銳角三角函數(shù)與解直角三角形復(fù)習(xí)課件 (1)

1、CAB bca 1. 本章內(nèi)容有銳角三角函數(shù)的概念，解直角三角形及解直角三角形的應(yīng)用。 在此應(yīng)注意的問題是無論是求哪一個角的三角函數(shù)，一定要先把這個角放在直角三角形中,并且三角函數(shù)值與邊無關(guān)。的鄰邊的對邊AAAtan的斜邊的對邊AAAsin的斜邊的鄰邊AAAcos 2. 銳角的取值范圍及變化情況：銳角的函數(shù) 記法 銳角的取值范圍 三角函數(shù)的取值范圍 增減性從 090 銳角的正弦 sin 0sin1 隨著角度增大而增大 銳角的余弦 cos 0cos0 隨著角度增大而增大 銳角的余切 cot 00 隨著角度增大而減小 3. 特殊角的三角函數(shù)值：三 角 函 數(shù) 0 30 45 60 90 sin 0

2、 12 22 32 1 cos 1 32 22 12 0 tan 0 33 1 3 不 存 在 cot 不 存 在 3 1 33 0 4. 同一銳角的三角函數(shù)之間的關(guān)系： （1）平方關(guān)系：sin2+cos2=1 （ ）比的關(guān)系：，2tansincoscotcossin。，或）倒數(shù)關(guān)系：（tan1cotcot1tan1cottan3 5. 互余兩角的三角函數(shù)之間的關(guān)系： sin()coscos()sin9090，tan()cotcot()tan9090，。 6. 解直角三角形的依據(jù)： 在RtABC中，C=90，A、B、C的對邊分別為a、b、c，除直角C外，其余五個元素之間有以下關(guān)系： （1）三邊

3、關(guān)系：a2+b2=c2（勾股定理） （2）銳角之間的關(guān)系：A+B=90（互余關(guān)系） （3）邊角關(guān)系： B c a A b C (圖 1 ) sincostancotAacAbcAabAba，；sincostancotBbcBacBbaBab，。解直角三角形時，要注意適當選用恰含一個未知數(shù)的關(guān)系式。 任意銳角的正弦（切）值等于它的余角的余弦（切）值， 任意銳角的余弦（切）值等于它的余角的正弦（切）值。7. 解直角三角形：在在RtABC中，中，C=90：已知已知A、 c, 則則a=_;b=_。已知已知A、 b, 則則a=_;c=_。已知已知A、 a，則，則b=_;c=_。已知已知a、b，則，則c=

4、_。已知已知a、c，則，則b=_ 。ABbacC對邊對邊鄰邊鄰邊斜邊斜邊已知一銳角、斜邊，求對邊，用銳角的已知一銳角、斜邊，求對邊，用銳角的正弦正弦； 求鄰邊，用銳角的求鄰邊，用銳角的余弦余弦。已知一銳角、鄰邊，求對邊，用銳角的已知一銳角、鄰邊，求對邊，用銳角的正切正切； 求斜邊，用銳角的求斜邊，用銳角的余弦余弦。已知一銳角、對邊，求鄰邊，用銳角的已知一銳角、對邊，求鄰邊，用銳角的正切正切； 求斜邊，用銳角的求斜邊，用銳角的正弦正弦。Ac sinAc cosAtb anAbcosAatanAasin22ba 22ac 選用關(guān)系式歸納為口訣:有角求角,無角求邊;有斜用弦,無斜用切; 求對用正,求

5、鄰用余;取原避中,寧乘勿除。 8. 有關(guān)解直角三角形的應(yīng)用題： 視線 眼睛 仰角 水平線 俯角 視線 圖 1 應(yīng)用解直角三角形的知識解決實際問題的時候，常用的幾個概念： (1)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖1。 (2)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母 表示。 坡度（坡比）：坡面的鉛垂高度h和水平寬度 的比叫做坡度，用字母i表示，即 ，如圖2。lihltg ihltg h l 圖 2 (3)方位角：從某點的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標方向的水平角，叫做方位角，如圖3中，目標A、B、C的方位角分別為。 3 09 02 1 0、 北

6、 A 0 B C 圖 3 (4)方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于 的水平角叫做方向角，6045303045 D 北 A 30 60 西 東 0 30 45 C B 南 圖 4 90如圖4中，目標A、B、C、D的方向角分別表示北偏東 、南偏東 、南偏西 、北偏西 。又如，東南方向，指的是南偏東 角。一. 基礎(chǔ)題型分析： 例1. 在中，則的值是（）RtACBC = 90coscotBB23ABCD.35522 5555 分析： ,3232cos90ABC2xABxBCBC，可設(shè)，利用，可以構(gòu)造直角三角形如圖.55252cot522cxxACBCBxBCABAC，應(yīng)選，所以，根據(jù)勾股定

7、理，有 A 3x C 2x B (圖 2) 解法二：利用同角的三角函數(shù)的關(guān)系式。 sin2B+cos2B=1 ，舍負sincos( )(sin)BBB112353022。cotcossinBBB23532 55 ，解三角形。，中，在332=b32=a90=CABCRt A 323 B 32 C (圖 3) （ ）13232 333tanAab（ ）3sinAac。caAsinsin323064cab22222223232 3321332464()() 。例2. A=30。（2）B=90A=9030=60。解法二：（1）在RtABC中 無論什么條件下，分別求解各未知元素時，應(yīng)盡量代入已知中的數(shù)值

8、，少用在前面的求解過程中剛算出的數(shù)值，以減少以錯傳誤的機會。（ ）233tanAab（ ）39060BA不要計算錯誤。，但應(yīng)注意斜邊，求出求出解法二也可由cAAcaA21sinsinA=30說明：解法一：在RtABC中，如圖3。 例3. 當45cosB. sin=cosC. tancotD. tanAC。 解法一：利用三角函數(shù)定義。 應(yīng)選A，其余三項也可根據(jù)定義證明不成立。 解法二：化為同名三角函數(shù)，利用增減性比較大小。 根據(jù)銳角的正弦（切）的增減性可知應(yīng)選A，其它兩項也不成立。解法三：找標準量45角比較。 45sin45，coscos， 同理tancot，應(yīng)選A。 例4. A. 等腰非等邊三

9、角形B. 等邊三角形 C. 直角非等腰三角形D. 等腰直角三角形在中，若，則是（）ABCABABC|sin|(cos)321202分析：根據(jù)“兩個非負數(shù)的和等于 ，則兩個數(shù)都等于 ”的性質(zhì)，有，0032sinA cosB 12， 所以A=60，B=60，應(yīng)選B。 例5. 為銳角，若m2，下列四個等式中不可能成立的是（ ） AmBmCmDm.sin.cos.tan.cot111111分析：根據(jù)三角函數(shù)值的取值范圍，有 010100sincostancot，而，sincostancot1111111010mmmm判斷可知cos選項不可能成立，應(yīng)選B。 例6. 若 為銳角，求的值。sincossin

10、cos43 分析：題目涉及到同角的正余弦的和差，可以考慮應(yīng)用關(guān)系式： sin2+cos2=1解題。34cossin解： 兩邊平方，得sincossincos222169 2169179sincos (sincos )sincossincos2222 1792932cossin注意：開平方要取正負，因為題中不能確定sin與cos的大小。例7. 在RtABC中，C=90，a+c=12，b=8，求cosB。 A c b B a C (圖1 ) 解： 列方程組accacaca cacacaac126412641216310326322()()。cosBac103263513二. 綜合題型分析： 例8.

11、 已知：如圖5，ABC中，B=30，ADC=45，ACB=120，D是BC上一點，若CD=8，求BD的長。 A B D C ( 圖 5) 30 45 120 解法一：過A作AEBC的延長線于E，ACB=120，ACE=60。設(shè)，則，CE = xAE =3x ADC=45 DE=AExx38 x 8314 34，BAEx303 BExx3303cot。BDBEDCCExxx38288 3E 解法二：如圖6，過D作DFBC于D，交AB于F。 A B D C ( 圖 6) 30 45 120 F 易證得FAD=DAC=15FDBC，ADC=45 ADF=ADC=45 在ADF和ADC中 FADCAD

12、ADADADFADC ADF ADC DF=DC=8 在RtBDF中， cot BBDDFBDDFBcotcot8308 3 例9. 如圖7，已知MNBE和ABCD都是正方形，MC與AB相交于F，已知sin=513，求的值。tanB A D M F N B C （圖 7） E 分析：實質(zhì)上是已知比值求比值的問題，不過它是特殊的比值問題，因為這里兩條線段的比是直角三角形中兩條邊的比值問題。 的一個是三角形中，如放在一個直角，為了應(yīng)用它，要把已知FBCRt135sin銳角，或是RtMNC的銳角，或是RtEMF的一個銳角，這樣就有三種解法。 求tan，從圖形直觀上看，就是把放在RtAME中，求出AE

13、和ME，或用某個字母x的代數(shù)式表示AE和ME即可。 解：在RtMNC中， sin513 設(shè)MN=5x，MC=13x， 則NC=12x。ME=MN=NB=5x，BC=NCNB=7x。AEABBExxx752。tanAEMExx2525 例10. 在ABC中，C=90，A=15，AB=12，求SABC。 C A （圖8） 15 解法一：如圖8，取AB的中點D，連結(jié)CD，過C作CEAB于E。 AB=12ADBDCD12126 A=ACD=15 CDB=30在RtCDE中， CECD123。SABCEABC121212318BED 解法二：如圖9，把ACB沿AC翻折，得到ACD， C A （圖9） D

14、 則ACD ACB DAC=CAB=15，DAB=30 AD=AB=12過點D作DEAB于E， DE=ADsin30=6 SABDEABD121212636。SSABCABD12123618BE 例11. 如圖湖泊的中央有一個建筑物AB，某人在地面C處測得其頂部A的仰角為60，然后，自C處沿BC方向行100m到D點，又測得其頂部A的仰角為30，求建筑物的高（結(jié)果保留根號） A 30 60 D 100 C B 分析：分析：本題的關(guān)鍵在于（1）DB-CB=100（2）RtABC與RtADB有一條共同的線段AB，因此只要利用RtABC和RtADB分別用AB表示出DB和CB即可列出方程DB-CB=10

15、0，問題便可迎刃而解。解：設(shè)AB=xxABBCBCABABCRt3360tan60tan中，在xABBDBDABABDRt330tan30tan中，在10033100 xxBCBD3，350100332ABAB，答：建筑物的高為米。AB50 3例3. 人民海關(guān)緝私巡邏艇在東海海域執(zhí)行巡邏任務(wù)時，發(fā)現(xiàn)在其所處位置O點的正北方向10海里處的A點有一涉嫌走私船只，正以24海里/時的速度向正東方向航行，為迅速實施檢查，巡邏艇調(diào)整好航向以26海里/時的速度追趕在涉嫌船只不改變航向和航速的前提下，問：（1）需幾小時才能追上？（點B為追上的位置）（2）確定巡邏艇的追趕方向，（精確到0.1） 分析：分析：（1

16、）此題可利用于方程來解決，設(shè)需t小時追上，然后根據(jù)直角三角形三邊滿足勾股定理來列出一個關(guān)于“t”的一元二次方程，從而求出時間t。（2）要求B點的方位角，首先應(yīng)理解方位角在幾何圖中的表示方法，然后借助正弦函數(shù)值以及計算器來求出B的方位角。 解：解：設(shè)需t小時才能追上。則，（ ）在中，ABtOBtRt AOBOBOAAB24261222即解得，（不合題意舍去）()()()2610241122212tttt t11即需 小時才能追上。（2）在RtAOB中sin.AOBABOBtt2426121309231AOB674 . 即巡邏艇的追趕方向為北偏東67.4。ABO 例5. 如圖，某貨船以20海里/時

17、的速度將一批重要物資由A處運往正西方向的B處，經(jīng)16小時的航行到達，到達后必須立即卸貨，此時接到氣象部門通知，一臺風(fēng)中心正以40海里/時的速度由A向北偏西60方向移動，距臺風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域（包括邊界）均會受到影響。 （1）問B處是否會受到影響？請說明理由。 （2）為避免受到臺風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時內(nèi)卸完貨物。北AB西C分析：分析：臺風(fēng)中心在AC上移動，要知道B處是否受影響，只要求出B到AC的最短距離并比較這個最短距離與200的關(guān)系，若大于或等于200海里則受影響，若小于200海里則不受影響。 （2）要使卸貨過程不受臺風(fēng)影響，就應(yīng)在臺風(fēng)中心從出發(fā)到第一次到達距B200海里的這段時間內(nèi)卸完貨，弄清楚這一點，再結(jié)合直角三角形邊角關(guān)系，此題就不難得到解決。北 C 60 西 B A D E F 解：解：（1）過B作BDAC于D根據(jù)題意得：BAC=30，在RtABD中BDABABsin3012122016160200B處會受到影響。（2）以B為圓心，以200海里為半徑畫圓交AC于E、F（如圖）則E點表示臺風(fēng)中心第一次到達距B處200海里的位置，在RtDBE中，DB=160，BE=200，由勾股定理可知DE=120，在RtB