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文檔簡介

1、1.5 向量的混合積向量的混合積acbba 實例實例 ：向量混合積的幾何意義：向量混合積的幾何意義： ()().a bcabcabc 定義 ：稱為向量 ， ， 的混合積，記為 ， ， 1 , ,( , , )0.a b ca b c 定理三個向量共面混合積的性質混合積的性質(1) ()()().abcbcacab(2) ()().abcabc1212(3) (, , )(, , )(, , ).aa b ca b ca b c (4) (, , )( , , ).a b ca b c混合積的坐標表達式混合積的坐標表達式123 ; ,(,),(,),(,)xyzxyzxyzO e e eaa a

2、abb b bcc c c 取仿射標架，設122331123123123()() () ()( ,) ( ,xyyzzxxyzxyyzzxxyyzzxzxyxyyzzxxyzxyzxyzaaaaaaabceeeeeec ec ec ebbbbbbaaaaaaccce e ebbbbbbaaabbbe e eccc ).123123 ; ,( ,)=1 ()=. xyzxyzxyzO e e ee e eaaaa bcbbbccc 若是右手直角標架，則，故123 ; ,=(,),(,),(,),=0 xyzxyzxyzxyzxyzxyzabcO e e eaa aabb b bcc c caaa

3、abcbbbccc 三向量 ， ， 在仿射標架下的坐標分別為則 ， ， 三向量共面定理定理 2111222333444 (1,2,3,4)( ,),1,2,3,4,11(1,2,3,4)=011iiiiiix y zixyzxyzixyzxyz四點P的仿射坐標分別為則P共面的充要條件是.定理定理 3拉格朗日恒等式拉格朗日恒等式 () ().abcda ca da bcdb cb d 對于任意向量 ， ， ， ，有拉格朗日恒等式的應用拉格朗日恒等式的應用證明：證明：三直角棱錐的斜面面積的平方等于其它三個面的平方之和。解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2. 4 例例1解解由由立立體體幾幾何何知知，四四面面體體的的體體積積等等于于以以向向量量AB、AC、AD為為棱棱的的平平行行六六面面體體的的體體積積的的六六分分之之一一.1(,)6VAB AC AD 即即14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正負號的選擇必須和行列式的符號一致式中正負號的選擇必須和行列式

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