控制工程基礎(chǔ)第2章數(shù)學(xué)模型(1)

1、為輸出為輸入，)()(/)()()()(000022tututututudtdRCtudtdLCii11)()()(2RCSLCSSUSUSio1)()(1)()()(2jRCjLCjUjUjioR(S)-G3(S)G4(S)+G1(S)G2(S)C(S) 用用解析法解析法列寫(xiě)系統(tǒng)或元件微分方程的一般步驟是：列寫(xiě)系統(tǒng)或元件微分方程的一般步驟是： (1)(1) 分析系統(tǒng)分析系統(tǒng)的工作原理和信號(hào)傳遞變換的過(guò)程，的工作原理和信號(hào)傳遞變換的過(guò)程，確定確定系統(tǒng)和各元件的系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量輸入、輸出量； 任何機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都可以應(yīng)用任何機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都可以應(yīng)用牛頓定律牛頓定律來(lái)建來(lái)建立。機(jī)

2、械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可以立。機(jī)械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可以使用使用質(zhì)量、彈性和阻尼質(zhì)量、彈性和阻尼三個(gè)要素來(lái)描述。三個(gè)要素來(lái)描述。 1.1.機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng))(tfi)(0tx輸入量、輸入量、輸出量輸出量根據(jù)牛頓第二定律，有：根據(jù)牛頓第二定律，有：n由阻尼器、彈簧的特性，由阻尼器、彈簧的特性， 可寫(xiě)出：可寫(xiě)出： )()()()(22txdtdmtftftfoKBi)()()()(tKxtftxdtdBtfoKoB)(tfB)(tfK）（ .12)()()()(22tftKxtxdtdBtxdtdmiooo 當(dāng)質(zhì)量當(dāng)質(zhì)量m m很小可忽略不計(jì)時(shí)，系統(tǒng)很小可忽略不計(jì)時(shí)，系

3、統(tǒng)由并聯(lián)的彈簧和阻尼器組成，如圖由并聯(lián)的彈簧和阻尼器組成，如圖2 22 2所示。此時(shí)：所示。此時(shí)： note: 說(shuō)明說(shuō)明m m不計(jì)時(shí)機(jī)械平移系統(tǒng)的數(shù)不計(jì)時(shí)機(jī)械平移系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)學(xué)模型是一個(gè)“一階常系數(shù)線一階常系數(shù)線性微分方程性微分方程 ” ”。 說(shuō)明，同一系統(tǒng)由于簡(jiǎn)化程度說(shuō)明，同一系統(tǒng)由于簡(jiǎn)化程度的不同，可以有不同的數(shù)學(xué)模的不同，可以有不同的數(shù)學(xué)模型。型。 )()()(tftKxtxdtdBioo)()()(ttKtToiK 為輸入、為輸入、 為輸出。此時(shí)它加給旋轉(zhuǎn)體的扭矩為輸出。此時(shí)它加給旋轉(zhuǎn)體的扭矩為為 ，則：，則：)(ti)(0t)(tTk扭矩平衡方程：扭矩平衡方程： )()()(

4、22tTtTtdtdJBKo)()()()(22tKtKtdtdBtdtdJiooo)()(tdtdBtToB2 2電氣系統(tǒng)電氣系統(tǒng) 為輸入、為輸入、 為輸出。為輸出。)(tui)(tuo根據(jù)基爾霍夫定律，有：根據(jù)基爾霍夫定律，有： 實(shí)例實(shí)例1 1dttiCudttiCdttdiLtRiuoi)(1)(1)()()3 . 2.().()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooonnote: note: 說(shuō)明電氣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)說(shuō)明電氣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)“二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程 ”。n若若L L0 0，系統(tǒng)也可簡(jiǎn)化為一階常系數(shù)微分方程，如下：，系統(tǒng)也可

5、簡(jiǎn)化為一階常系數(shù)微分方程，如下： )4 . 2.().()()(tututudtdRCioo有源電網(wǎng)絡(luò)如圖有源電網(wǎng)絡(luò)如圖2.5所示，所示，設(shè)設(shè)ui為輸入，為輸入，uo為輸出。為輸出。根據(jù)“運(yùn)放”電路特點(diǎn)，有：0)(K)()(00KututuKtuoAAo值很大，故：一般)5 . 2.().()(tutudtdRCiodttduCRtutitiKututuKtuoioAo)()()()(0)()()(2100故以運(yùn)放輸入阻抗很高，所值很大，故：且3.3.流體系統(tǒng)流體系統(tǒng)如圖如圖2.62.6所示所示設(shè)設(shè) 輸入量輸入量 qi(t qi(t)/)/流入箱體的流量；流入箱體的流量； 輸出量輸出量 H(t

6、 H(t)/)/液面高度。液面高度。根據(jù)流體連續(xù)方程，可得根據(jù)流體連續(xù)方程，可得)6 . 2).()()(tqtqdttdHAoi式中：A箱體截面積為常數(shù)面積不變時(shí)系數(shù)，通流通流口結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的由節(jié)流閥通流面積和式中：流，其流量公式為：通過(guò)節(jié)流閥的液流是湍設(shè)液體是不可壓縮的，)7 . 2()()(#tHtqo。是一個(gè)非線性微分方程顯然，式得液位波動(dòng)方程為：消去中間變量)8 . 2()8 . 2()()()()(tqtHdttdHAtqio結(jié)論結(jié)論: :物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型。反之，同一數(shù)學(xué)模型可以描述物理性質(zhì)完全反之，同一數(shù)學(xué)模型可以

7、描述物理性質(zhì)完全不同的系統(tǒng)。不同的系統(tǒng)。note: note: 分析式分析式(2.1)(2.1)和式和式(2.3) (2.3) 可以看出：描述可以看出：描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程的系數(shù)都是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)及其系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程的系數(shù)都是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)及其組合，這就說(shuō)明系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，組合，這就說(shuō)明系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。 以上表明：按描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程，以上表明：按描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程，可將系統(tǒng)分成可將系統(tǒng)分成線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)和和非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)兩類；兩類； 用線性微分方程描述的系統(tǒng)，稱為用線性微分方程描述的系統(tǒng)，稱為

8、線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則稱為如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則稱為線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)不是常數(shù)，而是時(shí)間如果方程的系數(shù)不是常數(shù)，而是時(shí)間t t的函數(shù)，的函數(shù)，則稱為則稱為線性時(shí)變系統(tǒng)線性時(shí)變系統(tǒng)； 線性系統(tǒng)的特點(diǎn)是具有線性系統(tǒng)的特點(diǎn)是具有線性性質(zhì)線性性質(zhì)，即服從，即服從疊加原理疊加原理。這個(gè)原理是說(shuō)，多個(gè)輸入同時(shí)作用于線性系統(tǒng)這個(gè)原理是說(shuō)，多個(gè)輸入同時(shí)作用于線性系統(tǒng)的總響應(yīng)，等于各個(gè)輸入單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響的總響應(yīng)，等于各個(gè)輸入單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)之和；應(yīng)之和； 工程實(shí)踐中，可實(shí)現(xiàn)的線性定常系統(tǒng)，均能工程實(shí)踐中，可實(shí)現(xiàn)的線性定常系統(tǒng)，均能用用n n階常系數(shù)線性微分方程

9、階常系數(shù)線性微分方程來(lái)描述其運(yùn)動(dòng)特性；來(lái)描述其運(yùn)動(dòng)特性； 設(shè)系統(tǒng)的輸入量為xi(t)，輸出量為xo(t)，則單輸入單輸出n階系統(tǒng)常系數(shù)線性微分方程的一般形式：)92.()(.)(.1222111012221110txbdtdxbdtxdbdtxdbdtxdbtxadtdxadtxdadtxdadtxdaimimmimmimmimononnonnonnonnmbbbaaamn所以總是：到能源能量的限制，總含有慣性元件以及受由于實(shí)際系統(tǒng)中定的實(shí)常數(shù)”。是“由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決、和、式中：.1010可將可將微積分運(yùn)算微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算；能夠把描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的能夠把描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的

10、微分方微分方程程很方便地很方便地轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)。n函數(shù)f(t)的定義域?yàn)?t0 ，那么f(t)的拉普拉斯變換定義為： 象函數(shù)。原函數(shù)；均為實(shí)數(shù)、是復(fù)變數(shù)，式中，)()()()()(SS)10. 2()()()(0SFtfSFtfjdtetftfLSFstdef1 1單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)1(t)1(t)的拉氏變換的拉氏變換 變換幾種典型函數(shù)的拉氏.2.22）tttdef(1()( 1)11. 2(1)1(001)( 1 0lim0Re01)( 1)( 1 )(0。所以時(shí)，當(dāng)換為：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)的拉氏變SSeStLeeSdtettLSFststtstStSkS1k.k.

11、1(t)kf(t)SkkLSF)(即：255)(5)(22SeLSFetftt則：設(shè)實(shí)例)12. 2(11)()()(. 2110)(0則：令的拉氏變換指數(shù)函數(shù)SSeLSFSSdtedteeeLSFetfttSSttttjeetdttetLSFttfttftjtjst2sinsinsin)(cos)(sin)(. 30121歐拉公式，有：那么：，設(shè)拉氏變換正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的所以)13. 2()11(21)0101(21)(21)(21)(22)()(0)(0)(001SjSjSjejSejSjdtedtejdteedteejSFtjStjStjStjSSttjSttj同理同理222cos)(

12、SStLSF12)sin(2)( 1)sin(2)( 12StLSFttf則：解12)cos(2)( 1)cos(2)(22SStLSFttf則單位脈沖函數(shù)的數(shù)學(xué)表單位脈沖函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為達(dá)式為: : )0(1lim)0(0)(0tttt和 其拉氏變換式為其拉氏變換式為: : 00000.0)(,1lim1lim)()(，時(shí)ttdtedtetLSstst2)(2)()(2)(tLSFttf則：實(shí)例泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)1lim.)! 21 (1 1lim)1 (1lim0.1lim)(022000sssssesSeSsst 單位速度函數(shù)又稱單位速度函數(shù)又稱單位斜坡函數(shù)單位斜坡函數(shù)，其，其數(shù)學(xué)表達(dá)式

13、為數(shù)學(xué)表達(dá)式為: : )0()0(0)(ttttfstststesvdudtdvdteutvduuvudvdttetLSF1,0)(#000那么：令：利用分部積分法：換為：?jiǎn)挝凰俣群瘮?shù)的拉氏變222)(2)(StLSFttf則：實(shí)例)16. 2(110)(, 0lim0)Re()1(0)(200則時(shí)，當(dāng)sdteSSFesdteSestSFststtstst 單位加速度函數(shù)的數(shù)學(xué)單位加速度函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為表達(dá)式為 )0(21)0(0)(2ttttf 其拉氏變換式為其拉氏變換式為 322242)()21( 42)(StLSFtttf則：實(shí)例)17. 2()0(Re121)(32sStLSF1 1

14、疊加定理疊加定理 拉氏變換也服從線性函數(shù)的齊拉氏變換也服從線性函數(shù)的齊次性和疊加性。次性和疊加性。 常數(shù)式中：則，設(shè)齊次性_ )18. 2( )()( )()( ) 1 (aSaFtafLSFtfL拉氏變換是線性變換！為常數(shù)。和式中結(jié)合起來(lái)，就有：、式則疊加性設(shè)baSbFSaFtbftafLSFSFtftfLSFtfLSFtfL)()()()()19. 2()18. 2()19. 2()()()()(),()(),()()2(2121212122119423)( 2)( 13)()()( 2)( 13)(22SSStfLtfLtfLSFtftftf所以：解時(shí)刻的值，即初始值。在函數(shù)式中：則設(shè)0

15、)()0()0()()(),()(ttfffSsFdttdfLSFtfL時(shí)刻的值。原函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)在、式中：同樣，0.)0()0()20. 2()0(.)0()0()()(.)0()0()0()()()0()0()()( )1( 21 2333222tffffSfSSFSdttfdLfSffSSFSdttfdLfSfSFSdttfdLnnnnnn3 3復(fù)微分定理（略）復(fù)微分定理（略） )21. 2()()(.)()()()()()(333222若初始條件為零，則：SFSdttfdLSFSdttfdLSFSdttfdLSSFdttdfLnnn）（時(shí)：當(dāng)初始條件為時(shí)刻的值。在積分式中，）（則設(shè)5.2

16、2)(1)(00)()0(4.22)0(1)(1)(),()()1()1(SFsdttfLtdttfffsSFsdttfLSFtfL)(1)(.0)26. 2()0(1.)0(1)(1)(.)1()1(SFSdttfLfSfSSFSdttfLnnnnnn時(shí)，則當(dāng)初始條件為對(duì)多重積分：所示。，如圖沿時(shí)間軸延遲了為原函數(shù)函數(shù)，則時(shí)，且設(shè)11. 2)()()28. 2()()(0)(0),()(tftfSFetfLtftSFtfLs2222coscoscoscos)29. 2()()(),()(）（的象函數(shù)為，則的象函數(shù)例如，則設(shè)ssteLtesstLtSFtfeLSFtfLttt7 7初值定理初值

17、定理 8.8.終值定理終值定理 設(shè)設(shè) Lf(t)=F(S)Lf(t)=F(S)，并且，并且 存在，則存在，則 )(limtft)(limlim0)()(SSFStftf即原函數(shù)的終值等于即原函數(shù)的終值等于S S乘以象函數(shù)的初值乘以象函數(shù)的初值乘以象函數(shù)的終值。即，原函數(shù)的初值等于時(shí)的數(shù)值。它表明原函數(shù)在sssFtftst)30. 2()(lim)(lim009 9卷積定理卷積定理 dgtftgtftgtfSGSFtgtfLSGtgLSFtfLtdef0)()()(*)()(*)()32. 2()32. 2()()()(*)()()(),()(定義為：為卷積分的數(shù)學(xué)表示，中，式函數(shù)的乘積。的拉氏

18、變換等于它們象即兩個(gè)原函數(shù)的卷積分，則有設(shè)122)2(2)2()2/(11)()()33. 2()()(.105 . 05 . 0sSFeLtfLetfsSFeLetfccScFctfLtttt的象函數(shù)為，則的象函數(shù)例如，比例系數(shù)。式中，時(shí)間比例尺的改變拉普拉斯反變換的公式為拉普拉斯反變換的公式為 拉氏反變換的符號(hào)。式中：_)36. 2()(21)()(11LdseSFjSFLtfjcjcst)(.)()()(11101110mnasasasabsbsbsbSASBSFsmnnnmmmm的有理分式：的象函數(shù)是在控制理論中，常遇到的極點(diǎn)。的根的負(fù)值，即是、式中，有：的分母因式分解，則將)(0)(

19、.).()(.)()(21211110SFSAppppspspsbsbsbsbSFSFnnmmmm：處的留數(shù)，其求法如下是待定系數(shù)，它是式中，實(shí)數(shù)極點(diǎn)”的極點(diǎn)是“各不相同的）（點(diǎn)分析：的極點(diǎn)分布情況，分幾根據(jù)iiniiinnnmmmmpsApsApsApsApsApspspsbsbsbsbsAsBSFsFsF)37. 2(.).()(.)()()()(1)(. 212211211110tpniiniiipsiiiieApsALSFLtfpSSFA1111)()()(得原函數(shù)：再根據(jù)“疊加定理”，31)2)(3(2)(23)2)(3(2)6(2)()()6(2)(.12020132122222s

20、sssssssssFAsAsAsAsssssssssssFsFssssssF因式分解，有解將的原函數(shù)求例)0(5415831)21.54()31.158()1.31()()(21.5431.1581.31)(54)2()2)(3(2)2)(158)3()2)(3(2)3)(23111122233232teesLsLsLsFLtfssssFssssssssFAssssssssFAttssss）（的實(shí)數(shù)極點(diǎn)，其余為各不相同、含有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)”的極點(diǎn)是“含有一對(duì)共）（nnnmmmmpsApsApspsAsApspspspsbsbsbsbsFppsFsF.).()()(.)()()(23

21、3212132111102121212121)()()()(.)()()()(2121213321212121pspspspspspsnnpspsAsApspssFpspspsApsApspsAsApspssFAA或或或或即：按下式求解：和式中，0:.402)()(,)()(2 . 232122pjpjpjsjsssFjsjsssFdndndndnndndnn；和一個(gè)極點(diǎn)含有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)）（解：試求其部分分式。已知例)41. 2()()()(3212sAjsjsAsAjsjsssFdndndndnn得到：乘以上式兩邊，并令用相等，有：和式由式、求系數(shù),)()42. 2()()()41. 2

22、()40. 2(:3212321dndndndndndndnnjsjsjssAjsjsAsAjsjssAAAd12n1dn2dn1dn2n212n)(dndnjAAAjAjAjAsAsjsjs故：1)()()(21dndn2n0dndn2n03n11d1d2n1njjjsjssFsAAAAAAss同樣，得：故：兩邊實(shí)虛部分別相等：2222)()(1)(21)(dnndnndndnnssssjsjssssF于是：21221)sin(11sin1cos1)(tgtetetetfdtdtdtnnn1)2321)(2321(1)()()(,) 1(1)(.3222102ssAsAsAjsjssssFs

23、FtfsssssF得的分母“因式分解”，解：將求已知例21232121232122020)2321(232112321)1() 1(11) 1(1AjAjjAsAsssssssssssAjsjss11) 1(1)(0, 123)(2321)(2122212121ssSSsssssFAAAAAA故：兩邊實(shí)虛部相等：22222222222)23()21(232321)23()21(211)23()21(21)23()21(211)23()21(111)(sssssssssssssssSF)0(23sin57. 023cos1)()23()21(2357. 0)23()21(211) 1(1)(21

24、212222121ttetetfssssLssssLtftt故：的求法如下：、”“同、式中，）（）（的實(shí)數(shù)極點(diǎn)，其余為各不相同重實(shí)數(shù)極點(diǎn)含有極點(diǎn)”的極點(diǎn)是“含有實(shí)數(shù)重）（rnrrnnrrrrrnrrrmmmmAAAAAApsApsApsApsApsApspspspsbsbsbsbsFprsFsF00201211100100200121011100.) 1 (.).()()(.)()()(30000)()!1(1.)(! 21)()(0)1()1(002203002001psrrrrpsrpsrpsrpssFdsdrApssFdsdApssFdsdApssFAtPrrrLrrnnnnLnetrA

25、PSAtrSStnSSnnnSnt0110100111)1(111)!1()()!1(111!1112).2)(1(!)43. 2(.).()()(.)(110010020012101110）（）（nnrrrrrnrrrmmmmpsApsApsApsApsApspspspsbsbsbsbsF)44. 2()0(.)!2()!1()()(1010)2(02)1(011則teAeAeAtrAtrAsFLtftnrpntprtprrr)46. 2()()(25.42)()()(,)()(.423022012222解：個(gè)重極點(diǎn)，進(jìn)行因式分含有）（解：已知的部分分式。試求設(shè)例sAsAsAsFsssFsF

26、sssFnnnnnn1)(1)()()()(022322222022220130201snnsnsnnnnsnnnsssAssssdsdAsssAAAAnnn：和、求系數(shù)tnttnnnnnnnetetetfssssF)1 (11)(11)()(2于是解：將的拉氏反變換。求例12)2()() 1()2(3)(.523022012sAsAsAsFssssF2)1() 1()2(32) 1() 1)(3() 1()3()2() 1()2(311232)2() 1()2(312322222022220130201ssssssssAsssssssssdsdAssssAAAA：和、求系數(shù))0(2)2()(

27、1222)2(1)(22teettfssssFtt于是：將微分方程的時(shí)域解。）拉氏反變換（的拉氏變換表達(dá)式；得象函數(shù)的變量）解代數(shù)方程（的代數(shù)方程）（微分方程一項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換；）對(duì)線性微分方程的每（分方程的步驟：應(yīng)用拉氏變換解線性微321ss)0()0()5()()65()(6)(5)()(6)(6)0(5)(5)(5)0()0()()()()0()0(1)()()(6)(5)(.8222222222ooooooooooooooooooiioooxxssXsstxdttdxdttxdLsXtxLxsXdttdxLxsxsXsdttxdLtxxxtxtxtxdttdxdttxd應(yīng)用疊加原理：行拉

28、氏變換解：對(duì)微分方程左邊進(jìn)。，求、，初始條件分別為若設(shè)系統(tǒng)的微分方程為例)()()()(1)(65)0()0()5(1651)(1)0()0()5()()65(1)( 1 )(222sDsNsXsDsXssxxsssssXsxxssXssstLtxLioooooooi寫(xiě)成一般形式：換：對(duì)方程右邊進(jìn)行拉氏變?nèi)缦拢骸⑶蟠ㄏ禂?shù)部分分式展開(kāi)是系統(tǒng)的特征方程。上式：213212132123232)3)(2()0( )0()5()3)(2(1)(065)(BBAAAsBsBsAsAsAssxxsssssXsssDooo)0()0(2)3()3)(2()0()0()5()0()0(3)2()3)(2()0

29、()0()5(31)3()3)(2(121)2()3)(2(161)3)(2osoooosoosssxxsssxxsBxxsssxxsBssssAssssAssssA）（時(shí)，得當(dāng)初始條件為故代入原式得0312161)(0)0()0(2)0()0(3312161)(3)0()0(22)0()0(333122161)(323232teetxexxexxeetxsxxsxxssssXttotootoottoooooo對(duì)于對(duì)于線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)是常用的數(shù)學(xué)模型，它，傳遞函數(shù)是常用的數(shù)學(xué)模型，它是在拉氏變換的基礎(chǔ)上建立的。是在拉氏變換的基礎(chǔ)上建立的。 傳遞函數(shù)3

30、 . 2義傳遞函數(shù)的概念和定1 . 3 . 2 對(duì)于對(duì)于線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)，在，在零初始條件零初始條件下，系統(tǒng)下，系統(tǒng)輸出量輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比，稱，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 )4 . 2()(1)()()()47. 2(1)()()()()()()(0.12)()()()() 1 . 2(.12. 122222此時(shí)，傳遞函數(shù)為時(shí)：初始條件）（式描述如下：阻尼”系統(tǒng)，由彈簧的“質(zhì)量對(duì)于圖sFKBsmssFsGsXKBsmssFsXsGsFsKXsBsXsXmstftKxtxdtdBtxdtdmiioi

31、oioooiooo實(shí)例分析實(shí)例分析nP12P12)49. 2(11)()()(04 . 2. 22）：始條件為傳遞函數(shù)描述如下（初無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)”系統(tǒng)，的“同樣，對(duì)于圖RCsLCssUsUsGRLCio式（式（2.472.47）和（）和（2.492.49）表明：）表明： 傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)s s域中系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，域中系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，它它僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，而與輸入的形僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，而與輸入的形式無(wú)關(guān)。式無(wú)關(guān)?；窘Y(jié)論基本結(jié)論 傳遞函數(shù)的基本思想：傳遞函數(shù)是通過(guò)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的基本思想：傳遞函數(shù)是通過(guò)系統(tǒng)的輸入量與輸出量之間的關(guān)系來(lái)描述系統(tǒng)固有特的輸入量與輸出量

32、之間的關(guān)系來(lái)描述系統(tǒng)固有特性的，即性的，即以系統(tǒng)的外部特性來(lái)揭示系統(tǒng)的內(nèi)部特以系統(tǒng)的外部特性來(lái)揭示系統(tǒng)的內(nèi)部特性性。 從微分方程可以求得傳遞函數(shù)從微分方程可以求得傳遞函數(shù)定的實(shí)常數(shù)。為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)所決、及、系統(tǒng)輸入量；系統(tǒng)輸出量；式中，方程的一般形式為：設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分nnioimimimmimmonononnonnbbbaaatxtxtxbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtda.)()()50. 2()()(.)()()()(.)()(10101111011110)51. 2()(.)()()()50. 2(011101110傳遞函數(shù)的一般形式：

33、進(jìn)行拉氏變換，可得下，對(duì)式在初始條件為mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio穩(wěn)定性！特征方程決定著系統(tǒng)的。其根即特征根。即系統(tǒng)的“特征方程”）可表示為則式（中，令若在式點(diǎn)特征方程、零點(diǎn)和極0)()52. 2()()()()()(1.52.)(.)()51. 2(2 . 3 . 211101110sDsDsMsXsXsGasasasasDbsbsbsbsMionnnnmmmm稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；的根稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；的根式中，也可寫(xiě)成式即式系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形),.,2 , 1(0)(),.,2 , 1(0)()53. 2()()().()().()()()51. 2

34、(210210nipssDmizssMsDsMpspspsazszszsbsGiimm參數(shù)。，即取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、和、取決于系統(tǒng)諸參數(shù)：零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)值完全。極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根顯然，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的nmaaabbb.1010 (1)(1) 傳遞函數(shù)是經(jīng)拉氏變換導(dǎo)出的，而拉氏變傳遞函數(shù)是經(jīng)拉氏變換導(dǎo)出的，而拉氏變換是一種線性積分運(yùn)算，因此傳遞函數(shù)的概念換是一種線性積分運(yùn)算，因此傳遞函數(shù)的概念只只適用于適用于線性定常系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)。(2)(2) 傳遞函數(shù)中傳遞函數(shù)中各項(xiàng)系數(shù)值各項(xiàng)系數(shù)值和相應(yīng)微分方程中各和相應(yīng)微分方程中各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，完全決定于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)完全決定于系統(tǒng)的結(jié)

35、構(gòu)參數(shù)。 (3)(3) 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時(shí)刻之前，系統(tǒng)對(duì)所給定的平衡工作點(diǎn)是處于相時(shí)刻之前，系統(tǒng)對(duì)所給定的平衡工作點(diǎn)是處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)的。因此，傳遞函數(shù)原則上對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)的。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 (4)(4) 一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出的關(guān)系，所以個(gè)輸出的關(guān)系，所以只適合于單輸入單輸只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述出系統(tǒng)的描述，而且系統(tǒng)內(nèi)部的中間變量，而且系統(tǒng)內(nèi)部的中間變量的變化情況，傳遞函數(shù)也無(wú)法反映。的變化

36、情況，傳遞函數(shù)也無(wú)法反映。 控制系統(tǒng)一般由控制系統(tǒng)一般由若干元件若干元件以一定形式以一定形式連接而成的。連接而成的。 在控制工程中，常常將具有某種確定在控制工程中，常常將具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為部分稱為一個(gè)環(huán)節(jié)一個(gè)環(huán)節(jié)，經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)則稱，經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)則稱為為典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)。這樣。這樣任何復(fù)雜的系統(tǒng)總可歸任何復(fù)雜的系統(tǒng)總可歸結(jié)為由一些典型環(huán)節(jié)組成。結(jié)為由一些典型環(huán)節(jié)組成。系統(tǒng)放大系數(shù)。式中，式可以寫(xiě)成：系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形KssTsTssssKsGkkkekjdjvLLLcLibi) 12() 1() 12() 1()(2

37、2112211 傳遞函數(shù)這種表達(dá)式含有六種不同的因子，傳遞函數(shù)這種表達(dá)式含有六種不同的因子，一般說(shuō)來(lái)，一般說(shuō)來(lái)，任何系統(tǒng)都可以看作這六種因子任何系統(tǒng)都可以看作這六種因子表示的環(huán)節(jié)的串聯(lián)組合表示的環(huán)節(jié)的串聯(lián)組合，這六種因子就是前，這六種因子就是前面提到的典型環(huán)節(jié)。面提到的典型環(huán)節(jié)。 典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié): :比例環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、比例環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、二階二階微分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié) 環(huán)節(jié)的比例系數(shù)。；環(huán)節(jié)的輸出量和輸入量，式中：KtxtxtKxtxioio)()()()( (1) (1) 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) 微分方程：微分方

38、程： 傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：KsXsXsGio)()()( 實(shí)例：實(shí)例：)57. 2()()()()()()()()()(4.1221212121則上式經(jīng)拉氏變換后得：齒輪齒數(shù)。、輸出軸轉(zhuǎn)速；輸入軸轉(zhuǎn)速；式中，側(cè)間隙不計(jì)，則所示的齒輪傳動(dòng)副，齒圖KzzsNsNsGzsNzsNzztntnztnztniooioioi)58. 2()()()()()()()()()(5.12121212故已知：為輸出電壓。為輸入電壓，圖中所示為一運(yùn)算放大器。圖KsUsUsGsUsUtutututuRRioiRRoiRRooi）（9.52)()()(tKxtxtxdtdTioo 微分方程：微分方程： 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)： 實(shí)例：實(shí)例：慣性時(shí)間常數(shù)。環(huán)節(jié)增益；式中，TKTsKsXsXsGio)60. 2(1)()()(。慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，式中，傳遞函數(shù)為其方程為：阻尼器”組成的環(huán)節(jié)，為“彈簧圖KBTTTsKBsKsGtKxtKxdttdxBioo11)()()()(6.12）（1.62)(dtdxTtxio 微分方程：微分方程： 傳