案例4 局部腦血流量的測(cè)定

1、第二講第二講 局部腦血流量的測(cè)定局部腦血流量的測(cè)定問(wèn)題提出問(wèn)題提出一、分析分析 建模目的：確定腦血流系數(shù)的數(shù)學(xué)模型，并計(jì)算上述受試者的腦血流系數(shù) 實(shí)驗(yàn)表明，腦中放射性同位素增加的速率與當(dāng)時(shí)呼出氣的記數(shù)率成正比；而腦中放射性同位素下降的速率與當(dāng)時(shí)腦局部的記數(shù)率成正比；其比例系數(shù)即為腦血流量系數(shù)-待求量。 某些假定建立一個(gè)比較簡(jiǎn)單的微分方程模型，我們先用一般差分公式離散微分方程，用最小二乘法擬合待求的腦血流量系數(shù)，并通過(guò)對(duì)測(cè)驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行三次樣條插值以減小離散化過(guò)程的截?cái)嗾`差。 二、假設(shè)二、假設(shè) 與記號(hào)與記號(hào)1. 腦部記數(shù)率上升只與腦部的放射性同位素有關(guān)， 上升速率與呼出氣的記數(shù)率成正比 。2. 腦部記

2、數(shù)率下降只與該處腦血流有關(guān)，其下降速率正比于腦記數(shù)率。這里忽略了放射性元素的衰變和其他因素。3. 腦血流量在測(cè)量期間恒定。心臟搏動(dòng)、被測(cè)試者大腦活動(dòng)、情感波動(dòng)等帶來(lái)的變化可忽略。 4. 每次儀器測(cè)量為相互獨(dú)立事件，各測(cè)量值無(wú)記憶關(guān)聯(lián)。 5. 放射性同位素在人體內(nèi)傳遞從吸入氣體(含有放射物)開(kāi)始，假定一次吸入，則認(rèn)為瞬時(shí)在肺中達(dá)到最大濃度。 6. 吸入氣體瞬時(shí)，腦中放射性記數(shù)率為零。 7. 腦血流量與腦血流系數(shù)成單值函數(shù)關(guān)系，求得后者，即可確定前者。 記號(hào)記號(hào):)(th頭部記數(shù)率:)( tp呼出氣體記數(shù)率 :半衰期 :腦血流系數(shù) :呼出氣記數(shù)率系數(shù) 三、數(shù)學(xué)模型建立 微元分析法,:tttt,:h

3、hhhh僅與三個(gè)因素有關(guān) 1)肺動(dòng)脈血將肺部的放射性同位素送到大腦，使腦部記數(shù)率增加 h12)腦血流將同位素帶離，腦記數(shù)率下降 h23)放射性元素自身有衰減，由此引起的記數(shù)率下降為 h3 由醫(yī)學(xué)實(shí)驗(yàn)和假設(shè)有)(, )(21thdtdhtpdtdh以及 tOtthht22ln21)(3 或 )(2ln3thdtdh其中l(wèi)n2相當(dāng)于衰變常數(shù) 所以考慮時(shí)刻內(nèi)頭部放射性元素記數(shù)率變化，有 )()()()(321ththththdhdtdhdtdhdtdhdt123dhdthph ln 2在測(cè)試時(shí)放射性同位素的半衰期一般很大 )()()(tpthdttdh四、模型求解 1.算法的建立和改進(jìn) 在建立算法前

4、對(duì) )(tp作了預(yù)測(cè)，由最小二乘擬合得到 ttp4807.11648.9)(ln)(tp可以認(rèn)為是負(fù)指數(shù)曲線 ttAep0)0(h由解得hAeett此式由于形式復(fù)雜，不能利用最小二乘擬合 算法1 將式模型離散化，記時(shí)間間隔為T(mén)，利用前插公式得 hhThpnnnn 1hT hTpnnn11 算法2 從線性控制系統(tǒng)的角度來(lái)考察模型并運(yùn)用控制理論 中的一些工具幫助求解 對(duì)模型作拉普拉斯變換得)()()0()(spshhssh該系統(tǒng)的傳遞函數(shù) sspshsG)()()() (t p)(th)(th圖1S )(sp)(sh圖2結(jié)構(gòu)框圖 )( sP對(duì)進(jìn)行采樣，采樣周期為T(mén) 由于采樣得到是脈沖量，所以需要加

5、入一個(gè)保持器。若使用零階保持器 sesHTs1)(1整個(gè)系統(tǒng)的廣義傳遞函數(shù) SsesGTs1)(1)(sp保持器S)(sh圖3)(1sH)(1sG對(duì)作Z變換TTezezPzhzGsGZ1)()()()(11)()1 ()(zpehezzhTzT 得到采用零階保持器離散化差分方程為 hehepnTnTn11()hThT pnnn11恰好是用一階差分方法，離散微分方程后結(jié)果 注：)(1TOTeT一個(gè)含有T的所有高次項(xiàng)的高精度模型 保持器 222)1()(TseesHTsTshehTeTpTT eepnTnTnTTn 121211()() 2)用最小二乘法實(shí)現(xiàn)模型參數(shù)估計(jì) 含有T的所有高次項(xiàng)的高精度

6、模型，多個(gè)時(shí)刻的方程寫(xiě)成 kkkkeypxhh1)1(,TTeyex估計(jì)yx欲使殘差平方和 Je eHHTT() ()minJ 0TTH1的估計(jì)值 五、測(cè)試和結(jié)論五、測(cè)試和結(jié)論算法 結(jié)果 算法測(cè)試 設(shè)定值 擬合值 直接前差分Z一變換法(零階保持器) Z一變換法(三角保持器) 1.00001.00001.00001.00001.00000.8848結(jié)果 0.4700 0.5000 0.5001六、模型的優(yōu)缺點(diǎn)六、模型的優(yōu)缺點(diǎn) 上述的模型及算法是穩(wěn)定的，遞推得到的值也能夠快速收斂，采用遞推算法，減少了運(yùn)算規(guī)模，加快了運(yùn)算速度；使用樣條扦值在一定程度上減小了截?cái)嗾`差。更主要的是自控概念的引入和Z-變