自動(dòng)控制原理課件

1、第四章根 軌 跡 法 第四章 根 軌 跡 法4.1 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念 4.2 根軌跡的繪制根軌跡的繪制 4.3 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析 小小 結(jié)結(jié) 第四章根 軌 跡 法 4.1 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念 所謂根軌跡, 是指當(dāng)系統(tǒng)的某個(gè)參數(shù)(如開環(huán)增益K)由零連續(xù)變化到無窮大時(shí), 閉環(huán)特征根在復(fù)平面上形成的若干條曲線。 下面結(jié)合圖4 -1所示的二階系統(tǒng)的例子, 介紹有關(guān)根軌跡的基本概念。 圖 4-1 控制系統(tǒng)框圖 R(s) 150(s.sKC(s)第四章根 軌 跡 法 將圖4-1所示系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為 )2() 15 . 0()(sskssKsG(4.1) 其

2、中, k=2K, 式(4.1)便是繪制根軌跡所用的傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式。 由式(4.1)可得兩開環(huán)極點(diǎn)分別為p1=0, p2=-2, 并且沒有開環(huán)零點(diǎn)。 將這兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)繪于圖4-2上, 并用“”表示。由式(4.1)可得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 0)(1sG即 02)(2ksssD(4.2) 第四章根 軌 跡 法 所以, 閉環(huán)系統(tǒng)的特征根(閉環(huán)極點(diǎn))為 ksks11,1121(4.3) 所以, 閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)s1, s2與標(biāo)準(zhǔn)化參數(shù)k之間的關(guān)系可由圖4-2表示。 從圖可以看出: (1) 當(dāng)k=0時(shí), s1, s2與p1, p2重合, 即開環(huán)極點(diǎn)和閉環(huán)極點(diǎn)重合; (2) 當(dāng)0k1時(shí), s1, s2均為(

3、-2, 0)區(qū)間內(nèi)的負(fù)實(shí)數(shù); (3) 當(dāng)k=1時(shí), s1 = s2=-1, 即兩閉環(huán)極點(diǎn)重合; (4) 當(dāng)1k時(shí), , 即兩閉環(huán)極點(diǎn)互為共軛; (5) 當(dāng)k時(shí), s1, s2將沿著直線=-1趨于無窮遠(yuǎn)處。 11, 1121kjskjs第四章根 軌 跡 法 由此可見, 通過分析系統(tǒng)的根軌跡圖就可清楚地看出閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)隨系統(tǒng)某個(gè)參數(shù)變化的關(guān)系。 例如, 從圖4-2可以看出: 無論K取何值, 由圖4-1表示的控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)均位于復(fù)平面的左半平面, 因此系統(tǒng)是閉環(huán)穩(wěn)定的; 而k=1(K=0.5)是此二階系統(tǒng)由過阻尼狀態(tài)過渡到欠阻尼狀態(tài)的分界點(diǎn)。 并且從圖中可以看出, 根軌跡是連續(xù)且對稱于實(shí)軸的,

4、這也是根軌跡的一個(gè)特性。 需要指出的是, 繪制根軌跡時(shí)選擇的可變參數(shù)可以是系統(tǒng)的任何參量, 但實(shí)際中最常用的是系統(tǒng)的開環(huán)增益。另外這里給出的例子是一個(gè)簡單的二階系統(tǒng), 其特征方程容易求解, 對于高階系統(tǒng), 其特征根的計(jì)算要借助計(jì)算機(jī)。 第四章根 軌 跡 法 kkk1k0k0120k2k3k2k3js圖4-2 二級(jí)系統(tǒng)根軌跡第四章根 軌 跡 法 4.2 根軌跡的繪制根軌跡的繪制 4.2.1 繪制根軌跡的基本條件繪制根軌跡的基本條件 為了繪制根軌跡, 需要從系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程入手。設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s), 其中G(s)和H(s)分別為控制系統(tǒng)的前向通道傳遞函數(shù)和反饋通道傳遞函

5、數(shù), 則反饋系統(tǒng)的特征方程為 1+G(s)H(s)=0 或?qū)懗?G(s)H(s)=-1 第四章根 軌 跡 法 將上式改寫成 )360180()()(1| )()(|ijsHsGjeesHsG(i=0, 1, 2, ) 從而得出繪制根軌跡所依據(jù)的條件是 幅值條件|G(s)H(s)|=1 (4.7) 相角條件G(s)H(s)=argG(s)H(s)=180+i360 (i=0, 1, 2, ) 實(shí)際上滿足相角條件的任一點(diǎn), 一定可以找到相應(yīng)的可變參數(shù)值, 使幅值條件成立。所以, 相角條件式(4.8)也是根軌跡的充要條件。只要利用相角條件就可確定根軌跡的形狀, 但利用幅值條件才可以求得給定閉環(huán)極點(diǎn)所

6、對應(yīng)的增益K。進(jìn)行相角計(jì)算時(shí), 規(guī)定正實(shí)軸方向?yàn)?, 逆時(shí)針方向?yàn)橄嘟堑恼较颉?(4.8)第四章根 軌 跡 法 4.2.2 根軌跡的繪制規(guī)則根軌跡的繪制規(guī)則 繪制系統(tǒng)的根軌跡, 首先寫出系統(tǒng)的特征方程： 0)()(1sHsG然后將此方程中開環(huán)傳遞函數(shù)部分改寫為零極點(diǎn)增益形式, 即特征方程可等價(jià)為 0)()()()(12121nmpspspszszszsK(4.9) 式(4.9)為繪制根軌跡的標(biāo)準(zhǔn)形式。并且, 由于閉環(huán)極點(diǎn)或?yàn)閷?shí)數(shù)或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù), 因此根軌跡是對稱于實(shí)軸的。下面給出繪制根軌跡圖的一般規(guī)則。 第四章根 軌 跡 法 1. 確定復(fù)平面上確定復(fù)平面上G(s)H(s)的零極點(diǎn)位置和根軌跡的

7、分支數(shù)的零極點(diǎn)位置和根軌跡的分支數(shù) 在復(fù)平面上標(biāo)出系統(tǒng)開環(huán)零極點(diǎn)的位置, 系統(tǒng)的根軌跡起點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn), 終點(diǎn)為開環(huán)零點(diǎn)(或無窮遠(yuǎn)處)。由于系統(tǒng)的特征方程有n個(gè)根, 所以當(dāng)可變參數(shù)K由零變化到無窮時(shí), 這n個(gè)特征根必然會(huì)隨K的變化出現(xiàn)n條根軌跡。因此, 根軌跡在復(fù)平面上的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階數(shù), 也就是說, 根軌跡的分支數(shù)等于閉環(huán)極點(diǎn)的個(gè)數(shù), 也等于開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目。 第四章根 軌 跡 法 2. 確定實(shí)軸上的根軌跡確定實(shí)軸上的根軌跡 實(shí)軸上的根軌跡由位于實(shí)軸上的開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)確定。 根據(jù)相角條件可以證明, 實(shí)軸上根軌跡區(qū)段右側(cè)的開環(huán)零極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)。 例例 4-1 已知一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的

8、開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 1() 1()(TsssKsG其中, T。 試大致繪出其根軌跡。 解解 首先將開環(huán)傳遞函數(shù)化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式:)/1()/1()(TsssksG第四章根 軌 跡 法 式中, k=K/T。系統(tǒng)有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1=0、p2=-1/T和一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)z1=-1/, 所以系統(tǒng)的根軌跡有兩條分支。當(dāng)k=0時(shí), 兩條根軌跡從開環(huán)極點(diǎn)開始; 當(dāng)k時(shí), 一條根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)z1, 另(2-1)=1條趨于無窮遠(yuǎn)處。并且根據(jù)開環(huán)零極點(diǎn)的位置, 可知實(shí)軸上的(z1,p1)和(-, p2)區(qū)間為根軌跡的區(qū)段。系統(tǒng)的根軌跡圖如圖4-3所示, 其中“”表示開環(huán)極點(diǎn), “”表示開環(huán)零點(diǎn)。 第四章根 軌

9、跡 法 圖 4-3 例 4-1 根軌跡圖 k0jsp10z11/kp21/ Tk0k0第四章根 軌 跡 法 3. 確定根軌跡的漸近線確定根軌跡的漸近線 如果開環(huán)零點(diǎn)的數(shù)目m小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n, 即nm, 則有(n-m)條根軌跡沿著某條漸近線終止于無窮遠(yuǎn)處。 漸近線的方位可由下面的方程決定。 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo): mnzpnimjjia11(4.10) 漸近線與實(shí)軸正方向的夾角: mnka) 12(180(k=0, 1, 2, ) (4.11) 當(dāng)k=0時(shí), 對應(yīng)與實(shí)軸有最小夾角的漸近線。盡管這里假定k可以取無限大, 但隨著k值的增加, 漸近線與實(shí)軸正方向的夾角會(huì)重復(fù)出現(xiàn), 并且獨(dú)立的漸近線只

10、有(n-m)條。 第四章根 軌 跡 法 例例 4-2 已知一四階系統(tǒng)的特征方程為 0)4)(2() 1(1)()(12ssssKsHsG試大致繪制其根軌跡。 解解 先在復(fù)平面上標(biāo)出開環(huán)零極點(diǎn)的位置, 極點(diǎn)用“”表示, 零點(diǎn)用“”表示, 并根據(jù)實(shí)軸上根軌跡的確定方法繪制系統(tǒng)在實(shí)軸上的根軌跡(如圖4-4(a)所示)。 第四章根 軌 跡 法 根據(jù)式(4.10)和(4.11)確定系統(tǒng)漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)和夾角如下: 314) 1()4(2)2(aa1=60 (k=0), a2=180 (k=1),a3=300 (k=2) 結(jié)合實(shí)軸上的根軌跡, 繪制系統(tǒng)的根軌跡如圖4-4(b)所示。 第四章根 軌 跡 法

11、 圖 4-4 例 4-2 根軌跡圖 js 10 2 40 1 2 4二重極點(diǎn)js(a)(b)第四章根 軌 跡 法 4. 求出分離點(diǎn)求出分離點(diǎn) 兩條或兩條以上的根軌跡分支在復(fù)平面上相遇又分開的點(diǎn)稱為分離點(diǎn)。一般常見的分離點(diǎn)多位于實(shí)軸上, 但有時(shí)也產(chǎn)生于共軛復(fù)數(shù)對中。分離點(diǎn)必然是重根點(diǎn), 如果將系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程寫為 0)()(1)()(1)(sNsKMsHsGsD則根據(jù)分離點(diǎn)必然是重根點(diǎn)的條件, 可以得出分離點(diǎn)的確定公式 (4.12) 0dsdK(4.13) 或 0)()()( )( )()()(2sMsMsNsMsNsMsNdsd(4.14) 第四章根 軌 跡 法 例例 4-3 對于例4-2給

12、出的四階系統(tǒng), 試確定其分離點(diǎn)坐標(biāo)。 解解利用式(4.13)或(4.14)可以求出分離點(diǎn)為d1=-4, d2=-2.5994, d34=-0.7003j0.7317將這四個(gè)值代入閉環(huán)系統(tǒng)方程(4.12), 可知d34對應(yīng)的K不滿足大于零的要求, 所以將其舍去。 另外, 可以發(fā)現(xiàn)d1=-4正是系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)(對應(yīng)K0時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)), 是一個(gè)重根。所以此系統(tǒng)的分離點(diǎn)坐標(biāo)為(-2.5994, j0)和(-4, j0)。 第四章根 軌 跡 法 5. 確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 根軌跡與虛軸相交, 說明控制系統(tǒng)有位于虛軸上的閉環(huán)極點(diǎn), 即特征方程含有純虛數(shù)的根。將s=j代入特征方程

13、(4.4), 則有1+G(j)H(j)=0將上式分解為實(shí)部和虛部兩個(gè)方程, 即 0)()(1Im0)()(1RejHjGjHjG(4.15) 解式(4.15), 就可以求得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo), 以及此交點(diǎn)相對應(yīng)的臨界參數(shù)kc。 第四章根 軌 跡 法 例例 4-4 求例4-2所給出的系統(tǒng)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。 解解 將s=j代入例4-2所給出的系統(tǒng)的特征方程, 可得 4-j103-322+j(32+K)+K=0 寫出實(shí)部和虛部方程: 4-322+K=0103-(32+K)=0 由此求得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 2514. 1,5204. 43412因?yàn)?4對應(yīng)的K小于零,所以舍去。因此,系

14、統(tǒng)根軌跡與虛軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,j4.5204)。 第四章根 軌 跡 法 6. 確定根軌跡的入射角和出射角確定根軌跡的入射角和出射角 所謂根軌跡的出射角(或入射角), 指的是根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處(或進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處)的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。圖4-5中的 為出射角, 為入射角。 21,pp21,zz圖 4-5 根軌跡出射角和入射角 第四章根 軌 跡 法 由于根軌跡的對稱性, 對應(yīng)于同一對極點(diǎn)(或零點(diǎn))的出射角(或入射角)互為相反數(shù)。因此, 在圖4-5中有 。 從相角條件, 可以推出如下根軌跡出射角和入射角的計(jì)算公式。 根軌跡從復(fù)數(shù)極點(diǎn)pr出發(fā)的出射角為 2121,zzppmijrnrj

15、jjrpzpppkr1, 1)arg()arg() 12(180(4.16) 根軌跡到達(dá)復(fù)數(shù)零點(diǎn)zr的入射角為 mriiirnjjrzzzpzkr, 11)arg()arg() 12(180(4.17) 式中, arg()表示復(fù)數(shù)的相角(幅角)。 利用上面提到的六條規(guī)則可以給出根軌跡的大致走向和一些關(guān)鍵點(diǎn)。為了精確繪制根軌跡圖, 可以使用MATLAB實(shí)現(xiàn)。 第四章根 軌 跡 法 圖4-5 根軌跡出射角和入射角jsp11z1pz1z22pp22z0第四章根 軌 跡 法 4.2.3 MATLAB繪制根軌跡繪制根軌跡 在MATLAB中提供了繪制系統(tǒng)根軌跡的rlocus( )函數(shù)。已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

16、的形式, 利用此函數(shù)可以方便地繪制出系統(tǒng)的根軌跡。 例例 4-5 設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下: ) 3)(2() 1()(ssssKsG試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡。 第四章根 軌 跡 法 解解 使用MATLAB繪制此根軌跡的程序如下: %ex-45 num=1 1; den=conv(1 0, conv(1 2, 1 3); G=tf(num, den); rlocus(G) title(); xlabel(Re); ylabel(Im); 第四章根 軌 跡 法 圖 4-6 例 4-5 的MATLAB仿真結(jié)果 86420246832.52 1.5 10.50ReIm第四章根 軌 跡 法 例

17、例 4-6 設(shè)單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 14 . 1)(6)(4()42()(22sssssssKsG試畫出系統(tǒng)的根軌跡圖。 解解 用MATLAB繪制此系統(tǒng)根軌跡的程序如下: %ex-4-6 num=1 2 4; den=conv(1 0, conv(1 4, conv(1 6, 1 1.4 1); G=tf(num, den); rlocus(G) title(); xlabel(Re); ylabel(Im); 第四章根 軌 跡 法 圖 4-7 例 4-6 根軌跡圖 155ReIm10501015201510505第四章根 軌 跡 法 例例 4-7 已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

18、 DuCxyBuAxx其中, 0,001 1410,1456160100010DCBA試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡。 第四章根 軌 跡 法 解解 給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式, 也可以直接用rlocus(A, B, C, D) 繪制出根軌跡。MATLAB程序如下: %ex-4-7 A=0 1 0; 0 0 1; -160 -56 -14; B=0; 1; -14; C=1 0 0; D=0; rlocus(A, B, C, D); title(); xlabel(Re); ylabel(Im); 第四章根 軌 跡 法 圖 4-8 例 4-7 根軌跡圖 Im302010010203010 864202Re第四章根 軌 跡 法 4.3 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析 例例 4-8 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) ) 15 . 0()(ssKsG試用根軌跡分析開環(huán)放大倍數(shù)K對系統(tǒng)性能的影響, 并計(jì)算K5時(shí), 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。 解解 系統(tǒng)根軌跡如圖4-9所示。 第四章根 軌 跡 法 圖 4-9