向量的混合積

1、1.5 向量的混合積向量的混合積acbba 實(shí)例實(shí)例 ：向量混合積的幾何意義：向量混合積的幾何意義： ()().a bcabcabc 定義 ：稱為向量 ， ， 的混合積，記為 ， ， 1 , ,( , , )0.a b ca b c 定理三個(gè)向量共面混合積的性質(zhì)混合積的性質(zhì)(1) ()()().abcbcacab(2) ()().abcabc1212(3) (, , )(, , )(, , ).aa b ca b ca b c (4) (, , )( , , ).a b ca b c混合積的坐標(biāo)表達(dá)式混合積的坐標(biāo)表達(dá)式123 ; ,(,),(,),(,)xyzxyzxyzO e e eaa a

2、abb b bcc c c 取仿射標(biāo)架，設(shè)122331123123123()() () ()( ,) ( ,xyyzzxxyzxyyzzxxyyzzxzxyxyyzzxxyzxyzxyzaaaaaaabceeeeeec ec ec ebbbbbbaaaaaaccce e ebbbbbbaaabbbe e eccc ).123123 ; ,( ,)=1 ()=. xyzxyzxyzO e e ee e eaaaa bcbbbccc 若是右手直角標(biāo)架，則，故123 ; ,=(,),(,),(,),=0 xyzxyzxyzxyzxyzxyzabcO e e eaa aabb b bcc c caaa

3、abcbbbccc 三向量 ， ， 在仿射標(biāo)架下的坐標(biāo)分別為則 ， ， 三向量共面定理定理 2111222333444 (1,2,3,4)( ,),1,2,3,4,11(1,2,3,4)=011iiiiiix y zixyzxyzixyzxyz四點(diǎn)P的仿射坐標(biāo)分別為則P共面的充要條件是.定理定理 3拉格朗日恒等式拉格朗日恒等式 () ().abcda ca da bcdb cb d 對(duì)于任意向量 ， ， ， ，有拉格朗日恒等式的應(yīng)用拉格朗日恒等式的應(yīng)用證明：證明：三直角棱錐的斜面面積的平方等于其它三個(gè)面的平方之和。解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2. 4 例例1解解由由立立體體幾幾何何知知，四四面面體體的的體體積積等等于于以以向向量量AB、AC、AD為為棱棱的的平平行行六六面面體體的的體體積積的的六六分分之之一一.1(,)6VAB AC AD 即即14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式