fky8張量and so on

1、張量簡介張量簡介標(biāo)量，向量自然法則與坐標(biāo)無關(guān)，坐標(biāo)系的引入方便自然法則與坐標(biāo)無關(guān)，坐標(biāo)系的引入方便分析，但也掩蓋了物理本質(zhì)；分析，但也掩蓋了物理本質(zhì)； 坐標(biāo)系引入后的相關(guān)表達(dá)式冗長坐標(biāo)系引入后的相關(guān)表達(dá)式冗長 引入張量方法引入張量方法 張量概念及其基本運算張量概念及其基本運算 張量分析是研究固體力學(xué)、流體力學(xué)及連續(xù)介張量分析是研究固體力學(xué)、流體力學(xué)及連續(xù)介 質(zhì)力學(xué)的重要數(shù)學(xué)工具質(zhì)力學(xué)的重要數(shù)學(xué)工具 。 張量分析具有高度概括、形式簡潔的特點。張量分析具有高度概括、形式簡潔的特點。 所有與坐標(biāo)系選取無關(guān)的量，統(tǒng)稱為所有與坐標(biāo)系選取無關(guān)的量，統(tǒng)稱為物理恒量物理恒量。 在一定單位制下，只需指明其大小即

2、足以被說明在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說明 的物理量，統(tǒng)稱為的物理量，統(tǒng)稱為標(biāo)量標(biāo)量。例如溫度、質(zhì)量、功等。例如溫度、質(zhì)量、功等。 在一定單位制下，除指明其大小還應(yīng)指出其方向在一定單位制下，除指明其大小還應(yīng)指出其方向 的物理量，稱為的物理量，稱為矢量矢量。例如速度、加速度等。例如速度、加速度等。 絕對標(biāo)量只需一個量就可確定，而絕對矢量則需絕對標(biāo)量只需一個量就可確定，而絕對矢量則需 三個分量來確定。三個分量來確定。 張量的幾個基本概念張量的幾個基本概念張量的概念張量的概念只需指明其大小即足以被說明的物理量，稱為標(biāo)量標(biāo)量溫度、質(zhì)量、力所做的功除指明其大小還應(yīng)指出其方向的物理量，稱為矢量矢

3、量物體的速度、加速度在討論力學(xué)問題時，僅引進標(biāo)量和矢量的概念是不夠不夠的如應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)、慣性矩、彈性模量等張量張量關(guān)于三維空間，描述一切物理恒量的分量數(shù)目可統(tǒng)一地表示成： M=rn=3n標(biāo)量標(biāo)量:n=0,:n=0,零階張量零階張量矢量矢量:n=1,:n=1,一階張量一階張量應(yīng)力應(yīng)力, ,應(yīng)變等應(yīng)變等:n=2,:n=2,二階張量二階張量二階以上的張量已不可能在三維空間有明顯直觀的幾何意義。為了書寫上的方便，在張量的記法中，都采用下標(biāo)字母符號來表示和區(qū)別該張量的所有分量。這種表示張量的方法，就稱為下標(biāo)記號法下標(biāo)記號法。123( , , )( ,(1,)2,3ix y zx x xx i 下標(biāo)

4、記號法下標(biāo)記號法: :,(, ),xxxyxzyxyyyzzxijzyzzi jx y z不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)符號,在其變程N(關(guān)于三維空間N3)內(nèi)分別取數(shù)1，2，3，N重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)符號稱為啞標(biāo)號,取其變程N內(nèi)所有分量，然后再求和，也即先羅列所有各分量，然后再求和。自由標(biāo)號自由標(biāo)號: :啞標(biāo)號啞標(biāo)號: :當(dāng)一個下標(biāo)符號在一項中出現(xiàn)兩次時，這個下標(biāo)符號應(yīng)理解為取其變程N中所有的值然后求和，這就叫做求和約定求和約定。求和約定求和約定: :1 122331122331 12 23 3( :1,2,3( :,1,2,3iiiiNiij jiiia xa xa xa xiiSlllliji j啞標(biāo)，）自由

5、下標(biāo)，啞標(biāo)，）1 122331122331 12 23 3( :1,2,3( :,1,2,3iiiiNiij jiiia xa xa xa xiiSlllliji j啞標(biāo)，）自由下標(biāo)，啞標(biāo)，）1 122331122331 12 23 3( :1,2,3( :,1,2,3iiiiNiij jiiia xa xa xa xiiSlllliji j啞標(biāo)，）自由下標(biāo)，啞標(biāo)，） 23322112312)( iiiii 3131ijijijijij 131312121111 232322222121 333332323131 關(guān)于求和標(biāo)號，即啞標(biāo)有：關(guān)于求和標(biāo)號，即啞標(biāo)有： 求和標(biāo)號可任意變換字母求和標(biāo)號

6、可任意變換字母表示。表示。 求和約定只適用于字母標(biāo)號，不適用于數(shù)字標(biāo)號。求和約定只適用于字母標(biāo)號，不適用于數(shù)字標(biāo)號。 在運算中，括號內(nèi)的求和標(biāo)號應(yīng)在進行其它運算前在運算中，括號內(nèi)的求和標(biāo)號應(yīng)在進行其它運算前 優(yōu)先求和。例：優(yōu)先求和。例： 2332222112aaaaii 23322112)()(aaaaii 啞標(biāo)可以換用不同的字母啞標(biāo)可以換用不同的字母表示。表示。 關(guān)于關(guān)于KroneckerKronecker delta delta（ ）符號：符號： ij 是張量分析中的一個基本符號稱為是張量分析中的一個基本符號稱為柯氏符號柯氏符號（或（或柯羅尼克爾符號柯羅尼克爾符號），亦稱），亦稱單位張量單

7、位張量。其定義為：。其定義為： ij 100010001 , 0 , 1 ijijjiji 或或：時時；當(dāng)當(dāng)時時；當(dāng)當(dāng)jiijii2222j3213j32j21j1iijdxdxdxdxdzdydxdsA3j2j1jAAAAAAA性質(zhì)：性質(zhì)： jkjkiiijjijiilkljkijikjkijikjkij332211jjiiijij332211iiijijaaxxxAAAAAAAA3, 的作用與計算示例如下：的作用與計算示例如下：ij jijijjijjijijijjjjjijiiiijijikkikikijkijijijiilllllaaaaaaaaaaaaa)( ) 6 ( ),( )

8、5 ( ) 4 ( ) 3(3)()()( ) 2(3 ) 1 (321332211333322221111332211233222211332211 或或或或即即4.4.張量的基本運算張量的基本運算 A A、張量的加減：張量的加減： 張量可以用矩陣表示，稱為張量可以用矩陣表示，稱為張量矩陣張量矩陣，如：，如： 333231232221131211aaaaaaaaaaij凡是同階的兩個或兩個以上的張量可以相加(減），并得到同階的一個新張量，法則為：ijkijkijkABCB B、張量的乘積張量的乘積 對于任何階的諸張量都可進行乘法運算。對于任何階的諸張量都可進行乘法運算。 兩個任意階張量的乘法

9、定義為：第一個張量的兩個任意階張量的乘法定義為：第一個張量的 每一個分量乘以第二個張量中的每一個分量，每一個分量乘以第二個張量中的每一個分量， 它們所組成的集合仍然是一個張量，稱為第一它們所組成的集合仍然是一個張量，稱為第一 個張量乘以第二個張量的乘積，即積張量。積個張量乘以第二個張量的乘積，即積張量。積 張量的階數(shù)等于因子張量階數(shù)之和。例如：張量的階數(shù)等于因子張量階數(shù)之和。例如： 張量乘法不服從交換律，但張量乘法服從分配張量乘法不服從交換律，但張量乘法服從分配 律和結(jié)合律。例如：律和結(jié)合律。例如： ijkjkicba )()( )(mkijmkijkijkijkijijcbacbacbcac

10、ba 或或；C C、張量函數(shù)的求導(dǎo)：張量函數(shù)的求導(dǎo)： 一個張量是坐標(biāo)函數(shù)，則該張量的每個分量都一個張量是坐標(biāo)函數(shù)，則該張量的每個分量都 是坐標(biāo)參數(shù)是坐標(biāo)參數(shù)x xi i的函數(shù)。的函數(shù)。 張量導(dǎo)數(shù)就是把張量的每個分量都對坐標(biāo)參數(shù)張量導(dǎo)數(shù)就是把張量的每個分量都對坐標(biāo)參數(shù) 求導(dǎo)數(shù)。求導(dǎo)數(shù)。 對張量的坐標(biāo)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)時，采用在張量下標(biāo)對張量的坐標(biāo)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)時，采用在張量下標(biāo) 符號前上方加符號前上方加“ “ ”的方式來表示。例如的方式來表示。例如 ， 就表示對一階張量就表示對一階張量 的每一個分量對坐標(biāo)參數(shù)的每一個分量對坐標(biāo)參數(shù) x xj j求導(dǎo)。求導(dǎo)。 jiA iA312,123ii iiuuuuuxx

11、xx2222,yixzi jkjkjkjkjkuuuuuxxxxxxxx 如果在微商中下標(biāo)符號如果在微商中下標(biāo)符號i i是一個自由下標(biāo)，則是一個自由下標(biāo)，則 算子算子 作用的結(jié)果，將產(chǎn)生一個新的升高一階作用的結(jié)果，將產(chǎn)生一個新的升高一階 的張量；如果在微商中，下標(biāo)符號是啞標(biāo)號，的張量；如果在微商中，下標(biāo)符號是啞標(biāo)號， 則作用的結(jié)果將產(chǎn)生一個新的降低一階的張量。則作用的結(jié)果將產(chǎn)生一個新的降低一階的張量。 例如：例如： i 321 , , xxxxii 332211 xuxuxuxuuiiii 第一章第一章 彈塑性力學(xué)基礎(chǔ)彈塑性力學(xué)基礎(chǔ)1.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量1.2 偏量應(yīng)力張量偏量應(yīng)力張量1.3

12、 應(yīng)變張量應(yīng)變張量1.4 應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量1.5 應(yīng)力、應(yīng)變應(yīng)力、應(yīng)變 Lode參數(shù)參數(shù)0limnnApA 1.1 1.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量力學(xué)的語言力學(xué)的語言yxzOnnA0limsnApA C過過C點可以做無點可以做無窮多個平面窮多個平面K不同的面上的應(yīng)不同的面上的應(yīng)力是不同的力是不同的到底如何描繪一到底如何描繪一點處的應(yīng)力狀態(tài)點處的應(yīng)力狀態(tài)? ?1).1).一點的應(yīng)力狀態(tài)一點的應(yīng)力狀態(tài)一點的應(yīng)力狀態(tài)一點的應(yīng)力狀態(tài)yxzOyxyzyyxyzyzxzyzxyxzxxyxzxzxzyzPABCxxyxzijyxyyzzxzyz1.1 1.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量一點的應(yīng)力狀態(tài)一點的應(yīng)力狀態(tài)

13、可由過該點的微小可由過該點的微小正平行六面體上的應(yīng)力分量來確定。正平行六面體上的應(yīng)力分量來確定。應(yīng)力張量應(yīng)力張量數(shù)學(xué)上，在坐標(biāo)變換時，服從一數(shù)學(xué)上，在坐標(biāo)變換時，服從一定坐標(biāo)變換式的九個數(shù)所定義的定坐標(biāo)變換式的九個數(shù)所定義的量叫做量叫做。111213212223313233ij用張量下標(biāo)記號法下標(biāo)下標(biāo)1、2、3表示坐標(biāo)表示坐標(biāo)x1、x2、x3即即x、y、z方向方向(1.1)(1.2)1.1 1.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量2).2).一點斜面上的應(yīng)力一點斜面上的應(yīng)力( (不計體力不計體力) )112233cos( ,)cos( ,)cos( ,)n xln xln xli ：自由下標(biāo)；j為求和下標(biāo)（同

14、一項中重復(fù)出現(xiàn)）。3111 112 213 3113221 122 223 3213331 132 233 331Nj jjNj jjNj jjSllllSllllSllll斜截面外法線斜截面外法線n n的方向余弦的方向余弦: :Niij jSl令斜截面令斜截面ABCABC的面積為的面積為1 11122331 cos( ,)1 cos( ,)1 cos( ,)OBCOACOABSn xlSn xlSn xl (1.3)(1.4)1.1 1.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量斜截面斜截面OABC上的正應(yīng)力上的正應(yīng)力:1 12 23 322211 122 233 312 1 223 2 331 3 1222NN

15、NNS lSlSlllll ll ll l斜截面斜截面OABC上的剪應(yīng)力上的剪應(yīng)力:2222123NNNNNSSS(1.5)(1.6)1.1 1.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量3).3).主應(yīng)力及其不變量主應(yīng)力及其不變量112233NNNSlSlSl主平面主平面: :剪應(yīng)力等于零的截面剪應(yīng)力等于零的截面主應(yīng)力主應(yīng)力-: :主平面上的正應(yīng)力主平面上的正應(yīng)力111 112 213 3221 122 223 3331 132 233 3NNNSlllSlllSlll代入代入11112 213 321 122223 331 132 2333()0()0()0lllllllll采用張量下標(biāo)記號采用張量下標(biāo)記號()

16、0iijjjlKroneker delta記號(1.7)(1.8)(1.9)1.1 1.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量 ij記號：記號：Kroneker-delta記號記號1,0,ijijij方向余弦滿足條件：方向余弦滿足條件：2221231lll100010001ij采用張量表示采用張量表示1i ill 聯(lián)合求解聯(lián)合求解 l1,l2,l3：11112 213 321 122223 331 132 2333222123()0()0()01lllllllllllll1,l2,l3不全等于不全等于0 01112132122233132330(1.10)(1.11)(1.12)(1.13)1.1 1.1 應(yīng)力

17、張量應(yīng)力張量聯(lián)合求解聯(lián)合求解 l1,l2,l3：行列式展開后得：行列式展開后得：1112233kkJ112233122331213213133122233211122133()()()()()()0 簡化后得簡化后得321230JJJ(1.14)22233331111222122323313111()2iikkikkiJ 1112133212223313233ijJ(1.15)式中式中:是關(guān)于是關(guān)于的三次方程，它的三個根，即為三個主的三次方程，它的三個根，即為三個主應(yīng)力，其相應(yīng)的三組方向余弦對應(yīng)于三組主平面。應(yīng)力，其相應(yīng)的三組方向余弦對應(yīng)于三組主平面。主應(yīng)力大小與坐標(biāo)選擇無關(guān)，故主應(yīng)力大小與坐

18、標(biāo)選擇無關(guān)，故J J1 1,J,J2 2,J,J3 3也必與坐標(biāo)選擇無關(guān)。也必與坐標(biāo)選擇無關(guān)。123,:JJJ應(yīng)力不變量1.1 1.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量若坐標(biāo)軸選擇恰與三個主坐標(biāo)重合：若坐標(biāo)軸選擇恰與三個主坐標(biāo)重合：1123J2122331()J 3123J (1.16)233112123,222主剪應(yīng)力面：平分兩主平面夾角的平面，數(shù)值為：主剪應(yīng)力面：平分兩主平面夾角的平面，數(shù)值為：(1.17)主剪應(yīng)力主剪應(yīng)力面面( 1 )213121311.1 1.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量最大最小剪應(yīng)力：最大最小剪應(yīng)力：取取主方向為坐標(biāo)軸取向主方向為坐標(biāo)軸取向, ,則一點處任一截面上的剪應(yīng)力的計算式則一點處任一

19、截面上的剪應(yīng)力的計算式: :2222222222221231 12 23 31 12 23 3()()()()NNNNNSSSllllll2221231lll消去消去l3：2222222222213123231312323()()()()Nllll22113131232131()()()()02lll22223131232231()()()()02lll由極值條件由極值條件1200nnll及1.1 1.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量最大最小剪應(yīng)力：最大最小剪應(yīng)力：22113131232131()()()()02lll22223131232231()()()()02lll1200ll及12322;0;22

20、lll 第一組解：第一組解：1200ll及第二組解：第二組解：2l消去第三組解：第三組解：13132 23232 12122 123220 ;22lll 12322;022lll 它們分別作用它們分別作用在與相應(yīng)主方在與相應(yīng)主方向成向成4545的斜截的斜截面上面上123max13min2 因為：因為：1.1 1.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量4).4).八面體上的應(yīng)力八面體上的應(yīng)力 1 2 3沿主應(yīng)力方向取坐標(biāo)軸，與坐標(biāo)軸等傾角的沿主應(yīng)力方向取坐標(biāo)軸，與坐標(biāo)軸等傾角的八個面組成的圖形，稱為八個面組成的圖形，稱為八面體八面體。1231/3lll(1.19)八面體的法線方向余弦：八面體的法線方向余弦：八面體

21、平面上應(yīng)力在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為：八面體平面上應(yīng)力在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為：123lll2221231lll八面體（每個坐標(biāo)象限1個面）123arccos( )arccos( )arccos( )54 44lll或或11 1122 2233 33/3,/3,/3PlPlPl(1.20)1.1 1.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量4).4).八面體上的應(yīng)力八面體上的應(yīng)力 1 2 3八面體面上八面體面上的正應(yīng)力的正應(yīng)力為為:22281 12 23 31 12 23 3123111()33PlPlPllllJ八面體面上的剪應(yīng)力為：八面體面上的剪應(yīng)力為：八面體（每個坐標(biāo)象限1個面）2222228881231

22、2322221223311211()()3912()()()333FJJ(1.23)(1.21)八面體面上的應(yīng)力矢量為：八面體面上的應(yīng)力矢量為：222222281231 12 23 3222123()()()1()3FPPPlll(1.22)平均正應(yīng)力平均正應(yīng)力1.1 1.1 應(yīng)力張量應(yīng)力張量例題例題: :已知一點的應(yīng)力狀態(tài)由以下一組應(yīng)力分量所確定已知一點的應(yīng)力狀態(tài)由以下一組應(yīng)力分量所確定, 即即 x3, y0, z0, xy1 , yz 2, zx 1, 應(yīng)力單位為應(yīng)力單位為MPa。試求該點的主應(yīng)力值。試求該點的主應(yīng)力值。 代入式(1.14)后得:解解: :11122333003J22233

23、33111122212232331311(3 0 1 1)(0 02 2)(0 3 1 1)6J 11121332122233132333 0 01 2 1 1 2 1 1 0 12 2 3 1 1 08J 323680(4)(1)(2)0解得主應(yīng)力為解得主應(yīng)力為:1234;1;2; 1.2 1.2 應(yīng)力偏量張量應(yīng)力偏量張量1).1).應(yīng)力張量分解應(yīng)力張量分解物體的變形物體的變形ij(1.32)體積改變體積改變形狀改變形狀改變由各向相等的應(yīng)力狀態(tài)引起的由各向相等的應(yīng)力狀態(tài)引起的材料晶格間的移動引起材料晶格間的移動引起的的球應(yīng)力狀態(tài)球應(yīng)力狀態(tài)/靜水壓力靜水壓力彈性性質(zhì)彈性性質(zhì)塑性性質(zhì)塑性性質(zhì)ij

24、ijS球形應(yīng)力張量球形應(yīng)力張量偏量應(yīng)力張量偏量應(yīng)力張量1.2 1.2 應(yīng)力偏量張量應(yīng)力偏量張量1).1).應(yīng)力張量分解應(yīng)力張量分解000000 xxyxzijijijyxyyzzxzyzS(1.31)球形應(yīng)力張量球形應(yīng)力張量偏量應(yīng)力張量偏量應(yīng)力張量1122331111()333kkJ其中其中:平均正應(yīng)力平均正應(yīng)力/靜水壓力靜水壓力1.2 1.2 應(yīng)力偏量張量應(yīng)力偏量張量2).2).主偏量應(yīng)力和不變量主偏量應(yīng)力和不變量000000 xxyxzijijijyxyyzzxzyzS(1.31)二階對稱張量二階對稱張量1231123S其中其中:剪應(yīng)力分量始終剪應(yīng)力分量始終沒有變化沒有變化12300000

25、0 xxyxzijyxyyzzxzyzSSSSSSS主偏量應(yīng)力主偏量應(yīng)力2132223S3123323S(1.33)1.2 1.2 應(yīng)力偏量張量應(yīng)力偏量張量ijSij例例:設(shè)原應(yīng)力狀態(tài) 主方向的方向余弦為l1,l2,l3，則由式(1.9)得證明：證明：ij123123123()0()0()0 xnxyxzyxynyzzxzyznlllllllll顯然，方向余弦l1,l2,l3將由式(a)中的任意兩式和l12+l22+l32=1所確定。(a)若設(shè)偏應(yīng)力狀態(tài) 主方向的方向余弦為l1,l2,l3，則由式(1.9)同樣得：ijS123123123()0()0()0 xnxyxzyxynyzzxzyzn

26、SS lS lS lS lSS lS lS lS lSS l顯然，方向余弦l1,l2,l3將由式(b)中的任意兩式和l12+l22+l3 2=1所確定。(b)()()xnxmnmxnSS由于:()()ynymnmynSS()()znzmnmznSSl1=l1; l2=l2 ; l3= l3 可見式(a)與式(b)具有相同的系數(shù)，且已知l12+l22+l32= l12+l22+l3 2=11.2 1.2 應(yīng)力偏量張量應(yīng)力偏量張量2).2).主偏量應(yīng)力和不變量主偏量應(yīng)力和不變量11;S22;S33S(1.33)ijSij滿足三次代數(shù)方程式：滿足三次代數(shù)方程式：321230JJJ1112233222

27、211222233331112233122212331230()1()122iiijijijJSSSJS SS SS SSSSSSSJS S SSS SS (1.34)式中式中J1,J2,J3為不變量為不變量(1.35)1.2 1.2 應(yīng)力偏量張量應(yīng)力偏量張量(1.40)利用利用J1=0，不變量不變量J2還可寫為還可寫為:22222221122331223311(222)21212ijijiiJSSSSSSS SS S(1.38)22221122223333112221223312222222221223311()()()66()1()1()()()()66()6xyyzzxxyyzzxJSS

28、SSSSSSS1.2 1.2 應(yīng)力偏量張量應(yīng)力偏量張量(1.43)3).3).等效應(yīng)力等效應(yīng)力( (應(yīng)力強度應(yīng)力強度) )22281223311()()()322221223311()()() 6J8223J在彈塑性力學(xué)中，為了使用方便，將 乘以系數(shù) 后，稱之為等效應(yīng)力等效應(yīng)力83/2123,0, 故2228122331231()()()322J(1.41)簡單拉伸時簡單拉伸時: :“等效等效”的命名由此而來。各正應(yīng)力增加或減少一個平均應(yīng)力，等效應(yīng)力的數(shù)值不變，這也說明等效應(yīng)力與球應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)1.2 1.2 應(yīng)力偏量張量應(yīng)力偏量張量(1.42)4).4).等效剪應(yīng)力等效剪應(yīng)力( (剪應(yīng)力強度剪

29、應(yīng)力強度) )222212233111()()()26ijijTJS S1230,0, T 例：純剪時，“等效等效”的命名由此而來。例題：例題：已知結(jié)構(gòu)內(nèi)某點的應(yīng)力張量如已知結(jié)構(gòu)內(nèi)某點的應(yīng)力張量如右式，試求該點的球形應(yīng)力張量、偏右式，試求該點的球形應(yīng)力張量、偏量應(yīng)力張量、等效應(yīng)力及主應(yīng)力數(shù)值。量應(yīng)力張量、等效應(yīng)力及主應(yīng)力數(shù)值。 100100100MPa10010ij101010 / 310 / 310 / 300010 / 30MPa0010 / 320 / 3010040 / 3:0MPa10020 / 3mijS平均正應(yīng)力球形應(yīng)力張量量（）偏量應(yīng)力張1.2 1.2 應(yīng)力偏量張量應(yīng)力偏量張量

30、222222211222233331112233131()()()6()21400 400 0 6(0 0 100)70010 7 MPa2J 11122332222112222333311122331222311223312233111232213331210()( 100 100 100)00 100200|21000 1000000ijJJJ 等效應(yīng)力等效應(yīng)力: :1.2 1.2 應(yīng)力偏量張量應(yīng)力偏量張量關(guān)于主應(yīng)力的方程為關(guān)于主應(yīng)力的方程為: 20)20,0,10(10)0 2221223311()()() 21400 10090070010 7 MPa2由主應(yīng)

31、力求等效應(yīng)力由主應(yīng)力求等效應(yīng)力: :1.2 1.2 應(yīng)力偏量張量應(yīng)力偏量張量1.3 1.3 應(yīng)變張量應(yīng)變張量1).1).一點應(yīng)變狀態(tài)一點應(yīng)變狀態(tài)位移位移剛性位移剛性位移變形位移變形位移物體內(nèi)各點的位置雖然均有變化，但任意兩物體內(nèi)各點的位置雖然均有變化，但任意兩點之間的距離卻保持不變。點之間的距離卻保持不變。物體內(nèi)任意兩點之間的相對距離發(fā)生了改變。物體內(nèi)任意兩點之間的相對距離發(fā)生了改變。要研究物體在外力作用下的變形規(guī)律，只需要研究物體內(nèi)各要研究物體在外力作用下的變形規(guī)律，只需要研究物體內(nèi)各點的相對位置變動情況，也即研究點的相對位置變動情況，也即研究變形位移變形位移位移函數(shù)位移函數(shù)( , , )(

32、 , , )( , , )uu x y zvv x y zww x y z位置坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)1.3 1.3 應(yīng)變張量應(yīng)變張量微小六面體單元的變形微小六面體單元的變形當(dāng)物體在一點處有變形時，小單元體的當(dāng)物體在一點處有變形時，小單元體的尺寸尺寸(即單元體各棱邊的長度即單元體各棱邊的長度)及形狀及形狀(即即單元體各面之間所夾直角單元體各面之間所夾直角)將發(fā)生改變。將發(fā)生改變。由于變形很微小，可以認(rèn)為兩由于變形很微小，可以認(rèn)為兩個平行面在坐標(biāo)面上的投影只個平行面在坐標(biāo)面上的投影只相差高階微量，可忽略不計。相差高階微量，可忽略不計。1.3 1.3 應(yīng)變張量應(yīng)變張量微小六面體單元的變形微小六面體單元的

33、變形B點位移分量點位移分量uudxxdxxD點位移分量點位移分量uudyydyyA點位移分量點位移分量uxOy的改變量的改變量:xy1.3 1.3 應(yīng)變張量應(yīng)變張量變形后變形后AB邊長度的平方邊長度的平方:222()()uA BdxdxdxxxM點沿點沿X方向上的方向上的線應(yīng)變線應(yīng)變:xA BABAB(1)(1)xxA BABdx(a)(b)22222xxuuxxx(c)代入代入(a)得得:xux略去高階微量略去高階微量yy同理，同理，M點沿點沿Y方向方向上的上的線應(yīng)變線應(yīng)變:1.3 1.3 應(yīng)變張量應(yīng)變張量tan1dxxxuudxdxxx同理同理:1,ux略去xuyxOy的改變量，即的改變量

34、，即剪應(yīng)變剪應(yīng)變:xyuyx1.3 1.3 應(yīng)變張量應(yīng)變張量122zuy ,uvyx同時存在12zuxy對角線對角線AC線的線的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角:122zvx剛性轉(zhuǎn)動剛性轉(zhuǎn)動1.3 1.3 應(yīng)變張量應(yīng)變張量(1.44)1).1).一點應(yīng)變狀態(tài)一點應(yīng)變狀態(tài)工程應(yīng)變分量：工程應(yīng)變分量：xyxyyzzzxuvuyxxvvwyzywwuzxz(幾何方程幾何方程/柯西幾何關(guān)系柯西幾何關(guān)系)1.3 1.3 應(yīng)變張量應(yīng)變張量(1.45)1).1).一點應(yīng)變狀態(tài)一點應(yīng)變狀態(tài)受力物體內(nèi)某點處所取無限多方向上的受力物體內(nèi)某點處所取無限多方向上的線應(yīng)變線應(yīng)變與與剪應(yīng)變剪應(yīng)變( (任意兩相任意兩相互垂直方向所夾直角的改變量互

35、垂直方向所夾直角的改變量) )的的總和總和，就表示了該點的應(yīng)變狀態(tài)。，就表示了該點的應(yīng)變狀態(tài)。定義定義: :,12iji jj iuu（）111213212223313233112211221122xxyxzijyxyyzzxzyz應(yīng)變張量應(yīng)變張量: :123, ,u v wu uu1111,11xxuux21122,11,21211()()22xyuuuuxx(1.46)1.3 1.3 應(yīng)變張量應(yīng)變張量2).2).主應(yīng)變及其不變量主應(yīng)變及其不變量由全微分公式由全微分公式: :, ,u v w uuududxdydzxyzM點的位移分量點的位移分量,udu vdv wdwN點的位移分量點的位移

36、分量vvvdvdxdydzxyzwwwdwdxdydzxyz11221122uvuwdydzyxzuuvuwdxdydzxxyxzx表示剛性轉(zhuǎn)動，不引起應(yīng)表示剛性轉(zhuǎn)動，不引起應(yīng)變，計算應(yīng)變時可忽略。變，計算應(yīng)變時可忽略。1.3 1.3 應(yīng)變張量應(yīng)變張量xxyxzdudxdydz在主應(yīng)變空間中在主應(yīng)變空間中: :yxyyzdvdxdydzzxzyzdwdxdydziijjdudxrxxyxzdudxdxdydzryxyyzdvdydxdydzrzxzyzdwdzdxdydz()0 xrxyxzdxdydz()0yxyryzdxdydz()0zxzyzrdxdydzrdrdudvdwrdxdydz

37、;rrrdudx dvdy dwdz主平面法線方主平面法線方向的線應(yīng)變向的線應(yīng)變主應(yīng)變主應(yīng)變: :1.3 1.3 應(yīng)變張量應(yīng)變張量類似于應(yīng)力張量類似于應(yīng)力張量: :111223312322221122223333111223311112133212223313233ijIII 其中其中: :(1.47)(1.48)1122331133kk（）平均正應(yīng)變平均正應(yīng)變: :1.3 1.3 應(yīng)變張量應(yīng)變張量偏量應(yīng)變張量偏量應(yīng)變張量: :(1.52)13ijijijijkkije eij 的主軸方向與ij 的主方向一致，主值為: e1 1 ， e2 2 ， e3 3滿足三次代數(shù)方程式：321231231

38、112233123222211 2222 3333 1112233122212331 2 30,0()1()2iiiijijeI eIeIIIIeIeeeeeeIe ee ee eeeeeeeIee e e 式中為 的三個不變量，(1.50)(1.51)222212233111()()() 26ijijIe eI I2 2應(yīng)用較廣應(yīng)用較廣, ,又可表達(dá)為又可表達(dá)為: :1.3 1.3 應(yīng)變張量應(yīng)變張量等效應(yīng)變等效應(yīng)變( (應(yīng)變強度應(yīng)變強度):):(1.54)2222122331123222()()()9331,2ijijIe e 例：簡單拉伸時，故等效剪應(yīng)變等效剪應(yīng)變( (剪應(yīng)變強度剪應(yīng)變強度

39、):):222212233113222()()()2310,0,2ijijIe e 例：純剪時，故(1.55)1.4 1.4 應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量一般來說物體變形時，體內(nèi)任一點的變形不但與坐標(biāo)有關(guān)，一般來說物體變形時，體內(nèi)任一點的變形不但與坐標(biāo)有關(guān)，而且與時間也有關(guān)。如以而且與時間也有關(guān)。如以u、v、w表示質(zhì)點的位移分量，則表示質(zhì)點的位移分量，則:;xyzdudvdwVVVdtdtdt設(shè)設(shè)應(yīng)變速率分量應(yīng)變速率分量為為: :;xxyyzzVxVyVz;yxxyyzyzxzzxVVyxVVzyVVxziiduvdt質(zhì)點的運動速度分量質(zhì)點的運動速度分量1.4 1.4 應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量xx

40、yyzzzxyVduduxx dtdtxVdvdvyy dtdtyVdwdwzzdtdtzuxvywzyxxyyzyzxzzxyyzxVVdudvduvyxy dtx dtdtyxVVdvdwdvwzyz dtydtdtzyVVdwduxzxduvyxvwytz dtzzxdwudtxzwuxz線應(yīng)變速率線應(yīng)變速率在在小變形情況小變形情況下，下，應(yīng)變速率分量應(yīng)變速率分量與與應(yīng)變分量應(yīng)變分量之間存在有簡單關(guān)系之間存在有簡單關(guān)系: :剪剪應(yīng)應(yīng)變變速速率率1.4 1.4 應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量112211221122xxyxzijyzyyzzxzyz在在小變形情況小變形情況下的下的應(yīng)變速率張量應(yīng)變

41、速率張量: :,1()2iji jj iuu,1()2iji jj iVV(1.56)可縮寫為可縮寫為在一般情況下，應(yīng)變速率主在一般情況下，應(yīng)變速率主方向與應(yīng)變主方向不重合，方向與應(yīng)變主方向不重合，且在加載過程中發(fā)生變化。且在加載過程中發(fā)生變化。1.4 1.4 應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量應(yīng)變增量應(yīng)變增量: :,1()2iji jj iddudu應(yīng)變增量應(yīng)變增量由位由位移增量微分得：移增量微分得：由于時間度量的絕對值對塑性規(guī)律沒有影響，因此由于時間度量的絕對值對塑性規(guī)律沒有影響，因此dt可不代可不代表真實時間，而是代表一個加載過程。因而表真實時間，而是代表一個加載過程。因而用應(yīng)變增量張用應(yīng)變增量張

42、量來代替應(yīng)變率張量量來代替應(yīng)變率張量更能表示不受時間參數(shù)選擇的特點。更能表示不受時間參數(shù)選擇的特點。(1.57)應(yīng)變微分應(yīng)變微分由兩由兩時刻應(yīng)變差得：時刻應(yīng)變差得：,()()( )1()( )()( )2ijijijiijjjidtttu ttu tu ttu t 22,22,1()111()2221()()22)ijiijjjiiii jjjjiddudududududududu泰勒級數(shù)展開泰勒級數(shù)展開高階微量高階微量()ijijdd忽略高階微量忽略高階微量1.5 1.5 應(yīng)力和應(yīng)變的應(yīng)力和應(yīng)變的LodeLode參數(shù)參數(shù)一一、應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓（表示一點應(yīng)力狀態(tài)的圖形）（表示一點應(yīng)力狀態(tài)的

43、圖形） : :任一斜面上應(yīng)力任一斜面上應(yīng)力位于陰影線內(nèi)位于陰影線內(nèi)m=Q2A/Q1A=(Q2Q3-Q1Q2)/Q1Q3AO312O3O2O1Q3Q2Q1如果介質(zhì)中某點的三個主應(yīng)如果介質(zhì)中某點的三個主應(yīng)力的大小為已知，便可以在力的大小為已知，便可以在 - - 平面內(nèi)繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓。平面內(nèi)繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓。1.5 1.5 應(yīng)力和應(yīng)變的應(yīng)力和應(yīng)變的LodeLode參數(shù)參數(shù)一一、應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓（表示一點應(yīng)力狀態(tài)的圖形）（表示一點應(yīng)力狀態(tài)的圖形） : :AO312O3O2O1Q3Q2Q12221 12 23 3lll222 23 22 21 12 23 3lll2221231lll2223112

44、13()()()()l223122321()()()()l221233132()()()()l(1.61)223()()0231()()0212()()01231.5 1.5 應(yīng)力和應(yīng)變的應(yīng)力和應(yīng)變的LodeLode參數(shù)參數(shù)一一、應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓（表示一點應(yīng)力狀態(tài)的圖形）（表示一點應(yīng)力狀態(tài)的圖形） : :AO312O3O2O1Q3Q2Q1222232311()()24(1.63)222313111()()24222121211()()24式(1.63)表明，當(dāng)一點處于空間應(yīng)力狀態(tài)時，過該點的任一斜截面上的一對應(yīng)力分量、一定落在分別以(1-2)2、 (2-3)2 、 (3- 1)2為半徑的三

45、個圓的圓周所包圍的陰影面積(包括三個圓周)之內(nèi)。1.5 1.5 應(yīng)力和應(yīng)變的應(yīng)力和應(yīng)變的LodeLode參數(shù)參數(shù)若在一應(yīng)力狀態(tài)上再疊加一個球形應(yīng)力狀態(tài)若在一應(yīng)力狀態(tài)上再疊加一個球形應(yīng)力狀態(tài)(各向等拉或各向等壓各向等拉或各向等壓)，則應(yīng)力，則應(yīng)力圓的三個直徑并不改變，只是整個圖形沿橫軸發(fā)生平移。圓的三個直徑并不改變，只是整個圖形沿橫軸發(fā)生平移。應(yīng)力圓在橫軸上的整體位置取決于球形應(yīng)力張量；而各圓的大小應(yīng)力圓在橫軸上的整體位置取決于球形應(yīng)力張量；而各圓的大小(直徑直徑)則則取決于偏應(yīng)力張量，與球形應(yīng)力張量無關(guān)。取決于偏應(yīng)力張量，與球形應(yīng)力張量無關(guān)。 一點應(yīng)力狀態(tài)中的主應(yīng)力按同一比例縮小或增大一點應(yīng)力

46、狀態(tài)中的主應(yīng)力按同一比例縮小或增大(應(yīng)力分量的大小有改變，但應(yīng)力分量的大小有改變，但應(yīng)力狀態(tài)的形式不變應(yīng)力狀態(tài)的形式不變)，則應(yīng)力圓的三個直徑也按同一比例縮小或增大，即，則應(yīng)力圓的三個直徑也按同一比例縮小或增大，即應(yīng)力變化前后的兩個應(yīng)力圓是相似的。這種情況相當(dāng)于偏量應(yīng)力張量的應(yīng)力變化前后的兩個應(yīng)力圓是相似的。這種情況相當(dāng)于偏量應(yīng)力張量的各分量的大小有了改變，但張量的形式保持不變。各分量的大小有了改變，但張量的形式保持不變。 1.5 1.5 應(yīng)力和應(yīng)變的應(yīng)力和應(yīng)變的LodeLode參數(shù)參數(shù)二、二、應(yīng)力應(yīng)力Lode參數(shù)參數(shù): :幾何意義幾何意義: :應(yīng)力圓上應(yīng)力圓上Q Q2 2A A與與Q Q1

47、1A A之比，或兩內(nèi)圓直徑之比，或兩內(nèi)圓直徑之差與外圓直徑之比。之差與外圓直徑之比。球形應(yīng)力張量對塑性變形沒有明顯影響，因而常球形應(yīng)力張量對塑性變形沒有明顯影響，因而常把這一因素分離出來，而著重研究偏量應(yīng)力張量。把這一因素分離出來，而著重研究偏量應(yīng)力張量。為此，引進參數(shù)為此，引進參數(shù)Lode參數(shù)參數(shù)：132232312131313()()2212m Lode參數(shù)：表征參數(shù)：表征Q2在在Q1與與Q3之間的相對位置，反之間的相對位置，反映中間主應(yīng)力對屈服的貢獻。映中間主應(yīng)力對屈服的貢獻。AO312O3O2O1Q3Q2Q1(1.64)1.5 1.5 應(yīng)力和應(yīng)變的應(yīng)力和應(yīng)變的LodeLode參數(shù)參數(shù)應(yīng)力應(yīng)力Lode參數(shù)的參數(shù)的物理意義物理意義：1、與、與平均應(yīng)力無關(guān)；平均應(yīng)力無