哈工大概率論論文-論隨機變量分布函數(shù)

1、隨機變量分布函數(shù)本文從隨機變量分布函數(shù)最基本的的定義和性質(zhì)談起，探討了二元聯(lián)合分布函數(shù)的兩種估計方法，并介紹了概率密度函數(shù)的一個應(yīng)用瑞利概率密度分布函數(shù)在電信用戶預測中的運用。綜合了課內(nèi)所學與查閱課外資料文獻所得，更深入透徹地理解了隨機變量分布函數(shù)和概率密度分布函數(shù)，并通過實際生活中的應(yīng)用感知到了它們的重要性。Part.1定義及性質(zhì)對于離散型隨機變量可以用分布律全面地描述它。但對于非離散型隨機變量，由于其取值不能一一列出，因而就不能像離散型隨機變量那樣可以用分布律來描述它。另外，我們通常遇到的非離散型隨機變量取任一指定的實數(shù)的概率都等于零，而且，在實際問題中我們并不單一地關(guān)注隨機變量取某一值的

2、概率，相反，我們更多的是關(guān)注隨機變量落在某個區(qū)間內(nèi)的概率，即P(x1 X x2 ) 。但注意到，所以我們只需要知道和就可以了，這就是引入了分布函數(shù)的概念。分布函數(shù)的引入可以對離散型的和非離散型的隨機變量給出一種統(tǒng)一的描述方法，進行統(tǒng)一的研究。一.隨機變量分布函數(shù)的定義定義1. 設(shè)X是一個隨機變量，是任意實數(shù)，稱函數(shù)： 為X的分布函數(shù)。分布函數(shù)是個普通函數(shù)，它是實數(shù)的函數(shù)，有時也可用記號F X (x)來表示X的分布函數(shù)。正是通過分布函數(shù)，我們才能將數(shù)學分析的方法引入來研究隨機變量。如果將X看作數(shù)軸上隨機點的坐標，則分布函數(shù)F X (x)的值就表示X落在區(qū)間上的概率。對任意的實數(shù)，有：從分布函數(shù)的

3、定義可見，任一隨機變量（離散的或連續(xù)的）都有一個分布函數(shù)，有了分布函數(shù)就可據(jù)此算得與隨機變量X有關(guān)事件的概率。下面先介紹分布函數(shù)的三個基本性質(zhì)。二.隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1 （單調(diào)性）F(x)是定義在整個實數(shù)軸(,+)上的的單調(diào)非減的函數(shù)。即對任意的x1 x 2，, 有：F(x1) F(x2)性質(zhì)2 （有界性）對任意的，有0F(x)1，且：證明： 因為0F(x)1 ，且由F(x)單調(diào)性可知，對任意整數(shù)m，n ,有：又由概率的可列可加性得：由此可得：性質(zhì)3 （右連續(xù)性）F(x)是的右連續(xù)函數(shù)。即對任意的x0,有：證明：因為F (x)是單調(diào)有界非減函數(shù)，所以其任一點x0的右極限(Fx0+0)必

4、存在。為證明右連續(xù)，只要對單調(diào)下降的數(shù)列當時證明成立即可。 因為 ：所以得：性質(zhì)1至性質(zhì)3是分布函數(shù)必須具有的性質(zhì)。反過來還可以證明：任一滿足這三個性質(zhì)的函數(shù)，一定可以成為某個隨機變量的。因此，滿足這三個性質(zhì)的函數(shù)通常都稱為分布函數(shù)。有了隨機變量X的分布函數(shù)，那么有關(guān)X的各鐘事件的概率都能方便地用分布函數(shù)來表示。例如，對任意的實數(shù)a,b，有：特別，當F(x)在a與b點連續(xù)時，有：例1設(shè)有一反正切函數(shù)它在整個數(shù)軸上是連續(xù)、單調(diào)嚴格遞增的函數(shù)，且：所以此函數(shù)滿足分布函數(shù)的三條基本性質(zhì)，故F(x)是隨機變量X的一個分布函數(shù)。稱這個分布函數(shù)為柯西分布函數(shù)。若隨機變量X服從柯西分布，則：三. 離散型隨機

5、變量的分布函數(shù)定義2。若離散型隨機變量X的分布律為: ， k=1,2則其分布函數(shù)為:這里和式是對于所有滿足xkx的求和。分布函數(shù)F(x)在x= x k( k=1,2)處有跳躍，其跳躍值為。其圖形是個階梯形圖形： 圖1. 離散型隨機變量的分布函數(shù)在離散型隨機變量中要特別注意端點的計算，這也是離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的一個區(qū)別之處。值得一提的是：離散型隨機變量的分布函數(shù)一般為階梯跳躍函數(shù)，且在每個間斷點處僅右連續(xù)。但也有分布函數(shù)不是階梯函數(shù)的離散型隨機變量。例如，記(0,1)區(qū)間中的全體有理數(shù)為且x1,x2，且, 則X為離散型隨機變量，而此時的X分布函數(shù)非階梯形。Part.2 二元聯(lián)合分布函

6、數(shù)的兩種估計方法一、 copula函數(shù)估計方法又Sklar定理知如果邊緣分布是連續(xù)的，則存在唯一的copula函數(shù)來描述這兩個隨機變量的相關(guān)結(jié)構(gòu)。但現(xiàn)實應(yīng)用中，我們遇到的邊緣分布函數(shù)經(jīng)常是不連續(xù)的，如經(jīng)驗分布函數(shù)，此時兩個隨機變量的copula函數(shù)就不唯一了。同時，相同的邊緣分布函數(shù)，不同的copula函數(shù)構(gòu)造的聯(lián)合分布函數(shù)也是不同的。從上文知，選擇合適的copula函數(shù)對減小估計的誤差是很重要的。下面將分三步說明如何利用copula函數(shù)來構(gòu)造二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)。（1） 采用非參數(shù)核密度估計去估計兩隨機變量X和Y的邊緣分布函數(shù)，先估計其分布函數(shù)，如下所示：其中Xi是與X獨立同分布的樣本

7、，Yi是與Y獨立同分布的樣本。顯然，X和Y的邊緣分布函數(shù)很易求得，有如下形式：（2） 用二元核密度估計方法估計二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)，先估計F（x,y）的密度函數(shù)，有：同理，Xi,Yi是分別于X,Y獨立同分布的樣本。則F(x,y)的估計量有：（3） 四種備選的copula函數(shù)分別作為X和Y的結(jié)構(gòu)函數(shù)，與X，Y的邊緣分布函數(shù)估計量構(gòu)造聯(lián)合分布函數(shù)的四種估計。計算出四種估計量在密度集中點上與二元核密度估計的聯(lián)合分布誤差，取絕對誤差均值最小者作為兩隨機變量相應(yīng)的copula函數(shù)，若絕對誤差的均值相同，則取方差最小者。二、 乘積公式估計方法由乘積公式F(x, y) = F(x).F(y| x)可知

8、，若想估計出聯(lián)合分布函數(shù)，必然要估計出一變量的邊緣分布函數(shù)及一變量在另一變量下的條件分布函數(shù)。鑒于此，分三步來處理該問題。（1） 先估計變量X的邊緣分布函數(shù)，與copula函數(shù)估計方法中X完全相似。（2） 條件分布函數(shù)沒有公式可用，因,故條件分布函數(shù)可以用Xi上的的回歸來估計。一個簡單的非參數(shù)估計量就是局部線性光滑估計量：其中：（3） 利用乘積公式將兩者結(jié)合，即可得到二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)的估計量：以上兩種估計方法中，都涉及了核k(.)及帶寬的選擇，本文中的核k(.)都選用經(jīng)常用到的高斯和。由于作者知識水平有限，故在此不作更詳細的介紹。Part.3瑞利概率密度分布函數(shù)在電信用戶預測中的運用

9、瑞利概率密度分布函數(shù)的表達式如下取0x可作出瑞利概率密度分布函數(shù)的曲線如圖所示分析圖可以看到 瑞利概率密度分布函數(shù)和人均收入有極其相似的地方。這種相似性表現(xiàn)在：人群中收入中等程度的人占總?cè)藬?shù)的大部分， 而低收入人群和高收入人群占總?cè)藬?shù)的比例為少數(shù)。以圖為例收入為5000元的人數(shù)比例大約為1.21875x10-4，即為0.0121875%而收入為10000元的人參數(shù)作為門限值也利于進一步的分析工作。數(shù)比例略低于0.00563%。 對瑞利概率密度分布函數(shù)進行積分（0x）結(jié)果為1，表示瑞利概率密度分布函數(shù)若用于表示人群的收入情況，則函數(shù)囊括所有收入的人群。由于人群收入服從瑞利概率密度分布函數(shù)，因此從

10、人均收入出發(fā)，可以利用瑞利概率密分布函數(shù)來預測潛在用戶的數(shù)量。其基本原理是：通信交流是人們的基本需求當人們的收入達到一定水，有能力支付通信費用時，這些人就成為電信運營商的潛在用戶，通過宣傳、廣告等手段就可能將這些潛在用戶群發(fā)展成為實際用戶。 現(xiàn)在的問題是如何確定人群進入通信網(wǎng)絡(luò)的(門檻)即收入在多少以上的人才擁有能力支付通信費用成為潛在的用戶群。收入可以是月收入或年收入，為了與統(tǒng)計資料保持一致，通常情況下取年收入。市場調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)，家庭消費支出中通信費用占5%15%被認為是可以接受的。從通信運營商的角度出發(fā)，各運營商也有一個可以接受的最低每用戶平均收入（ARPU）值，只有所有用戶的平均通信消費

11、支出高于期待的最低ARPU值，投入的資金才能在規(guī)定的時間內(nèi)收回，否則將使資金積壓投資回報率低下?？梢园哑谕哪闍RPU值作為門限值。假設(shè)年ARPU值為a對瑞利函數(shù)進行積分：表達式中a為門限值，定義為家庭年平均消費性支出。則對瑞利函數(shù)進行積分的意義可以解釋為：在家庭年平均消費性支出為的情況下，有能力每年支付a元以上作為通信費用的人占總?cè)藬?shù)的比例，該比例也即是潛在用戶的比例，或稱之為“滲透率”。分析目前的各種通信業(yè)務(wù)，除業(yè)務(wù)內(nèi)容的區(qū)別外，對用戶來講，另外一個重要的區(qū)別在于通信費用的區(qū)別。不同類型的業(yè)務(wù)其一次性投入和每月的支出是不一樣的。通過設(shè)定不同的門限值就可以實現(xiàn)對不同類型業(yè)務(wù)潛在用戶比例的預測。因此，瑞利概率密度分布函數(shù)可以