有限元法基礎-6應用考慮

1、第六章 FEM應用中的問題 6.1 有限元模型的建立6.2 應力計算結果的處理6.3 非協調元6.4 奇異單元 6.5 子結構法6.6 自適應分析16. FEM應用中的問題 本章重點介紹本章重點介紹l建立有限元模型應遵循的一般原則建立有限元模型應遵循的一般原則l改善應力計算結果的處理方法改善應力計算結果的處理方法l子結構方法的特點、使用條件及實施步驟子結構方法的特點、使用條件及實施步驟l非協調單元及其收斂性非協調單元及其收斂性l裂尖單元及奇異性裂尖單元及奇異性l自適應有限元分析的一般方法自適應有限元分析的一般方法有限元法基礎26. FEM應用中的問題關鍵概念關鍵概念應力修勻（應力修勻（Stre

2、ss SmoothingStress Smoothing）子結構子結構 （sub-structuresub-structure）靜態(tài)凝聚靜態(tài)凝聚(Static Condensation)(Static Condensation)非協調單元非協調單元 (incompatible element) 裂尖單元單元 (crack element)(crack element)自適應分析（自適應分析（Adaptive AnalysisAdaptive Analysis）有限元法基礎36. FEM應用中的問題 有限元法的應用首先是建模問題，將實際問題有限元法的應用首先是建模問題，將實際問題簡化為當前計算條

3、件能夠完成的計算問題。簡化為當前計算條件能夠完成的計算問題。 其次，建立有限元模型，選擇合適的單元將結其次，建立有限元模型，選擇合適的單元將結構離散成網格。構離散成網格。 施加邊界條件，求解，分析結果，確認結果的施加邊界條件，求解，分析結果，確認結果的可靠性，指導設計和生產?？煽啃?，指導設計和生產。有限元法基礎46. 1 有限元模型的建立 有限元法的實際應用的關鍵問題有限元法的實際應用的關鍵問題分析過程的有效性分析過程的有效性計算結果的可靠性計算結果的可靠性有限元法基礎5有限元模型的建立有限元模型的建立恰當的分析方案恰當的分析方案計算方法的選擇計算方法的選擇6. 1 有限元模型的建立1 1）選

4、擇合適的單元）選擇合適的單元有限元法基礎6需要考慮：需要考慮： 問題的維數：一、二、三維問題的維數：一、二、三維 實體單元實體單元 單元類型：單元類型： 結構單元（梁、板、殼單元）結構單元（梁、板、殼單元）6. 1 有限元模型的建立 例：懸臂梁問題例：懸臂梁問題CSTCST和和LSTLST的比較的比較有限元法基礎76. 1 有限元模型的建立 例：懸臂梁問題例：懸臂梁問題Q4和和QM6的比較的比較有限元法基礎86. 1 有限元模型的建立 例：懸臂梁問題計算精度的比較例：懸臂梁問題計算精度的比較有限元法基礎96. 1 有限元模型的建立T33節(jié)點單元節(jié)點單元T66節(jié)點單元節(jié)點單元Q44節(jié)點單元節(jié)點單

5、元Q88節(jié)點單元節(jié)點單元Q4WT非協調元非協調元Q4PS雜交應力元雜交應力元NDLT總總DOF有限元法基礎106. 1 有限元模型的建立T33節(jié)點單元節(jié)點單元T66節(jié)點單元節(jié)點單元Q44節(jié)點單元節(jié)點單元Q88節(jié)點單元節(jié)點單元Q4WT非協調元非協調元Q4PS雜交應力元雜交應力元NDLT總總DOF有限元法基礎116. 1 有限元模型的建立2）網格劃分網格劃分網格疏密的布置網格疏密的布置 根據幾何形狀和應力分布情況局部的網格疏密根據幾何形狀和應力分布情況局部的網格疏密有限元法基礎126. 1 有限元模型的建立不連續(xù)處的網格自然劃分不連續(xù)處的網格自然劃分有限元法基礎13載荷突變載荷突變材料分界面材料分

6、界面 板厚突變板厚突變6. 1 有限元模型的建立3 3）疏密網格的過渡）疏密網格的過渡不同疏密的過渡不同疏密的過渡不同形狀的過渡不同形狀的過渡有限元法基礎146. 1 有限元模型的建立不同階次單元的過渡不同階次單元的過渡有限元法基礎156. 1 有限元模型的建立不良過渡舉例不良過渡舉例有限元法基礎166. 1 有限元模型的建立可使用可使用MPCMPC在多個不同網格剖分的區(qū)域連接在多個不同網格剖分的區(qū)域連接有限元法基礎172131()26. 1 有限元模型的建立可使用可使用MPCMPC在多個不同網格剖分的區(qū)域連接在多個不同網格剖分的區(qū)域連接有限元法基礎186. 2 應力計算結果的處理 結構分析的

7、主要目的是進行強度校核，需求出應結構分析的主要目的是進行強度校核，需求出應力分布。力分布。求應力分布步驟：求應力分布步驟：1 1）位移元有限元法求得結構的所有節(jié)點位移解）位移元有限元法求得結構的所有節(jié)點位移解 q ；2）在每個單元內）在每個單元內有限元法基礎19ee BqCCBq6. 2 應力計算結果的處理應力結果的特點：應力結果的特點：1 1）在單元內一般不滿足平衡方程）在單元內一般不滿足平衡方程 ；2）在單元與單元的交接面上應力一般不連續(xù)；）在單元與單元的交接面上應力一般不連續(xù)；3）在給定面力的邊界上一般不滿足力的邊界條件。）在給定面力的邊界上一般不滿足力的邊界條件。有限元法基礎206.

8、2 應力計算結果的處理設設 u u 為精確解，近似解可表示為為精確解，近似解可表示為根據最小勢能原理根據最小勢能原理有限元法基礎21( ),( ) uuu,=+uu1( )21 ()()21 2 1 2TTTTTTTpVVSTTTVVSTTTVVSTTTVVSTVdVdVdSdVdVdSdVdVdSdVdVdS uCu Fu T+C+uuFuu TCu Fu TCu Fu TC2 ( )pppdV u6. 2 應力計算結果的處理對精確解對精確解對于具體確定的問題對于具體確定的問題 求求 的極小值問題的極小值問題有限元法基礎220p ( )pConstu2( )( )1 ( )2pppTpVdV

9、 uuuC 2p2111 22emTTpVVedVdV CC6. 2 應力計算結果的處理對于線彈性問題，應變能與余能相等對于線彈性問題，應變能與余能相等求求 的的極小值問題極小值問題，化為，化為求位移變分求位移變分 所引起的應變能為極小值的問題所引起的應變能為極小值的問題或或求應力求應力 或應變或應變 的加權二乘極小值問題。的加權二乘極小值問題。有限元法基礎23211 2emTpVedV S( )p u u11 ()2emTVedV S6. 2 應力計算結果的處理l等參元的最優(yōu)應力點等參元的最優(yōu)應力點 求泛函的極值求泛函的極值或或 為為p p次多項式插值，微分算子的最高階導數為次多項式插值，微

10、分算子的最高階導數為m m，則則 為為p-mp-m次多項式，次多項式，GaussGauss積分至少采用積分至少采用p-m+1p-m+1階階積分，得到積分，得到2 2（p-mp-m）1 1階代數精度。階代數精度。有限元法基礎241()0emTVedV S1( , )0emTVedV u uDuDu CDu u 6. 2 應力計算結果的處理設數值積分為設數值積分為p-m+1p-m+1階，且階，且JacobiJacobi行列式為常數行列式為常數若在若在GaussGauss點上點上 獨立獨立這一表達式在這一表達式在 為為p-m+1p-m+1階多項式都是成立的，故階多項式都是成立的，故在在GaussGa

11、uss點上，點上， 的精度可達到的精度可達到p-m+1p-m+1階，比自身插階，比自身插值高一階。值高一階。有限元法基礎25111()0p mmTjjjjej SJj eji CBq 6. 2 應力計算結果的處理有限元法基礎26二次應變與離散的線性最小二乘的近似解二次應變與離散的線性最小二乘的近似解6. 2 應力計算結果的處理有限元法基礎27l以上的結論只對一維單元是嚴格的以上的結論只對一維單元是嚴格的l對二維和三維單元是近似的，但可以推論，對二維和三維單元是近似的，但可以推論，在等參元中在等參元中p-m+1階階Gauss積分點的應力較其積分點的應力較其他點處具有較高的精度他點處具有較高的精度

12、l因此稱因此稱p-m+1階階Gauss積分點為等參元的最積分點為等參元的最佳應力點佳應力點6. 2 應力計算結果的處理有限元法基礎286. 2 應力計算結果的處理有限元法基礎29l應力解的修勻應力解的修勻 應力計算公式應力計算公式 可計算單元內任意點的應力值?？捎嬎銌卧獌热我恻c的應力值。位移元解的特點：位移元解的特點：1）位移元的位移解在全域都是連續(xù)的）位移元的位移解在全域都是連續(xù)的2）直接計算節(jié)點上的應力精度較差）直接計算節(jié)點上的應力精度較差3）應力解在單元間是跳躍的）應力解在單元間是跳躍的e CBq6. 2 應力計算結果的處理有限元法基礎306. 2 應力計算結果的處理有限元法基礎31l單

13、元應力平均單元應力平均 最常用于最常用于3節(jié)點三角形單元，將應力解看作是單元節(jié)點三角形單元，將應力解看作是單元形心處的應力，平均應力看作四邊形形心處的應力。形心處的應力，平均應力看作四邊形形心處的應力。 1）直接算術平均）直接算術平均 2）按單元面積加權平均）按單元面積加權平均 211()2ee112212eeeeeeAAAA6. 2 應力計算結果的處理有限元法基礎32l節(jié)點應力平均節(jié)點應力平均 節(jié)點節(jié)點i i 有有m個單元與之相關個單元與之相關11meiiem6. 2 應力計算結果的處理有限元法基礎33l整體應力修勻整體應力修勻 應力常在全域是不連續(xù)的，可采用整體應力修勻的應力常在全域是不連

14、續(xù)的，可采用整體應力修勻的方法，以得到應力場全域連續(xù)。方法，以得到應力場全域連續(xù)。 構造一個改進的應力解構造一個改進的應力解Ni 是插值函數，是插值函數， 改進后的節(jié)點應力值，改進后的節(jié)點應力值，ne是單元是單元節(jié)點數。節(jié)點數。*1eniie * *i 6. 2 應力計算結果的處理有限元法基礎34改進的應力與有限元解改進的應力與有限元解 應滿足加權最小二乘應滿足加權最小二乘的原則的原則變分取駐值變分取駐值代入代入 表達式，由表達式，由 的任意性的任意性N為全部單元的節(jié)點數。為全部單元的節(jié)點數。*1 ()0emTVedV S *11 ()2emTVedV S* *i *1 ()0(1,)emTi

15、VedViN SN6. 2 應力計算結果的處理有限元法基礎35可得可得NxS個線性方程組，個線性方程組，S為應力分量數為應力分量數求解方程，得到節(jié)點上的改進值求解方程，得到節(jié)點上的改進值由節(jié)點改進值和插值函數由節(jié)點改進值和插值函數Ni可的全域上應力可的全域上應力特點：特點：1）應力全域上連續(xù)）應力全域上連續(xù)2）工作量大，相當于第二次有限元計算。）工作量大，相當于第二次有限元計算。*i 6. 2 應力計算結果的處理有限元法基礎36l單元級應力修勻單元級應力修勻 設改進后的應力設改進后的應力 對等參元來講，最優(yōu)應力點在對等參元來講，最優(yōu)應力點在p-m階階Gauss積分積分點上，因此可由點上，因此可

16、由Gauss點外插到節(jié)點上。點外插到節(jié)點上。*1eniiiN6. 2 應力計算結果的處理有限元法基礎37l單元級應力修勻單元級應力修勻 設改進后的應力設改進后的應力 對等參元來講，最優(yōu)應力點在對等參元來講，最優(yōu)應力點在p-m+1階階Gauss積積分點上，因此可由分點上，因此可由Gauss點外插到節(jié)點上。點外插到節(jié)點上。*1eniiiN6. 2 應力計算結果的處理有限元法基礎38例：平面例：平面8節(jié)點單元，利用節(jié)點單元，利用4個個Gauss點值改進較點值改進較節(jié)點應力值節(jié)點應力值 設改進后的應力設改進后的應力 在在Gauss點上點上 4*11,(1)(1)4iiiiiiNN6. 2 應力計算結果

17、的處理有限元法基礎39求角節(jié)點應力，求逆得求角節(jié)點應力，求逆得6. 2 應力計算結果的處理有限元法基礎40 6. 3 非協調元l用平面用平面4 4節(jié)點等參元模擬梁的純彎曲節(jié)點等參元模擬梁的純彎曲 如圖純彎曲問題的精確解如圖純彎曲問題的精確解利用平面問題的本構關系得利用平面問題的本構關系得有限元法基礎41222211()()22uxyvaxay,0 xyxyEy6. 3 非協調元用一個雙線性面用一個雙線性面4 4節(jié)點等參元節(jié)點等參元 位移解為位移解為 得到錯誤的應力解如圖：得到錯誤的應力解如圖： 有限元法基礎420uxyv6. 3 非協調元引起誤差原因：缺少引起誤差原因：缺少x x和和y y的二

18、次項的二次項 有限元法基礎43 采用不完全采用不完全 二次多項式做為位移模式，二次多項式做為位移模式，單元的邊界在變形后位移模式仍為直線。單元的邊界在變形后位移模式仍為直線。不能很好地描述單元邊界被彎曲時的位移，不能很好地描述單元邊界被彎曲時的位移，影響精度。影響精度。 6. 3 非協調元有限元法基礎44Wilson 等（等（1973）采用在位移模式中補充附）采用在位移模式中補充附加自由度的方構造一種非協調等參元：加自由度的方構造一種非協調等參元：Willon非非協調元協調元422561422561(1)(1)(1)(1)iiiiiiuN uuuvN vvv1(1)(1)4iiiN6. 3 非

19、協調元有限元法基礎45插值函數特點插值函數特點1）達到二次完備）達到二次完備 等參插值函數等參插值函數 補充補充 2）在單元邊界上位移為非協調的）在單元邊界上位移為非協調的1, , , 22, 25(1)N26(1)N6. 3 非協調元有限元法基礎46例如在例如在12邊上，邊上，在在12邊上的位移與單元內部參數有關，其他邊邊上的位移與單元內部參數有關，其他邊也是如此。也是如此。1,11 2125212511( )(1)(1)(1)2211( )(1)(1)(1)22uuuuvvvv6. 3 非協調元有限元法基礎47位移插值的表達式位移插值的表達式 記記 112233445566 ,;,;,;,

20、;,eTeTu v u v u v u vu v u vqq123456123456000000000000eeNNNNNNuNNNNNNv quqeeuNqNq6. 3 非協調元有限元法基礎48應變的表達式應變的表達式 356124356124335566112244,000000 000000TTxyxyeeuvuvxyyxNNNNNNxxxxxxNNNNNNyyyyyyNNNNNNNNNNNNyxyxyxyxyxyxqq eeqBBq6. 3 非協調元有限元法基礎49單元剛度矩陣單元剛度矩陣 0eeuuueuKKqQKKqeTuuAdAKB CBeTAdAKB CBeTTuuAdAK=

21、KB CB6. 3 非協調元有限元法基礎50凝聚內部凝聚內部DOF 由第二組方程，得由第二組方程，得內部內部DOF不出現在總體剛度矩陣中，不增加求解不出現在總體剛度矩陣中，不增加求解方程的方程的DOF。該單元稱為。該單元稱為Q6。 1()eeu qKK q1()eeuuuu(KKKKqQ6. 3 非協調元有限元法基礎51l單元單元Q6的收斂條件的收斂條件 在矩形單元時，單元能夠滿足在矩形單元時，單元能夠滿足Patch Test，但，但在扭曲單元形狀時，單元不能表示常應力狀態(tài)。在扭曲單元形狀時，單元不能表示常應力狀態(tài)。 考察單元在常應力（應變）時，希望考察單元在常應力（應變）時，希望 保持為保持

22、為零，即零，即 eq1()eeuc 0qKK q()eeeTeTucccAAdAdA0K qBCBqBeTAdA0B6. 3 非協調元有限元法基礎52由收斂條件得到由收斂條件得到 1）在平行四邊形單元時，）在平行四邊形單元時，Jacobi行列式為常數，行列式為常數，被積函數為被積函數為 和和 項，收斂條件滿足；項，收斂條件滿足； 2）對任意單元形狀，條件不滿足；）對任意單元形狀，條件不滿足； 3）用形心）用形心 處的處的Jacobi矩陣代替積分矩陣代替積分點的值，收斂條件可滿足，這個單元稱為點的值，收斂條件可滿足，這個單元稱為QM6，由由Taylor等（等（1976）建立。）建立。 1 11

23、1Td d 0BJ()(0,0) ,6. 3 非協調元有限元法基礎536. 3 非協調元有限元法基礎54l收斂條件的改進收斂條件的改進 eeTTcAdA0q B ()eeeTeTucccAAdAdA0K qBCBqB0eTTccAdAdS=uldSm = 0uluN qdSm = 0若N6. 3 非協調元有限元法基礎55對對4節(jié)點平面單元節(jié)點平面單元 可構造出滿足可構造出滿足Patch Test 的非協調插值函數的非協調插值函數 55665 56 6uN uN uvN vN v2125002126002(1)32(1)3JJNJJJJNJJ012JJJJ6. 3 非協調元有限元法基礎566.

24、4 奇異單元有限元法基礎57 斷裂力學中，需計算應力強度因子，由于在斷裂力學中，需計算應力強度因子，由于在裂尖處有奇異性，影響有限元計算精度。在線彈裂尖處有奇異性，影響有限元計算精度。在線彈性條件下，裂尖具有性條件下，裂尖具有 的奇異性。的奇異性。12r6. 4 奇異單元有限元法基礎58l中點在中點在1/4位置的單元位置的單元 坐標變換坐標變換 或或 2(1)4Lx21xL6. 4 奇異單元有限元法基礎59l形函數為形函數為l應變矩陣為應變矩陣為 22212311(),1,()22NNN 1exdudu ddudxddxJ d= Bq(1)2dxLJLxd312123422122dNdNdNJ

25、dddLLLLxLxLxB如如 ，則，則 和和 具有的奇異性具有的奇異性這個單元仍能表示剛體位移和常應變這個單元仍能表示剛體位移和常應變xLxx1/2x6. 4 奇異單元有限元法基礎60l8節(jié)點等參元將中點移至節(jié)點等參元將中點移至1/4位置處位置處 Henshell和和Shaw（1975）證明在推退化點處有）證明在推退化點處有 奇異性。奇異性。 1/2r6. 4 奇異單元有限元法基礎61l8節(jié)點等參元退化為節(jié)點等參元退化為6節(jié)點等參元節(jié)點等參元Hibbitt（1977）建議該方法，在推退化點處有）建議該方法，在推退化點處有 奇異性，且計算精度更好。奇異性，且計算精度更好。 1/2r6. 4 奇

26、異單元有限元法基礎626. 4 奇異單元有限元法基礎63l奇異單元特點奇異單元特點三維三維20節(jié)點單元將中點移至節(jié)點單元將中點移至1/4處，退處，退化點的單元邊緣有化點的單元邊緣有 奇異性奇異性等參元的奇異性，并不因為單元畸變和等參元的奇異性，并不因為單元畸變和退化而消失退化而消失對塑性材料，應變對塑性材料，應變 的奇異性，也可的奇異性，也可通過特殊處理達到通過特殊處理達到1/2r1r6. 5 子結構有限元法基礎64 為解決計算機求解能力的問題，尤其是為解決計算機求解能力的問題，尤其是對大型結構分析時，提出了對大型結構分析時，提出了總體總體-局部方局部方法法、子結構子結構、超級單元法超級單元法

27、，其目的是提高，其目的是提高分析效率，并能夠在硬件條件有限的情況分析效率，并能夠在硬件條件有限的情況下，能夠分析大型結構問題。下，能夠分析大型結構問題。6. 5 子結構有限元法基礎65l總體總體-局部方法主要用于應力集中問題局部方法主要用于應力集中問題 先由較粗的網格進行整體分析，然后在關心的先由較粗的網格進行整體分析，然后在關心的局部加密網格將總體分析的位移解施加在局部模局部加密網格將總體分析的位移解施加在局部模型的邊界。型的邊界。 6. 5 子結構有限元法基礎66l構建超級單元的目的是減少構建超級單元的目的是減少“計算時間計算時間”上的上的重復重復性，超級單元實際上也是一種子結構。重復重復

28、性，超級單元實際上也是一種子結構。6. 5 子結構有限元法基礎67l對于幾何空間上有重復的大型結構，構建子結對于幾何空間上有重復的大型結構，構建子結構減少重復計算量。構減少重復計算量。6. 5 子結構有限元法基礎68l實施步驟實施步驟1）取具有重復性的結構作為子結構（可以有多）取具有重復性的結構作為子結構（可以有多級子結構）級子結構）2）對底層子結構形成剛度矩陣，將其內部）對底層子結構形成剛度矩陣，將其內部DOF凝聚凝聚bbbibbibiiiiKKqQKKqQ邊界邊界DOF 內部內部DOF 6. 5 子結構有限元法基礎69凝聚內部凝聚內部DOF 由第二組方程由第二組方程ibbiiiiK qK

29、qQ1()iiiiibbq = KQK q11bbbiiiibbbiiibiKK KKqQKK Q*bbK qQ6. 5 子結構有限元法基礎706. 5 子結構有限元法基礎713）將子結構裝配，形成上一級子結構（采用坐）將子結構裝配，形成上一級子結構（采用坐標變換并再凝聚）標變換并再凝聚）4）組裝子結構，并形成整體剛度矩陣，求解）組裝子結構，并形成整體剛度矩陣，求解5）將結果進行回代，再求解子結構內部的節(jié)點）將結果進行回代，再求解子結構內部的節(jié)點位移和其他量位移和其他量1()iiiiibbq = KQK q6. 5 子結構有限元法基礎72l采用采用Gauss消去法進行內部消去法進行內部DOF的

30、凝聚的凝聚 將矩陣消元將矩陣消元 第一方程組為子結構的凝聚后的矩陣第一方程組為子結構的凝聚后的矩陣 第二方程組為子結構回代求解方程第二方程組為子結構回代求解方程*0bbbbiibiqKQqKIQbbbibbibiiiiKKqQKKqQ6. 6 自適應分析有限元法基礎73 如何對有限元分析結果的誤差進行判斷，其如何對有限元分析結果的誤差進行判斷，其劃分的網格是否合適？劃分的網格是否合適？ 自適應有限元分析是基于前一次計算結果，進自適應有限元分析是基于前一次計算結果，進行事后誤差估計，并以提高精度為目的，由分析行事后誤差估計，并以提高精度為目的，由分析軟件自動對計算方案重新調整，重新計算，直至軟件自動對計算方案重新調整，重新計算，直至滿足精度的計算分析方法。滿足精度的計算分析方法。 6. 6 自適應分析有限元法基礎74l調整方式調整方式1） h方法（方法（h-refinement method）：逐步細）：逐步細化網格，減小單元尺度化網格，減小單元尺度2） p方法（方法（p-refi