fù)雜的函數(shù)復(fù)雜的函數(shù)zzzfsin)(例例如如：

13、結(jié)論解析，解析，在在若若0)(zzf則級零點(diǎn)級零點(diǎn)的的為為mzfz)(0的充要條件是)()(00zfzf, 0)(0)1( zfm. 0)(0)( zfm（m:導(dǎo)數(shù)值不為零的最低階數(shù)）充充分分性性證證明明：解析解析在在0)(zzf的的泰泰勒勒展展開開式式存存在在，在在0)(zzf000)(00)(!)()()(nnnnnnzznzfzzczf, 0110 mccc, 0 mcmzz)(0)()(0zgzzm0)()()(00mczgzzgzg解解析析，在在為為冪冪級級數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)，)(01zzccmm論。論。級零點(diǎn)的定義，得到結(jié)級零點(diǎn)的定義，得到結(jié)根據(jù)根據(jù)m)(zf1010)()(mm

14、mmzzczzc的的情情形形？在在函函數(shù)數(shù)例例：0sin)(zzzzf0)0(f的零點(diǎn)。的零點(diǎn)。是是)(0zfz 解：)0( fcossinzzz 0|z0)0( fsincoscoszzzz0|z0級級零零點(diǎn)點(diǎn)。的的是是)(0zfz二定理1.4級極點(diǎn)級極點(diǎn)的的是是mzfz)(0.)(10級零點(diǎn)級零點(diǎn)的的是是mzfz函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)之間的關(guān)系:這個定理為判斷函數(shù)的 級極點(diǎn)提供了一個簡單的方法.m級零點(diǎn)，級零點(diǎn)，級零點(diǎn)和級零點(diǎn)和為為分別以分別以與與設(shè)設(shè)nmzzz )()( 0 定理1.5)()()(zzzf 則級零點(diǎn)，級零點(diǎn)，的的為為時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng))()() 1 (0nmzfznm級極點(diǎn)，級極點(diǎn)，

15、的的為為時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng))()()2(0mnzfznm的的可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)。為為時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng))()3(0zfznm 根據(jù) 級零點(diǎn)的定義，得m)()(10zzzzm ）)()(10zzzzn ）級零點(diǎn)，級零點(diǎn)，級零點(diǎn)和級零點(diǎn)和為為分別以分別以與與nmzzz )()( 0 證明：. 0)(, 0)( )(),(,0101011zzzzz 解解析析，在在其其中中)()()(zzzf )()()()(1010zzzzzznm nmzz)(0)()(11zz )()(11zz . 0解解析析，函函數(shù)數(shù)值值不不為為零零在在 z級零點(diǎn)，級零點(diǎn)，的的為為時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng))()(0nmzfznm時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)nm )(zfm

16、nzz)(10)()(11zz （定理1.2)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)nm )(zf)()(11zz )()()(lim01010zzzfzz 有限值（定理1.1)（根據(jù) 級零點(diǎn)的定義）m級極點(diǎn)，級極點(diǎn)，的的為為所以，所以，)()(0mnzfz的的可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)。為為所所以以，)(0zfz：級極點(diǎn)的判定級極點(diǎn)的判定即即的判定的判定極點(diǎn)，極點(diǎn)級數(shù)極點(diǎn)，極點(diǎn)級數(shù)是是若若)()(0mmzfz（1）定義:內(nèi)內(nèi)的的洛洛朗朗展展開開式式的的去去心心鄰鄰域域在在計(jì)計(jì)算算 000)(zzzzfm負(fù)負(fù)冪冪項(xiàng)項(xiàng)次次數(shù)數(shù)最最高高為為若若其其中中含含有有負(fù)負(fù)冪冪項(xiàng)項(xiàng)，且且（3）定理1.4：根據(jù)零點(diǎn)與極點(diǎn)間的關(guān)系.)()(1)()

17、2(0zzzzfm 若若其其中中，. 0)()(00zzz 解解析析，在在.)(級零點(diǎn)級零點(diǎn)的的是是mzfz10（對于不可約分式函數(shù)，極點(diǎn)的級數(shù)m=分母中相應(yīng)因式的次數(shù)。）（4）定理 1.5：針對比較復(fù)雜的函數(shù)（如：可約分式函數(shù)），且無須計(jì)算洛朗級數(shù)。?:m級級數(shù)數(shù)類類型型？如如果果是是極極點(diǎn)點(diǎn)，其其下下列列函函數(shù)數(shù)的的孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)例例211zezfz)()解解孤立奇點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)為. 0z21)(zezfz ,)!2(110nnznz .)(的的一一級級極極點(diǎn)點(diǎn)是是zfz0開開式式的的去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的洛洛朗朗展展在在0zzf)()!(1102nnnzz思考：如何利用定理1.5進(jìn)行判

18、定？解:izizz321, 0孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)22112)()()zzzf2222111)()()()(izizzzzzf（對于不可約分式函數(shù)，極點(diǎn)的級數(shù)m=分母中相應(yīng)因式的次數(shù)。）,)(的一級極點(diǎn)的一級極點(diǎn)是是zfz0的二級極點(diǎn)。的二級極點(diǎn)。是是)(,zfiiz思考：如何利用定理1.4進(jìn)行判定？zzzfsin)()(13為為孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn),.),(,210kkzz 的的二二級級零零點(diǎn)點(diǎn)為為zzzsin0的的一一級級零零點(diǎn)點(diǎn)為為zzkkzsin,.),(21 因?yàn)椋ǘA導(dǎo)數(shù)值不為零）（一階導(dǎo)數(shù)值不為零）所以，根據(jù)定理1.4得，的的二二級級極極點(diǎn)點(diǎn)為為)(zfz0為為一一級級極極點(diǎn)點(diǎn),.),(

19、21 kkz 解:的性態(tài)的性態(tài)函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)3 . 1距離原點(diǎn)無限遠(yuǎn)的點(diǎn)，統(tǒng)稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，記記作作O總總是是沒沒有有定定義義的的，在在點(diǎn)點(diǎn)由由于于函函數(shù)數(shù))(zf的奇點(diǎn)。的奇點(diǎn)?？偸强偸撬?，所以，)(zf的的去去心心鄰鄰域域：0RzR，區(qū)域區(qū)域 內(nèi)解析，內(nèi)解析，的某個去心鄰域：的某個去心鄰域：在在若若zrzf)(定義1.6則的孤立奇點(diǎn)。的孤立奇點(diǎn)。稱為稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)無窮遠(yuǎn)點(diǎn))(zfRO注：的孤立奇點(diǎn)。的孤立奇點(diǎn)。為為就可以判定就可以判定的解析區(qū)域，的解析區(qū)域，只要能夠找到形式為只要能夠找到形式為)(zfzr問題：,)(的的孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)若若無無窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)點(diǎn)點(diǎn)zf類型應(yīng)

20、如何定義？方法：通過變量代換，將 變?yōu)榱泓c(diǎn)進(jìn)行討論。z1 令令)(zf)()( 1fz0 zRR10 孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)級級極極點(diǎn)點(diǎn)或或本本性性奇奇點(diǎn)點(diǎn)的的可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)、是是若若m)( 0.)(級級極極點(diǎn)點(diǎn)或或本本性性奇奇點(diǎn)點(diǎn)的的可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)、為為稱稱mzfz定義1.7:例1.8于于哪哪一一類類？為為孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)？若若是是，屬屬是是否否以以函函數(shù)數(shù)zzzzf21)(解：。有有兩兩個個有有限限孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)izzf)(.)(的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn)為為zfzii內(nèi)內(nèi)解解析析在在zzf1)(z1 令令 1f)(2111 )(lim 00的的可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)是是)( 0的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn)是

21、是)(zfz12 問題：能否根據(jù) 洛朗展開式判斷無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的類型？ 去心鄰域內(nèi)的去心鄰域內(nèi)的在在)(zf）的孤立奇點(diǎn)）的孤立奇點(diǎn)（為為 0)(0 z nnczf)(nzz1 令令)(zf)()( 1fz0 zRR10 的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn)為為若若)( zf解析解析洛朗展開式nnb)( n nnbzf)(nzz1 根據(jù)洛朗展開式的唯一性，得nncb解析解析類型的判定：類型的判定：的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn)函數(shù)函數(shù) )(zf內(nèi)內(nèi)的的洛洛朗朗展展開開式式的的解解析析鄰鄰域域在在若若zRzf)(的的正正冪冪項(xiàng)項(xiàng)z根據(jù)其中 的多少來判定定理1.6沒有正冪項(xiàng)無限多正冪項(xiàng) nnczf)(nz的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn)為為

22、)(zf有限多正冪項(xiàng)為最高正冪為最高正冪且且mz級級極極點(diǎn)點(diǎn)的的為為mzf)(的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn)為為)(zf 例23( )1234f zzzzz 函數(shù)是否以為孤立奇點(diǎn)？若是，屬于哪一類？解： 23( )1234f zzzz 在整個復(fù)平面內(nèi)處處解析，z 所以為函數(shù)的孤立奇點(diǎn)且為3階極點(diǎn).小 結(jié)1. 掌握孤立奇點(diǎn)類型的判定內(nèi)內(nèi)的的去去心心鄰鄰域域在在根根據(jù)據(jù)函函數(shù)數(shù)定定義義 000)() 1 (zzzzf的取值情況。的取值情況。根據(jù)根據(jù))(lim)2(0zfzz洛朗展開式中負(fù)冪項(xiàng)的多少?？扇テ纥c(diǎn)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)有限值無窮大不存在，且不是無窮大（洛必達(dá)法則）：級極點(diǎn)的判定級極點(diǎn)的判定即即的判定的判定是

23、極點(diǎn)，極點(diǎn)級數(shù)是極點(diǎn)，極點(diǎn)級數(shù)若若)(. 20mmz（1）定義內(nèi)內(nèi)的的洛洛朗朗展展開開式式的的去去心心鄰鄰域域在在計(jì)計(jì)算算 000)(zzzzfm負(fù)負(fù)冪冪項(xiàng)項(xiàng)次次數(shù)數(shù)最最高高為為若若其其中中含含有有負(fù)負(fù)冪冪項(xiàng)項(xiàng)，且且（3）根據(jù)零點(diǎn)與極點(diǎn)間的關(guān)系.（4）定理1.5的結(jié)論。)()(1)()2(0zzzzfm 若若其其中中，. 0)()(00zzz 解解析析，在在:. 3級級零零點(diǎn)點(diǎn)的的判判定定掌掌握握m級零點(diǎn)級零點(diǎn)的的是是mzfz)(0)()(00zfzf, 0)(0)1( zfm. 0)(0)( zfm重根重根的的是是mzfz00)(的的類類型型方方法法判判定定掌掌握握：利利用用變變量量代代換換

24、的的. 4（定義1.7）第二節(jié)第二節(jié) 留留 數(shù)數(shù)dzezzz1134 . 3計(jì)計(jì)算算積積分分：例例解：解：.)(內(nèi)內(nèi)的的洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)在在圓圓環(huán)環(huán)函函數(shù)數(shù)zezzfz013zezzf13)(3011nnzn!dzezzz113dzznznn 10311!dzzzzzzz1223151141312.!dzzz13dzzz12dzzz12!dzz131!dzzz1411!dzzz21151!.! 42 i i 21c項(xiàng)的系數(shù)）項(xiàng)的系數(shù)）洛朗級數(shù)中洛朗級數(shù)中（11zc:將例題的處理方法推廣！將例題的處理方法推廣！曲曲線線的的任任意意一一條條正正向向簡簡單單閉閉圍圍繞繞內(nèi)內(nèi)的的鄰鄰域域?yàn)闉?，其其中?/p>

25、計(jì)計(jì)算算積積分分000)(zzzzCdzzfC 的一個孤立奇點(diǎn)的一個孤立奇點(diǎn)為為若若)(zfz00zC 例：例：去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)解解析析），則則不不解解析析，在在在在00(zznnnzzczf)()(0nnzzczzcc)()(0010Cdzzf)(cdzzf)(dzzzcc )(01 dzzzcdzzzcdzcncncc)()(0010i 2內(nèi)的洛朗展開式：內(nèi)的洛朗展開式：的去心鄰域的去心鄰域在在 000:)(zzzzfdzzzcC)(011c1010)()(zzczzcmmdzzzccmm)(02.1 2.1 留數(shù)的定義留數(shù)的定義定義定義2.12.1的一個孤立奇點(diǎn)，的一個孤立奇點(diǎn)，為函

26、數(shù)為函數(shù)設(shè)設(shè))(0zfz內(nèi)解析，內(nèi)解析，在去心鄰域在去心鄰域即即 00)(zzzf所所對對應(yīng)應(yīng)洛洛朗朗展展開開式式)(zf中中負(fù)負(fù)一一次次冪冪項(xiàng)項(xiàng)的的系系數(shù)數(shù)1c的留數(shù)，的留數(shù)，在孤立奇點(diǎn)在孤立奇點(diǎn)稱為稱為0)(zzf),(Res0zzf記為記為（residualresidual 的前三個字母）的前三個字母）10),(Res czzf即即Cdzzfi)(21 的的簡簡單單閉閉曲曲線線。內(nèi)內(nèi)圍圍繞繞的的去去心心鄰鄰域域?yàn)闉槠淦渲兄校?000zzzzC ),(Res0zzf注注：(1)的的孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)才才有有意意義義是是函函數(shù)數(shù)只只有有點(diǎn)點(diǎn))(zfz0(2)1c開開式式中中的的系系數(shù)數(shù)的的

27、去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的洛洛朗朗展展在在是是0zzf)(留數(shù)的計(jì)算留數(shù)的計(jì)算2 . 2:. 1 定義定義的可去奇點(diǎn)時(shí)的可去奇點(diǎn)時(shí)是是若若)()(zfz 2000 ),(Reszzf內(nèi)洛朗展開式中負(fù)冪項(xiàng)內(nèi)洛朗展開式中負(fù)冪項(xiàng)去心鄰域去心鄰域在在 000)(zzzzf。的系數(shù)的系數(shù)110czz)(10),(Res czzf注：注：（1 1）計(jì)算洛朗展開式時(shí)，沒有必要準(zhǔn)確計(jì)算每計(jì)算洛朗展開式時(shí)，沒有必要準(zhǔn)確計(jì)算每一項(xiàng)的取值，只要確定負(fù)一次冪項(xiàng)即可。一項(xiàng)的取值，只要確定負(fù)一次冪項(xiàng)即可。、函數(shù)在極點(diǎn)的留數(shù)、函數(shù)在極點(diǎn)的留數(shù) 法則1： 0( )zf z如果 為函數(shù)的一階極點(diǎn)，則000Re ( ),lim()

28、 ( ).zzs f z zzzf z證明： 0( )zf z由于 是函數(shù)的一階極點(diǎn)，110000( )()() ,0 |nnnf zCzzCzzzz10100() ( )(),nnnzzf zCCzz001lim() ( ).zzzzf zC結(jié)論：先知道奇點(diǎn)的類型，對求留數(shù)有時(shí)更為有利. 例434( )0,1,2.(1)(2)zf zzzzz zz求函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)解： 0,1,2( )zzzf z 都是函數(shù)的一階極點(diǎn)，003434Re ( ),0limlim2(1)(2)(1)(2)zzzzs f zzz zzzz；113434Re ( ),1lim(1)lim1(1)(2)(2)zz

29、zzs f zzz zzz z ；223434Re ( ),2lim(2)lim1.(1)(2)(1)zzzzs f zzz zzz z 例622.1zCzedzCzz計(jì)算積分，其中 為正向圓周解： 22( )11zzezf zzz 在內(nèi)，函數(shù)有兩個一階極點(diǎn)：，22Re ( ),12Re ( ), 1,1zCzedzis f zis f zz1211Re ( ), 1lim(1)lim,(1)12zzzzzezees f zzzz211Re ( ),1lim(1)lim(1)12zzzzzezees f zzzz而，122()2cos .122zCzeeedziiiz法則2： ( )( )(

30、)P zf zQ z設(shè)函數(shù)，( )( )P zQ zz其中及在 解析，0()0P z且，00()0,()0,Q zQ z0( )zf z則 是函數(shù)的一階極點(diǎn)，且留數(shù)000()Re ( ),.()P zs f zzQ z證明： 00()0,()0Q zQ z已知，0( )zf z是函數(shù)的一階零點(diǎn)，01( )zQ z是的一階極點(diǎn),011( ),( )zQ zzz00( )()0zzz在 解析，且，0011( )( ) ( )( ),f zz P zg zzzzz00( )()0g zzg z在 處解析，且，0( )zf z是的一階極點(diǎn).0Re ( ),s f z z00000()( )lim.(

31、)()()zzP zP zQ zQ zQ zzz由法則1： 00lim() ( )zzzzf z 例5( )cot0.f zzz求函數(shù)在的留數(shù)解： coscot,sinzzz由于0( )zf z 是函數(shù)的一階極點(diǎn)，Re ( ),0s f z0coscos01.(sin ) |cos0zzz 例842.1CzdzCzz計(jì)算積分，其中 為正向圓周解： 4( )21,1zf zziz在圓周內(nèi)有四個一階極點(diǎn)：，41Czdzz2Re ( ),2Re ( ), is f ziis f z i 2Re ( ),12Re ( ), 1is f zis f z32( )12( )44P zzQ zzz由法則 ，

32、得：，4111120,14444Czdziz1說明：用法則 計(jì)算比較繁一些.法則3： 0( )zf zm如果 為函數(shù)的 階極點(diǎn)，則0Re ( ),s f zz01011lim()( ).(1)!mmmzzdzzf zmdz證明： 0( )zf zm因?yàn)?為函數(shù)的 階極點(diǎn)，0z則在 的洛朗展開式為：210201000( )()()()()mnmnnf zCzzCzzCzzCzz0()( )mzzf z1101000()()()mm nmmnnCCzzCzzCzz101()( )mmmdzzf zdz10(1)!mCzz含有()正冪的項(xiàng)01011lim()( )(1)!,mmmzzdzzf zmC

33、dz011011lim()( ).(1)!mmmzzdCzzf zmdz即： 例72( )0.zef zzz求函數(shù)在的留數(shù)解： 20( )zezf zz是函數(shù)的二階極點(diǎn)，Re ( ),0s f z2201lim(0)(2 1)!zzdezdzz0lim()1.zze 留數(shù)的計(jì)算留數(shù)的計(jì)算2 . 2的一級極點(diǎn)時(shí)，則的一級極點(diǎn)時(shí)，則是是若若準(zhǔn)則準(zhǔn)則)( :0zfzI)()(lim00zfzzzz),(Res0zzf準(zhǔn)則準(zhǔn)則IIII:(:(準(zhǔn)則準(zhǔn)則I I的特例）的特例）則則的的一一級級極極點(diǎn)點(diǎn)為為若若,)()()(zQzPzfz0)(,)(,)()()(0000000zQzQzPzzQzP都都解解析

34、析，且且在在及及)()(),(Res000zQzPzzf 為不可約分式函數(shù)）為不可約分式函數(shù)）如：如：)()()(zQzPzf)()(lim)!1(1),(Res01100zfzzdzdmzzfmmmzz級極點(diǎn)，級極點(diǎn)，的的是是如果如果mzfz)(0則則準(zhǔn)則準(zhǔn)則III:III:例：例：),(Re,)()(0125zfszzzzf計(jì)計(jì)算算設(shè)設(shè)解：解：（方法一）（方法一）開開式式為為的的去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的洛洛朗朗展展在在點(diǎn)點(diǎn)00zzf)(0521125125nnzzzzzzzzzf)()(10 znnnzc形式為：形式為：211cz 項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)的系數(shù)其中，其中，20 ),(Rezfs。（方法

35、二）（方法二）的的一一級級極極點(diǎn)點(diǎn)是是函函數(shù)數(shù))()(1250zzzzfz利用準(zhǔn)則利用準(zhǔn)則I,I,得得212500)(lim),(Rezzzzzfsz（方法三）（方法三）的的一一級級極極點(diǎn)點(diǎn)是是函函數(shù)數(shù))()(1250zzzzfz利用準(zhǔn)則利用準(zhǔn)則II,II,得得212500Zzzzzfs)(),(Re的的簡簡單單閉閉曲曲線線。內(nèi)內(nèi)圍圍繞繞的的去去心心鄰鄰域域?yàn)闉槠淦渲兄校?000zzzzC 2.1 2.1 留數(shù)定理留數(shù)定理問：問：何？何？為一般的曲線，結(jié)論如為一般的曲線，結(jié)論如若若C的一個孤立奇點(diǎn)，的一個孤立奇點(diǎn)，為函數(shù)為函數(shù)若若)(0zfz),(Re2)(0zzfsidzzfC 根據(jù)留數(shù)的定

36、義得，根據(jù)留數(shù)的定義得，)(0zCzf個個奇奇點(diǎn)點(diǎn)所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)只只有有一一在在積積分分曲曲線線即即被被積積函函數(shù)數(shù),.,)(nzzzCzf21，奇奇點(diǎn)點(diǎn)所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)有有多多個個在在積積分分曲曲線線若若函函數(shù)數(shù)Cdzzf)(是否可仍利用留數(shù)來計(jì)算？是否可仍利用留數(shù)來計(jì)算？留數(shù)定理）留數(shù)定理）定理定理(.12),(Res2)(1nkkCzzfidzzf 1z4z3z2zDC解解析析，外外內(nèi)內(nèi)除除有有限限個個孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)在在區(qū)區(qū)域域若若函函數(shù)數(shù) ,)(21nzzzDzf向向簡簡單單閉閉曲曲線線，則則內(nèi)內(nèi)包包圍圍諸諸奇奇點(diǎn)點(diǎn)的的一一條條正正是是DCnz1z4z3z2

37、zDCnz證明：證明：nnccczzz,2121構(gòu)構(gòu)造造小小的的閉閉曲曲線線分分別別圍圍繞繞nkcCkdzzfdzzf0)()(.),(Res21nkkzzfi 根據(jù)復(fù)合閉路定理，得根據(jù)復(fù)合閉路定理，得的去心鄰域內(nèi)）的去心鄰域內(nèi)）包含在奇點(diǎn)包含在奇點(diǎn)（即曲線（即曲線iizC利用留數(shù)定理計(jì)算積分利用留數(shù)定理計(jì)算積分Cdzzf)(并判定相應(yīng)的類型并判定相應(yīng)的類型的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn)尋找尋找,.,)()(mzzzzf211的位置關(guān)系的位置關(guān)系線線判定孤立奇點(diǎn)與積分曲判定孤立奇點(diǎn)與積分曲 C)2(nzzzC,.,21內(nèi)部的孤立奇點(diǎn)內(nèi)部的孤立奇點(diǎn)確定位于確定位于),(Re2)()3(1iniCzzfsi

38、dzzf 利用留數(shù)定理利用留數(shù)定理結(jié)果。結(jié)果。計(jì)算相應(yīng)的留數(shù)，得到計(jì)算相應(yīng)的留數(shù)，得到)4(的的外外部部，則則于于若若所所有有的的孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)都都位位C()0)(Cdzzf計(jì)算步驟：計(jì)算步驟：內(nèi)部的孤立奇點(diǎn)內(nèi)部的孤立奇點(diǎn)只考慮位于只考慮位于C2,11 . 2C2zCdzzzez為為正正向向圓圓周周：計(jì)計(jì)算算積積分分例例解解的的孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)，分分別別為為，1)(11221zzezfzzz1lim2zzezzzi)2 , 1( i的極點(diǎn)。的極點(diǎn)。是是11, 1221zzezzz)(1112zzzezzezz的一級極點(diǎn)。的一級極點(diǎn)。分別為分別為111221zzezzz,1) 1(1112zz

39、ezzzezz0111111zzzzzezzze處解析，處解析，在在的一級極點(diǎn)。的一級極點(diǎn)。是是1121zzezz的的一一級級極極點(diǎn)點(diǎn)也也是是類類似似地地，1122zzezz11z分析分析1) 1(lim 1),(Res21 zzezzfzz2e1)1(lim 1),(Res21zzezzfzz21e1),(Res 1),(Res212zfzfidzzzeCz )()22(211eeieei 內(nèi)。內(nèi)。都在都在且且Czz1, 121根據(jù)留數(shù)定理根據(jù)留數(shù)定理dzzzeCz12根據(jù)準(zhǔn)則根據(jù)準(zhǔn)則I,I,得得2,) 1(1C2zCdzzzez為為正正向向圓圓周周：計(jì)計(jì)算算積積分分例例解解的的孤孤立立奇奇

40、點(diǎn)點(diǎn)，分分別別為為，221) 1(1)(10zzezfzzz20) 1(1lim1zzezzz1的可去奇點(diǎn)。的可去奇點(diǎn)。是是21) 1(10zzezz) 1(2) 1(lim201zzzezzz21) 1(1lim2zzezzz的極點(diǎn)。的極點(diǎn)。是是22) 1(11zzezz12z分析分析zezzzezz1-) 1(1) 1(122的二級極點(diǎn)。的二級極點(diǎn)。是是22) 1(11zzezz0111122zzzzezze處解析，處解析，在在0),(Reszf) 1(1) 1(lim)!12(1 1),(Res221zzezdzdzfzz11),(Res0),(Res2) 1(12zfzfidzzzeC

41、z i 2內(nèi)。內(nèi)。都在都在且且Czz1, 021根據(jù)留數(shù)定理根據(jù)留數(shù)定理dzzzeCz2) 1(0)0(1是可去奇點(diǎn)是可去奇點(diǎn)z無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)3 . 2)()(21R)(zfdzzfizzfC為為內(nèi)內(nèi)解解析析，稱稱在在設(shè)設(shè) 點(diǎn)點(diǎn)的的留留數(shù)數(shù)，記記為為在在Cdzzfizf)(21),(Res 。內(nèi)內(nèi)的的圍圍繞繞原原點(diǎn)點(diǎn)的的閉閉曲曲線線為為圓圓環(huán)環(huán)域域其其中中， zRCRC內(nèi)內(nèi)的的洛洛朗朗展展開開式式在在 zRzf)(zcczczczczfnnn101122)( cCdzzcdzzf22)( Cdzzfizf)(21),(Res 1 cdzzcc 1 zdzcdzccc10i2 的系

42、數(shù)變號。的系數(shù)變號。洛朗展開式中洛朗展開式中內(nèi)內(nèi)點(diǎn)的去心鄰域點(diǎn)的去心鄰域點(diǎn)的留數(shù)等于它在點(diǎn)的留數(shù)等于它在在在1)( zzRzf)(1 c，包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)奇點(diǎn)奇點(diǎn)限個孤立限個孤立在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有如果函數(shù)如果函數(shù)定理定理)()(2 . 2zf.)(和必等于零和必等于零在所有各奇點(diǎn)的留數(shù)總在所有各奇點(diǎn)的留數(shù)總zf0),(Re),(Re),(Re1 zfszzfszzfsn，設(shè)為設(shè)為,21nzzz則則RC0z1znz證明： ( )(1,2, )kf zz kn設(shè)函數(shù)的有限個孤立奇點(diǎn)為，除 外，(1,2, )kCz kn又設(shè) 為一條繞原點(diǎn)的并將包含在它內(nèi)部的正向

43、簡單閉曲線，由留數(shù)定理及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)定義得：1Re ( ),Re ( ),nkks f zzs f z11( )( )0.22CCf z dzf z dzii法則4： 211Re ( ),Re ( ),0.s f zs fzz 證明： 據(jù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義中，C取正向的簡單閉曲線.z為半徑足夠大的正向圓周1z令，,iizere并設(shè)，1,r 1Re ( ),( )2Cs f zf z dzi 201()2iifeie di2011()2iiifdirere 220111()()2()iiifd reirere 21111()2fdi ( )f zz 由于函數(shù)在內(nèi)解析，11()0f從而在內(nèi)解析，

44、2111()0f 在內(nèi)除外沒有其它奇點(diǎn)，由留數(shù)定理得：22111111()Re (),0.2fds fi 算算在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)函數(shù)函數(shù))(zf2 . 2. 2 定理定理),(),(Res1knkzzfesRzf 0 ,1)1(Res),(Res. 32zzfzf )()(11 czzRzf項(xiàng)的系數(shù)變號項(xiàng)的系數(shù)變號內(nèi)的洛朗展開式中內(nèi)的洛朗展開式中在在1.1.定義定義的的有有限限值值的的孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)為為)(zfzk準(zhǔn)則準(zhǔn)則IVIV計(jì)計(jì)算算積積分分例例4 .2dzzzizIz) 3)(1()(1102解解: :奇點(diǎn)奇點(diǎn)在擴(kuò)充復(fù)平面上的孤立在擴(kuò)充復(fù)平面上的孤立被積函數(shù)被積函

45、數(shù))3)(1()(1)(10zzizzf3, 1 , i 和和級極點(diǎn)，級極點(diǎn)，的的是是10)(zfiz.)(3 , 1的的一一級級極極點(diǎn)點(diǎn)是是zfz 內(nèi)內(nèi)在在積積分分曲曲線線但但，只只有有21,zziz根據(jù)留數(shù)定理根據(jù)留數(shù)定理iI 2 1),(Reszf),(Resizf10)3 (ii ),(Re 3),(Re2zfszfsi ( (定理定理2.2)2.2)3)(1()(1)3(lim3),(Res103zzizzzfz10)3(21i 0 ,1)1(Res),(Res2zzfzf,)31)(1 ()1 (1)1(10102zzzizzzf)0為其可去奇點(diǎn)為其可去奇點(diǎn)z0)0)3(21(21

46、0iiI 小小 結(jié)結(jié)1.1.熟練掌握：熟練掌握：留數(shù)定義，留數(shù)的計(jì)算法則留數(shù)定義，留數(shù)的計(jì)算法則 2.2.熟練掌握：熟練掌握：留數(shù)定理，并能夠利用它計(jì)算積分留數(shù)定理，并能夠利用它計(jì)算積分 3.3. 關(guān)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，了解留數(shù)的定義；關(guān)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，了解留數(shù)的定義；掌握定理掌握定理2.2,2.2,并并能利用規(guī)則能利用規(guī)則IVIV計(jì)算留數(shù)計(jì)算留數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 留數(shù)定理不僅可以用來計(jì)算復(fù)變函數(shù)的閉曲線積留數(shù)定理不僅可以用來計(jì)算復(fù)變函數(shù)的閉曲線積分，重要的是也可以用來計(jì)算某些實(shí)變函數(shù)的定積分。分，重要的是也可以用來計(jì)算某些實(shí)變函數(shù)的定積分。Cdzzf)(ba

47、dxxf)( 為了利用留數(shù)定理，首先需要將定積分轉(zhuǎn)化為關(guān)為了利用留數(shù)定理，首先需要將定積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于閉曲線的積分。常用方法有兩種。于閉曲線的積分。常用方法有兩種。 （1 1）通過）通過變量代換變量代換將定積分的積分區(qū)間映射為復(fù)將定積分的積分區(qū)間映射為復(fù)平面上的閉曲線。平面上的閉曲線。 （2 2）將定積分的積分區(qū)間看作復(fù)平面上實(shí)軸的）將定積分的積分區(qū)間看作復(fù)平面上實(shí)軸的一段，然后引入一段，然后引入輔助線（如半圓）與該段組成閉曲輔助線（如半圓）與該段組成閉曲線線，如果輔助曲線上的積分可以比較容易的計(jì)算出，如果輔助曲線上的積分可以比較容易的計(jì)算出，或可以與原積分聯(lián)系起來，問題就可有效解決?；蚩梢耘c原

48、積分聯(lián)系起來，問題就可有效解決。一、一、 20(cos ,sin )Rd形如的積分ize令，idzie d，dzdiz1cos22iieezz，1sin22iieezzii，(cos ,sin )cossin0,2 R其中為與的有理函數(shù)，且在上連續(xù)，0,2 | 1zz當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的 正好沿著單位圓的正向繞行一周，2211 1( )(,)22zzf zRzziziz函數(shù)為 的有理函數(shù)，1z 且在上分母不為零，1z 即在單位圓上無奇點(diǎn)，因此滿足留數(shù)定理的條件，故有2220111(cos ,sin )(,)22zzzdzRdRziziz1( ).zf z dz 例1220cos2(01).1 2 co

49、sIdppp計(jì)算，的值解： 22021 2 cos(1)2 (1 cos )0pppp在內(nèi)，因而該積分是定積分，222211cos2()()22iieezz2212112122zzzdzIzzizpp42112(1)()zzdzizpz zp21cos22iieezz，1( ).zf z dz4211( )0,2(1)()zf zzzp zizpz zpp被積函數(shù)有三個極點(diǎn)，0,1zzpz只有在圓周內(nèi)，0zzp其中為二階極點(diǎn)，為一階極點(diǎn)，42201Re ( ),0lim2(1)()zdzs f zzdzizpz zp223422220()4(1)(1 2)lim2 ()zzpzpp zzzpz

50、pi zpzpp z221,2pip 421Re ( ), lim()2(1)()zpdzs f zpzpdzizpz zp4221,2(1)pipp24222221122.22(1)1pppIiipippp二、二、 ( )R x dx形如的積分1111( )( ),2( )nnnmmmza zaP zR zmnQ zzb zb.z是關(guān)于 的有理函數(shù)(1)( )( )Q zP z比至少高兩次；(2)( )Q z 在實(shí)軸上無零點(diǎn)；(3)( )Im0(1,2, )kR zzz kn在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)為；則有：1( )2Re ( ),.nkkR x dxis R zz基本思想：( ), R xR R

51、(1)先取被積函數(shù)在有限區(qū)間上的定積分，再引入輔助曲線，:Re (0),iRCz即上半圓周,R R同一起構(gòu)成圍線，( )( )( )kP zR zzQ z使得所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn) 都包含在積分路徑內(nèi)，R取 適當(dāng)?shù)拇?，如下圖：RR1( )( )( )2Re ( ),RnRkCRCkR z dzR x dxR z dzis R zz(2)Re (0)iRCz在上，令，則有0( )(Re )Re( )(Re )RiiiCP zPdzidQ zQ，( )( )Q zP z因?yàn)榈拇螖?shù)比的次數(shù)至少高兩次，于是有( )Re(Re )|0( )(Re )iiizP zPzRQ zQ當(dāng)時(shí)，| |( )lim

52、0( )RCzP zdzQ z，1( )2Re ( ),.( )nkkP xdxis R zzQ x 例222222,(0,0)()()x dxIabxaxb計(jì)算積分的值.解： 4,2,2,mnmn( )R z函數(shù)在實(shí)軸上沒有孤立奇點(diǎn)，22222()()zaibizazb在上半平面的奇點(diǎn)為 ， ，且為一階極點(diǎn)；Re ( ),s R z ai22222,2()2 ()aaai bai ab22Re ( ),2 ()bs R z bii ba同理，222222 ()2 ()abIii abi baab1( )2Re ( ),.( )nkkP xdxis R zzQ x三、三、 ( )(0)aixR

53、 x edx a形如的積分(1)( )R xx是 的有理函數(shù)，而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次，( )R z(2)并且在實(shí)軸沒有孤立奇點(diǎn)，1( )( )2Re ( ),( )niaxiaxiazkkP xR x e dxe dxis R z ezQ x(1,2, )( )( )iazkzknf zR z e(3)為函數(shù)在上半平面的奇點(diǎn).則積分存在，且基本思想：(1)2( )aixR x e解決思路同類型 ，此時(shí)被積函數(shù)為，1111( )( ),1( )nnnmmmxa xaP xR xmnQ xxb xb(2)( ),0argRR xCzRzR設(shè)在半圓周：上連續(xù)(對充分大的 都如此）lim(

54、 )0zR z且一致地有，0lim( )0.RiazCRaR z e dz則當(dāng)時(shí)，有1111( )(3)( ),1( )nnnmmmxa xaP xR xmnQ xxb xb設(shè)，( )( )( )00P xQ xQ xa與互質(zhì)且在實(shí)軸上，且，1( )2Re ( ),niaxiazkkR x e dxis R z ez則:，( )kzR z為上半平面的奇點(diǎn).1( )sinIm2Re ( ),niazkkR xaxdxis R z ez特別地，將上式分開實(shí)部與虛部，可得積分：1( )cosRe2Re ( ),.niazkkR xaxdxis R z ez 例322cos(0)xdxaxa計(jì)算積分，的值.解： 2,0,21,mnmn221( )R zza在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，所以此積分存在，22ixedxxa且此積分是積分的實(shí)部.222212Re ,ixiznkkeedxiszxaza而22izezaiza函數(shù)在上半平面內(nèi)只有一個一階極點(diǎn)，22Re ,2,2izaaeeesaiizaaia22cos xdxxa.aea 例422sin(0)xxIdx axa計(jì)算，的值.解： 2,1,1,mnmn22R( )zzza函數(shù)在