第四章第七課時(shí)正余弦定理.

1、第7課時(shí) 正、余弦定理基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理(2)變形式：變形式：a ，b ，c .2RsinA2RsinB2RsinC基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理1.正弦定理的適用條件是什么？正弦定理的適用條件是什么？【思考思考提示提示】(1)(1)已知一邊和已知一邊和兩角解三角形；兩角解三角形；(2)(2)已知兩邊和一邊的對(duì)角解三已知兩邊和一邊的對(duì)角解三角形；角形；(3)(3)已知兩邊與夾角求面積已知兩邊與夾角求面積基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理2余弦定理余弦定理(1)基本形式：基本形式：a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC.(2)變形式：變形式：2.余弦定理的適用條

2、件是什么？余弦定理的適用條件是什么？【思考思考提示提示】(1)(1)已知兩邊與已知兩邊與夾角求第三邊；夾角求第三邊；(2)(2)已知三邊解三角形；已知三邊解三角形；(3)(3)已知兩邊及一對(duì)角求第三邊已知兩邊及一對(duì)角求第三邊( (利用方程思想利用方程思想) )基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理A60B120C135 D150答案：答案：B三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化A45或或135 B135C45 D75答案：答案：C三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化3在在ABC中，若中，若A120，AB5，BC7，則，則ABC的面積是的面積是()答案：答案：C三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化

3、答案：直角三角形答案：直角三角形課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練已知兩角和一邊，該三角形是確已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)正弦定理和大邊對(duì)大角定理通常根據(jù)正弦定理和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷進(jìn)行判斷考點(diǎn)一考點(diǎn)一正弦定理的應(yīng)用正弦定理的應(yīng)用課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練已知下列各三角形中的兩已知下列各三角形中的兩邊及其一邊的對(duì)角解三角形，邊及其一邊的對(duì)角解三角形，先判斷三角形是否有解？有解先判斷三角形是否有解？有解的作出解答的作出解答【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】已知三角形的兩已知三角形的兩

4、邊及其中一邊的對(duì)角，可利用正弦定邊及其中一邊的對(duì)角，可利用正弦定理解三角形，但要注意解的判斷理解三角形，但要注意解的判斷課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練【易誤點(diǎn)評(píng)易誤點(diǎn)評(píng)】在在(2)中容易漏掉中容易漏掉B120的情形，對(duì)于已知兩邊和其的情形，對(duì)于已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形問(wèn)題，容易中一邊的對(duì)角，解三角形問(wèn)題，容易出錯(cuò)，一定要注意是一解、二解還是出錯(cuò)，一定要注意是一解、二解還是無(wú)解無(wú)解課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練已知三邊已知三邊”解三角形主要運(yùn)用余解三角形主要運(yùn)用余弦定理的推論弦定理的推論“已知兩邊和它們

5、的已知兩邊和它們的夾角夾角”解三角形可使用余弦定理求第解三角形可使用余弦定理求第三邊，然后利用推論求出另一個(gè)角，三邊，然后利用推論求出另一個(gè)角，最后利用最后利用ABC求出第三個(gè)求出第三個(gè)角角課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)二考點(diǎn)二余弦定理的應(yīng)用余弦定理的應(yīng)用課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練【名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)】本題本題(1)中法一是中法一是利用余弦定理把角轉(zhuǎn)化為邊，把邊轉(zhuǎn)利用余弦定理把角轉(zhuǎn)化為邊，把邊轉(zhuǎn)化為角法二是利用正弦定理化為角法二是利用正弦定理課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角判斷三角形的

6、形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意特別注意“等腰直角三角形等腰直角三角形”與與“等腰等腰三角形或直角三角形三角形或直角三角形”的區(qū)別的區(qū)別課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)三考點(diǎn)三三角形形狀的判定三角形形狀的判定課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練在在ABC中，中，a，b，c分別表分別表示三個(gè)內(nèi)角示三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，如的對(duì)邊，如果果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，試判斷該三角形的，試判斷該三角形的形狀形

7、狀【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】利用正、余弦定利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化，轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系或理進(jìn)行邊角互化，轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系或角角關(guān)系角角關(guān)系【解解】法一：由已知法一：由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，得得a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)2a2cosAsinB2b2cosBsinA.課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練【思維總結(jié)思維總結(jié)】判斷三角形形判斷三角形形狀，主要有如下兩條途徑：狀，主要有如下兩條途徑：(1)利用正、余弦定理把已知條件利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過(guò)因式分解、配轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，

8、通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；角形的形狀；課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練(2)利用正、余弦定理把已知條件利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間關(guān)系，通過(guò)轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間關(guān)系，通過(guò)三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論，這個(gè)結(jié)論，在兩種解法的等式變形中，一般兩邊在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解式，以免漏解課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)

9、講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)四考點(diǎn)四求三角形的面積求三角形的面積課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練(1)若若ABC的面積等于，求的面積等于，求a，b；(2)若若sinCsin(BA)2sin2A，求求ABC的面積的面積【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】利用余弦定理和三角形面積公式利用余弦定理和三角形面積公式列方程組解方程組得列方程組解方程組得a，b誘導(dǎo)公式、誘導(dǎo)公式、和差角的正弦公式、倍角公式用正弦和差角的正弦公式、倍角公式用正弦定理將角化邊列方程組求定理將角化邊列方程組求a，b，進(jìn)而，進(jìn)而求三角形面積求三角形面積課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂

10、互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練【易誤點(diǎn)評(píng)易誤點(diǎn)評(píng)】在第在第(2)題中容易題中容易犯約分的錯(cuò)誤而不分犯約分的錯(cuò)誤而不分cosA0和和cosA0去討論去討論課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練(2)已知兩邊已知兩邊b，c與其夾角與其夾角A，由，由a2b2c22bccosA, 求出求出a，再由正，再由正弦或余弦定理，求出角弦或余弦定理，求出角B，C.規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)(3)已知三邊已知三邊a、b、c，由余弦定，由余弦定理可求出角理可求出角A、B、C.規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)

11、規(guī)律方法總結(jié)A90 A90Ab一解一解一解一解一解一解ab無(wú)解無(wú)解無(wú)解無(wú)解一解一解absinA兩解兩解absinA一解一解absinA無(wú)解無(wú)解2.解決三角形中的計(jì)算與證明問(wèn)解決三角形中的計(jì)算與證明問(wèn)題，要注意以下幾點(diǎn)題，要注意以下幾點(diǎn)(1)用正弦定理解三角形時(shí)，要注用正弦定理解三角形時(shí)，要注意解題的完整性，謹(jǐn)防丟解意解題的完整性，謹(jǐn)防丟解(2)要熟記一些常見結(jié)論，如三內(nèi)要熟記一些常見結(jié)論，如三內(nèi)角成等差數(shù)列，則必有一角為角成等差數(shù)列，則必有一角為60；若三內(nèi)角的正弦值成等差數(shù)列，則三若三內(nèi)角的正弦值成等差數(shù)列，則三邊也成等差數(shù)列；內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)邊也成等差數(shù)列；內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式結(jié)合產(chǎn)生的結(jié)論：公式結(jié)合產(chǎn)生的結(jié)論：規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)(3)對(duì)輪