用差分法和變分法解平面問題

1、土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱12022-5-28第五章第五章 用差分法和變分法解用差分法和變分法解平面問題平面問題土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱22022-5-28主要內(nèi)容主要內(nèi)容土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱32022-5-28 彈性力學(xué)的經(jīng)典解法存在一定的局限性，當(dāng)彈性體的邊界條件和受力情況復(fù)雜一點(diǎn)，往往無法求得偏微分方程的邊值問題的解析解。因此，各種數(shù)值解法便具有重要的實(shí)際意義。工程中常用的數(shù)值解法： 有限差分法和有限單元法。土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱42022-5-28有限單元法 是以有限個(gè)單元的集合體來代替連續(xù)彈性體，利用變分原理中的虛功方程建立相應(yīng)的求解代數(shù)方程組。 這種近似方法屬于物理上的

2、近似。土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱52022-5-28 差分法是沿用已久的一種數(shù)值解法。隨著計(jì)算機(jī)的普及和相應(yīng)的軟件發(fā)展，此法成為解彈性力學(xué)問題的一種有效的方法。土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱62022-5-285.1 差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)0 xy0312456789101112A1314Bhh,ff x yxxf22000200343400340012!113!4!ffffxxxxxxffxxxxxx土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱72022-5-285.1 差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)0,0 x h0,0 x hh22333023000223310230002626fhfhfffhxxxfhf

3、hfffhxxx2230200221020022fhfffhxxfhfffhxx0fx220fx22000200343400340012!113!4!ffffxxxxxxffxxxxxx土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱82022-5-285.1 差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)0fx220fx130213022022fffxhffffxhy240224022022fffyhffffyh土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱92022-5-285.1 差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo) 75862875631002412222ffffhhhffhffhyfyfyfxyxf1302fffxh2402fffyh土木工程與力學(xué)學(xué)

4、院 蔣一萱102022-5-285.1 差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo) 12104204044876543210402241193104044461241461fffffhyffffffffffhyxffffffhxf課課 堂堂 練練 習(xí)！習(xí)！土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱112022-5-285.1 差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)fxy土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱122022-5-285.1 差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)130(51)2fffxh21302202(52)ffffxh240224020(53)22(54)2fffyhffffyh226857040139114404012345678224

5、0402410124401() ()(5 5)4164() ()(5 6)142() ()(5 7)164() ()(5 8)fffffx yhffffffxhffffffffffx yhffffffyh 注意：用周圍點(diǎn)的函數(shù)表示0點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)，有規(guī)律可循。土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱132022-5-285.2 應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解 當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，我們已把彈性力學(xué)平面問題歸結(jié)為在給定邊界條件下求解雙調(diào)和方程的問題。用差分法解平面問題，就應(yīng)先將雙調(diào)和方程變換為差分方程，而后求解之。土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱142022-5-285.2 應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解;22222yxx

6、yxyyxyx,04yxxyxyyx22222;求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù) ，使其滿足相容方程：同時(shí)要滿足用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力邊界條件;YlmXmlSxySySxySx求出應(yīng)力函數(shù)后，可以利用應(yīng)力分量和應(yīng)力函數(shù)之間的關(guān)系求出相應(yīng)的應(yīng)力分量。土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱152022-5-285.2 應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解1 1、應(yīng)力分量（不計(jì)體力、應(yīng)力分量（不計(jì)體力） 一旦求得彈性體全部節(jié)點(diǎn)的一旦求得彈性體全部節(jié)點(diǎn)的 值后，就可按應(yīng)力分量差分公式（對值后，就可按應(yīng)力分量差分公式（對節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)0 0）算得彈性體各節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。）算得彈性體各節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。0 xy0312456789101112A1314B

7、hh2240220021302200257682001()21()21()()4xyxyyhxhx yh 如果知道各結(jié)點(diǎn)的如果知道各結(jié)點(diǎn)的 值，就可以求得各結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力分量。值，就可以求得各結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力分量。土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱162022-5-285.2 應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解雙調(diào)和方程雙調(diào)和方程 對于彈性體邊界以內(nèi)的每一結(jié)點(diǎn)，都可以建立這樣一個(gè)差分方程。對于彈性體邊界以內(nèi)的每一結(jié)點(diǎn)，都可以建立這樣一個(gè)差分方程。 應(yīng)力函數(shù)在域內(nèi)應(yīng)該滿足上式。應(yīng)力函數(shù)在域內(nèi)應(yīng)該滿足上式。444422420 xxyy整理即得整理即得2 2、差分方程（相容方程）、差分方程（相容方程）相容方程的差分公式

8、相容方程的差分公式0 xy0312456789101112A1314Bhh0123456789101112208() 2() () 0 土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱172022-5-285.2 應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解 聯(lián)立求解這些線性代數(shù)方程，就能求得各內(nèi)結(jié)點(diǎn)處的數(shù)值。聯(lián)立求解這些線性代數(shù)方程，就能求得各內(nèi)結(jié)點(diǎn)處的數(shù)值。 為了求得邊界上各結(jié)點(diǎn)處的為了求得邊界上各結(jié)點(diǎn)處的值，須要應(yīng)用應(yīng)力邊界條件，即：值，須要應(yīng)用應(yīng)力邊界條件，即： 一般建立和求解差分方程，在數(shù)學(xué)上不會(huì)遇到很大困難。但是，當(dāng)一般建立和求解差分方程，在數(shù)學(xué)上不會(huì)遇到很大困難。但是，當(dāng)對于邊界內(nèi)一行的（距邊界為對于邊界內(nèi)一行的

9、（距邊界為h h的）結(jié)點(diǎn)，建立的差分方程還將涉及邊的）結(jié)點(diǎn)，建立的差分方程還將涉及邊界上各結(jié)點(diǎn)處的界上各結(jié)點(diǎn)處的值，并包含邊界外一行的虛結(jié)點(diǎn)處的值，并包含邊界外一行的虛結(jié)點(diǎn)處的值。值。xyxxxyyylmflmf3 3、邊界條件、邊界條件 在 上s代入上式，即得： 222222;xylmflmfyx yx yx （b）22222,xyxyyxx y （a）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱182022-5-285.2 應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解由圖（由圖（52）可見）可見cos,coscos,sindyln xdsdxmn yds AB0 xBySyxydxdydsnyfxfBx圖5-2因此，式

10、（因此，式（b）可以改寫成）可以改寫成222222ddddddddxyyxfsysx yyxfsx ysx 222222;xylmflmfyx yx yx （b）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱192022-5-285.2 應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解約去約去 dydy、dxdx 得：得： xyddffdsydsx ； （c）關(guān)于邊界上任一點(diǎn)處關(guān)于邊界上任一點(diǎn)處 、 的值，可將上式從基點(diǎn)的值，可將上式從基點(diǎn) A A 到到 任意點(diǎn)任意點(diǎn)B B ，對對 s s 積分得到：積分得到：xyddBBBBxyAAAAfsfsyx；ddBBxyAABABAfsfsyyxx ； （d）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱

11、202022-5-285.2 應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解由高等數(shù)學(xué)可知，ddd.dddxysxsys 將此式亦從 A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)沿 s 進(jìn)行積分，就得到邊界上任一點(diǎn) B 處的 值。為此利用分部積分法，得： dddd ,ddBBBBBAAAAAxxsyysxsxysy bbbaaau x dv xu x v xv x du xAB0 xBySyxydxdydsnyfxfBx圖5-2土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱212022-5-285.2 應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解xyddffdsydsx ； （c）將式(c),(d)代入，整理得：ddBBxyAABABAfsfsyyxx ； （d）

12、dddd ,ddBBBBBAAAAAxxsyysxsxysy()()() d() dBBBABABABxByAAAAxxyyyy f sx x f sxy （e）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱222022-5-285.2 應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解由前知，把應(yīng)力函數(shù)加上一個(gè)線性函數(shù)，并不影響應(yīng)力。因此，可設(shè)想把應(yīng)力函數(shù)加上a+bx+cy，然后調(diào)整a，b，c三個(gè)數(shù)值，使得由式(d)及式(c)可見，設(shè) 已知，則可根據(jù)面力分量求得邊界s上任一點(diǎn)B的 ,.BBBxy,AAAxy0A0,0AAxy()()() d() dBBBABABABxByAAAAxxyyyy f sx x f sxy （e）土木

13、工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱232022-5-285.2 應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解于是式(d)，式(e) 簡化為：dd()d()dBxABByABBBBBBxyAAfsyfsxyy fsxxfs （511）（512）（513） 討論：（1）（511）右邊積分式表示AB之間， 方向的面力之和；x（2）（512）右邊積分式表示AB之間， 方向的面力之和改號；y（3）（513）右邊積分式表示AB之間， 面力對B的力矩之和；y（4）以上結(jié)果不能用于多連體的情況。土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱242022-5-285.2 應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解 至此，我們解決了怎樣計(jì)算邊界上各結(jié)點(diǎn)邊界外一行的虛

14、節(jié)點(diǎn)的 值139141022ABhxhy（514）0 xy0312456789101112A1314Bhh1392Axh14102Byh土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱252022-5-285.2 應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解用差分法解彈性平面問題時(shí)，可按下列步驟進(jìn)行：（2）應(yīng)用公式（514），將邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)處的 值用邊界內(nèi)的相 應(yīng)結(jié)點(diǎn)處的 值來表示。0AAAxy取 （1）在邊界上任意選定一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為基點(diǎn)A，然后由面力的矩及面力之和算出邊界上所有各結(jié)點(diǎn)處 的值，以及所必需的一些 及 值，即垂直于邊界方向的導(dǎo)數(shù)值。xy139141022ABhxhy（514）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱26202

15、2-5-28（3）對邊界內(nèi)的各結(jié)點(diǎn)建立差分方程（510），聯(lián)立求解這些結(jié)點(diǎn)處的 值。5.2 應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解用差分法解彈性平面問題時(shí)，可按下列步驟進(jìn)行（續(xù)）：0123456789101112208() 2() () 0 （4）按照公式（514），算出邊界外一行的各虛結(jié)點(diǎn)處的 值。139141022yABhxh（514）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱272022-5-285.2 應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解（5 5）按照公式（）按照公式（5 59 9）計(jì)算應(yīng)力的分量。）計(jì)算應(yīng)力的分量。 說明：說明： 如果一部分邊界是曲線的，或是不與坐標(biāo)軸正交，則如果一部分邊界是曲線的，或是不與坐

16、標(biāo)軸正交，則邊界附近將出現(xiàn)不規(guī)則的內(nèi)結(jié)點(diǎn)。對于這樣的結(jié)點(diǎn)，差分邊界附近將出現(xiàn)不規(guī)則的內(nèi)結(jié)點(diǎn)。對于這樣的結(jié)點(diǎn)，差分方程（方程（5 51010）必須加以修正。）必須加以修正。用差分法解彈性平面問題時(shí)，可按下列步驟進(jìn)行（續(xù)）：2240220021302200257682001()21()21()()4xyxyyhxhx yh 土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱282022-5-285.2 應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解222)(! 21)(BBBBBxxxxxxh;)1 (21)1 (22229BBBxhxh;2122221BBBxhxh;)1 (21)1 (22220BBBxhxh;)1 (1121;)

17、1 ()1 (1)1 (2140222102229BBBBxhxh土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱292022-5-285.3 應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例 現(xiàn)以如圖所示的混凝土深梁為例，應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)的差分解求出應(yīng)力分量。已知混凝土深梁上邊受有均布向下的鉛直荷載q，并由下角點(diǎn)處的反力維持平衡。土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱302022-5-285.3 應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例(1）計(jì)算邊界上各結(jié)點(diǎn)的 、 和 值。取A為基點(diǎn)，且xy0AAAyx由上面公式所得的計(jì)算結(jié)果見下表。土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱312022-5-285.3 應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例1521

18、14201319318217116,215,12, 9 , 6, 326,25,24,23,226qh（2）計(jì)算邊界外一行各虛結(jié)點(diǎn)處的值。上下兩邊0y139141022yABhxh（514）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱322022-5-285.3 應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例(3）邊界內(nèi)各結(jié)點(diǎn)的差分方程,由式（5-10）可知215141312119151413121110815141311107215141211109861514131211109875141312111087421512119876531412111098765421311109875412129865432219

19、876543212108765421296532128654321275432162288208228282021621486822188202828218282048282048682218820282821828204821620485 . 38221882428282182825 . 44821620481882228182828228204821621qhqhqhqhqhqhqhqhqh0123456789101112208() 2() () 0 土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱332022-5-285.3 應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例聯(lián)立求解上式，可得（以qh2為單位 )88.

20、 0,94. 0,92. 0,63. 1,13. 223. 2,10. 2,03. 3,29. 3,35. 259. 3,98. 3,47. 2,89. 3,36. 415141312111098765432188. 0,94. 0,92. 0,47. 2,89. 3,36. 421201918171612. 5,37. 4,90. 3,65. 3,53. 32625242322 （4）計(jì)算結(jié)點(diǎn)外一行各結(jié)點(diǎn)處的值。由前兩式（5）計(jì)算應(yīng)力。對于結(jié)點(diǎn)MqhMMx28. 0211612152114201319318217116,215,12, 9 , 6, 326,25,24,23,226qh土木工

21、程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱342022-5-285.3 應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例同理可得 qqqqqAx84. 1 ,39. 0 ,25. 0,37. 0,31. 0,24. 0,13,10,7 , 4, 1沿著梁的中線MA，的變化如下圖和右圖所示。 土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱352022-5-285.4 彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能 真實(shí)的位移除了滿足位移邊界條件外，根據(jù)它們求得的應(yīng)力還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件和平衡微分方程。求解微分方程的邊值問題，只有在簡單的情況下，才能得到解析解。多數(shù)情況下，只能采用數(shù)值計(jì)算的方法。 基于能量原理的變分法為數(shù)值計(jì)算提供了理論基

22、礎(chǔ)。其中基于最小勢能原理的里滋方法等可用于數(shù)值計(jì)算。土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱362022-5-285.4 彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱372022-5-285.4 彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能 設(shè)彈性體在一定外力作用下，處于平衡狀態(tài)，發(fā)生的真實(shí)位移設(shè)彈性體在一定外力作用下，處于平衡狀態(tài)，發(fā)生的真實(shí)位移為為u,v,wu,v,w，它們滿足位移分量表示的平衡方程，并滿足位移邊界條，它們滿足位移分量表示的平衡方程，并滿足位移邊界條件和用位移表示的應(yīng)力邊界條件。彈性體受力后，發(fā)生變形，外力件和用位移表示的應(yīng)力邊界條件。彈性體受力

23、后，發(fā)生變形，外力作功，外力功轉(zhuǎn)化為形變勢能，儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)，單元體內(nèi)的全部作功，外力功轉(zhuǎn)化為形變勢能，儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)，單元體內(nèi)的全部形變勢能密度為形變勢能密度為1()12xxyyzzyzyzzxzxxyxyU 101d2ijijijijijU 11d d dd dd2ijijUU x y zxyz 22xyxyxx或土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱382022-5-285.4 彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能112xxyyxyxyU 112xxyyxyxyAAUU dxdydxdy 22112 1xxyyyxxyxyEEE222121222 1xyxyxyEU ,xyxy111

24、,xyxyxyxyUUU（515） 彈性體每單位體積中的形變勢能對于任一形變分量的改變率，彈性體每單位體積中的形變勢能對于任一形變分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱392022-5-285.4 彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能222121222 1EuvuvvuUxyxyxy 21EE1平面應(yīng)力 平面應(yīng)變222212221AEuvu vvuUdxdyxyx yxy （516）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱402022-5-285.4 彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱412022-5-

25、285.4 彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能,xyffs,xyffxyxyAsVWf uf v dxdyf uf v ds （518）xyxyAswf uf v dxdyf uf v ds（517）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱422022-5-285.5 位移變分方程位移變分方程 設(shè)有任一彈性體，在一定外力作用下處于平衡狀態(tài)。命設(shè)有任一彈性體，在一定外力作用下處于平衡狀態(tài)。命 為該彈性體中實(shí)際存在的位移分量，它們滿足位移分量表示的平衡微分為該彈性體中實(shí)際存在的位移分量，它們滿足位移分量表示的平衡微分方程，并滿足位移邊界條件及用位移分量表示的應(yīng)力邊界條件。方程，并滿足位移邊界條

26、件及用位移分量表示的應(yīng)力邊界條件。, ,u v w 假想，位移分量發(fā)生了位移邊界條件所容許的微小改變，即假想，位移分量發(fā)生了位移邊界條件所容許的微小改變，即虛位移虛位移，或或位移變分位移變分, uv,uuuvvv對于三維時(shí)：對于三維時(shí)：,uuuuuuwww注：變分和微分都是微量，運(yùn)算方法相同。注：變分和微分都是微量，運(yùn)算方法相同。一、位移變分方程（拉格朗日變分方程）一、位移變分方程（拉格朗日變分方程）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱432022-5-28xyxyAsWfufv dxdyfufv dsxyxyAsVfufv dxdyfufv ds WU5.5 位移變分方程位移變分方程外力虛功外力虛功外

27、力勢能外力勢能土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱442022-5-285.5 位移變分方程位移變分方程給出彈性體的限制條件：給出彈性體的限制條件：（1）沒有溫度改變（熱能沒變）；（2）沒有速度改變（動(dòng)能沒變）。根據(jù)能量守恒，變形勢能的增加等于外力勢能的減少（外力的虛功）三維：xyzxyzUfufvfw dxdydzfufvfw ds上式：位移變分方程（拉格朗日變分方程）位移變分方程（拉格朗日變分方程）表示：表示：在實(shí)際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變分時(shí)，所引起的形變勢能的變分，等于在實(shí)際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變分時(shí)，所引起的形變勢能的變分，等于外力功的變分。外力功的變分。xyxyAsUfufv dxdyfufv d

28、s體力的虛功面力的虛功（522）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱452022-5-285.5 位移變分方程位移變分方程二、推論二、推論-虛功方程虛功方程按照變分原理，變分運(yùn)算與定積分的運(yùn)算可以交換次序。11UU dxdydzU dxdydz利用（515）111111xyzyzzxxyxyzyzzxxyxxyyzzyzyzzxzxxyxyUUUUUUUdxdydzdxdydz 代入位移變分方程xyzxyzxxyyzzyzyzzxzxxyxyfufvfw dxdydzfufvfw dsdxdydz （524）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱462022-5-285.5 位移變分方程位移變分方程對應(yīng)于二維情況s

29、xyxyAxxyyxyxyAf uf v dxdyf uf v dsdxdy （524） （524）就是虛功方程虛功方程，表示：如果在虛位移發(fā)生前，彈性體是處于平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)，那么，在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛功虛功，等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功虛功。土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱472022-5-285.5 位移變分方程位移變分方程三、推論三、推論-極小勢能原理極小勢能原理令在虛位移過程中，外力的大小和方向保持不變，只是作用點(diǎn)發(fā)生了改變xyzxyzxyzxyzUfufvfw dxdydzfufvfw dsf uf vf w dxdydzf uf vwfds將變分與定積分交換次序，移項(xiàng)

30、0 xyzxyzUf uf vf w dxdydzf uf vf w ds令xyzxyzVf uf vf w dxdydzf uf vf w ds 極小勢能原理極小勢能原理： （523） 0UV在給定外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態(tài)中，實(shí)際存在的在給定外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態(tài)中，實(shí)際存在的一組位移應(yīng)使總勢能成為極值。對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這個(gè)極值是極小值一組位移應(yīng)使總勢能成為極值。對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這個(gè)極值是極小值土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱482022-5-285.5 位移變分方程位移變分方程最小勢能原理的意義 彈性體在外力的作用下，發(fā)生位移，產(chǎn)生變形。位移

31、可以是各種各樣的，但必須滿足位移的邊界條件。滿足位移邊界條件的位移稱為容許位移，容許位移也有無窮多組，其中只有一組是真實(shí)的，真實(shí)位移除了滿足位移邊界條件外，根據(jù)它們求得的應(yīng)力還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件和平衡微分方程。土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱492022-5-285.5 位移變分方程位移變分方程 土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱502022-5-285.5 位移變分方程位移變分方程 例如在兩端固定的柔索，可以有各種形狀，但只有一種是真實(shí)的，這一種使得柔索的總勢能為最小。最小勢能原理的簡單例子最小勢能原理的簡單例子 再以最簡單的軸向受壓的桿件為例，總勢能包括外力勢能和彈性體的變形勢能，這兩個(gè)勢能都以桿件頂部

32、的位移為參數(shù)，隨位移增大，彈性體的應(yīng)變能增大，而外力勢能減小，其變化曲線如圖所示：FuVCuU221其中C為桿的剛度。F土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱512022-5-285.5 位移變分方程位移變分方程外力勢能隨位移成直線下降，彈性體勢能成拋物線上升，總勢能為開始，總勢能呈下降趨勢，到達(dá)某一位置，總勢能為最小，過了這一點(diǎn)，彈性體的勢能的增加超過了外力勢能的減少，總勢能又開始增加。在總勢能最小點(diǎn)，彈性體在該外力作用下達(dá)到平衡。這時(shí)的位移是真實(shí)的位移。FuCuVU221F土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱522022-5-285.6 位移變分法位移變分法位移變分法：位移變分法：（1）設(shè)定一組包含若干待定系數(shù)

33、的位移分量表達(dá)式；）設(shè)定一組包含若干待定系數(shù)的位移分量表達(dá)式；（2）使它們滿足位移邊界條件；）使它們滿足位移邊界條件；（3）令其滿足位移變分方程（代替平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件）并求）令其滿足位移變分方程（代替平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件）并求 出待定系數(shù)，就同樣地能得出實(shí)際位移解答。出待定系數(shù)，就同樣地能得出實(shí)際位移解答。（1）位移分量表達(dá)式）位移分量表達(dá)式00,m mm mmmuuA uvvB v（525）其中：其中： 和和 是坐標(biāo)的函數(shù)，是坐標(biāo)的函數(shù)， 為為2m個(gè)互不依賴的待定系數(shù)個(gè)互不依賴的待定系數(shù)。00,u v,mmuv,mmAB土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱532022-5-285.6

34、位移變分法位移變分法（2）考察是否滿足邊界條件？令 等于給定約束位移值 ；us,u vus在邊界 上，令 等于零。,mmuv邊界條件滿足邊界條件滿足（3）怎樣滿足變分方程（522）？xyxyAsUfufv dxdyfufv ds體力的虛功面力的虛功（522）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱542022-5-285.6 位移變分法位移變分法注：位移分量的變分是由系數(shù) 的變分來實(shí)現(xiàn)的。,mmAB位移分量的變分,mmmmmmuuAvvB（a）形變勢能的變分mmmmmUUUABAB（b）（a），（b）代入變分方程（522）mmmmmxmmymmxmmymmAsmmUUABABf uAf vBdxdyf uA

35、f vBdsxyxyAsUfufv dxdyfufv ds體力的虛功面力的虛功（522）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱552022-5-285.6 位移變分法位移變分法移項(xiàng)，整理0 xmxmmymymmAsAsmmmmUUf u dxdyf u dsAf v dxdyf v dsBAB變分 是任意的，互不依賴的，所以系數(shù)必須為零,mmAB00 xmxmAsmymymAsmUf u dxdyf u dsAUf v dxdyf v dsB（526）mmBA ,土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱562022-5-28例1：如圖（59）所示薄板，不計(jì)體力， 約束和外力如圖。圖：591 111 11uAuAxvBv

36、B y（1）取位移分量表達(dá)式如下（2）考察是否滿足邊界條件？滿足22221222 1AEuvu vvuUdxdyxyxyxy （516）（3）由（526）求出待定常數(shù)，得到位移分量的解答首先，由（516）求出形變勢能（b）5.7 位移變分法的例題位移變分法的例題00 xmxmAsmymymAsmUf u dxdyf u dsAUf v dxdyf v dsB（526）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱572022-5-285.7 位移變分法的例題位移變分法的例題形變勢能的表達(dá)式22111120022 1abEUABAB dxdy 進(jìn)行積分221111222 1EabUABAB由于不計(jì)體力，項(xiàng)數(shù)為1，（

37、526）簡化為（c）1111xsysUf u dsAUf v dsB（d）（e）代入邊界條件積分（d），（e）式就變?yōu)?211,UUq abq abAB （f）11,xfq uxa dsdy 1110()bxsf u dsq adyq ab 土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱582022-5-285.7 位移變分法的例題位移變分法的例題再把形變勢能（c）代入上式11121122222 1222 1EabABq abEabBAq ab 解得11,A B122111,qqqqABEE （g）位移分量的解答1221,qqqquxvyEE （h）（4）由幾何方程求出應(yīng)變分量；（5）由物理方程求出應(yīng)力分量；22

38、1111222 1EabUABAB1211,UUq abq abAB 土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱592022-5-285.7 位移變分法的例題位移變分法的例題例2xy0aabb圖510問題描述：如圖510，不計(jì)體力，自由邊 給定位移：求：薄板位移（1）取位移分量表達(dá)式如下220,1xuva （i）2122212211111xx yyuAaa bbxyxyyvBababb （j）（k）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱602022-5-285.7 位移變分法的例題位移變分法的例題（2）考察是否滿足邊界條件？（3）由（526）求出待定常數(shù)，得到位移分量的解答 02200,0,0,0,0,1,xayy bxayy buuuxvvva 滿足滿足注：對稱性也滿足。由于不計(jì)體力，也沒有面力，式（526）簡化為110,0UUAB（l）00 xmxmAsmymymAsmUf u dxdyf u dsAUf v dxdyf v dsB（526）土木工程與力學(xué)學(xué)院 蔣一萱612022-5-285.7 位移變分法的例題位移變分法的例題22221222 1AE