《數(shù)學分析》第五章_導數(shù)和微分_3

1、5 微分微分一、問題的提出一、問題的提出實例實例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設邊長由設邊長由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且為且為的線性函數(shù)的線性函數(shù)Ax .,很小時可忽略很小時可忽略當當?shù)母唠A無窮小的高階無窮小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0再例如再例如,.,03yxxxy 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量時時為為處的改變量處的改變量在點在點設函數(shù)設函數(shù)3030)(xxxy .)()(33320

2、20 xxxxx )1()2(,很很小小時時當當 x .320 xxy ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計算又是較好的近似值既容易計算又是較好的近似值問題問題: :這個線性函數(shù)這個線性函數(shù)(改變量的主要部分改變量的主要部分)是否是否所有函數(shù)的改變量都有所有函數(shù)的改變量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?二、微分的定義二、微分的定義定義定義.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記作記作的微分的微分相應于自變量增量相應于自變量增量在點在點為函數(shù)為函數(shù)并且稱

3、并且稱可微可微在點在點則稱函數(shù)則稱函數(shù)無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中成立成立如果如果在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義設函數(shù)設函數(shù).的線性主部的線性主部叫做函數(shù)增量叫做函數(shù)增量微分微分ydy ( (微分的實質(zhì)微分的實質(zhì)) )由定義知由定義知: :;)1(的的線線性性函函數(shù)數(shù)是是自自變變量量的的改改變變量量xdy ;)()2(高階無窮小高階無窮小是比是比 xxodyy ;,0)3(是等價無窮小是等價無窮小與與時時當當ydyA dyy xAxo )(1).0(1 x;)(,)4(0有有關(guān)關(guān)和和但但與與無無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)是是與與xxfxA ).(,)5(線線性性主主部部

4、很很小小時時當當dyyx 三、可微的條件三、可微的條件).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導處可導在點在點數(shù)數(shù)可微的充要條件是函可微的充要條件是函在點在點函數(shù)函數(shù)定理定理證證(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在點點xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00則則.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可導可導在點在點即函數(shù)即函數(shù)(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 從而從而,)(0 xfxy即即,)(0可可導導在在點點函函數(shù)數(shù)xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfx

5、xf 且且可微可微在點在點函數(shù)函數(shù)).(.0 xfA 可可微微可可導導.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或記作記作微分微分稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的的微分的微分在任意點在任意點函數(shù)函數(shù)例例1 1解解.02. 0, 23時的微分時的微分當當求函數(shù)求函數(shù) xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 .,xdxdxxx 即即記作記作稱為自變量的微分稱為自變量的微分的增量的增量通常把自變量通常把自變量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商導數(shù)也叫導數(shù)也叫該函數(shù)的導數(shù)該函數(shù)的導數(shù)之商等于之商等于與自變量的微分與自變量的微分即函

6、數(shù)的微分即函數(shù)的微分dxdy四、微分的幾何意義四、微分的幾何意義)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 幾何意義幾何意義:(:(如圖如圖) ).,對應的增量對應的增量就是切線縱坐標就是切線縱坐標坐標增量時坐標增量時是曲線的縱是曲線的縱當當dyy xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段的附近的附近在點在點很小時很小時當當 五、微分的求法五、微分的求法dxxfdy)( 求法求法: : 計算函數(shù)的導數(shù)計算函數(shù)的導數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.1.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxx

7、dxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc例例2 2解解.),ln(2dyexyx求求設設 ,2122xxexxey .2

8、122dxexxedyxx 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求設設 )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 六、微分形式的不變性六、微分形式的不變性;)(,)1(dxxfdyx 是是自自變變量量時時若若則則微函數(shù)微函數(shù)的可的可即另一變量即另一變量是中間變量時是中間變量時若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有有導導數(shù)數(shù)設設函函數(shù)數(shù)dttxfdy)()( ,)(dxdtt .)(dxxfdy 結(jié)論結(jié)論：的微分形式總是的微分形

9、式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,xfyx 微分形式的不變性微分形式的不變性dxxfdy)( 例例4 4解解.,sindybxeyax求求設設 )(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例3 3解解.),12sin(dyxy求求設設 . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 例例5 5解解在下列等式左端的括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)在下列等式左端的括號中填入適當?shù)暮瘮?shù),使使等式成

10、立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1costdtdt .cos)sin1(tdtCtd );sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22 ,cos42xxx ).()cos4()(sin22xdxxxxd 七、小結(jié)七、小結(jié)微分學所要解決的兩類問題微分學所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化率問題函數(shù)的變化率問題函數(shù)的增量問題函數(shù)的增量問題微分的概念微分的概念導數(shù)的概念導數(shù)的概念求導數(shù)與微分的方法求導數(shù)與微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法與導數(shù)理論及其應用的科學研究微分法與導數(shù)

11、理論及其應用的科學,叫做叫做微分學微分學.導數(shù)與微分的聯(lián)系導數(shù)與微分的聯(lián)系:.可微可微可導可導 導數(shù)與微分的區(qū)別導數(shù)與微分的區(qū)別:.,)(),()(. 100000它是無窮小它是無窮小實際上實際上的定義域是的定義域是它它的線性函數(shù)的線性函數(shù)是是而微分而微分處的導數(shù)是一個定數(shù)處的導數(shù)是一個定數(shù)在點在點函數(shù)函數(shù)Rxxxxxfdyxfxxf )(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 .)(,()()()(,)(,()()(,. 200000000的縱坐標增量的縱坐標增量線方程在點線方程在點處的切處的切在點在點是曲線是曲線而微分而微分處切線的斜率處切線的斜率點點在在是曲線是曲線從幾何意義

12、上來看從幾何意義上來看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf 思考題思考題 因因為為一一元元函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 x的的可可微微性性與與可可導導性性是是等等價價的的，所所以以有有人人說說“微微分分就就是是導導數(shù)數(shù)，導導數(shù)數(shù)就就是是微微分分”，這這說說法法對對嗎嗎？思考題解答思考題解答說法不對說法不對. 從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線性主部而得到的，導數(shù)是從函數(shù)變化出線性主部而得到的，導數(shù)是從函數(shù)變化率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念的極限，它們是完全不同的概念. 一、一、填空題：填

13、空題： 1 1、 已知函數(shù)已知函數(shù)2)(xxf 在點在點x處的自變量的增量為處的自變量的增量為0.20.2，對應的函數(shù)增量的線性全部是，對應的函數(shù)增量的線性全部是dy=0.8=0.8，那么，那么自變量自變量x的始值為的始值為_._. 2 2、 微分的幾何意義是微分的幾何意義是_._. 3 3、 若若)(xfy 是可微函數(shù)，則當是可微函數(shù)，則當0 x時，時， dyy 是關(guān)于是關(guān)于x 的的_無窮小無窮小. . 4 4、 xdxd sin_ . . 5 5、 dxedx2_ . . 6 6、 xdxd3sec_2 . . 7 7、 xexy22 , ,_22dxdedyx . . 8 8、 _)2(arctan2 xeddxdex_ . . 練練 習習 題題二、二、求下列函數(shù)的微分：求下列函數(shù)的微分： 1 1、 12 xxy； 2 2、 2)1ln(xy ； 3 3、 21arcsinxy ； 4 4、2211arctanxxy ； 5 5、xeyx3cos3 ，求，求3 xdy； 6 6、求由方程、求由方程22)cos(yxxy 所確定的所確定的 y微分微分. . 一、一、1 1、- -2 2； 2 2、曲線的切線上點的縱坐標的相應增量；、