建立空間直角坐標(biāo)系解立體幾何題

1、建立空間直角坐標(biāo)系，解立體幾何高考題立體幾何重點(diǎn)、熱點(diǎn)：求線段的長(zhǎng)度、求點(diǎn)到平面的距離、求直線與平面所成的夾角、求兩異面直線的夾角、求二面角、證明平行關(guān)系和垂直關(guān)系等常用公式：1、求線段的長(zhǎng)度：2、求P點(diǎn)到平面的距離：，（N為垂足，M為斜足，為平面的法向量）3、求直線l與平面所成的角：，(,為的法向量)4、求兩異面直線AB與CD的夾角：5、求二面角的平面角：，（，為二面角的兩個(gè)面的法向量）6、求二面角的平面角：，（射影面積法）7、求法向量：找；求：設(shè)為平面的任意兩個(gè)向量，為的法向量，則由方程組，可求得法向量高中新教材9(B)引入了空間向量坐標(biāo)運(yùn)算這一容，使得空間立體幾何的平行垂直角距離等問題避

2、免了傳統(tǒng)方法中進(jìn)行大量繁瑣的定性分析，只需建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行定量分析，使問題得到了大大的簡(jiǎn)化。而用向量坐標(biāo)運(yùn)算的關(guān)鍵是建立一個(gè)適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系。一直接建系。當(dāng)圖形中有互相垂直且相交于一點(diǎn)的三條直線時(shí)，可以利用這三條直線直接建系。例1. (2002年全國(guó)高考題)如圖，正方形ABCDABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCDABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a（）。 （1）求MN的長(zhǎng)； （2）當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最?。唬?）當(dāng)MN最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成二面角的大小。解：（1）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BABEBC為xyz軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B

3、-xyz，由CM=BN=a，M(，0，),N（，0）=(0，)=（）（2）由（1）=所以，當(dāng)a=時(shí)，=，即MN分別移動(dòng)到ACBF的中點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，最小值為。（3）取MN的中點(diǎn)P，連結(jié)APBP，因?yàn)锳M=AN，BM=BN，所以APMN，BPMN，APB即為二面角的平面角。MN的長(zhǎng)最小時(shí)M(，0，),N（，0） 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式P(，),又A（1，0，0），B（0，0，0）=(，-，-)，=(-，-，-) cosAPB=- 面MNA與面MNB所成二面角的大小為-arccos例2.(1991年全國(guó)高考題)如圖，已知ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF分別是ABAD的中點(diǎn)，GC面ABCD，且GC=2，

4、求點(diǎn)B到平面EFG的距離。解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，由題意 C（0，0，0），G（0，0，2），E（2，4，0），F(xiàn)（4，2，0），B（0，4，0）=（2，4，-2），=（4，2，-2），=（2，0，0）設(shè)平面EFG的法向量為=（x，y，z），則，得，令z=1，得x=，y=，即=（，1），在方向上的射影的長(zhǎng)度為d=例3.(2000年二省一市高考題) 在直三棱柱ABC- A1B1C1中CA=CB=1，BCA=900，棱A A1=2，MN分別是A1B1A1 A的中點(diǎn)。（1）求的長(zhǎng)； （2） 求cos；（3）求證：A1BC1M解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則C（0，0

5、，0），B（0，1，0）， N（1，0，1），A1（1，0，2），B1（0，1，2），C1（0，0，2），M(，2)（1）=（1，-1，1）， 故=；（2）=（0，1，2），=（1，-1，2）cos=（3）=（-1， 1，-2），=(，0)= -1×+1×+(-2)×0=0 A1BC1M二利用圖形中的對(duì)稱關(guān)系建系。有些圖形雖然沒有互相垂直且相交于一點(diǎn)的三條直線，但是圖形中有一定的對(duì)稱關(guān)系（如：正三棱錐正四棱錐正六棱錐等），我們可以利用圖形的對(duì)稱性建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)解題。例4.(2001年二省一市高考題)如圖，以底面邊長(zhǎng)為2a的正四棱錐V-ABCD底面中心O為坐標(biāo)

6、原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，其中OxBC，OyAB，E為VC的中點(diǎn)，高OV為h。（1）求cos； （2）記面BCV為，面DVC為，若BED是二面角-VC-的平面角，求BED 。解：（1）由題意B（a，a，0），D（-a，-a，0），E（-，）=（-，-，），=（，） cos= =（2） V（0，0，h），C（-a，a，0） =（-a，a，- h）又 BED是二面角-VC-的平面角，即 ·=-= a2-=0， a2=代入 cos=-即BED=-arccos三利用面面垂直的性質(zhì)建系。有些圖形沒有互相垂直且相交于一點(diǎn)的三條直線，但是有兩個(gè)互相垂直的平面，我們可以利用面面垂直的性質(zhì)定理

7、，作出互相垂直且相交于一點(diǎn)的三條直線，建立空間直角坐標(biāo)系。例5.(2000年全國(guó)高考題)如圖，正三棱柱ABC- A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為a 。（1） 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出ABA1C1的坐標(biāo)；（2） 求 AC1與側(cè)面AB B1A1所成的角。解：（1）如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線為y軸，以AA1所在直線為z軸，以經(jīng)過原點(diǎn)且與ABB1A1垂直的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。由已知得：A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0，a），C1（-，a）（2）取A1B1的中點(diǎn)M，于是有M（0，a），連AMMC1有=（-，0，0），且=（0，a，0），=（0，0，a

8、）由于·=0，·=0，故MC1平面AB B1A1 。A C1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面AB B1A1所成的角。=（-，a），=（0，a）,·=0+2a2 =,=a，=cos=與所成的角，即AC1與側(cè)面AB B1A1所成的角為30o 。例6.(2002年高考題)如圖，三棱柱OAB- O1A1B1，平面OBB1O1平面OAB，O1OB=600,AOB=900，且OB= OO1=2，OA=。 求：（1）二面角O1ABO的大?。?（2）異面直線A1B與A O1所成角的大小。（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）解：（1）如圖，取OB的中點(diǎn)D，連接O1D，則O1DOB 平面OBB1O1平面OAB， O1D面OAB，過D作AB的垂線，垂足為E，連結(jié)O1E，則O1EOB，DEO1為二面角O1AB-O的平面角。由題設(shè)得O1D=sinOBA= DE=DBsinOBA=在RtO1DE中，tanDE O1=DE O1=arctan，即二面角O1ABO的大小為arctan。（2）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)AOB所在直線為xy軸，過點(diǎn)O且與平面AOB垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。則O（0，0，0），O1（0，1，），A（，0，0）， A1（，1，）， B（0，