高中數(shù)學(xué)人教版必修四：第二章 平面向量 213相等向量與共線向量

1、 相等向量與共線向量相等向量與共線向量人教人教A A版必修版必修4 42.1.32.1.3課堂導(dǎo)入：課堂導(dǎo)入： 有向線段有哪有向線段有哪3 3個(gè)要素？個(gè)要素？對(duì)于兩個(gè)向量對(duì)于兩個(gè)向量a、b，它們的長(zhǎng)度可能相，它們的長(zhǎng)度可能相等，也可能不相等；它們的方向可能相等，也可能不相等；它們的方向可能相同，也可能不相同同，也可能不相同思考：思考：1 1比較兩個(gè)向量的長(zhǎng)度和方向的異同關(guān)系，比較兩個(gè)向量的長(zhǎng)度和方向的異同關(guān)系，有哪幾種可能情形？有哪幾種可能情形？2 2長(zhǎng)度相等且方向相同的向量是什么關(guān)系？長(zhǎng)度相等且方向相同的向量是什么關(guān)系？一、相等向量一、相等向量 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等長(zhǎng)度相等且方向

2、相同的向量叫做相等向量向量, ,記作記作ab.提示：提示： （1 1）任意兩個(gè)相等的非零向量，通過(guò)平移都可以用）任意兩個(gè)相等的非零向量，通過(guò)平移都可以用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)關(guān)（2 2）對(duì)一組相等的向量，將它們的起點(diǎn)平移到同一）對(duì)一組相等的向量，將它們的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)點(diǎn)O O，則他們的終點(diǎn)重合，則他們的終點(diǎn)重合（3 3）模相等（或方向相同）是向量相等的必要條件，）模相等（或方向相同）是向量相等的必要條件，模相等且方向相同是向量相等的充要條件模相等且方向相同是向量相等的充要條件（4 4）對(duì)于一個(gè)非零向量，只要不改變它的大小和）

3、對(duì)于一個(gè)非零向量，只要不改變它的大小和方向，就可以任意平行移動(dòng)，平移后的向量與原方向，就可以任意平行移動(dòng)，平移后的向量與原向量是相等向量，這為用向量處理幾何問(wèn)題帶來(lái)向量是相等向量，這為用向量處理幾何問(wèn)題帶來(lái)了很大的方便了很大的方便（5 5）對(duì)于不共線的四點(diǎn)）對(duì)于不共線的四點(diǎn)A、B、C、D，若，若 ，則則A、B、C、D是一個(gè)平行四邊行的四個(gè)頂點(diǎn)是一個(gè)平行四邊行的四個(gè)頂點(diǎn)（6 6）相等向量具有傳遞性，即如果）相等向量具有傳遞性，即如果ab，且，且bc，那么那么acCDAB 典例剖析典例剖析 例例1 1 如下圖，四邊形如下圖，四邊形ABCD和和ABDE都是平都是平行四邊形行四邊形（1 1）寫(xiě)出與向量

4、）寫(xiě)出與向量 相等的向量；相等的向量；（2 2）若）若 3 3，求向量，求向量 的模的模組卷網(wǎng) EDECED規(guī)律：規(guī)律：（1 1）在圖形背景下找相等向量，只要根據(jù)相等）在圖形背景下找相等向量，只要根據(jù)相等向量的定義，觀察圖形可直觀得出結(jié)論在邏向量的定義，觀察圖形可直觀得出結(jié)論在邏輯分析中，要注意相等的傳遞性輯分析中，要注意相等的傳遞性（2 2）一般地，）一般地， ，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)AB與與BC同向時(shí)取等號(hào)同向時(shí)取等號(hào)ACBCAB變式練習(xí)變式練習(xí) 如下圖，如下圖，B、C是線段是線段AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，的兩個(gè)三等分點(diǎn)，在以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，最多可以寫(xiě)出在以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中

5、，最多可以寫(xiě)出多少個(gè)互不相等的非零向量？并舉例說(shuō)明多少個(gè)互不相等的非零向量？并舉例說(shuō)明 設(shè)線段設(shè)線段AD的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為3 3，那么模為，那么模為1 1的向量有的向量有6 6個(gè)，模為個(gè)，模為2 2的向量有的向量有4 4個(gè)，模為個(gè)，模為3 3的向量有的向量有2 2個(gè)，即共有個(gè)，即共有1212個(gè)向個(gè)向量量在模為在模為1 1的向量中，的向量中， 不同的向量只能寫(xiě)不同的向量只能寫(xiě)2 2個(gè)；個(gè)；在模為在模為2 2的向量中，的向量中， 不同的向量也只能寫(xiě)不同的向量也只能寫(xiě)2 2個(gè)；個(gè)；模為模為3 3的向量是的向量是 它們不相等它們不相等故最多可以寫(xiě)出故最多可以寫(xiě)出6 6個(gè)互不相等的非零向量，個(gè)互不相等的非

6、零向量，例如例如.DAADCAACBAAB、.,DCCBBACDBCAB.,DBCABDAC.,DAAD二二 、共線向量、共線向量 任一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，因此，任一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，因此，平行向量也叫做共線向量平行向量也叫做共線向量疑似點(diǎn)提示：疑似點(diǎn)提示：（1 1）平行向量與共線向量是等價(jià)的同一個(gè)概念，只是名稱不）平行向量與共線向量是等價(jià)的同一個(gè)概念，只是名稱不同而已同而已（2 2）兩個(gè)共線向量并不一定要在同一條直線上，只要兩個(gè)向）兩個(gè)共線向量并不一定要在同一條直線上，只要兩個(gè)向量的方向相同或相反，就是共線向量量的方向相同或相反，就是共線向量（3 3）兩個(gè)共線向

7、量）兩個(gè)共線向量a、b所在直線，可能平行或重合，但不能所在直線，可能平行或重合，但不能相交相交（4 4）兩個(gè)非零共線向量也包括以下四種情況：方向相同且模）兩個(gè)非零共線向量也包括以下四種情況：方向相同且模相等；方向相同且模不相等；方向相反且模相等；方向相反且相等；方向相同且模不相等；方向相反且模相等；方向相反且模不相等因此，共線向量不一定是相等向量，而相等向量一模不相等因此，共線向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量定是共線向量典例剖析典例剖析例例2 2 判斷下列命題的真假：判斷下列命題的真假：（1 1）若兩個(gè)單位向量共線，則這兩個(gè)單位向量相等；）若兩個(gè)單位向量共線，則這兩個(gè)單位向量相等

8、；（2 2）不相等的兩個(gè)向量一定不共線；）不相等的兩個(gè)向量一定不共線；（3 3）若）若a為非零向量，則與為非零向量，則與a相等的向量必與相等的向量必與a共線；共線；答案：答案：（1 1）假命題，兩個(gè)單位向量共線，它們的方向可以相反，從而）假命題，兩個(gè)單位向量共線，它們的方向可以相反，從而不一定相等；不一定相等；（2 2）假命題，不相等的兩個(gè)向量有可能其模不相等，但方向相）假命題，不相等的兩個(gè)向量有可能其模不相等，但方向相同或相反，從而不相等的兩個(gè)向量有可能個(gè)共線；同或相反，從而不相等的兩個(gè)向量有可能個(gè)共線；（3 3）真命題，相等向量其方向相同，從而一定是共線向量；）真命題，相等向量其方向相同，

9、從而一定是共線向量；規(guī)規(guī) 律：律： 判斷與共線向量有關(guān)的命題的真假，要判斷與共線向量有關(guān)的命題的真假，要依據(jù)共線向量或平行向量的定義，并結(jié)合圖依據(jù)共線向量或平行向量的定義，并結(jié)合圖形，列舉反例等進(jìn)行評(píng)判只要有一個(gè)反例形，列舉反例等進(jìn)行評(píng)判只要有一個(gè)反例與命題不符，則命題不正確，同時(shí)要注意零與命題不符，則命題不正確，同時(shí)要注意零向量與任何向量共線這一特例向量與任何向量共線這一特例變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 如下圖，在平行四邊形如下圖，在平行四邊形ABCD 中，對(duì)角線中，對(duì)角線AC與與BD 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O，在向量，在向量 等中，哪些向量是共線向量？等中，哪些向量是共線向量？ ，CDABDOBOOCACA

10、O A、O、C三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線， 是共線向量是共線向量 B、O、D三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線， 是共線向量是共線向量 ABDC， 是共線向量是共線向量 ADBC， 是共線向量是共線向量 OCACAO，BDDOBO，DCAB與BCAD與復(fù)習(xí)：1 1 的向量叫相等向量，若的向量叫相等向量，若a與與b相相等，記作等，記作 2 2由于向量可以平行移動(dòng)，所以任一組平行向量都由于向量可以平行移動(dòng)，所以任一組平行向量都可以移到同一直線上，因此平行向量也可以移到同一直線上，因此平行向量也叫叫 3 3向量與有向線段的區(qū)別是：向量只有向量與有向線段的區(qū)別是：向量只有 和和 兩個(gè)要素，與兩個(gè)要素，與 無(wú)關(guān)，只要大小和方向

11、無(wú)關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是向量相同向量相同，則這兩個(gè)向量就是向量相同向量有向線段有有向線段有 、 和和 三個(gè)要素，三個(gè)要素， 不同，盡管大小和方向相同也是不同有向線段不同，盡管大小和方向相同也是不同有向線段長(zhǎng)度相等且方向相同長(zhǎng)度相等且方向相同 ab 共線向量共線向量 大小大小 方向方向 方向方向 起點(diǎn)起點(diǎn) 起點(diǎn)起點(diǎn) 大小大小 4 4共線向量與相等向量的關(guān)系，即共線共線向量與相等向量的關(guān)系，即共線向量向量 是相等向量，而相等的向是相等向量，而相等的向量量 是共線向量是共線向量5 5由向量相等的定義可以知道，對(duì)于一由向量相等的定義可以知道，對(duì)于一個(gè)向量，只要不改變它的大小和方向，個(gè)向量，只要不改變它的大小和方向，是可以平行移動(dòng)的，因此，用有