第六節(jié) 二階常系數(shù)齊次線性微分方程

1、二階常系數(shù) 第六節(jié)齊次線性微分方程 基本思路: 求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化 第七章 0)()()(1)1(1)(yxayxayxaynnnn n 階線性齊次微分方程的一般形式為若)(),(),(21xaxaxan都是常數(shù)，即01)1(1)(yayayaynnnn其中，naaa,21都是常系數(shù)，則稱之為n 階常系數(shù)齊次線性微分方程。特別，n = 2 時(shí)，則0 qypy一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法0 yqypy （1） 關(guān)于未知函數(shù) 是線性的； ,yyy和和（2）系數(shù) p、q 是實(shí)常數(shù)。問(wèn)題問(wèn)題1：方程的通解結(jié)構(gòu)是什么

2、？ 結(jié)論結(jié)論 ： 如果 和 是的兩個(gè)特解，1y2y且 常數(shù)，則的通解為： 21yy2211ycycY 其中 與 為任意常數(shù)。1c2c問(wèn)題問(wèn)題2：如何求方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的 解？0 yqypy問(wèn)題問(wèn)題2：如何求方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解？簡(jiǎn)單分析： 如果能找到一個(gè)不恒為零的函數(shù))(xy使得 三者之間僅相差一個(gè)常數(shù)因子， ,yyy和不妨設(shè),yay , yby 代入的左邊得yqyapyb若還能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，使0qapb則這樣的函數(shù) y = y(x)就是方程的解指數(shù)函數(shù) 有這個(gè)特點(diǎn)，我們嘗試一下xrey ,)(yqapb)0( y二階常系數(shù)齊次線性微分方程:),(0為常數(shù)qpyqypy xrey 和它的

3、導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得0)(2xre qprr02qrpr稱為微分方程的特征方程特征方程,1. 當(dāng)042qp時(shí), 有兩個(gè)相異實(shí)根,21r ,r方程有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解為xrxreCeCy2121( r 為待定常數(shù) ),xrer函數(shù)為常數(shù)時(shí)因?yàn)?所以令的解為 則微分其根稱為特征根特征根.2. 當(dāng)),(0為常數(shù)qpyqypy 042qp時(shí), 特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根21rr 則微分方程有一個(gè)特解)(12xuyy 設(shè)另一特解( u (x) 待定)代入方程1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x ,

4、 則得,12xrexy 因此原方程的通解為xrexCCy1)(21,2p.11xrey )(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru11221211 (e ( ) e ( 2)r xr xyuruyurur u其中，3. 當(dāng)042qp時(shí), 特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根irir21,這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解為)sincos(21xCxCeyx ecossinii歐拉公式：小結(jié)

5、小結(jié):),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 實(shí)根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .若特征方程含 k 重復(fù)根,ir若特征方程含 k 重實(shí)根 r , 則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)xrkkexCxCC)(121xxCxCCekkxcos)( 121sin)(121xxDxDDkk則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng))(01) 1(1)(均為常數(shù)knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均為任意常數(shù)以上iiDC推廣推廣:例

6、例1.032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解為xxeCeCy321例例2. 求解初值問(wèn)題0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解為tetCCs)(21利用初始條件得, 41C于是所求初值問(wèn)題的解為tets)24(22C例例3：設(shè))cossin(21xCxCeyx 解：根據(jù)通解結(jié)構(gòu)，可知對(duì)應(yīng)的特征方程有一對(duì)復(fù)根：, 0)1 ()1 (irir為某二階常系數(shù)齊次,11ir因此特征方程為：,0222 rr所求方程為：.022 yyy線性微分方程的通解，求其微分方程。

7、,12ir. 3e ,2e,4.xx都是它的解e1使方程微求作一個(gè)二階x，分常系數(shù)線性例1, 021rrex特征方程的特征根為對(duì)應(yīng)于是兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解；，解： 102rr其特征方程為：0 yy線性微分方程為所以對(duì)應(yīng)的二階常系數(shù)例例5.052)4( yyy求方程的通解. 解解: 特征方程, 052234rrr特征根:irrr21, 04,321因此原方程通解為xCCy21)2sin2cos(43xCxCex例例6.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxeC5(不難看出, 原方程有特解), 132x

8、exxx例例7.02)4( yyy解方程解解: 特征方程:01224rr0)1(22r即特征根為i,2,1ri4,3r則方程通解 :xxCCycos)(31xxCCsin)(42內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)),(0為常數(shù)qpyqypy 特征根:21, rr(1) 當(dāng)時(shí), 通解為xrxreCeCy212121rr (2) 當(dāng)時(shí), 通解為xrexCCy1)(2121rr (3) 當(dāng)時(shí), 通解為)sincos(21xCxCeyxir2, 1可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 .思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1.求方程0 yay的通解 .答案答案:0a通解為xCCy21:0a通解為xaCxaCysincos21:0a通解為xaxaCCyee21第八節(jié) 解答, 0 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令yzln 則, 0 zz特征根特征根1 通解xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 2.求微分方程 的通解. yyyyyln22 備用題備用題,2cos,2,321xyexyeyxx求一個(gè)以xy2sin34為特解的 4 階常系數(shù)線