第5章機(jī)械振動(dòng).

1、1第第5 5章章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)5-1 5-1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征5-25-2 諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)5-3 5-3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量5-4 5-4 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成5-5 5-5 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振 2 狹義振動(dòng)：狹義振動(dòng)：物體在一固定位置附近作來(lái)回的往復(fù)物體在一固定位置附近作來(lái)回的往復(fù) 運(yùn)動(dòng)，稱為運(yùn)動(dòng)，稱為機(jī)械振動(dòng)。機(jī)械振動(dòng)。廣義振動(dòng)廣義振動(dòng)：任一物理量：任一物理量(如位移、電流等如位移、電流等) 在某一在某一 數(shù)值附近反復(fù)變化。數(shù)值附近反復(fù)變化。振動(dòng)中最簡(jiǎn)單最基本的是簡(jiǎn)諧振動(dòng)振動(dòng)中最簡(jiǎn)單最基本的是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。3

2、回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)5-1 5-1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)：一個(gè)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)的物體，其偏離平衡：一個(gè)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)的物體，其偏離平衡位置的位移位置的位移x（或角位移或角位移 ）隨時(shí)間）隨時(shí)間t按余弦（或正按余弦（或正弦）規(guī)律變化的振動(dòng)。弦）規(guī)律變化的振動(dòng)。)tcos(Ax0 4一、幾個(gè)諧振動(dòng)的實(shí)例一、幾個(gè)諧振動(dòng)的實(shí)例、彈簧振子、彈簧振子構(gòu)成：構(gòu)成：輕質(zhì)彈簧與剛體聯(lián)結(jié)輕質(zhì)彈簧與剛體聯(lián)結(jié)條件：條件：位移在彈性限度內(nèi)，位移在彈性限度內(nèi)，無(wú)阻尼時(shí)的自由振動(dòng)無(wú)阻尼時(shí)的自由振動(dòng) 阻尼：阻尼： 摩擦（介質(zhì)阻力）、輻射摩擦（介質(zhì)阻力）、輻射自由振動(dòng)：自由振動(dòng)：指系統(tǒng)

3、只受外界一次性擾動(dòng)，而后的運(yùn)動(dòng)指系統(tǒng)只受外界一次性擾動(dòng)，而后的運(yùn)動(dòng)只在系只在系 統(tǒng)內(nèi)部回復(fù)力作用下運(yùn)動(dòng)。統(tǒng)內(nèi)部回復(fù)力作用下運(yùn)動(dòng)。X0回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)5（1 1）平衡位置與坐標(biāo)原點(diǎn)：）平衡位置與坐標(biāo)原點(diǎn)：平衡位置：平衡位置：是系統(tǒng)處于穩(wěn)定平穩(wěn)的位置，并選該點(diǎn)為坐標(biāo)是系統(tǒng)處于穩(wěn)定平穩(wěn)的位置，并選該點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。原點(diǎn)。（3 3）慣性的作用）慣性的作用整個(gè)系統(tǒng)是在內(nèi)部線性回復(fù)力和慣性的交互作用下來(lái)實(shí)現(xiàn)振動(dòng)的。整個(gè)系統(tǒng)是在內(nèi)部線性回復(fù)力和慣性的交互作用下來(lái)實(shí)現(xiàn)振動(dòng)的。 回復(fù)力與位移正比而反回復(fù)力與位移正比而反向（線性回復(fù)力），即向（線性回復(fù)力），即 （2 2）彈性回復(fù)力的特點(diǎn)：）彈性

4、回復(fù)力的特點(diǎn)：此處位移特指系統(tǒng)偏離平衡位置的此處位移特指系統(tǒng)偏離平衡位置的位移位移。F= -kx X0 xFK回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)6（4 4）彈簧振子的運(yùn)動(dòng)微分方程）彈簧振子的運(yùn)動(dòng)微分方程mk2令0222xdtxd則得kxdtxdm22)cos(0tAx解微分方程得：解微分方程得：回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)以振子為對(duì)象以振子為對(duì)象, , 由牛頓定律：由牛頓定律：7（1 1）平衡位置與坐標(biāo)原點(diǎn)：）平衡位置與坐標(biāo)原點(diǎn)： 鉛直位置為角平衡位置，鉛直位置為角平衡位置，o o為角坐標(biāo)為角坐標(biāo)原點(diǎn)。原點(diǎn)。（2 2）回復(fù)力矩的特點(diǎn)：）回復(fù)力矩的特點(diǎn)： 重力對(duì)過(guò)懸點(diǎn)重力對(duì)過(guò)懸點(diǎn)0/0

5、/的水平軸的力矩為的水平軸的力矩為：sinmglM 負(fù)號(hào)表示力矩方向始終與角位置方負(fù)號(hào)表示力矩方向始終與角位置方向相反向相反0:,(5 )構(gòu)成 一端固定的不可伸長(zhǎng)的輕繩與質(zhì)點(diǎn)固聯(lián)條件 在重力作用下 在豎直平面內(nèi)作小角度的擺動(dòng)、單擺、單擺olRo/o0lgmT/o0回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)8根據(jù)麥克勞林展開根據(jù)麥克勞林展開 53! 51! 31sin略去高階無(wú)窮小后略去高階無(wú)窮小后mglM（3 3）慣性的作用：）慣性的作用：即回復(fù)力矩與角位移正比而反向。即回復(fù)力矩與角位移正比而反向。 回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)9（4 4）單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程）單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)

6、動(dòng)定律：由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：mgldtdml222 令 2gl 0222dtd則得方程的解為00cost回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)102 2）復(fù)擺運(yùn)動(dòng)微分方程）復(fù)擺運(yùn)動(dòng)微分方程 、復(fù)、復(fù) 擺擺Jmgh2令0222dtd則得sinmghMmghM式中式中h指質(zhì)心到懸點(diǎn)的距離指質(zhì)心到懸點(diǎn)的距離mghdtdJ22由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：方程的解為方程的解為00cost chmg回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)1 1）定義：）定義：構(gòu)成：剛體繞水平光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)構(gòu)成：剛體繞水平光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)條件：同單擺條件：同單擺11二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征1、動(dòng)力學(xué)特征：、動(dòng)

7、力學(xué)特征：0222xdtxd其諧振動(dòng)的微分方程其諧振動(dòng)的微分方程：2、運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：、運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程)cos(0tAx式中式中A A、 是由初始條件所決定的兩個(gè)積分常數(shù)是由初始條件所決定的兩個(gè)積分常數(shù) 0振動(dòng)系統(tǒng)所受的力是線性回復(fù)力（力矩）振動(dòng)系統(tǒng)所受的力是線性回復(fù)力（力矩）物體振動(dòng)時(shí)，它離開平衡位置的位移是時(shí)間的余弦函數(shù)物體振動(dòng)時(shí)，它離開平衡位置的位移是時(shí)間的余弦函數(shù)回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)F= -kx Mmgl mghM12 例例1 1: : 彈簧下面懸掛一物體，不計(jì)彈彈簧下面懸掛一物體，不計(jì)彈簧重量和阻力，試證其在平衡位置附近簧重量和阻力，試證

8、其在平衡位置附近的振動(dòng)是諧振動(dòng)。的振動(dòng)是諧振動(dòng)。 證：證：以平衡位置以平衡位置A A為原點(diǎn)，向下為為原點(diǎn)，向下為x x軸正向，軸正向， 設(shè)某一瞬時(shí)設(shè)某一瞬時(shí)m m的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為x x，則物體在振動(dòng)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)微分方程則物體在振動(dòng)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)微分方程為為mglxkdtxdm)(22mglk因?yàn)?22kxdtxdm0222xdtxd即有： 這說(shuō)明：若一個(gè)諧振子系統(tǒng)受到一個(gè)恒力作用，只要將其這說(shuō)明：若一個(gè)諧振子系統(tǒng)受到一個(gè)恒力作用，只要將其坐標(biāo)原點(diǎn)移至恒力作用下新的平衡位置，該系統(tǒng)仍是一個(gè)與坐標(biāo)原點(diǎn)移至恒力作用下新的平衡位置，該系統(tǒng)仍是一個(gè)與原系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征相同的諧振子系統(tǒng)。原系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征相同的

9、諧振子系統(tǒng)。xAx0mgF回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)式中式中 是彈簧掛上重物后的靜伸長(zhǎng)是彈簧掛上重物后的靜伸長(zhǎng) l13一、諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程一、諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程以彈簧振子為例，其動(dòng)力學(xué)方程為以彈簧振子為例，其動(dòng)力學(xué)方程為0222xdtxd該方程的解該方程的解0costAx即為諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程即為諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式中式中A和和0為由初始條件所決定的兩個(gè)積分常數(shù)。為由初始條件所決定的兩個(gè)積分常數(shù)。回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)5- 2 5- 2 諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)xtAdtdvatAdtdxv2020)cos()sin(14二、描述諧振動(dòng)的三個(gè)物理量二、描述諧振動(dòng)的

10、三個(gè)物理量 1、振幅、振幅A由初始條件由初始條件x0、v0決定決定)sin()cos(00tAVtAx 令 t=0 則 )2() 1 (sincos0000AVAx 222122020VxA得（1 1）周期）周期T T：完成一次完全振動(dòng)所需的時(shí)間完成一次完全振動(dòng)所需的時(shí)間2、周期、周期T（頻率頻率 、圓頻率、圓頻率 、固有圓頻率）固有圓頻率）)cos(0tAx0cos()At T)2cos(0tA2 T2T或回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)15(3)(3)圓頻率圓頻率 ： 秒內(nèi)完成的完全振動(dòng)的次數(shù)秒內(nèi)完成的完全振動(dòng)的次數(shù)固有角頻率固有角頻率Jmghmklg222復(fù)擺彈簧振子單擺回上頁(yè)回上頁(yè)

11、下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)(2)(2)頻率頻率 ：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)所完成的完全振動(dòng)的次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)所完成的完全振動(dòng)的次數(shù)21T即固有振動(dòng)周期固有振動(dòng)周期mghJTkmTglT222(4)(4)固有圓頻率：固有圓頻率：僅由振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)所決定的頻率僅由振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)所決定的頻率16 3、位相：、位相： 位相是描述系統(tǒng)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。（相又指月相之位相是描述系統(tǒng)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。（相又指月相之相相取其具有周期性。）取其具有周期性。） )sin()cos(100tAvtAx能確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而又能反映其周期性特征的是 0t (位位置；相變化的態(tài)勢(shì)）回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)

12、(0,2 )(, )or 0000sincosAvAx000 xvtg取使x0 、 v0 均滿足的值 170sin0cos0000AvAx200sincos0000AvAAx0X0v t=0時(shí), x0=0, v00vX0v t=0時(shí), x0=-A, v0=0-A回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)用分析法確定特殊情況下的位相用分析法確定特殊情況下的位相0sincos0000AvAAx00v t=0 時(shí)，x0=A, v0=0. X0X0=+A180sin2cos0000AvAAx30X0 A2v t=0時(shí), x0=A/2, v001900AXoXo txXo-AXoAXo2/002/30 tx20 tx t

13、x tx) 2/() 0(020諧振動(dòng)的速度，加速度特點(diǎn)諧振動(dòng)的速度，加速度特點(diǎn))sin()cos(00tAvtAx由22xAv說(shuō)明：說(shuō)明：（i）位移最大處 vnim 0 ，平衡位置處 Avmax 2)2)加速度特征：加速度特征：1)1)速度特征：速度特征：xtAdtxda20222)cos(說(shuō)明：說(shuō)明：（ii） xa （ii） “”表示對(duì)應(yīng)于每一個(gè)坐標(biāo)值，有兩種可能的方向回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)2154 . 02 5 )( cmAa解102 . 02 3 )( cmAb例例2: 振動(dòng)曲線如圖振動(dòng)曲線如圖( (a)(b)a)(b)所示，寫出它們的振動(dòng)方程。所示，寫出它們的振動(dòng)方程。

14、500.40.60.2t (s)x(cm)(a)300.20.30.1t (s)X(cm)(b)回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè) 時(shí)，otAxcmtXa)5cos(50 a0, 0時(shí)0 00v，xtcmtXb)2310cos(3)2( 23或22解：解：2A55222sin(5/2)2cos(5 )2cos(5)xttt 015t2sin(5/2)xt已知諧振子的振動(dòng)方程為已知諧振子的振動(dòng)方程為 (SI), 求振幅、圓頻率、頻率、初位相、以及求振幅、圓頻率、頻率、初位相、以及t=1s時(shí)的位時(shí)的位相。相。23例例3: 如圖，倔強(qiáng)系數(shù)為的直立彈簧下端固定，上端與物塊如圖，倔強(qiáng)系數(shù)為的直立彈簧下

15、端固定，上端與物塊相連，另一物塊在離為相連，另一物塊在離為h h高處自由落下與發(fā)生完全非彈性高處自由落下與發(fā)生完全非彈性碰撞，設(shè)兩物塊質(zhì)量均為碰撞，設(shè)兩物塊質(zhì)量均為m m 試寫出該系統(tǒng)的振動(dòng)表達(dá)式試寫出該系統(tǒng)的振動(dòng)表達(dá)式使兩物塊碰后能一起振動(dòng)而不分離時(shí)使兩物塊碰后能一起振動(dòng)而不分離時(shí)h h的最大值的最大值解：B 物下落 h 時(shí)末速ghv2 B、C 發(fā)生完全非彈性碰撞， 動(dòng)量守恒：mVmv2 以以B B，C C均壓在彈簧上靜平衡為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為均壓在彈簧上靜平衡為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x x軸正向，軸正向，B B，C C發(fā)生碰撞完結(jié)瞬時(shí)開始計(jì)，則該諧振動(dòng)系的初始條件為：發(fā)生碰撞完結(jié)瞬時(shí)開始計(jì)，則該諧

16、振動(dòng)系的初始條件為：2ghV 得20ghv kmgx0BChK回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)24mk2式中因此系統(tǒng)振動(dòng)表達(dá)式為因此系統(tǒng)振動(dòng)表達(dá)式為222cos2m gmghkkhxtarctgkkmmggkmghkgmmkgA222222222224kgmkmghkgm3mghk得kmghkgmvxA2222020則第三象限mgkhxvtg00兩物豎直方向向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度不能大于兩物豎直方向向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度不能大于g g即：即：回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)25例例4:一質(zhì)量為一質(zhì)量為M M的物體在光滑水平面上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅是的物體在光滑水平面上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅是1212cm

17、cm，在距平衡位置在距平衡位置6 6cmcm處速度是處速度是2424cm/scm/s，求：求：（1 1）周期）周期T T； （2 2）當(dāng)速度是當(dāng)速度是1212cm/scm/s時(shí)的位移。時(shí)的位移。解解（1）22xAv22xAv代入有關(guān)數(shù)值代入有關(guān)數(shù)值3 . 206. 012. 024. 0227 . 32T（2）mvAx108. 03 . 212. 012. 02222回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)26例例5: 有一輕彈簧，當(dāng)下端掛一個(gè)質(zhì)量有一輕彈簧，當(dāng)下端掛一個(gè)質(zhì)量1 11010的物體而平衡的物體而平衡時(shí)，伸長(zhǎng)量為時(shí)，伸長(zhǎng)量為4.94.9用這個(gè)彈簧和質(zhì)量用這個(gè)彈簧和質(zhì)量2 21616的物

18、體連的物體連成一彈簧振子若取平衡位置為原點(diǎn)，向上為軸的正方向?qū)⒊梢粡椈烧褡尤羧∑胶馕恢脼樵c(diǎn)，向上為軸的正方向?qū)? 2從平衡位置向下拉從平衡位置向下拉 2 2后，給予向上的初速度后，給予向上的初速度0 05 5 cm/s cm/s 并開始計(jì)時(shí)，試求并開始計(jì)時(shí)，試求2 2的振動(dòng)周期和振動(dòng)的數(shù)值表達(dá)式的振動(dòng)周期和振動(dòng)的數(shù)值表達(dá)式 220.56mTsk211.2/krad sm 取下取下1 1掛上掛上2 2后后回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè) l 1g 1 g/ l 2 () 解：設(shè)彈簧的原長(zhǎng)為解：設(shè)彈簧的原長(zhǎng)為 ，懸掛懸掛1 1后伸長(zhǎng)后伸長(zhǎng) ， 則則 l0l27時(shí)， 0210-2m 0510-

19、2ms-1mvxA220201005. 2)/(解得 tg-1（00）12.6 或在第三象限， 0 18012.6 振動(dòng)表達(dá)式為 2.0510-2cos（11.22.92） （） 應(yīng)取 0 180+12.6192.63.36 rad 也可寫成 0 2.92 rad回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)28三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)矢量表示法 0t = 0Ax t+ 0t = tA0cos()xAtoX29回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)參考圓、參考點(diǎn)：參考圓、參考點(diǎn)：(1) (1) 所謂參考圓：指旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周時(shí)矢量端點(diǎn)的軌跡；所謂參考圓：指旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周時(shí)矢量端點(diǎn)的

20、軌跡；而矢量的端點(diǎn)則謂之參考點(diǎn)。而矢量的端點(diǎn)則謂之參考點(diǎn)。參考點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的投影才是諧振動(dòng)參考點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的投影才是諧振動(dòng)（2 2）利用參考點(diǎn)在參考圓中的位置來(lái)判斷振動(dòng)位相所在的象限）利用參考點(diǎn)在參考圓中的位置來(lái)判斷振動(dòng)位相所在的象限由圖可知由圖可知: : x0, v0 , 在第 I象限 x0, v0 , 在第象限 x0 , 在第 III象限 x0, v0 , 在第象限 X1x4x2x3x12341v2v3v4v30位相差位相差兩個(gè)振動(dòng)在同一時(shí)刻兩個(gè)振動(dòng)在同一時(shí)刻t t的的位相差位相差=2-1=(2t+20)-(1t+10)=(2-1)t+(20-10)x1=A1cos(1t+10) x2=A

21、2cos(2t+20)1 1）兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差若若1=2，回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)則則=20-10當(dāng)當(dāng) =2k ,k=0,1,2,兩振動(dòng)步調(diào)相同兩振動(dòng)步調(diào)相同, ,稱稱同相同相當(dāng)當(dāng) = (2k+1) , 兩振動(dòng)步調(diào)相反兩振動(dòng)步調(diào)相反, ,稱稱反相反相0 2 超前于超前于1 或或 1 滯后于滯后于 2 位相差反映了兩個(gè)振動(dòng)不同程度的參差錯(cuò)落位相差反映了兩個(gè)振動(dòng)不同程度的參差錯(cuò)落 31一個(gè)諧振動(dòng)從一個(gè)諧振動(dòng)從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)經(jīng)歷的時(shí)間間隔為經(jīng)歷的時(shí)間間隔為 t=t2t1= T 22 2）同一振動(dòng)在不同時(shí)刻的位相差同一振動(dòng)在不同時(shí)刻的位相差

22、同一振動(dòng)在同一振動(dòng)在t1t1、t2t2時(shí)刻的位相差為時(shí)刻的位相差為 =(t2+0)-(t1+0)=(t2-t1) 32用旋轉(zhuǎn)矢量表示相位關(guān)系用旋轉(zhuǎn)矢量表示相位關(guān)系x1A2A x1A2A x1A2A 同相同相反相反相33200cos()cos()maAtat 0cos()xAt00sin()cos()2mvAtvt 諧振動(dòng)的位移、速度、加速度之間的位相關(guān)系諧振動(dòng)的位移、速度、加速度之間的位相關(guān)系toTa vx. . .x v aT/4T/434)2cos( tvvmx)2cos( tAcos()xmaat2cos()At由圖可見：由圖可見：2 va超前超前2 xv超前超前x t+ o Amv m

23、a 09009035例例6:一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率為一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率為 ，振幅為振幅為A，當(dāng)，當(dāng)t=0時(shí)質(zhì)時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于點(diǎn)位于 x=A2 處，且向處，且向X軸正方向運(yùn)動(dòng)，試畫出此振動(dòng)的旋軸正方向運(yùn)動(dòng)，試畫出此振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖。轉(zhuǎn)矢量圖。解：由已知條件可知，解：由已知條件可知，t=0時(shí)，時(shí)，0sincos2100tAvtAAx與之與之對(duì)應(yīng)的初位相角在第四象限對(duì)應(yīng)的初位相角在第四象限303036一、動(dòng)能一、動(dòng)能221mvEk)(2mk二、勢(shì)能二、勢(shì)能221kxEP三、總能三、總能2max222212121mvAmkAEEEPk四、動(dòng)能和勢(shì)能在一個(gè)周期內(nèi)的平均值四、動(dòng)能和勢(shì)能在一個(gè)周期內(nèi)的平均

24、值2cos121sin)2cos1 (21cos22回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè))(sin210222tAm)(sin21022tkA)(cos21022tkA5- 3 5- 3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量37同理平均勢(shì)能同理平均勢(shì)能2002241)(cos211 KAdttKATETPEkAEEPk21412221kAE Etx0 xx=Acost回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)在一個(gè)周期在一個(gè)周期 T T 內(nèi)的平均動(dòng)能內(nèi)的平均動(dòng)能2002241 )(sin211 KAdttKATETK38例例7: 諧振動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)能和勢(shì)能相等的位置的位移等于諧振動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)能和勢(shì)能相等的位置

25、的位移等于 ADACABAA22;23;2;4解：解：222212121kAkxmv222121kxmv 而題知22212121kAkx DAx即應(yīng)選于是,22回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)39例例8: 一物體質(zhì)量為一物體質(zhì)量為 0.25kg，在彈性力作用下作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，彈在彈性力作用下作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)簧的倔強(qiáng)系數(shù) k=25Nm-1，如果起始振動(dòng)具有勢(shì)能如果起始振動(dòng)具有勢(shì)能 0.06J 和動(dòng)能和動(dòng)能 0.02J，求（求（1）振幅；（）振幅；（2）經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)物體的速度。）經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)物體的速度。解（解（1）221kAEEEpk（2）過(guò)平衡點(diǎn)時(shí)，）過(guò)平衡點(diǎn)時(shí)，x=0，此時(shí)動(dòng)能等

26、于總能量此時(shí)動(dòng)能等于總能量221mvEEEpkmkEEApk08. 0/ )(2smmEEvpk/8 . 0/ )(240一、兩個(gè)同方向、同頻率諧振動(dòng)的合成一、兩個(gè)同方向、同頻率諧振動(dòng)的合成X1 = A1cos ( t+ 10) X2 = A2 cos ( t+ 20) 求： X X1 X2 1、 計(jì)算法計(jì)算法)cos()cos(20210121tAtAxxx202202101101sinsincoscos sinsincoscostAtAtAtA)sinsin(sin )coscos(cos202101202101AAtAAt02021010202101sinsinsin coscoscos

27、 AAAAAA令回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)5- 4 5- 4 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成41 )tAcos( sinsincoscos 000tAtAx上式兩個(gè)同方向、同頻率的諧振動(dòng)的合振動(dòng)仍然兩個(gè)同方向、同頻率的諧振動(dòng)的合振動(dòng)仍然是一個(gè)同頻率的諧振動(dòng)，其中是一個(gè)同頻率的諧振動(dòng)，其中回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)合振幅 )cos(21020212221AAAAA初位相1102200110220sinsin coscosAAtgAA422、旋轉(zhuǎn)矢量合成法、旋轉(zhuǎn)矢量合成法回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)xy0A110A220A0 x1x2x1y2yy利用正切函數(shù)求得合振動(dòng)的初

28、位相.兩振動(dòng)頻率相同，則它們的兩振動(dòng)頻率相同，則它們的旋轉(zhuǎn)矢量以相同的角速度旋轉(zhuǎn)矢量以相同的角速度 旋轉(zhuǎn)，故形成穩(wěn)定的平形四旋轉(zhuǎn)，故形成穩(wěn)定的平形四邊形。邊形。利用矢量加法的平行四利用矢量加法的平行四邊形法則，合振動(dòng)的旋邊形法則，合振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量為轉(zhuǎn)矢量為A A合振幅 )cos(21020212221AAAAA初位相1102200110220sinsin coscosAAtgAA43振幅最大振幅最大 A Amaxmax=A A1 1+ +A A2 2振幅最小振幅最小 A Aminmin= |= |A A1 1 A A2 2| |3、位相差對(duì)合振幅的影響、位相差對(duì)合振幅的影響2 , 1 , 0

29、2 )()(10201020kktt（1 1）若位相差）若位相差2 , 1 , 0 ) 12( kk（2 2）若位相差）若位相差（3 3）若位相差）若位相差 1020為其它任意值時(shí)為其它任意值時(shí)振幅振幅A A A AminminA A A Amaxmax回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)44 例例9 兩諧振動(dòng)振動(dòng)方程分別為兩諧振動(dòng)振動(dòng)方程分別為,)610cos(31cmtx，求它們的合振動(dòng)。cmtx)3210cos(42解解 這兩個(gè)諧振動(dòng)的位相差為這兩個(gè)諧振動(dòng)的位相差為.2作旋轉(zhuǎn)矢量圖，利用旋轉(zhuǎn)矢量合成作旋轉(zhuǎn)矢量圖，利用旋轉(zhuǎn)矢量合成法，合振動(dòng)為法，合振動(dòng)為cmtgttAx)34610cos(

30、5 )10cos(106034oxA回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)45 )cos(212212221AAAAA2443而22221232AAAAAA合313143cos34cos43sin34sinAAAAtg解：設(shè)合振動(dòng)為解：設(shè)合振動(dòng)為則,costAx例例10: 兩諧振動(dòng)方程分別為兩諧振動(dòng)方程分別為43cos3,4cos21tAxtAx求它們的合振動(dòng)?；厣享?yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)46v因兩旋轉(zhuǎn)矢量的角速度因兩旋轉(zhuǎn)矢量的角速度1，2 ，不相同，平行四邊形的形不相同，平行四邊形的形狀要發(fā)生變化，矢量狀要發(fā)生變化，矢量A的大小也的大小也隨之而變，出現(xiàn)了振幅有周期性隨之而變，出現(xiàn)了振幅

31、有周期性的變化。的變化。1、利用旋轉(zhuǎn)矢量合成法、利用旋轉(zhuǎn)矢量合成法二、同方向、不同頻率兩諧振動(dòng)的合成二、同方向、不同頻率兩諧振動(dòng)的合成拍拍回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)1oxA22A1A47 因此，當(dāng)兩個(gè)振動(dòng)頻率接近時(shí)，合成中由于周期的微小差因此，當(dāng)兩個(gè)振動(dòng)頻率接近時(shí)，合成中由于周期的微小差別而造成合振幅隨時(shí)間作周期性變化，振動(dòng)時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減別而造成合振幅隨時(shí)間作周期性變化，振動(dòng)時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象稱為弱的現(xiàn)象稱為拍拍。 合振動(dòng)在單位時(shí)間內(nèi)加強(qiáng)合振動(dòng)在單位時(shí)間內(nèi)加強(qiáng)( (或減弱或減弱) )的次數(shù)稱為的次數(shù)稱為拍頻。拍頻?；厣享?yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)xt tx2t tx1t t4

32、82、拍振動(dòng)表達(dá)式、拍振動(dòng)表達(dá)式 設(shè)分振動(dòng)為設(shè)分振動(dòng)為)cos(011tAx)cos(022tAx2cos2cos2coscos2121122 coscos22xxxAtt3、拍頻：指合振幅變化的頻率、拍頻：指合振幅變化的頻率 余弦函數(shù)的周期應(yīng)為余弦函數(shù)的周期應(yīng)為2，但取但取絕對(duì)值后，周期為絕對(duì)值后，周期為，故合振幅故合振幅變化的周期變化的周期 121222T1212221T于是拍頻為即即“拍頻拍頻”等于兩個(gè)分振動(dòng)頻率之差等于兩個(gè)分振動(dòng)頻率之差回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)494、“拍振動(dòng)拍振動(dòng)”的應(yīng)用的應(yīng)用 聲振動(dòng)、電磁振蕩和波動(dòng)中是經(jīng)常遇到的。聲振動(dòng)、電磁振蕩和波動(dòng)中是經(jīng)常遇到的。

33、利用拍現(xiàn)象還可以測(cè)定振動(dòng)頻率、校正樂(lè)器和制造差拍利用拍現(xiàn)象還可以測(cè)定振動(dòng)頻率、校正樂(lè)器和制造差拍振蕩器等等。振蕩器等等。5、同步鎖模：、同步鎖模：回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)50 例例11一質(zhì)點(diǎn)在一質(zhì)點(diǎn)在X X軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A4cm，周期周期T2s，其平衡位置取作坐標(biāo)原點(diǎn)。若其平衡位置取作坐標(biāo)原點(diǎn)。若t0時(shí)質(zhì)點(diǎn)第一次時(shí)質(zhì)點(diǎn)第一次通過(guò)通過(guò)x2cm處且向處且向X軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，則質(zhì)點(diǎn)第二次通軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，則質(zhì)點(diǎn)第二次通過(guò)過(guò)x2cm處的時(shí)刻為處的時(shí)刻為（A）1s；（B）（2/3）s；（C）（4/3）s；（D）2s。解：02cos000vAAx32002cosvAAx3

34、4Tt23234sT323選（B）回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)51例例12一水平彈簧簡(jiǎn)諧振子的振動(dòng)曲線如圖所示。振一水平彈簧簡(jiǎn)諧振子的振動(dòng)曲線如圖所示。振子在位移為零，速度為子在位移為零，速度為A、加速度為零和彈性力為加速度為零和彈性力為零的狀態(tài)，對(duì)應(yīng)于曲上的零的狀態(tài)，對(duì)應(yīng)于曲上的點(diǎn)。振子處在位移點(diǎn)。振子處在位移的絕對(duì)值為的絕對(duì)值為A、速度為零、加速度為速度為零、加速度為2A和彈性力為和彈性力為KA的狀態(tài)，則對(duì)曲線上的的狀態(tài)，則對(duì)曲線上的點(diǎn)。點(diǎn)。tx-Aabcde0Af答：當(dāng)答：當(dāng)x=0、a=0、F=0時(shí)：應(yīng)為時(shí)：應(yīng)為 0點(diǎn)，b點(diǎn)，d點(diǎn)，f點(diǎn)又又 v=-A, 則應(yīng)為b點(diǎn)點(diǎn), f點(diǎn)點(diǎn)當(dāng)x

35、=A、a=-2A 、v=0、F=-kA時(shí)：應(yīng)為 a點(diǎn)點(diǎn)，e點(diǎn)點(diǎn)回上頁(yè)回上頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)回首頁(yè)回首頁(yè)52例例13：三個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)分別為：三個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)分別為130.3cos(8)4xt20.4cos(8),4xt330.3cos(8).xt(1) 欲使欲使 x1 和和 x3 合成振幅為最大，則合成振幅為最大，則 應(yīng)取何值？應(yīng)取何值？ X13=?(2) 欲使欲使 x2 和和 x3 合成振幅為最小，則合成振幅為最小，則 應(yīng)取何值？應(yīng)取何值？ X23=?33解解：（：（1）3341330.6cos(8)4xt354230.1cos(8)4xt（2）53一、一、 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)阻阻尼尼振振

36、動(dòng)動(dòng)能量隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱阻尼振動(dòng)或減幅振動(dòng)。能量隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱阻尼振動(dòng)或減幅振動(dòng)。摩擦阻尼摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用而減小，系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為熱能。作用而減小，系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為熱能。輻射阻尼輻射阻尼：振動(dòng)以波的形式向外傳播，使振動(dòng)能量振動(dòng)以波的形式向外傳播，使振動(dòng)能量向周圍輻射出去。向周圍輻射出去。 5-5 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振54阻尼振動(dòng)的振動(dòng)方程阻尼振動(dòng)的振動(dòng)方程（系統(tǒng)受到弱介質(zhì)阻力而衰減）（系統(tǒng)受到弱介質(zhì)阻力而衰減）振子動(dòng)力學(xué)方程振子動(dòng)力學(xué)方程22dtxdmdtdxkx 振子受阻力振子受阻力rd xfvd t 022022 xdtdxdtxd mk 0 系統(tǒng)固有角頻率系統(tǒng)固有角頻率m2 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)弱介質(zhì)阻力是指振子運(yùn)動(dòng)速度較低時(shí)，弱介質(zhì)阻力是指振子運(yùn)動(dòng)速度較低時(shí)，介質(zhì)對(duì)物體的阻力僅與速度的一次方成正比介質(zhì)對(duì)物體的阻力僅與速度的一次方成正比 阻力系數(shù)阻力系數(shù)55弱阻尼弱阻尼 每一周期內(nèi)損失的能量越小，振幅衰減越慢，每一周期內(nèi)損失的能量越小，振幅衰減越慢，周期越接近于諧振動(dòng)。周期越接近于諧振動(dòng)。0 )tcos(eAxt00 220 0220222 T阻尼振動(dòng)的振幅按指數(shù)衰減阻尼振動(dòng)的振幅按指數(shù)衰減