第七章 FIR數(shù)字濾波器設計2

1、1 17.2 7.2 窗函數(shù)設計窗函數(shù)設計FIRDFFIRDFp 設計思想設計思想保證線性相位逼近理想濾波器 一般情況下是無窮序列，需對其進行截斷，即時域加窗加窗的影響窗函數(shù)的設計()jdHed( )( ) ( )h nhn w n2 27.2.1 7.2.1 用窗函數(shù)法設計用窗函數(shù)法設計FIRDFFIRDF的基本方法的基本方法 具體設計步驟： （1）構造希望逼近的頻率響應函數(shù) 。以低通線性相位FIRDF設計為例，一般選擇 為線性相位理想低通濾波器，即 （7.2.1） （2）求出 。對 進行IFT得到()jdHe()jdHejcjdce, (e)0, H()jdHe( )dh nccjjjjc

2、ddsin()11( )(e)edeed22()nnnh nHn3 3（3）加窗得到FIRDF的單位脈沖響應h(n) 式中，w(n)稱為窗函數(shù)，其長度為N。 如果要求設計第一類線性相位FIRDF，則要求h(n)關于 (N-1)/2點偶對稱。 而hd(n)關于n=點偶對稱，所以要求=(N-1)/2。同時要求w(n)關于(N-1)/2點偶對稱。d( )( ) ( )h nh n w ncdsin ()()()nhnnjjg(e)FT ( )( )eHh nH4 4例：例：低通濾波器 N =31， /4c5 57.2.2 7.2.2 窗函數(shù)法的設計性能分析窗函數(shù)法的設計性能分析(1)/2N1,01(

3、 )( )0,RNnNw nRnn其它1(1)2sin(2)sin(2)()()jNjRRjRgW eFT wneeNWu矩形窗函數(shù)：u其DTFT為：6 6 理想濾波器 加窗得到的FIRDF的單位脈沖響應為 h(n)的頻率響應函數(shù)( )( )( )dRh nhn wn()( )jjddgHeHe1() ( )()()2jjjdRH eFT h nHeWe7 7()1()()()21()()2jjjdRjjdRH eHeWeH eWed ()( )jgHe 1( )()2jdgRgeHWd()1( )()2jjdgRgHeWed 1( )( )2jdgRgeHW8 8 幅度特性等于理想低通濾波器

4、的幅度特性與窗函數(shù)幅度特性的卷積 相位保持嚴格線性 因此，只需分析幅度逼近誤差1( )( )( )2( )(1)/2gdgRgHHWN ()()jjddgHeHe理想濾波器傳輸函數(shù) DTFT()( )()jjRRRgWeFT wnWe矩 形 窗 函 數(shù) 9 9矩形窗對理想低通幅度特性的影響1( )()2dgRgHWd1( )()2dgRgHWdRgsin(/ 2)()sin(/ 2)NW1010理想低通濾波器過渡帶寬度為零，但是Hg()以=c為中心形成過渡帶，過渡帶寬帶近似等于B=4/N.在=c頻率點幅度衰減6dB（等價于幅度下降1/2）。理想低通濾波器通帶和阻帶幅度分別為常數(shù)1和0，而Hg(

5、) 在通帶和阻帶均有波紋（通常稱為吉布斯效應）。這些波紋是由矩形窗函數(shù)幅度特性旁瓣引起的，旁瓣幅度越大， Hg()波動幅度就越大。l加矩形窗引起的幅度誤差（加窗效應）增加窗函數(shù)長度可以使過渡帶寬帶變窄。選用合適的窗函數(shù)可以使阻帶最小衰減得到改善。l減小誤差的方法1111改變窗函數(shù)的形狀，可改善濾波器的特性，窗函數(shù)有改變窗函數(shù)的形狀，可改善濾波器的特性，窗函數(shù)有許多種，但要滿足以下兩點要求：許多種，但要滿足以下兩點要求：窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；相對于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在相對于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣中

6、，這樣就主瓣中，這樣就 可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。通帶平穩(wěn)性。但實際上這兩點不能兼得，一般總是通過增加主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制。l對窗函數(shù)的要求12121 1矩形窗（矩形窗（Rectangle WindowRectangle Window）窗函數(shù)的幾個參數(shù): 旁瓣峰值n窗函數(shù)的幅頻函數(shù) 的最大旁瓣的最大值相對主瓣最大值的衰減（dB）； 過渡帶寬度B用該窗函數(shù)設計的FIRDF的過渡帶寬度； 阻帶最小衰減s用該窗函數(shù)設計的FIRDF的阻帶最小衰減。 ( )( )RNwnRnjjRRRg(e)FT( )( )e, (1)/2WwnWNRgs

7、in(/2)( )sin(/2)NWg( ) W7.2.3 7.2.3 典型窗函數(shù)介紹典型窗函數(shù)介紹 1313 矩形窗的四種波形如圖 1414矩形窗函數(shù)的損耗函數(shù)曲線 主瓣寬度與N 成反比，即濾波器過渡帶寬度與N 成反比，但是旁瓣峰值并不隨N增大而變化13,4/,21nsdBBNdB 15152 2三角窗（三角窗（Bartlett WindowBartlett Window）B21，012( )212，112nNnNwnnNnNN2jj(1)/2BB2sin(/4)(e)FT( )esin(/2)NNWwnN2Bg2sin(/4)( )sin(/2)NWN單位脈沖響應：頻率響應：n其主瓣寬度為

8、其主瓣寬度為25,25nsdBdB 8 / N1616三角窗的四種波形如圖 17173 3升余弦窗（漢寧窗升余弦窗（漢寧窗: Hanning Window: Hanning Window）hn2( )0.5 1cos( )120.5( )( )cos1NNNnwnRnNnRnRnN窗函數(shù)：頻率響應： 11222112211220.50.2511220.50.2511NNjjjNhnRgRgNjNRgNjRgRgRgWeWeWeNWeNWWWeNN1818當N1，可近似為： 三部分矩形窗頻譜相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大減小，主瓣寬度增加1倍，為 12220.50.25Njjhn

9、RgRgRgWeWWWeNN 220.50.25jhngRgRgRgWeWWWNN8N31,44nsdBdB 1919漢寧窗的四種波形如圖 20204 4改進升余弦窗（哈明窗改進升余弦窗（哈明窗: Hamming Window: Hamming Window） hm2( )0.540.46cos( )1NnwnRnNjj(1)/2hmhmhmg(e)FT( )( )eNWwnWhmgRgRgRg22( )0.54( )0.230.23WWWWNN 窗函數(shù)： 頻率響應：2121 是對漢寧窗的改進，在主瓣寬度（對應第一零點的寬度）相同的情況下，旁瓣進一步減小，可使99.96%的能量集中在窗譜的主瓣

10、內(nèi)。408/53nsdBBNdB 2222哈明窗的四種波形如圖 23235 5布萊克曼窗（布萊克曼窗（Blackman WindowBlackman Window）窗函數(shù): 增加一個二次諧波余弦分量，可進一步降低旁瓣，但主瓣寬度進一步增加，增加N可減少過渡帶頻率響應：24( )0.420.5 cos0.08 cos( )11blNnnwnRnNN)12()12(25. 0)(42. 0)(NWNWWWRRR)14()14(04. 0NWNWRR5712 /74nsdBBNdB 2424布萊克曼窗的四種波形如圖 252526266 6凱塞窗（凱塞窗（Kaiser WindowKaiser Win

11、dow） 以上五種窗函數(shù)，濾波器的阻帶衰減是固定的 不同的窗函數(shù)通過增加主瓣寬度為代價來降低旁瓣。 凱塞窗則可自由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減。 對給定的指標，凱塞窗函數(shù)可以使濾波器階數(shù)最小。2727 凱塞窗函數(shù) 是調整參數(shù)，可自由選擇決定主瓣寬度與 旁瓣衰減。越大其頻譜的主瓣變寬，旁瓣變小。 22111( )( )okNonINw nRnI2828 I0(x)是零階修正貝塞爾函數(shù) 參數(shù) 控制濾波器阻帶的最小衰減 通帶紋波幅度近似等于阻帶紋波幅度，未單獨控制210!)2/(1)(kkkxxIs0.40.1102(8.7)500.5842(21)0.07886(21)215002182.285ssss

12、sssspdBdBdBdBNBB 2929圖2 凱塞窗函數(shù)圖1 零階修正貝塞爾函數(shù)I0(x)x013030過渡帶通帶波紋（dB）阻帶最小衰減(dB)2.1203.00/N0.27-303.3844.46/N0.08647-404.5385.86/N0.0274-505.6587.24/N0.00868-606.7648.64/N0.00275-707.86510.0/N0.000868-808.96011.4/N0.000275-9010.05612.8/N0.000087-10031313232六種窗函數(shù)基本參數(shù)六種窗函數(shù)基本參數(shù) 窗函數(shù)類型旁瓣峰值n（dB）過渡帶寬度B阻帶最小衰減s（dB

13、）近似值精確值矩形窗134/N1.8/N21三角窗258/N6.1/N25漢寧窗318/N6.2/N44哈明窗418/N6.6/N53布萊克曼窗5712/N11/N74凱塞窗( =7.865)5710/N8033337.2.4 7.2.4 用窗函數(shù)設計用窗函數(shù)設計FIRFIR濾波器的步驟濾波器的步驟p 選擇窗函數(shù)的類型和長度 根據(jù)阻帶最小衰減選擇窗函數(shù)的類型原則是：在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。 根據(jù)過渡帶的寬度選擇窗函數(shù)的長度p 按性能指標要求，構造希望頻率響應函數(shù) 近似為過渡帶中心頻率，幅度函數(shù)衰減一半（-6dB)(1)/2()( )jjNddgHeHec()/2

14、cps3434p 確定期望濾波器的單位脈沖響應p 加窗得到設計結果( )()12jddjj ndh nIFT HeHeed( )( ) ( )dh nh n w n3535dd7.13FIRDF(),/8H ()0,0(1)h(n)h(n)N2N11(1) h ( )()22jjcjcjj njj ndeeradenHeedeedd用矩形窗設計一個線性相位高通，逼近理想高通濾波器H要求過渡帶寬度不超過。已知求出所設計的單位脈沖響應的表達式，確定 與的長度 的關系式；（ ）對 的取值有什么限制？為什么？解()()()()()()1 =21 =()2()1 =sin ()sin()()N-12cc

15、ccccjj njnjnjnjnjnjnceedededeeeej nnnn其中，d1sin ()sin(),01()( ) h ( )( )0,ncnnnNnh nn w n 為其它值3636N-1(2),281.8,15,78NN()0,jBNNH e由于，又因為所以。必須為奇數(shù)，因為為偶數(shù)時，不能實現(xiàn)高通。sin()(),01()( )0, N cnnnNnh n若其它為奇數(shù)3737dd7.14FIRDF(),/8H ()0,0,(1)h(n)h(n)N2N11(1) h ( )()22jjccjccjj ndeeBradeBnHeede d用矩形窗設計一個線性相位帶通，逼近理想帶通濾波

16、器H要求過渡帶寬度不超過。已知求出所設計的單位脈沖響應的表達式，確定 與的長度的關系式；（ ）對的取值有什么限制？為什么？解()()()()()()()()()()1 =21 =()2()1 =(ccccccccccccBjj njj nBBjnjnBjnjBnjBnjnedeedededeeeej nndsin()()sin()sin()()sin(),01()()( ) h ( )( )0, N-12ccccB nnB nnnNnnh nn w n其它其中，38381.82,1588BNN（ ）所以即可。3939用窗函數(shù)設計線性相位高通FIRDF，要求通帶邊界頻率p=0.05 ，通帶最大衰

17、減p=1dB ，阻帶截止頻率 s=0.025 ，阻帶最小衰減s=40dB 濾波器設計完成后繪出幅頻特性曲線和相頻特性曲線。然后使用設計的濾波器對輸入信號x(n)進行濾波，x(n)=sin(0.08n)+sin(0.02n)。n取500點，畫出濾波前信號圖形， sin(0.08n)的圖形，濾波后信號圖形，要求三個圖形繪制在同一個窗口中(將該窗口分成3部分) 。選擇窗函數(shù) 因為阻帶最小衰減 40dB ，可選擇漢寧窗、哈明窗。這里選擇漢寧窗。求N=？B=6.2/N Bp-s高通濾波器N必須取奇數(shù)c=(p+s)/24040%高通濾波器close all;clear;wp=0.05*pi;ws=0.02

18、5*pi;DB=wp-ws;N0=ceil(6.2*pi/DB);N=N0+mod(N0+1,2);wc=(wp+ws)/2/pi;hn=fir1(N-1,wc,high,hanning(N);figure(1)freqz(hn,1)4141n=0:499;x=sin(0.08*pi*n)+sin(0.02*pi*n);y=filter(hn,1,x);figure(2)subplot(3,1,1)plot(n,x)gridsubplot(3,1,2)plot(n,sin(0.08*pi*n);gridsubplot(3,1,3)plot(n,y)grid4242前面濾波器改為低通濾波器，指定

19、N取奇數(shù)，使用漢寧窗繪圖包括原始信號、低頻信號、輸出信號。%低通濾波器，要求N取奇數(shù)%圖形中有sin(0.02n) 即低頻信號close all;clear;ws=0.05*pi; wp=0.025*pi; DB=ws-wp; N0=ceil(6.2*pi/DB);N=N0+mod(N0+1,2);wc=(wp+ws)/2/pi;hn=fir1(N-1,wc,hanning(N); figure(1)freqz(hn,1)4343n=0:499;x=sin(0.08*pi*n)+sin(0.02*pi*n);y=filter(hn,1,x);figure(2)subplot(3,1,1)plo

20、t(n,x)gridsubplot(3,1,2)plot(n,sin(0.02*pi*n);gridsubplot(3,1,3)plot(n,y)grid4444用窗函數(shù)法設計一個線性相位FIR帶通濾波器。要求阻帶下截止頻率ls=0.02，通帶下截止頻率lp=0.04，通帶上截止頻率lp=0.06，阻帶上截止頻率us=0.08，通帶最大衰減p=1dB，阻帶最小衰減s=60dB。指定N為奇數(shù)濾波器設計完成后繪出幅頻特性曲線和相頻特性曲線。然后使用設計的濾波器對輸入信號x(n)進行濾波，x(n)=sin(0.01n)+sin(0.05n)+sin(0.2n)。n取1000點，畫出濾波前信號圖形， sin(0.05n)的圖形，濾波后信號圖形，要求三個圖形繪制在同一個窗口中(將該窗口分成3部分) 。選用布萊克曼窗4545%帶通濾波器，指定N為奇數(shù)close all;clear;wls=0.02*pi;wlp=0.04*pi;wup=0.06*pi;wus=0.08*pi;DB=wlp-wls;N=ceil(11*pi/DB);%課本上是N=ceil(12*pi/DB);N=N+mod(N+1,2);wc=(wls+wlp)/2/pi,(wus+wup)/2/pi;hn=fir1(N-1,wc,blackman(N);figure(1)f