第3章MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 第第3章章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 3.1 矩陣分析矩陣分析3.2 多項(xiàng)式運(yùn)算多項(xiàng)式運(yùn)算 3.3 數(shù)據(jù)的分析與統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析與統(tǒng)計(jì) 3.4 函數(shù)分析與數(shù)值積分函數(shù)分析與數(shù)值積分 第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 3.1 矩陣分析矩陣分析 1 1矢量范數(shù)和矢量范數(shù)和矩陣范數(shù)矩陣范數(shù)* * 矩陣范數(shù)是對(duì)矩陣的一種測度。矢量的p范數(shù)和矩陣A的p范數(shù)分別定為： 當(dāng)p2時(shí)為常用的歐拉范數(shù)，一般p還可取l和。這在MATLAB中可利用norm函數(shù)實(shí)現(xiàn)，p缺省時(shí)為p=2。格式：格式：nnorm(A)功能：計(jì)算矩陣A的最大奇異值，相

2、當(dāng)于n=max(svd(A)。格式：格式：nnorm(A，p)功能：norm函數(shù)可計(jì)算幾種不同類型的矩陣范數(shù)，根據(jù)p的不同可得到不同的范數(shù) 1/ppipixx xppxpxAxAmax第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 2 2矩陣求逆及行列式值矩陣求逆及行列式值 矩陣求逆函數(shù)矩陣求逆函數(shù)inv及行列式值函數(shù)及行列式值函數(shù)det逆矩陣的定義：逆矩陣的定義：對(duì)于任意階 nn 方陣A，如果能找到一個(gè)同階的方陣V，使得滿足：A*V=I。其中I為n階的單位矩陣eye(n)。則V就是A的逆矩陣。數(shù)學(xué)符號(hào)表示為：V=A-1。逆矩陣V存在的條件是A的行列式不等于0。格式：格式：V=inv(A)功能：返

3、回方陣A的逆矩陣V。格式：格式：X=det(A)功能：計(jì)算方陣A的行列式值。 偽逆矩陣函數(shù)偽逆矩陣函數(shù)pinv偽逆矩陣的偽逆矩陣的MATLAB定義：定義：從數(shù)學(xué)意義上講，當(dāng)矩陣A為非方陣時(shí)，其矩陣的逆是不存在的。在MATLAB中，為了求線性方程組的需要，把inv(A*A)*A的運(yùn)算定義為偽逆函數(shù)pinv，這樣對(duì)非方陣，利用偽逆函數(shù)pinv可以求得矩陣的偽逆，偽逆在一定程度上代表著矩陣的逆。格式：格式：C=pinv(A)功能：計(jì)算非方陣A的偽逆矩陣。第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 3 3線性代數(shù)方程求解線性代數(shù)方程求解 寫成矩陣形式可表示為：AXB 或 XAB。其中系數(shù)矩陣A的階數(shù)為

4、mn。在MATLAB中，引入矩陣除法求解。 (1)求解方程求解方程AX=B 格式：格式：X=AB 條件：矩陣A與矩陣B的行數(shù)必須相等。 (2)求解方程求解方程XA=B 格式：格式： X=B/A 條件：矩陣A與矩陣B的列數(shù)必須相等。mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa12211212222121111212111一般線性方程組的第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 4矩陣的分解 (1)三角三角(LU)分解函數(shù)分解函數(shù)lu 所謂三角解就是將一個(gè)方陣表示成兩個(gè)基本三角陣的乘積(A=LU），其中一個(gè)為下三角矩陣L，另一個(gè)為上三角形矩陣U，因而矩陣的三角分解又叫LU分解或

5、叫LR分解。矩陣 分解的兩個(gè)矩陣分別可表示為： nnijaA100100012121nnlllLnnnnuuuuuuU00022211211格式一：格式一：L,U=lu(A) 功能：返回一個(gè)上三角矩陣U和一個(gè)置換下三角矩陣L(即下三角矩陣與置換矩陣的乘積)，滿足A=L*U。格式二：格式二：L,U,P=lu(A)功能：返回上三角矩陣U，真正下三角矩陣L，及一個(gè)置換矩陣P(用來表示排列規(guī)則的矩陣)，滿足L*U=P*A；如果P為單位矩陣，滿足A=L*U。第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 (2)正交正交(QR)分解函數(shù)分解函數(shù) 將矩陣A分解為一個(gè)正交矩陣與另一個(gè)矩陣的乘積稱為矩陣A的正交分解

6、。格式一：格式一：Q, R=qr(A)功能：產(chǎn)生與A同維的上三角矩陣R和一個(gè)實(shí)正交矩陣或復(fù)歸一化矩陣Q，滿足：A=Q*R，Q*Q=I。格式二：格式二：Q,R,E=qr(A)功能：產(chǎn)生一個(gè)置換矩陣E，一個(gè)上三角矩陣R(其對(duì)角線元素降序排列)和一個(gè)歸一化矩陣Q，滿足A*E=Q*R；第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 5 5奇異值分解奇異值分解 矩陣A的奇異值和相應(yīng)的一對(duì)奇異矢量u、v滿足：同樣利用奇異值構(gòu)成對(duì)角陣，相應(yīng)的奇異矢量作為列構(gòu)成兩個(gè)正交矩陣U、V，則有：其中AT表示轉(zhuǎn)置矩陣。由于U和V正交，因此可得奇異值分解：格式一：格式一：U,S,V=svd(x)功能：返回3個(gè)矩陣，使得X=U

7、*S*V。其中S為與X相同維數(shù)的矩陣，且其對(duì)角元素為非負(fù)遞減。格式二：格式二：S=svd(A)功能：返回奇異值組成的向量。uAvvuATUAV TTVUATVUA第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 6 6矩陣的特征值分析矩陣的特征值分析 矩陣A的特征值 和特征矢量 ，滿足：以特征值構(gòu)成對(duì)角陣 ，相應(yīng)的特征矢量作為列構(gòu)成矩陣V，則有：如果V為非奇異，則上式就變成了特征值分解：格式一：格式一：d=eig(A)功能：返回方陣A的全部特征值所構(gòu)成的向量。格式二：格式二：V,D=eig(A)功能：返回矩陣V和D。其中對(duì)角陣D的對(duì)角元素為A的特征值，V的列向量是相應(yīng)的特征向量，使得A*V=V*D。

8、vvAvVAV1VVA第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 7 7矩陣的冪次運(yùn)算矩陣的冪次運(yùn)算: : Ap 在MATLAB中，矩陣的冪次運(yùn)算是指以下兩種情況： 1、矩陣為底數(shù)，指數(shù)是標(biāo)量的運(yùn)算操作； 2、底數(shù)是標(biāo)量，矩陣為指數(shù)的運(yùn)算操作。 兩種情況都要求矩陣是方陣，否則，將顯示出錯(cuò)信息。(1) 矩陣的正整數(shù)冪矩陣的正整數(shù)冪 如果A是一個(gè)方陣，p是一個(gè)正整數(shù)，那么冪次表示A自己乘p次。(2) 矩陣的負(fù)數(shù)冪矩陣的負(fù)數(shù)冪 如果A是一個(gè)非奇異方陣，p是一個(gè)正整數(shù)，那么A(p)表示inv(A)自己乘p次。 (3) 矩陣的分?jǐn)?shù)冪矩陣的分?jǐn)?shù)冪如果A是一個(gè)方陣，p取分?jǐn)?shù)，它的結(jié)果取決于矩陣的特征值的分布

9、。(4) 矩陣的元素冪、按矩陣元素的冪矩陣的元素冪、按矩陣元素的冪 利用運(yùn)算符“A.p”實(shí)現(xiàn)矩陣的元素冪或按矩陣元素的冪運(yùn)算。 第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 8 8矩陣結(jié)構(gòu)形式的提取與變換矩陣結(jié)構(gòu)形式的提取與變換 (1) 矩陣左右翻轉(zhuǎn)函數(shù)矩陣左右翻轉(zhuǎn)函數(shù)fliplr( )格式：格式：X=fliplr(A)(2) 矩陣上下翻轉(zhuǎn)函數(shù)矩陣上下翻轉(zhuǎn)函數(shù)flipud格式：格式：X=flipud(A)(3) 矩陣階數(shù)重組函數(shù)矩陣階數(shù)重組函數(shù)reshape格式一：格式一：X=reshape(A,n,m)功能：將矩陣A中的所有元素按列的秩序重組成nm階矩陣X，當(dāng)A中沒有mn個(gè)元素時(shí)會(huì)顯示出錯(cuò)信息

10、。格式二格式二 ：X=reshape(A,m,n,p,.) 或或 X=reshape(A,m,n,p,.)功能：從A中形成多維陣列(mnp.)。第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 (4) 矩陣整體反時(shí)針旋轉(zhuǎn)函數(shù)矩陣整體反時(shí)針旋轉(zhuǎn)函數(shù)rot90( )格式一：格式一：X=rot90(A)功能：將矩陣按反時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o。格式二：格式二：X=rot90(A, k)功能：將矩陣按反時(shí)針旋轉(zhuǎn)k*90o，其中k應(yīng)為整數(shù)。(5) 對(duì)角矩陣和矩陣的對(duì)角化函數(shù)對(duì)角矩陣和矩陣的對(duì)角化函數(shù)diag( )格式一：格式一：X=diag(A,k)功能：當(dāng)A為n元向量時(shí)，可得n+abs(k)階的方陣X，其A的元素處于

11、第k條對(duì)角線上；k=0表示主對(duì)角線，k0表示在主對(duì)角線之上，k0表示主對(duì)角線之上，k0表示主對(duì)角線之上，k0表示主對(duì)角線以下。格式二：格式二：X=triu(A)功能：得到矩陣A的右上三角陣。(8) 利用利用“：”將矩陣元素按列取出排成一列將矩陣元素按列取出排成一列方法：方法：X=A(:)第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 3.2 多項(xiàng)式運(yùn)算3.2.1 3.2.1 多項(xiàng)式表示及其四則運(yùn)算多項(xiàng)式表示及其四則運(yùn)算1MATLAB的多項(xiàng)式表示的多項(xiàng)式表示 對(duì)多項(xiàng)式：01111)(axaxaxaxpnnnn5x2x)x(p3可表示成行向量：p=1,0,2, -5。 用其系數(shù)的行向量p=an, an

12、-1, ,a1, a0來表示。注意：如果 x的某次冪的系數(shù)為零，這個(gè)零必須列入系數(shù)向量中。例如一個(gè)一元3次多項(xiàng)式： 2多項(xiàng)式的加減運(yùn)算多項(xiàng)式的加減運(yùn)算格式：格式：A=B+C3多項(xiàng)式相乘運(yùn)算多項(xiàng)式相乘運(yùn)算格式：格式：w=conv(u,v)功能：返回u和v兩向量的卷積，也就是u和v代表的兩多項(xiàng)式的乘積。4多項(xiàng)式相除多項(xiàng)式相除格式：格式：q , r=deconv(u , v)功能：給出商多項(xiàng)式q和余數(shù)多項(xiàng)式r ，u為被除多項(xiàng)式 第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 1多項(xiàng)式求導(dǎo)函數(shù)多項(xiàng)式求導(dǎo)函數(shù)polyder格式一：格式一：k=polyder(p)功能：返回多項(xiàng)式p的一階導(dǎo)數(shù)。格式二：格式二：

13、k=polyder(u,v)功 能：返回多項(xiàng)式u與v乘積的導(dǎo)數(shù)。格式三：格式三：q,d=polyer(u,v)功 能：返回多項(xiàng)式商u/v的導(dǎo)數(shù), 返回的格式為：q為分子, d為分母。2多項(xiàng)式的根多項(xiàng)式的根求解多項(xiàng)式的根，即p(x)=0的解。格式：格式：r=roots(p)功能：返回多項(xiàng)式p(x)的根。注意，MATLAB按慣例規(guī)定，多項(xiàng)式是行向量，根是列向量。3.2.2 3.2.2 多項(xiàng)式求導(dǎo)、求根和求值多項(xiàng)式求導(dǎo)、求根和求值第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 3多項(xiàng)式求值函數(shù)多項(xiàng)式求值函數(shù)polyval( )利用函數(shù)polyval可以求得多項(xiàng)式在某一點(diǎn)的值。格式：格式：y=polyva

14、l(p,x)功能：返回多項(xiàng)式p在x處的值。其中x可以是復(fù)數(shù)，也可以是數(shù)組。當(dāng)多項(xiàng)式的變量是矩陣時(shí)，構(gòu)成的矩陣多項(xiàng)式可以利用polyvalm函數(shù)求值。格式：格式：Y=polyvalm(p,X)功能：返回矩陣多項(xiàng)式p在X處的值。4部分分式展開函數(shù)部分分式展開函數(shù)residue( )格式一：格式一：r,p,k=residue(b,a)功能：把b(s)/a(s)展開成：snnkpsrpsrpsrsasb2211)()(其中r代表余數(shù)數(shù)組，p代表極點(diǎn)數(shù)組，ks代表部分分式展開的常數(shù)項(xiàng)。當(dāng)分母多項(xiàng)式的階次數(shù)高于分子多項(xiàng)式的階次數(shù)時(shí)ks=0格式二：格式二：b, a=residue(r, p, k)功能：格式

15、一的逆作用。第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 3.3.3 3.3.3 多項(xiàng)式擬合與多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式擬合與多項(xiàng)式插值1多項(xiàng)式擬合函數(shù)多項(xiàng)式擬合函數(shù)polyfit( )格式：格式：p=polyfit(x,y,n)功能：利用已知的數(shù)據(jù)向量x和y所確定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，采用最小二乘法構(gòu)造出n階多項(xiàng)式去逼近已知的離散數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式曲線的擬合。其中p是求出的多項(xiàng)式系數(shù)，n階多項(xiàng)式應(yīng)該有n+1個(gè)系數(shù)，故p的長度為n+1。2多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式插值插值和擬合的不同點(diǎn)在于：插值函數(shù)通常是分段的，人們關(guān)心的不是函數(shù)的表達(dá)式，而是插值出的數(shù)據(jù)點(diǎn)；插值函數(shù)應(yīng)通過給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)。(1)一維插值函數(shù)一維插值函數(shù)interp

16、l( )格式：格式：yiinterpl (x, y, xi, method)功能：為給定的數(shù)據(jù)對(duì)(x,y)以及x坐標(biāo)上的插值范圍向量xi，用指定所使用的插值方法method實(shí)現(xiàn)插值。yi是插值后的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)點(diǎn)集的y坐標(biāo)。插值的方法method有以下6種可供選擇： nearest(最鄰近插值法)、linear(線性插值)、 spline(三次樣條插值)、cubic(立方插值)、pchip(三次Hermite插值)、v5cubic。 第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 （2）二維插值函數(shù)）二維插值函數(shù)格式：格式：zi=griddata(x,y,z,xi,yi,method)功能：非等距插值。

17、已知的元素值由3個(gè)向量來描述：x、y和z。函數(shù)返回值為一矩陣zi，其元素的值由x、y和z確定的二元函數(shù)插值得到。method可為：linear(默認(rèn)值)、cubic 、nearest 、v4 。格式：格式：zi=interp2(x, y, z, xi, yi, method)功能：單調(diào)節(jié)點(diǎn)插值。已知的元素值由3個(gè)向量來描述：x、y和z。其中，x、y是已知數(shù)據(jù)組并且大小相同，z是相對(duì)應(yīng)的已知點(diǎn)上的函數(shù)值；xi、yi是用于插值的矢量； zi是根據(jù)相應(yīng)的插值方法并且與(xi, yi)對(duì)應(yīng)的插值結(jié)果。插值方法method：linear(默認(rèn)值)、cubic 、nearest 、spline 。第 3

18、章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 (3) 高維插值和交互式樣條插值高維插值和交互式樣條插值高維插值函數(shù)：高維插值函數(shù)：三維插值及三維以上的插值稱為高維插值。用于實(shí)現(xiàn)高維插值的函數(shù)有：interp3(三維插值函數(shù))、interpn(n維插值函數(shù))、ndgrid(n維數(shù)據(jù)網(wǎng)格)。其調(diào)用格式與interp2函數(shù)很類似，這里就不再重述了，具體調(diào)用格式讀者可利用help來得。交互式樣條插值函數(shù)交互式樣條插值函數(shù)在MATLAB 6.0及以上版本中，樣條工具箱新增加了交互式插值樣條函數(shù)splinetool。該函數(shù)以對(duì)話框的形式為用戶提供了插值過程。格式一：格式一：splinetool功能：用于生成各種樣條

19、曲線，這里幾乎包括所有生成樣條曲線方法。在它的初始菜單中提供了各種數(shù)據(jù)，用戶可以選擇一種生成的樣條曲線。格式二：格式二：splinetool(x,y)功能：用戶輸入數(shù)組x、y，并在用戶圖形界面下生成樣條曲線。 第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 3.3 數(shù)據(jù)分析與統(tǒng)計(jì)3.3.1 3.3.1 數(shù)據(jù)基本操作數(shù)據(jù)基本操作1求最大值函數(shù)求最大值函數(shù)max格式一：格式一：xMmax(x)功能：如果x是向量，返回x中最大值元素；如果x是矩陣，則將矩陣每列作為處理向量，返回一個(gè)行向量，其元素為矩陣每列中的最大元素；如果x為多維數(shù)組，則沿第一個(gè)非單元素維進(jìn)行處理，求得各向量的最大值。格式二：格式二：x

20、M=max(x, y)功能：返回一個(gè)與x和y一樣大小的數(shù)組，其元素取x或y中最大的一個(gè)。格式三：格式三：xM=max(x，dim)功能：返回?cái)?shù)組(矩陣)x由標(biāo)量dim所指定的維數(shù)(或行)中的最大值。格式四：格式四：xM，Imax()功能：返回最大值同時(shí)，返回一個(gè)下標(biāo)向量。如果輸入數(shù)據(jù)x為復(fù)數(shù)，max函數(shù)返回復(fù)數(shù)最大模：max(abs(x)。第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 2求最小值函數(shù)求最小值函數(shù)min min函數(shù)的調(diào)用格式與max函數(shù)的調(diào)用格式相同，只是功能與max函數(shù)相反，所得結(jié)果為最小值。如果輸入數(shù)據(jù)x為復(fù)數(shù)，min函數(shù)返回復(fù)數(shù)最小模：min(abs(x)3求平均值函數(shù)求平均

21、值函數(shù)mean格式：格式：Mmean(x)功能：如果x為向量，則返回向量x的平均值；如果x為矩陣，則將矩陣每列當(dāng)作向量處理，返回一個(gè)平均值行向量；如果A為多維數(shù)組，則沿第一個(gè)非單元素維進(jìn)行處理，返回一個(gè)平均值數(shù)組。4. 求中間值函數(shù)求中間值函數(shù)median 格式：格式：M=median(x)功能：如果x為向量，則返回向量x的中間值；如果x為矩陣，則將矩陣每列當(dāng)作為處理向量，返回一個(gè)中間值行向量； 如果A為多維數(shù)組，則沿第一個(gè)非單元素維進(jìn)行處理，返回一個(gè)中間值數(shù)組。5求元素和函數(shù)求元素和函數(shù)sum格式：格式：s=sum(x)功能：如果x為向量，則返回向量x的元素和；如果x為矩陣，則將矩陣每列當(dāng)作

22、向量處理，返回一個(gè)元素分別為各列和的行向量；如果A為多維數(shù)組，則沿第一個(gè)非單元素維進(jìn)行計(jì)算，返回一個(gè)元素和數(shù)組。第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 6求求標(biāo)準(zhǔn)偏差函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)偏差函數(shù)std與方差函數(shù)與方差函數(shù)var對(duì)于向量x 有兩種標(biāo)準(zhǔn)差定義方法：2/112)(111NkixxNs2/112)(12NkixxNs其中 NkixNx11N為樣本的元素個(gè)數(shù)。格式一：格式一：s=std(x)功能：x為向量，則返回用s1計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)偏差s。如果x是服從正態(tài)分布的隨機(jī)樣本，則s2為其方差的最佳無偏估計(jì)；如果x為矩陣，則返回矩陣每列標(biāo)準(zhǔn)差的行向量；如果x為多維數(shù)組，則沿x第一個(gè)非單元素維計(jì)算元素的標(biāo)準(zhǔn)偏

23、差。格式二：格式二：s=std(x, flag)功能：如果flag=0，與s=std(x)一樣 ；如果 flag =1，則返回用s2計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差。第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 7 7排序函數(shù)排序函數(shù)sortsort格式一：格式一：A=sort(x)A=sort(x)功能：沿?cái)?shù)組的不同維，以升序排列元素。元素可以為實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)和字符串。如果x是一個(gè)復(fù)數(shù)，其元素按其模的大小進(jìn)行排列，如果模相等，則按其在區(qū)間-pi, pi上的相角進(jìn)行排序。格式二：格式二：A ,index=sort(x)功能：同時(shí)返回一個(gè)下標(biāo)數(shù)組index。8元素乘積函數(shù)元素乘積函數(shù)prod格式一：格式一：A=prod(

24、x)功能：如果x為向量，則計(jì)算其所有元素的乘積；如果x為矩陣，則每列作為向量處理，回一個(gè)每列元素積的行向量；如果x為多維數(shù)組，則沿第一個(gè)非單元素維進(jìn)行處理，返回元素積數(shù)組。格式二：格式二：A=prod(x,dim) 功能：沿dim指定維，返回元素積。第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 9列元素累乘積函數(shù)列元素累乘積函數(shù)cumprod( )格式一：格式一：A=cumprod(x)功能：沿?cái)?shù)組不同維，返回累乘積，返回值A(chǔ)與x大小一樣，與元素全乘積不同，它只將x中相應(yīng)元素與其之前的所有元素相乘。當(dāng)x是向量，返回x的元素累計(jì)積向量；如果x為矩陣，返回一個(gè)與x大小相同的每列累乘積的矩陣；如果x為

25、多維數(shù)組則沿第一個(gè)非單元素維計(jì)算累乘積。格式二：格式二：A=cumprod(x, dim)功 能：返回沿dim指足的維的元素的累乘積。10累計(jì)和累計(jì)和cumsum函數(shù)函數(shù)格式一：格式一：A=cumsum(x)功 能：沿?cái)?shù)組不同維，返回累乘和。當(dāng)x是向量，返回x的元素累計(jì)和；如果x為短陣，返回一個(gè)與x大小相同按列累計(jì)和的矩陣；如果x為多維數(shù)組則沿第一個(gè)非單元素維計(jì)算累計(jì)和。格式二：格式二：A=cumsum(x,dim)功 能：沿dim指定的維計(jì)算元素的累計(jì)和。第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 3.3.2 3.3.2 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)1求協(xié)方差函數(shù)求協(xié)方差函數(shù)cov( )

26、協(xié)方差函數(shù)定義為：cov( , )()()x yE xy其中E表示數(shù)學(xué)期望； E x E y格式一：格式一：C=cov(x)功能：如果x為向量，則返回向量元素的方差；如果x為矩陣，每列產(chǎn)生一個(gè)方差向量，cov(x) 是一個(gè)協(xié)方差矩陣，diag(cov(x)為每列的方差向量，sqrt(diag(cov(x)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差向量。格式二：格式二：C=cov(x, y)功能：返回x、y的協(xié)方差。x、y為長度相同的列向量。也可用C=cov(x,y)。第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 ( , )( , )( , ) ( , )C i jS i jC i i C j j格式二：格式二：S=corrc

27、oef(x,y)功能：返回列向量x和y的相關(guān)系數(shù)，也可用 S=corrcoef(x y)。2求相關(guān)系數(shù)函數(shù)求相關(guān)系數(shù)函數(shù)corrcoef( )格式一：格式一：S=corrcoef(x)功能：根據(jù)輸入矩陣x，返回一個(gè)相關(guān)系數(shù)矩陣，相關(guān)系數(shù)S的矩陣與協(xié)方差矩陣 C=cov(x)有關(guān)，由下式確定：第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 3.3.3 3.3.3 有限差分有限差分1求元素之差函數(shù)求元素之差函數(shù)diff( ) 格式一：格式一：A=diff(x)功能：計(jì)算x中相鄰元素之間的差值或近似導(dǎo)數(shù)。如果x為向量，則返回一個(gè)比x少一個(gè)元素的向量，其元素值為x(2)-x(1)，x(3)-x(2)，x(

28、n)-x(n-1)；如果x為矩陣，則返回一個(gè)列間差值的矩陣：x(2:n,:) - x(1:n-1,:)。格式二：格式二：A=diff(x, n)功能：使用diff函數(shù)遞歸 n 次，計(jì)算第n階差值。例如，diff(x,2) = diff(diff(x)。格式三：格式三：A=diff(x, n, dim)功能：沿dim指定的維數(shù)計(jì)算第n階差值。如果n大于或等于dim維的長度，則返回空數(shù)組。第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 2求數(shù)值梯度求數(shù)值梯度函數(shù)函數(shù)gradient( ) 兩變量函數(shù)F(x, y)的梯度定義為 jyFixFF對(duì)N個(gè)變量函數(shù) F(x,y,z, ) 其梯度為 kzFjyFi

29、xFF梯度可看作指向F增加方向的向量集。 格式一：格式一：Fx=gradient(F)功能：F為一向量，返回F的一維數(shù)值梯度，F(xiàn)x與 xF /一致，表示x方向的差分。 格式二：格式二：Fx, Fy=gradient(F)功能：F為一矩陣，返回二維數(shù)值梯度的x和y分量。 Fx與 xF /表示x(列)方向的差分 Fy與 yF /一致，表示y(行)方向的差分。每個(gè)方向點(diǎn)間距離設(shè)為1。第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 3.4 函數(shù)分析與數(shù)值積分3.4.1 3.4.1 函數(shù)在函數(shù)在MATLABMATLAB中的表示與函數(shù)的繪圖中的表示與函數(shù)的繪圖1函數(shù)的表示與計(jì)算函數(shù)的表示與計(jì)算2函數(shù)的繪制函數(shù)

30、的繪制(1) 單變量函數(shù)繪畫命令單變量函數(shù)繪畫命令fplot fplot( )函數(shù)的功能能確保在輸出的圖形中表示出所有的奇異點(diǎn)。格式一：格式一：fplot(fun, xmin, xmax)功能：變量在xmin, xmax范圍，繪制指定函數(shù)fun的圖形。格式二：格式二：fplot(fun, xmin, xmax, tol)功能：在xmin, xmax范圍，以給定的精度tol1，繪制指定函數(shù)fun的圖形，tol的缺省值為2e-3。第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 (2) 簡易的函數(shù)繪圖命令簡易的函數(shù)繪圖命令ezplot( )格式一：格式一：ezplot(f, a,b)功能：當(dāng)f=f(x)

31、時(shí)，繪制函數(shù)f=f(x)在a x b范圍函數(shù)曲線，并且所繪圖上還自動(dòng)進(jìn)行標(biāo)注；當(dāng)只輸入函數(shù)文件名，而沒有規(guī)定自變量的范圍，其默認(rèn)的自變量范圍為22x當(dāng)只輸入函數(shù)文件名，而沒有規(guī)定自變量的范圍，其默認(rèn)的自變量范圍為22x、格式二：格式二：ezplot(f, xmin,xmax,ymin,ymax) 功能：在xmin x xmax、ymin y ymax范圍繪制f(x,y) = 0的曲線。格式三：格式三：ezplot(x,y, tmin,tmax)功能：在tmin t tmax范圍繪制x = x(t)和y = y(t)的曲線。范圍缺省是變量t的范圍為0 t 2*pi。當(dāng)f = f(x,y)時(shí)，則繪

32、制a x b 、 a y b范圍內(nèi)f(x,y) = 0的函數(shù)曲線；第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 3.4.23.4.2函數(shù)的極點(diǎn)、零點(diǎn)分析函數(shù)的極點(diǎn)、零點(diǎn)分析 1極值分析函數(shù)極值分析函數(shù)(1) 單變量函數(shù)求極小值函數(shù)單變量函數(shù)求極小值函數(shù)fminbnd( )格式：格式：x=fminbnd (fun,x1,x2)功能：返回函數(shù)fun(x)在區(qū)間x1, x2內(nèi)的局部極小值。(2) 多變量函數(shù)求極小值函數(shù)多變量函數(shù)求極小值函數(shù)fminsearch( )fminsearch函數(shù)與fminbnd函數(shù)類似，但是它面向多變量函數(shù)。格式：格式：x=fminsearch(fun,x0)功能：返回x0

33、附近，函數(shù)fun的局部極小化向量x。x0可以是標(biāo)量、向量或矩陣。2單變量函數(shù)的零點(diǎn)分析單變量函數(shù)的零點(diǎn)分析格式：格式：x=fzero(funname,x0)功能：在x0附近，尋找函數(shù)funname的零點(diǎn)。funnamce為一個(gè)函數(shù)名的字符串，函數(shù)為單變量實(shí)值函數(shù)。Funnamce可以為函數(shù)句柄，也可以是inline對(duì)象。函數(shù)返回值的附近函數(shù)變號(hào)。如果x為兩元素向量 , 則認(rèn)為x0為區(qū)間，f(x0(1)的符號(hào)與f(x0(2)的符號(hào)相反，否則返回NaN。如果找到Inf、NaN，或復(fù)數(shù)值，則停止在查找區(qū)間內(nèi)的搜索。第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 3.4.33.4.3函數(shù)的數(shù)值積分與微分函

34、數(shù)的數(shù)值積分與微分1函數(shù)的數(shù)值積分函數(shù)的數(shù)值積分(1) 低階數(shù)值積分函數(shù)低階數(shù)值積分函數(shù)quad格式一：格式一：q=quad(fun,a,b)功能：采用自適應(yīng)的Simpson積分方法，返回函數(shù)fun 在上限 a 和下限 b之間的數(shù)值積分。當(dāng)給定一個(gè)輸入值向量，fun 必須返回一個(gè)輸出向量。函數(shù)fun可以是函數(shù)名、函數(shù)句柄或字符串。格式二：格式二：q=quad(fud,a,b,tol)功能：按指定絕對(duì)誤差tol返回?cái)?shù)值積分值, tol 缺省值為 1e-6。(2) 高階數(shù)值積分函數(shù)高階數(shù)值積分函數(shù)quadl badxxfy)(第 3 章 MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 (3) 梯形面積法的積分函數(shù)

35、梯形面積法的積分函數(shù)trapz( )格式一：格式一：T=trapz(Y)功能：以單位間隔，采用計(jì)算若干梯形面積的和來計(jì)算某函數(shù)的近似積分。如果Y為向量，計(jì)算Y的積分；如果Y是矩陣，得一個(gè)每列積分的行向量；如果Y為多維數(shù)組，則沿第一個(gè)非單元素維計(jì)算。格式二：格式二：T=trapz(X,Y)功能：用梯形積分法，依據(jù)X計(jì)算Y的積分。如果X為矢量，則Y必須是同大小的矢量；如果X是一列向量，并且數(shù)組Y第一非單元素維長度為length(X)，則在該維中計(jì)算。(4) 雙重積分函數(shù)雙重積分函數(shù)dblquadMATLAB提供了一個(gè)求雙重積分的函數(shù)dblquad，其基本調(diào)用格式為：格式：格式：Q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)功能：按指定精度tol