線性系統(tǒng)理論(能控性判據(jù))

1、內(nèi)容簡(jiǎn)介格拉姆矩陣判據(jù)秩判據(jù)PBH判據(jù)（PBH秩判據(jù)、特征向量判據(jù)）約當(dāng)規(guī)范形判據(jù)第一部分第一部分第二部分第二部分第三部分第三部分第四部分第四部分4.2 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性判據(jù)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)4.2 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性判據(jù)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)考慮連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)方程為 0)0(0txxBuAxx （4.7） 其中，x為n維狀態(tài)，y為q維輸出，A(t)和B(t)為nn和np常值矩陣結(jié)論結(jié)論 4.1連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)（4.7）為完全能控的充分必要條件是，存在時(shí)刻t10，使格拉姆矩陣 101, 0tt

2、ATAtcdteBBetWT為非奇異。 4.2 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性判據(jù)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)證證 充分性 已知 為非奇異，欲證系統(tǒng)完全能控。設(shè)x0為狀態(tài)空間中任意 非零狀態(tài)。,10ttWc說明系統(tǒng)是能控的 構(gòu)造控制輸入, 0, 0)(1011ttxtWeBtuctATT0, 0, 0, 0)()(00011100110)(1111110111011xexextWtWexextWdteBBeexedttBuexetxAtAtccAtAtctttATAtAtAtttttAAtT4.2 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性判據(jù)變系統(tǒng)的能控性判據(jù) 必要性 已知系統(tǒng)完全

3、能控，欲證 為非奇異。,10ttWc其中， 表示所示向量的范數(shù)，而范數(shù)必為非負(fù)，于是，只能有 采用反證法。反設(shè) 為奇異，即反設(shè)狀態(tài)空間中至少存在一個(gè)非零狀態(tài) ，使成立：0 x0, 0010 xtWxcT基此，可進(jìn)而導(dǎo)出：dtxeBBexxtWxtATAtTtcTT0000101, 00dtxeBxeBtATTtATtTT0001dtxeBtATtT2001, 0, 010ttxeBtATT,10ttWc4.2 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性判據(jù)變系統(tǒng)的能控性判據(jù) 另一方面，由系統(tǒng)完全能控知，狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)均可找到相應(yīng)的輸入u(t)使成立：從而可進(jìn)一步得 即 基此，可進(jìn)而

4、導(dǎo)出：111001)()(0tAtAtAtdttBueexetx100)(tAtdttBuex1100000020)()(ttATTTtAtTdtxeBtuxdttBuexxxT020 x00 x與題設(shè)相矛盾，從而證得 非奇異，必要性得證。證明完成。,10ttWc4.2 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性判據(jù)變系統(tǒng)的能控性判據(jù) 運(yùn)用格拉姆矩陣判據(jù)的類同推證過程可以證明，對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)系統(tǒng)，“Wc0，t1非奇異”同樣也是“系統(tǒng)完全能達(dá)”的充要條件。據(jù)此可以導(dǎo)出，對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)系統(tǒng)，有系統(tǒng)完全能控系統(tǒng)完全能控 Wc0，t1非奇異非奇異 系統(tǒng)完全能達(dá)系統(tǒng)完全能達(dá) 這就

5、表明，對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，能控性等價(jià)于能達(dá)性。因此，本節(jié)給出的相對(duì)于能控性的判據(jù)均可適用于能達(dá)性。4.2 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性判據(jù)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)秩判據(jù)秩判據(jù)結(jié)論結(jié)論 4.2 對(duì)n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)（4.7），系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為能控性判別矩陣 滿秩，即rankQ c=n ,12BABAABBQnc 證證 充分性 已知rankQc ，欲證系統(tǒng)完全能控。采用反證法，設(shè)系統(tǒng)不完全能控，則據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)知，格拉姆矩陣為非奇異。這意味著狀態(tài)空間中至少存在一個(gè)非零狀態(tài)，類似結(jié)論4.1中必要性證明過程可得, 0, 01ttBeAtT將上式對(duì)t求導(dǎo)直至(n

6、-1)次，再在導(dǎo)出結(jié)果中令t=0，得0,0,0,012BABAABBnTTTT4.2 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性判據(jù)變系統(tǒng)的能控性判據(jù) 進(jìn)而，表上述關(guān)系式組為 必要性 已知系統(tǒng)完全能控，欲證rank Qc =n 反證法。設(shè)rank Qc 0，可得012cTnTQBABAABB 基此，并由0，可知Qc行線性相關(guān)，即rank Qc n，與題設(shè)矛盾，所以系統(tǒng)完全能控。充分性得證。012BABAABBQnTcT1, 1 , 0, 0niBAiT, 2 , 1 , 0, 0iBAiT13322, 0,! 31! 210ttBeBtAtAAtIAtTT4.2 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不連續(xù)時(shí)間線

7、性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性判據(jù)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)于是，基于上式可導(dǎo)出這意味著，格拉姆矩陣 奇異，即系統(tǒng)不完全能控。與已知矛盾，反設(shè)不成立，必有rank Qc =n。必要性得證。證明完成。10, 001tWdteBBecTttATAtTT,10ttWc4.2 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性判據(jù)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)其中，R和C可取任意有限值。通過計(jì)算得到據(jù)所示電路，定出狀態(tài)方程為例例 4.52,1110012121nuRCRCxxRCRCxx22)(11)(11RCRCRCRCABBQc容易判定， rank Qc =12=n。據(jù)秩判據(jù)知，系統(tǒng)不完全能控。RCxuxdtCdxRxudtCdu

8、icc11114.2 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性判據(jù)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)PBH判據(jù)判據(jù)結(jié)論結(jié)論 4.3n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)（4.7）完全能控的充分必要條件為：Cs或其中，C為復(fù)數(shù)域，i為系統(tǒng)特征值。(例例 4.7)ninBAIranki,.,2 , 1,nBAsIrank,結(jié)論結(jié)論 4.4n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)（4.7）完全能控的充分必要條件為：矩陣A不存在與B所有列正交的非零左特征向量，即對(duì)矩陣A所有特征值i，使同時(shí)滿足TA= i T ， TB=0 的左特征向量 T=0。 4.2 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性判據(jù)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)結(jié)論結(jié)論 4

9、.5結(jié)論結(jié)論 4.6對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為對(duì)角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是對(duì)狀態(tài)矩陣線性非奇異變換導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范形中矩陣B中不包含零行向量。（4.50）對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為約當(dāng)陣，特征值有重根系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是：對(duì)應(yīng)特征值相同的各約當(dāng)小塊最后一行對(duì)應(yīng)的B陣各行向量線性無關(guān)。（4.57）例題例題4.9約當(dāng)規(guī)范形判據(jù)約當(dāng)規(guī)范形判據(jù)4.2 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性判據(jù)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)能控性指數(shù)能控性指數(shù)結(jié)論結(jié)論 4.7定義定義 4.10,1BAABBQkk對(duì)完全能控連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，定義能控性指數(shù)為：使“rankQk=n”

10、成立的最小正整數(shù)k。 當(dāng)k=n時(shí)，Qk為能控性判別矩陣對(duì)完全能控單輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，則系統(tǒng)能控性指數(shù)n。結(jié)論結(jié)論 4.8對(duì)完全能控多輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，設(shè)rankB=r，則能控性指數(shù)滿足 1rnpn4.2 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性判據(jù)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)結(jié)論結(jié)論 4.10結(jié)論結(jié)論4.8證明證明對(duì)完全能控多輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，設(shè)rankB=r， 為矩陣A的最小多項(xiàng)式次數(shù)，則能控性指數(shù)滿足 結(jié)論結(jié)論 4.9n 1,minrnnpn多輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，且rankB=r,則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為： nBAABBrankrankQrnrn,14.2 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性判據(jù)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)結(jié)論結(jié)論 4.11多輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，且rankB=r,將Q表為ppppbAbAbAbAbAbAAbAbAbbbbQ12111222122121,并從左至右依次搜索Q的n個(gè)線性無關(guān)列，即若某個(gè)列不能表成其左方各線性獨(dú)立列的線性組合就為線性無關(guān)，否則為線性相關(guān)?？紤]到