大學(xué)物理：第 05 章剛體力學(xué)基礎(chǔ)

1、第第 5 章章 剛體力學(xué)基礎(chǔ)剛體力學(xué)基礎(chǔ)第第 5 章章 剛體力學(xué)基礎(chǔ)剛體力學(xué)基礎(chǔ)5.1 剛體運(yùn)動(dòng)的描述剛體運(yùn)動(dòng)的描述5.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理5.3 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量5.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律5.5 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理5.6 回轉(zhuǎn)儀回轉(zhuǎn)儀 進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)5.7 剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體：剛體： 既考慮物體的質(zhì)量既考慮物體的質(zhì)量, 又考慮形狀和大小，但忽又考慮形狀和大小，但忽略其形變的略其形變的物體模型物體模型。5.1 剛體運(yùn)動(dòng)的描述剛體運(yùn)動(dòng)的描述剛體可看作是質(zhì)量連續(xù)分布的且任意兩質(zhì)量元之間剛體可看作

2、是質(zhì)量連續(xù)分布的且任意兩質(zhì)量元之間相對距離保持不變的質(zhì)點(diǎn)系。相對距離保持不變的質(zhì)點(diǎn)系。一、剛體運(yùn)動(dòng)的基本形式一、剛體運(yùn)動(dòng)的基本形式 可以用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的方法來處理剛體的平動(dòng)問題?？梢杂觅|(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的方法來處理剛體的平動(dòng)問題。剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻具有相同的速度和加速度。剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻具有相同的速度和加速度。1. 平動(dòng)平動(dòng)剛體內(nèi)任一直線在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持平行。剛體內(nèi)任一直線在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持平行。a. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)b. 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)如：門、如：門、 窗的轉(zhuǎn)動(dòng)等。窗的轉(zhuǎn)動(dòng)等。如：陀螺的轉(zhuǎn)動(dòng)。如：陀螺的轉(zhuǎn)動(dòng)。3. 平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)可以分解為剛體隨質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心垂直于運(yùn)動(dòng)平可以分解

3、為剛體隨質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心垂直于運(yùn)動(dòng)平面的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。面的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體上每一質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)都平行于某一固定平面。剛體上每一質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)都平行于某一固定平面。如：車輪滾動(dòng)。如：車輪滾動(dòng)。可以分解為隨質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。可以分解為隨質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。4. 剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng) 剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線(即轉(zhuǎn)軸即轉(zhuǎn)軸)作圓周運(yùn)動(dòng)。作圓周運(yùn)動(dòng)。2. 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)研究方法：研究方法：作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)平行于轉(zhuǎn)軸的直線上作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)平行于轉(zhuǎn)軸的直線上各點(diǎn)具有相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)各點(diǎn)具有相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(速度和加速度速度和加速度)，因此，只要研，因此，只要研

4、究剛體內(nèi)某一究剛體內(nèi)某一垂直于轉(zhuǎn)軸的平面垂直于轉(zhuǎn)軸的平面(轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面)上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，就可了解整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。就可了解整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)：取轉(zhuǎn)心轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)：取轉(zhuǎn)心O，參考軸，參考軸x，1. 剛體的角位置與角位移剛體的角位置與角位移2. 剛體的角速度剛體的角速度 角加速度角加速度t dd二、二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述 角量角量xOPr 轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面22ddtP點(diǎn)：角位置點(diǎn)：角位置 角位移角位移3. . 線量與角量的關(guān)系：線量與角量的關(guān)系：tvatdd22rrvan的的單單位位分分別別是是 SI:.rad/srad/s,rad,2rvrv 角速度角速度 的方向：

5、的方向：r v/角加速度的方向：角加速度的方向：加速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩者同方向，減速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩者反方向。加速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩者同方向，減速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩者反方向。rtrdd對于對于勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)，則有：，則有：t022100tt)(20202式中：式中：00, 是是 t =0 時(shí)刻的角速度和角位置。時(shí)刻的角速度和角位置。說明：說明：作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)各點(diǎn)具有相同的角量，作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)各點(diǎn)具有相同的角量，但不同位置的質(zhì)點(diǎn)具有不同的線量。但不同位置的質(zhì)點(diǎn)具有不同的線量。勻加速直線運(yùn)動(dòng)：勻加速直線運(yùn)動(dòng)：)(22102022000 xxavvattvxxatvvEND剛體是一個(gè)特殊的質(zhì)點(diǎn)系，描述質(zhì)點(diǎn)系

6、轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)剛體是一個(gè)特殊的質(zhì)點(diǎn)系，描述質(zhì)點(diǎn)系轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：力學(xué)方程：tLMdd 1. 對于質(zhì)點(diǎn)系，由于所有內(nèi)力對任意參考點(diǎn)的力矩為對于質(zhì)點(diǎn)系，由于所有內(nèi)力對任意參考點(diǎn)的力矩為零，則剛體所受相對于原點(diǎn)零，則剛體所受相對于原點(diǎn)O 的力矩等于合外力矩。的力矩等于合外力矩。2. 由于外力矩在垂直于轉(zhuǎn)軸方向上的分量由于外力矩在垂直于轉(zhuǎn)軸方向上的分量 Mxy 被軸承上被軸承上支承力的力矩所抵消，只需要考慮由外力在垂直于轉(zhuǎn)軸支承力的力矩所抵消，只需要考慮由外力在垂直于轉(zhuǎn)軸方向的分量產(chǎn)生的沿轉(zhuǎn)軸方向的力矩方向的分量產(chǎn)生的沿轉(zhuǎn)軸方向的力矩Mz 。 5.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理一、剛體所受的力矩

7、一、剛體所受的力矩說明說明oxyzF取慣性坐標(biāo)系取慣性坐標(biāo)系 ， xyzo軸為固定轉(zhuǎn)軸zFi設(shè)第設(shè)第 i 個(gè)質(zhì)元受外力個(gè)質(zhì)元受外力 ，F(xiàn)i并假定并假定 垂直于轉(zhuǎn)軸。垂直于轉(zhuǎn)軸。iiiFRM軸軸z/iirooR xyzooRiFiirimiooiiiFrooM iiiFrFoo軸軸z 也被抵消也被抵消iiiiiizFrFrMsin所受相對于所受相對于O 點(diǎn)的外力矩為：點(diǎn)的外力矩為：剛體所受的相對于軸的合力矩：剛體所受的相對于軸的合力矩：iiiiiizzFrMMsin剛體所受的相對于剛體所受的相對于O 的角動(dòng)量：的角動(dòng)量：)(iiiiiivmRLLiiiiiiRvLrRzv),(iiiivmRL共

8、面共面iiizLLsin二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量xzooiRirimooiviLyiiiiivmRsiniiivmr 對整個(gè)剛體：對整個(gè)剛體：iizzLLJLz稱為剛體對轉(zhuǎn)軸稱為剛體對轉(zhuǎn)軸 z 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。為剛體相對于轉(zhuǎn)軸為剛體相對于轉(zhuǎn)軸 z 的角動(dòng)量。的角動(dòng)量。2iiirmJiiiiiiirmvmr)(2tLMzzdd得到：得到：tJMddJtJMdd=剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過程中設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過程中J不變不變， 則有：則有：由質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理：由質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理：tLMdd對剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，有：對剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，有：zzMMJL而且而且

9、剛體在作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的角剛體在作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的角加速度與它所受到的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣加速度與它所受到的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。量成反比。三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律推廣到推廣到 J 可變可變情形：情形：JtMdd 00000ddJJJtMJJtttttM0d稱為在稱為在 t0 到到 t 時(shí)間內(nèi)作用在剛體上時(shí)間內(nèi)作用在剛體上的的角沖量角沖量。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理 是關(guān)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。是關(guān)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。 (與與 F = ma 比較比較)JtJMdd=例例 5-1 定滑輪：定滑輪：m， r，J ，物

10、體：，物體：m1， m2， 輕繩不能伸輕繩不能伸長，無相對滑動(dòng)。求滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度和繩的張力。長，無相對滑動(dòng)。求滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度和繩的張力。amTgm111amgmT222JrTrT21解：解： 由于考慮滑輪的質(zhì)量，由于考慮滑輪的質(zhì)量，21TT 問題中包括平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。問題中包括平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。輪不打滑：輪不打滑： ra 聯(lián)立方程，可解得聯(lián)立方程，可解得 T1 ，T2，a， 。 此裝置稱阿特伍德機(jī)此裝置稱阿特伍德機(jī)可用于測量重力加速度可用于測量重力加速度 g gm1gm21T1T2T2Taar例例5-2 均質(zhì)細(xì)棒：均質(zhì)細(xì)棒： m ， l ，對水平軸，對水平軸O： ，鉛，鉛直位置時(shí)，一直位置時(shí)，一

11、水平力水平力 F 作用于距作用于距 O為為 l 處，計(jì)算處，計(jì)算O 軸對棒軸對棒的作用力的作用力( (稱軸反力稱軸反力) )。231mlJ FlO解：解：JlF xxmaNFcyymamgNc得：得：123llFNxmgNy設(shè)軸反力為設(shè)軸反力為 Nx，Ny。由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律：當(dāng)當(dāng) l =2l/3 時(shí)，時(shí)， Nx =0 ，此時(shí)的打擊點(diǎn)稱，此時(shí)的打擊點(diǎn)稱打擊中心打擊中心。l 2l/3 時(shí)，時(shí)，Nx 0 ，l 2l/3 時(shí)，時(shí)， Nx 0 。yNxNgmc討論：討論：22lm2lm0例例5-3 半徑為半徑為 R1 和和 R2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J1 和和

12、J2 的兩個(gè)圓的兩個(gè)圓柱體，可繞垂直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，最初大圓柱體的角速度為柱體，可繞垂直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，最初大圓柱體的角速度為 0，現(xiàn)，現(xiàn)將小圓柱體靠近碰到大圓柱體。由于摩擦，小圓柱體被帶將小圓柱體靠近碰到大圓柱體。由于摩擦，小圓柱體被帶著轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)相對滑動(dòng)停止時(shí)，兩圓柱體各以恒定角速度沿著轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)相對滑動(dòng)停止時(shí)，兩圓柱體各以恒定角速度沿相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)。求小圓柱的最終角速度多大？相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)。求小圓柱的最終角速度多大？11, RJ22, RJ011, RJ22, RJ0設(shè)垂直于紙面向里為正向：設(shè)垂直于紙面向里為正向：01111JJtfR無相對滑動(dòng)：無相對滑動(dòng)： 2211RR21222102112RJRJRRJ分別

13、對分別對 o1 軸和軸和 o2 軸運(yùn)用角動(dòng)量定理。軸運(yùn)用角動(dòng)量定理。解：解：ffo11Nf1Fo22F2f NEND222JtRf定義：定義：iiirmJ21. 剛體由分立的質(zhì)點(diǎn)組成時(shí)：剛體由分立的質(zhì)點(diǎn)組成時(shí)：iiirmJ22. 剛體為質(zhì)量連續(xù)體時(shí)：剛體為質(zhì)量連續(xù)體時(shí)：mrJd2單位單位( SI )：2mkg 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量僅取決于剛體本身的性質(zhì)，即與剛體的形轉(zhuǎn)動(dòng)慣量僅取決于剛體本身的性質(zhì)，即與剛體的形狀、大小、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)狀、大小、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。一、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其計(jì)算一、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其計(jì)算5.3 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例例5-4 求均質(zhì)細(xì)棒求均質(zhì)細(xì)棒( m

14、 ，l ) 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： (1) 轉(zhuǎn)軸通過中心與棒垂直，轉(zhuǎn)軸通過中心與棒垂直， (2) 轉(zhuǎn)軸通過棒的一端與棒垂直。轉(zhuǎn)軸通過棒的一端與棒垂直。解：解：xlmmddmxJd222121d22mlxxlmlllmlxxlmJ02231d(1)(2) 可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量因轉(zhuǎn)軸位置而變，故必須指明可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量因轉(zhuǎn)軸位置而變，故必須指明是是關(guān)于某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量關(guān)于某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。mrJd2OxOxdxdmdxdm例例5-5 求質(zhì)量求質(zhì)量 m 半徑半徑 R 的的 (1) 均質(zhì)圓環(huán)，均質(zhì)圓環(huán)， (2) 均質(zhì)圓盤均質(zhì)圓盤對通過直徑的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對通過直徑的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：解：d2dRRmm mr

15、Jd2202d2)sin(RRmR221mR(1) 圓環(huán)：圓環(huán)：dsin22022mR dm241mRo dm(2) 圓盤：圓盤：d2d2Rmm mJJd21d2 可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)?？梢?，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)。RRm022d221剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J 等于對通過質(zhì)心的平行等于對通過質(zhì)心的平行轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Jc 加上剛體質(zhì)量加上剛體質(zhì)量 m 乘以兩平行轉(zhuǎn)軸乘以兩平行轉(zhuǎn)軸間距離間距離 d 的平方。的平方。2cmdJJ 2 ioioiiioirrmrmJ iiiidrdrmcciiiiiirmdmdrmc22c2證明：證明：0

16、crm二、平行軸定理二、平行軸定理coJcJd iorc irmi2cmdJ 例例5-6 計(jì)算掛鐘擺錘對計(jì)算掛鐘擺錘對O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。m l1 Om R2 2222212131RlmRmlmJ21JJJ21131lmJ 2c2mdJJ解：解：222221RlmRm例例5-7 設(shè)一薄板，已知對板面內(nèi)兩垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分設(shè)一薄板，已知對板面內(nèi)兩垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為別為Jx、Jy，計(jì)算板對，計(jì)算板對z 軸的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz。Oxyz解：解：iiizrmJ2xyJJ 稱稱垂直軸定理垂直軸定理 (適用于薄板適用于薄板)。如圓盤如圓盤(m、R)對過圓心的垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對過圓心的

17、垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：yxJJJyixirimiiiiiyxm22 222214141mRmRmR例例5-8 質(zhì)量為質(zhì)量為M=16kg的實(shí)心滑輪，半徑為的實(shí)心滑輪，半徑為R=0.15m。一。一根細(xì)繩繞在滑輪上，一端掛一質(zhì)量為根細(xì)繩繞在滑輪上，一端掛一質(zhì)量為 m 的物體。求的物體。求( (1) )由由靜止開始靜止開始1 1秒鐘后，物體下降的距離。秒鐘后，物體下降的距離。( (2) )繩子的張力。繩子的張力。解：解：maTmgRaMRTR221)sm(58810822Mmmgam)(5 . 215212122athN)(4051621TMmTgm例例5-9 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m ，長為，長為 l 的均質(zhì)

18、細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在的均質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在O點(diǎn)，點(diǎn)，距距A端端 l/3 。今使棒從靜止開始由水平位置繞。今使棒從靜止開始由水平位置繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，求求(1)水平位置的角速度和角加速度。水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置時(shí)的角垂直位置時(shí)的角速度和角加速度。速度和角加速度。解：解：2cmdJJ222916121mllmmlJ00lgmlmglJM23962方向：方向： cOBAgmcOBA(2)tJMddtmllmgdd91cos62dcos23dlgdcos23d200lglglg23sin2321202lg30 gmdd912ml例例5-10 一半徑為一半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均勻圓盤平放

19、在粗糙的的均勻圓盤平放在粗糙的水平面上。若它的初角速度為水平面上。若它的初角速度為 0 0，繞中心，繞中心o o旋轉(zhuǎn)，問經(jīng)旋轉(zhuǎn)，問經(jīng)過多長時(shí)間圓盤才停止？（設(shè)摩擦系數(shù)為過多長時(shí)間圓盤才停止？（設(shè)摩擦系數(shù)為 ）drr解：解：rmgFrMdddrrRmmd2d222d2dRrgrmMmgRRrmgrMMR32d2d022Ro2d2RrmrtJMddtmRmgRdd21322000d43dgRttgRt430tmRmgRdd21322000d43dgR2083gR為其轉(zhuǎn)過的角度。為其轉(zhuǎn)過的角度。mgRM32ENDtmRdddd212定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量定理：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量定理：tJMdd定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量守恒

20、定律：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量守恒定律：剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，當(dāng)剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，當(dāng)對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時(shí)，剛體對轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量保對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時(shí)，剛體對轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量保持不變。持不變。適用于剛體，非剛體和物體系。適用于剛體，非剛體和物體系。5.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律 0=M.0dd tJ當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)， 有有00JJ即即(常量常量)一、一、 剛體剛體( J 不變不變)的角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒若若 M=0，則，則 J =常量，而剛體的常量，而剛體的 J 不變，故不變，故 的的大小，方向保持不變。大小，方向保持不變。此時(shí)，即使撤去軸承的支撐作用，此時(shí)，即使撤去軸承的支撐作用

21、， 剛體仍將作剛體仍將作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定向回轉(zhuǎn)儀定向回轉(zhuǎn)儀 可以作定向裝置?？梢宰鞫ㄏ蜓b置。如：直立旋轉(zhuǎn)陀螺不倒。如：直立旋轉(zhuǎn)陀螺不倒。o 二、非剛體二、非剛體( J 可變可變)的角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒當(dāng)當(dāng) J 增大，增大， 就減小，就減小，當(dāng)當(dāng) J 減小，減小， 就增大。就增大。常量常量00JJ如：芭蕾舞，花樣滑冰中的轉(zhuǎn)動(dòng)，如：芭蕾舞，花樣滑冰中的轉(zhuǎn)動(dòng)， 恒星塌縮恒星塌縮 (R0， 0) (R， ) 中子星中子星的形成等。的形成等。u0人與轉(zhuǎn)臺(tái)組成的系統(tǒng)對豎直人與轉(zhuǎn)臺(tái)組成的系統(tǒng)對豎直軸的角動(dòng)量守恒：軸的角動(dòng)量守恒：JJ00)21(2122221021tumRmRm22122021tRmum

22、例例5-11 水平轉(zhuǎn)臺(tái)水平轉(zhuǎn)臺(tái)(m1 、 R ) 可繞豎直的中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，初角可繞豎直的中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，初角速度速度 0 0，一人，一人( (m2 )立在臺(tái)中心，相對轉(zhuǎn)臺(tái)以恒定速度立在臺(tái)中心，相對轉(zhuǎn)臺(tái)以恒定速度u沿沿半徑向邊緣走去，計(jì)算經(jīng)時(shí)間半徑向邊緣走去，計(jì)算經(jīng)時(shí)間 t，臺(tái)轉(zhuǎn)過了多少角度。，臺(tái)轉(zhuǎn)過了多少角度。解：解：tt0dd臺(tái)轉(zhuǎn)過的角度：臺(tái)轉(zhuǎn)過的角度：RmmutmmuR2/1122/1120)2(arctan)2(三、物體系的角動(dòng)量守恒三、物體系的角動(dòng)量守恒 若系統(tǒng)由幾個(gè)物體組成，當(dāng)系統(tǒng)受到的外力對軸的若系統(tǒng)由幾個(gè)物體組成，當(dāng)系統(tǒng)受到的外力對軸的力矩的矢量和為零，則系統(tǒng)的總角動(dòng)量守恒：力矩的矢量

23、和為零，則系統(tǒng)的總角動(dòng)量守恒：常常量量iiiJ如：直升機(jī)機(jī)尾加側(cè)向旋葉，是為防止機(jī)身的反轉(zhuǎn)。如：直升機(jī)機(jī)尾加側(cè)向旋葉，是為防止機(jī)身的反轉(zhuǎn)。例例5-12 摩擦離合器摩擦離合器 飛輪飛輪1：J1、 1 1 摩擦摩擦輪輪2： J2 靜靜止，兩輪沿軸向結(jié)合，結(jié)合后兩輪達(dá)到的共同角速度。止，兩輪沿軸向結(jié)合，結(jié)合后兩輪達(dá)到的共同角速度。兩輪對共同轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒兩輪對共同轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒2111JJJ2111JJJ解：解：試與下例的齒輪試與下例的齒輪嚙合過程比較。嚙合過程比較。21121例例5-13 兩圓盤形齒輪半徑兩圓盤形齒輪半徑r1 、 r2 ，對通過盤心垂直于對通過盤心垂直于盤面轉(zhuǎn)軸的盤面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

24、慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1 、 J2，開始開始 1 1輪以輪以 0 0轉(zhuǎn)動(dòng)，然轉(zhuǎn)動(dòng)，然后兩輪正交嚙合，求嚙合后兩輪的角速度。后兩輪正交嚙合，求嚙合后兩輪的角速度。兩輪繞不同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故對兩軸分兩輪繞不同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故對兩軸分別用角動(dòng)量定理：別用角動(dòng)量定理：01111dJJtFr222dJtFr2211rr得：得：22121222011rJrJrJ22121221012rJrJrrJ解：解：0122F1例例5-14 均質(zhì)細(xì)棒：均質(zhì)細(xì)棒：m1、 l ，水平軸水平軸O，小球：，小球：m2與棒與棒相碰，碰前相碰，碰前 碰后碰后 如圖，設(shè)碰撞時(shí)間很短，棒保如圖，設(shè)碰撞時(shí)間很短，棒保持豎直，求碰后棒的角速度。持豎直，

25、求碰后棒的角速度。v v系統(tǒng)對系統(tǒng)對O軸角動(dòng)量守恒軸角動(dòng)量守恒 221312v lmlmlvmlmvvm123注意：注意：系統(tǒng)總動(dòng)量一般不守恒，因?yàn)檩S承處的外力不能忽略。系統(tǒng)總動(dòng)量一般不守恒，因?yàn)檩S承處的外力不能忽略。只當(dāng)碰撞在打擊中心時(shí)，只當(dāng)碰撞在打擊中心時(shí)，Nx=0，系統(tǒng)的水平動(dòng)量守恒：，系統(tǒng)的水平動(dòng)量守恒：解：解：vmlmvmvmvm2121 2c12 3222131322)(v lmlmlvmvv OEND一、一、 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能iiiiiirmvmE222k21212c mdJJ22ck21mdJE2c2c2121mvJ 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可分解為剛體繞過質(zhì)心軸的

26、轉(zhuǎn)動(dòng)和隨質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可分解為剛體繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和隨質(zhì)心（繞定軸作圓周運(yùn)動(dòng)）的平動(dòng)。（繞定軸作圓周運(yùn)動(dòng)）的平動(dòng)。221J2c21mv5.5 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理oc由平行軸定理：由平行軸定理：222c2121mdJ二、力矩的功二、力矩的功1. 平行于定軸的外力對質(zhì)元不做功。平行于定軸的外力對質(zhì)元不做功。2. 由于剛體內(nèi)兩質(zhì)元的相對距離不由于剛體內(nèi)兩質(zhì)元的相對距離不變，一對內(nèi)力做功之和為零。變，一對內(nèi)力做功之和為零。 ijijijrfAddiiAAiijijiirfFAd)(ijijijrrrd)(dijijijfrr 說明說明ri jirdjrdijijrrdijrdi

27、j0iiiiiisFrFAdcosdddiM合外力對剛體做的元功：合外力對剛體做的元功：iiiiMAAddd力矩的功：力矩的功：0dMA功率：功率： tAPddzPriFidisdi設(shè)作用在質(zhì)元設(shè)作用在質(zhì)元 mi上的外力上的外力 位于轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)。位于轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)。iFiiiirFdsin dMMtMdd三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理tJMdd2022121dd00JJJMA合外力矩對剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。合外力矩對剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。ddddddJtJ四、剛體的重力勢能四、剛體的重力勢能以地面為勢能零點(diǎn)，剛體和地球以地面為勢能零點(diǎn)，剛體和地球系

28、統(tǒng)的重力勢能：系統(tǒng)的重力勢能：iiigzmEpgmizOicriiimzmmgcmgz五、五、 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理將重力矩作的功用重力勢能差表示：將重力矩作的功用重力勢能差表示：)(d0ccp0mgzmgzM得得)21()21(d200c2c0JmgzJmgzM其中，其中，M是除重力以外的其它外力矩。是除重力以外的其它外力矩。剛體的機(jī)械能守恒定律剛體的機(jī)械能守恒定律2022121JJA剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理若若M=0，則則常量2c21Jmgz例例 5-15 均質(zhì)細(xì)棒均質(zhì)細(xì)棒m， l ，水平軸水平軸O，開始棒處于水平狀態(tài)，開始棒處于水平狀態(tài)，由靜止

29、釋放，求棒擺到豎直位置時(shí)：由靜止釋放，求棒擺到豎直位置時(shí)： (1) 棒的角速度，棒的角速度，(2) 棒的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，棒的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，(3) 質(zhì)心的加速度，質(zhì)心的加速度，(4) 軸的支反力。軸的支反力。解：解：02212lmgJlg3(2)2k21JE (3) 2322cnglaFxFy0ct maFx(4)cnmamgFymgmgmgFy2523(1)2lmg02 ctla212121JmgL LgmLJ3 3112解：解：2222121212121BBmvJJLmvJJLggLvB321 3212碰后反方向轉(zhuǎn)動(dòng)。碰后反方向轉(zhuǎn)動(dòng)。BA例例5-16 細(xì)桿細(xì)桿A ： (m ， L)可繞可繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，水平

30、處靜止釋放，軸轉(zhuǎn)動(dòng)，水平處靜止釋放，在豎直位置與靜止物塊在豎直位置與靜止物塊B ： (m) 發(fā)生彈性碰撞，求碰后發(fā)生彈性碰撞，求碰后： (1)物塊物塊B的速度的速度 vB B ，(2)細(xì)桿細(xì)桿A 的角速度的角速度 2 ， (3)細(xì)桿細(xì)桿A轉(zhuǎn)過的最大角度轉(zhuǎn)過的最大角度 max 。max22cos12121mgLJ1 .41 43cosmaxmaxBAEND例例5-17 圓錐體圓錐體R，h，J，表面有淺槽，令以，表面有淺槽，令以0轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)，小滑塊小滑塊m 由靜止從頂端下滑，不計(jì)摩擦，求滑到底部滑由靜止從頂端下滑，不計(jì)摩擦，求滑到底部滑塊相對塊相對圓錐體的圓錐體的速度、圓錐體角速度。速度、圓錐體角

31、速度。解：解：系統(tǒng)機(jī)械能守恒：系統(tǒng)機(jī)械能守恒：)(212121222220RumJmghJhRu對豎直軸的角動(dòng)量守恒：對豎直軸的角動(dòng)量守恒：)20mRJJ （20mRJJghmRJRJu22220討論剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。討論剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。 回轉(zhuǎn)儀：由厚而重，形狀對稱的剛體繞對稱回轉(zhuǎn)儀：由厚而重，形狀對稱的剛體繞對稱軸軸高速自轉(zhuǎn)高速自轉(zhuǎn)的裝置。的裝置。當(dāng)當(dāng) M = 0 時(shí)，角動(dòng)量及角速度矢量保持恒定時(shí)，角動(dòng)量及角速度矢量保持恒定 定向回轉(zhuǎn)儀定向回轉(zhuǎn)儀。當(dāng)當(dāng) 回轉(zhuǎn)儀受到外力矩作用時(shí)，如：陀螺傾斜回轉(zhuǎn)儀受到外力矩作用時(shí)，如：陀螺傾斜 ？ 進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng) 回轉(zhuǎn)效應(yīng)?；剞D(zhuǎn)效應(yīng)。5.6 回轉(zhuǎn)儀回轉(zhuǎn)儀 進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)設(shè)陀

32、螺質(zhì)量為設(shè)陀螺質(zhì)量為m，以角速度，以角速度 自轉(zhuǎn)。自轉(zhuǎn)。重力對固定點(diǎn)重力對固定點(diǎn)o o的力矩：的力矩：gmrMsinmgrM 繞自身軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量：繞自身軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量：cJL 由角動(dòng)量定理的微分式：由角動(dòng)量定理的微分式：tMLdd顯然，顯然，,LML時(shí)刻改變方向而大小不變時(shí)刻改變方向而大小不變進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)。1. 陀螺陀螺L mgorLddLL dtmgrtMLdsindddsindsindcJLLtmgrJdsindsinccddJmgrt進(jìn)動(dòng)角速度：進(jìn)動(dòng)角速度：2. 進(jìn)動(dòng)軸通過定點(diǎn)且與外力平行。進(jìn)動(dòng)軸通過定點(diǎn)且與外力平行。1. (或或p)與與 有關(guān)有關(guān)，與與無關(guān)無關(guān)。3. 進(jìn)動(dòng)方向決定于外力矩和自轉(zhuǎn)角速度的方向。進(jìn)動(dòng)方向決定于外力矩和自轉(zhuǎn)角速度的方向。4. 較小時(shí)，較小時(shí)， 有周期性變化，稱為有周期性變化，稱為章動(dòng)章動(dòng)。 LLLdLdd o說明說明改變方向，情況如何？改變方向，情況如何？L mgorLdLLdL2. 杠桿回轉(zhuǎn)儀杠桿回轉(zhuǎn)儀當(dāng)重物移近時(shí)，受力矩當(dāng)重物移近時(shí)，受力矩M作用，出現(xiàn)回轉(zhuǎn)現(xiàn)象。作用，出現(xiàn)回轉(zhuǎn)現(xiàn)象。平衡時(shí)，保持平衡時(shí)，保持大小方向不變。大小方向不變。 cJL cpcdd dddJMtJLLdLd)(tL)d(ttLo俯視圖