數(shù)值分析-插值

1、第四章第四章 插值法插值法一、問題的提出一、問題的提出 在實(shí)踐中常出現(xiàn)這樣的問題，由實(shí)驗(yàn)或測(cè)量得到一組數(shù)據(jù)，即nnyyyyxxxx1010要求出其近似的函數(shù)表達(dá)式，也就是尋找一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù) ，使)(xp)2 , 1 , 0)(niyxpii （，這類問題稱為插值法。二、基本概念二、基本概念)(xp設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上有定義，且已知在點(diǎn)上的值為 ，若存在一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù) 使bxxxan10nyyy10,) 1 . 1 (), 1 , 0()(njyxpjj成立，則稱 為 的插值函數(shù)，點(diǎn) 稱為插值節(jié)點(diǎn)，區(qū)間a,b稱為插值區(qū)間，求 的方法稱為插值法，條件（1.1）稱為插值條件。)(xp)(x

2、fnxxxx210,)(xp圖圖1.1 顯然插值函數(shù)可以很多，其中最簡(jiǎn)單的是代數(shù)多項(xiàng)式，這種插值函數(shù)叫做插值多項(xiàng)式。于是問題變成：求一個(gè)多項(xiàng)式nnxaxaaxp110)()2 , 1 , 0()(niyxpii使nnyyyyxxxx1010已知這樣的插值函數(shù)存在唯一性ox0 x1Xn-1xnxyy=p(x)y=f(x)iiyxp)(可寫成nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010由線性代數(shù)的知識(shí)知道系數(shù)行列式0方程有唯一解nnnnnnxxxxxxxxx212110200111nnnnnnxxxxxxxxx2121102001110)(0nijjixx又由范德

3、蒙行列式可知 滿足條件（1.1）的多項(xiàng)式是存在且唯一的。拉格朗日插值多項(xiàng)式拉格朗日插值多項(xiàng)式1.1010yyyxxx11100010yxaayxaa)()(0010101xxxxyyyxN101001011)(yxxxxyxxxxxL)(00010 xxxxyyyy點(diǎn)斜式：10100101yxxxxyxxxxy對(duì)稱式：1010)(xxxxxl0101)(xxxxxl令令11001)()()(yxlyxlxL2.210210yyyyxxxx2211002)()()()(yxlyxlyxlxL3.nnyyyyxxxx1010nnnyxlyxlyxlxL)()()()(1100其中)()()()()

4、()()(110110niiiiiiniiixxxxxxxxxxxxxxxxxl例例解：解：已知21sin604530 xx例1：已知特殊角 的正弦函數(shù)值為 用一次插值， 二次插值多項(xiàng)式近似sinx，并用此近似式求sin500的值。60,45,3023,22,2160,45,302. 為節(jié)點(diǎn)： 60,45)23(456045)22(604560)(1xxxL76008. 0)50(1L)22(304530)21(453045)(1xxxL776. 0)50(1L一次插值 45,30為節(jié)點(diǎn)：1.3. 60,30為節(jié)點(diǎn)：)23(306030)21(603060)(1xxxL7440226. 0)5

5、0(1L二次插值 為節(jié)點(diǎn)：60,45,30)23()4560)(3060()45)(30()22()6045)(3045()60)(30()21()6030)(4530()60)(45()(2xxxxxxxL7543. 0)50(2L考慮誤差：已知sin500=0.7660401010. 0| )50(50sin|1L00061. 0| )50(50sin|2L00596. 0| )50(50sin|1L02202. 0| )50(50sin|1L由此可見： 1.高次插值比低次插值誤差小。 2.內(nèi)插比外推誤差小。 3.節(jié)點(diǎn)之間距離越小，誤差越小。討論誤差：討論誤差：設(shè) 在a,b上連續(xù)， 在（a

6、,b)內(nèi)存在，節(jié)點(diǎn))()(xfn)()1(xfnbxxan0)(xLn是滿足插值條件), 1 , 0( ,)(njyxLjjn的插值多項(xiàng)式，則對(duì)任意),(bax插值余項(xiàng))()!1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnn),(),()()(101baxxxxxxxnn其中且依賴于x的位置。結(jié)論： 1.n越大，誤差越小。 2.節(jié)點(diǎn)之間的距離越小，誤差越大。逐步線性插值（埃特金插值）逐步線性插值（埃特金插值）引進(jìn)專用符號(hào))(, 1 , 0 xIk表示以 為節(jié)點(diǎn)的k次拉格朗日插值公式kxxx,10)()()()()(0121 , 02, 01 , 02, 1 , 0 xxxxxIxIxIx

7、I)()()()()(111, 1 , 0, 2, 1 , 01, 1 , 0kkkkkkkxxxxxIxIxIxI過 和 兩“點(diǎn)”作線性插值。) )(,(1 , 01xIx) )(,(2, 02xIx兩個(gè)k-1次插值多項(xiàng)式，把它們看作兩點(diǎn) 以此“兩點(diǎn)”作線性插值，推出I(X)）（，xIxkk1101(）（，xIxkkk210()()()()()(0010101 , 0 xxxxxfxfxfxI)()()()()(0020202, 0 xxxxxfxfxfxI如：埃特金插值公式具體計(jì)算時(shí)先列表如下：)(0 xf)(1xf)(2xf)(3xf)(4xf0 x1x2x3x4x)(1 , 0 xI)

8、(2, 0 xI)(3 , 0 xI)(4, 0 xI)(2, 1 , 0 xI)(3 , 1 , 0 xI)(4, 1 , 0 xI)(3 , 2, 1 , 0 xI)(4, 2, 1 , 0 xI)(4, 3 , 2, 1 , 0 xI.其中斜線上是1到4 次的插值多項(xiàng)式。)(,)(10 xxxxfxRnnn誤差估計(jì)：差商及牛頓插值公式差商及牛頓插值公式而,210121020 xxxfxxxxfxxf稱為f(x)的二階差商。定義：定義：給出函數(shù)f(x)在n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)nxxx,10上的函數(shù)值nyyy,10稱0101)()(xxxfxf為f(x)關(guān)于點(diǎn)10,xx的一階差商，簡(jiǎn)稱一階差商（均

9、差），記作,10 xxf即010110)()(,xxxfxfxxf,101120210kkkkkkkxxxfxxxxxfxxxxf稱為f(x)的k階差商。性質(zhì)性質(zhì)2：在k階差商,10kxxxf中，任意調(diào)換xi和xj的次序，其值不變，這個(gè)性質(zhì)稱為差商的對(duì)稱性。性質(zhì)性質(zhì)1：k階差商,10kxxxf是由函數(shù)值)(),(),(10kxfxfxf線性組合而成。即：kjkjjjjjjjkjjkjkxxxxxxxxxfxxfxxxf01100110)()()()()()(,如k=1100011010110)()()()(,xxxfxxxfxxxfxfxxf)(,01010nnnnxxxxxfxxxfxxxf

10、)()()()(,)()(,)(,)(,)()(0011010102100100 xRxNxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxfnnnnnn)(,)(10 xxxxfxRnnn其中)()(,)()(10101nnnnxxxxxxxfxNxN)(,)(10 xxxxfxRnnn綜上所得：000)()(,xxxfxfxxf)(,)()(000 xxxxfxfxf110010,xxxxfxxfxxxf)(,110100 xxxxxfxxfxxf.牛頓插值公式)(0 xf)(1xf)(2xf)(3xf0 x1x2x3x,10 xxf,20 xxf,30 xxf,210

11、xxxf,310 xxxf,3210 xxxxf.kx)(kxf,0kxxf,10kxxxf,210kxxxxf計(jì)算時(shí)先列一個(gè)差商表如下：其中斜線上的值就是牛頓插值公式中的系數(shù)。牛頓插值公式是一個(gè)遞推公式，當(dāng)需要增加節(jié)點(diǎn)時(shí)，只要多計(jì)算一行就可以了。高次插值的誤差分析高次插值的誤差分析-1o10.5-1.01.5-y=f(x)yL10(x)xy 例如，在給定區(qū)間-1，1上的函數(shù) ，取等距節(jié)點(diǎn)，如把-1，1等分，分點(diǎn)為 可以構(gòu)造10次多項(xiàng)式，用拉格朗日公式寫出為其中22511)(xxf)10, 1 , 0(1021jjxj10010)()()(iiixlxfxL22511)(iixxf)()()(

12、)()()()(1011010110 xxxxxxxxxxxxxxxxxliiiiiiiii根據(jù)計(jì)算結(jié)果作圖，得出圖形如右：（龍格現(xiàn)象）（龍格現(xiàn)象）分段低次插值分段低次插值 設(shè)給定n+1個(gè)節(jié)點(diǎn) 上的函數(shù)值bxxan0nyyy10, 在每一個(gè)小區(qū)間 內(nèi)作二次插值： ,1jjxx)11 , 0()()()()()()()(1111111111111111njxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxSjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)11 , 0()(11111njxxxyxxxxyxxxxxIjjjjjjjjjjj（從幾何上表示用折線近似曲線，也稱折線插值）,

13、1jjxx 在每一個(gè)小區(qū)間 上用一次插值，則有埃爾米特插值埃爾米特插值)( )( )1 , 0()( )( )()(jjjjjjxfxHnjxfxHxfxH滿足以下條件的插值多項(xiàng)式稱為埃爾米特插值多項(xiàng)式), 1 , 0()( )(njmxHyxHjjjj 設(shè)節(jié)點(diǎn) 上的函數(shù)值 及導(dǎo)數(shù)值 為已知，求插值多項(xiàng)式 滿足條件bxxan0jjyxf)()1 , 0()( njmxfjj)(xH這里共給出2n+2個(gè)條件，可以確定一個(gè)次數(shù)不到2n+1次的多項(xiàng)式，其形式為：12121012)(nnnxaxaaxH問題的提出定義2n+2個(gè)基函數(shù)：jijixaijji10)(0)(jixajijixijji10)(

14、0)(jix解決的思路于是多項(xiàng)式可以寫成niiiinxmxayxHi012)()()(由拉格朗日插值基函數(shù)可得)()()()()()(222211xlbxaxxlbxaxaiiii又0)( 2)()()( 1)()()(1121211iiiiiiiiiiixlbxaxlaxaxlbxaxa0)( 21111iiixlabxa)( 21)( 211iiiiixlxbxla)(1)(21 )(20 xlxxxxxinikkkiii而nikkkiixxxlxl01)()( nikkkiiixxxl01)( 同理得：)()()(2xlxxxiiiniiiiinxmxyxH012)()()()(xi)(

15、xi將 代入即得埃爾米特插值公式埃爾米特插值公式例：例：已知插值條件求 三次埃爾米特插值多項(xiàng)式。021100)( )(xfxfx解：解：因?yàn)?所以0)0(f0)(00yxa221)23()010(10) 1(21 )(xxxxxa又因?yàn)?，所以0) 1 ( f0)(11mx220) 1()101)(0()(xxxxx于是得三次埃爾米特插值多項(xiàng)式為：233) 1()23(2)(xxxxxH樣條插值樣條插值定義定義：設(shè)a,b上有插值節(jié)點(diǎn) ，對(duì)應(yīng)值為bxxan0nyyy10,若函數(shù)滿足：), 1 , 0()(1njyxSjj), 1 , 0(,)(21njxxxSjj在每一個(gè)小區(qū)間上是三次多項(xiàng)式；)

16、(3xS在aa,b上有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)。則S(x) 稱為三次樣條插值函數(shù)三次樣條插值函數(shù)。求求S(x), 1 , 0()(23njdxcxbxaxSjjjj設(shè)要滿足如下條件), 1 , 0()(1njyxSjjj)0()0(2jjxSxS) 1, 2 , 1()0( )0( njxSxSjj)0( )0( jjxSxS上式共給出了4n-2個(gè)條件，需要待定4n個(gè)系數(shù)。因此必須附加兩個(gè)條件（邊界條件）)( , )( 100nnfxSfxS )( , )( 200nnfxSfxS11)( )( jjjjMxSMxS設(shè))()( 111jjjjjjjjjxxhhxxMhxxMxS兩次積分得213131)(6

17、)(6)(cxcxxhMxxhMxSjjjjjj將c1和c2代入S(x)即得S(x) 在xj,xj+1上的表達(dá)式。由11)()(jjjjyxSyxS)6()6(1)6()6(121121222111jjjjjjjjjjjjjjjjhMyxhMyxhchMyhMyhc),1, 1 , 0()6()6(6)(6)()(1211123131jjjjjjjjjjjjjjjjjjxxxnjhxxhMyhxxhMyhxxMhxxMxS求求Mj,Mj+1)0( )0( jjxSxS由11111113663jjjjjjjjjjjjjjhyyMhMhhyyMhMh 具體計(jì)算時(shí)，必須先將 求出，然后代入式利用前面

18、解方程組的知識(shí)求出Mj。jjjd,), 1 , 0(,6,61) 1, 2 , 1(21111111111111njhyyxxfxxhxxxfhhxxfxxfdhhhhhhnjdMMMjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj其中例例例：例：求三次樣條插值函數(shù)S(x)，已知（xj,yj)的值列于下表中，并有邊界 條件M0=M4=0。J01234Xj0.250.30.390.450.53yj0.5000.54770.62540.67280.7280解：解：將這些值代入 的公式求得 列于下表：jjjd,jjjd,J1234/153/53/79/142/54/7-4.3157-3.2640-2.4300jjjd0261. 18226. 08806. 1321MMM分段表達(dá)式分段表達(dá)式4300. 22732640. 3522533157. 414923