北京理工大學工科數(shù)學分析1-1函數(shù)與極限

1、數(shù)數(shù) 學學 分分 析析教教 室：室： 1-3011-301 Mon.Mon. 第第3 3節(jié)節(jié) 10:10-12:00am10:10-12:00am Wed.Wed. 第第2 2節(jié)節(jié) 8:00-9:50am8:00-9:50am Fri.Fri. 第第3 3節(jié)節(jié) 10:10-12:00am10:10-12:00amSep. 24 Mon.n課程簡介課程簡介n教師姓名教師姓名n參考書參考書n交作業(yè)時間交作業(yè)時間n最后成績最后成績n答疑時間答疑時間教材：高等數(shù)學教程教材：高等數(shù)學教程( (毛京中編毛京中編) )本課程主要內(nèi)容有極限論，微分學，積分學本課程主要內(nèi)容有極限論，微分學，積分學和級數(shù)論等，它

2、包括：和級數(shù)論等，它包括：1.1.數(shù)學分析：一元函數(shù)微積分學數(shù)學分析：一元函數(shù)微積分學 多元函數(shù)微積分學多元函數(shù)微積分學 級數(shù)；級數(shù)；2. 2. 向量代數(shù)，空間解析幾何；向量代數(shù)，空間解析幾何；3. 3. 常微分方程。常微分方程。n第一冊：函數(shù)，極限，連續(xù)，導數(shù)，微分，不第一冊：函數(shù)，極限，連續(xù)，導數(shù)，微分，不 定積分，定積分及其應用，常微分方程；定積分，定積分及其應用，常微分方程；n第二冊：向量代數(shù)和空間解析幾何，多元函第二冊：向量代數(shù)和空間解析幾何，多元函 數(shù)微分學，重積分，線面積分和級數(shù)。數(shù)微分學，重積分，線面積分和級數(shù)。一、什么是高等數(shù)學一、什么是高等數(shù)學 ? 研究對象為研究對象為常量

3、常量, 以靜止觀點研究問題以靜止觀點研究問題. 研究對象為研究對象為變量變量, 運動運動和和辯證法辯證法進入了數(shù)學進入了數(shù)學.數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)變數(shù).有了變數(shù) , 運動運動進入了數(shù)學,有了變數(shù)，辯證法辯證法進入了數(shù)學 ,有了變數(shù) , 微分和積分微分和積分也就立刻成為必要的了,而它們也就立刻產(chǎn)生. 恩格斯恩格斯初等數(shù)學初等數(shù)學高等數(shù)學高等數(shù)學1. 認識高等數(shù)學的重要性認識高等數(shù)學的重要性, 培養(yǎng)濃厚的學習興趣培養(yǎng)濃厚的學習興趣.2. 學數(shù)學最好的方式是做數(shù)學學數(shù)學最好的方式是做數(shù)學.聰明在于學習聰明在于學習 , 天才在于積累天才在于積累 .學而優(yōu)則用學而優(yōu)則用 , 學而優(yōu)則創(chuàng)學而

4、優(yōu)則創(chuàng) .由薄到厚由薄到厚 , 由厚到薄由厚到薄 .馬克思馬克思 恩格斯恩格斯要辨證而又唯物地了解自然 ,就必須熟悉數(shù)學.一門科學, 只有當它成功地運用數(shù)學時,才能達到真正完善的地步 .華羅庚華羅庚二、如何學習高等數(shù)學二、如何學習高等數(shù)學 ? ?給出了幾何問題的統(tǒng)一給出了幾何問題的統(tǒng)一笛卡兒笛卡兒 (1596(15961650)1650)法國哲學家法國哲學家, 數(shù)學家數(shù)學家, 物理學家物理學家, 他他 是解析幾何奠基人之一是解析幾何奠基人之一 . 1637年他發(fā)年他發(fā)表的表的幾何學幾何學論文分析了幾何學與論文分析了幾何學與 代數(shù)學的優(yōu)缺點代數(shù)學的優(yōu)缺點, 進而提出了進而提出了 “ 另外另外 一

5、種包含這兩門科學的優(yōu)點而避免其缺點的方法一種包含這兩門科學的優(yōu)點而避免其缺點的方法”, 從而提出了解析幾何學的主要思想和方法從而提出了解析幾何學的主要思想和方法, 恩格斯把它稱為數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點恩格斯把它稱為數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點.把幾何問題化成代數(shù)問題把幾何問題化成代數(shù)問題 ,作圖法作圖法,華羅庚華羅庚(1910(19101985)1985)我國在國際上享有盛譽的數(shù)學家我國在國際上享有盛譽的數(shù)學家.他在解析數(shù)論他在解析數(shù)論,自守函數(shù)論自守函數(shù)論,高維數(shù)值積分等廣泛的數(shù)學領(lǐng)域中高維數(shù)值積分等廣泛的數(shù)學領(lǐng)域中,程程,都作出了卓越的貢獻都作出了卓越的貢獻 ,發(fā)表專著與學術(shù)論文近發(fā)表專著與學術(shù)論文近 300

6、篇篇.偏微分方偏微分方多復變函數(shù)論多復變函數(shù)論,矩陣幾何學矩陣幾何學, 典型群典型群,他對青年學生的成長非常關(guān)心他對青年學生的成長非常關(guān)心, 他提出治學之道是他提出治學之道是 “ 寬寬, 專專, 漫漫 ”, 即基礎(chǔ)要寬即基礎(chǔ)要寬, 專業(yè)要專專業(yè)要專, 要使自己的專業(yè)要使自己的專業(yè)知識漫到其它領(lǐng)域知識漫到其它領(lǐng)域. 1984年來中國礦業(yè)大學視察時給年來中國礦業(yè)大學視察時給給師生題詞給師生題詞: “ 學而優(yōu)則用學而優(yōu)則用, 學而優(yōu)則創(chuàng)學而優(yōu)則創(chuàng) ”.教師姓名：姚教師姓名：姚 翠翠 珍珍 參考書：參考書： 分析中的反例分析中的反例 各種學習高數(shù)輔導書各種學習高數(shù)輔導書Email address:QQ

7、：1420978569交作業(yè)時間交作業(yè)時間 ：周一。：周一。 作業(yè)要求全交。作業(yè)要求全交。最后成績：最后成績：平時平時( (作業(yè)作業(yè)+ +小測驗小測驗)20% +)20% +期中期中20%+20%+期末期末60%60% 高數(shù)集體答疑安排：n答疑時間：從第六周開始集體答疑，n 單周時間為周一下午：1：00-3：00； 雙周為周三下午：1：00-3：00；n答疑地點：單周為良鄉(xiāng)1-204 preview + review + exercise要求：要求：不遲到不早退，不中途退場。不遲到不早退，不中途退場。周次答疑時間答疑地點(良鄉(xiāng))答疑教師第六周10月10日（周三）1:00-3:001-204溫海

8、瑞第七周10月15日（周一）1:00-3:001-204溫海瑞第八周10月24日（周三）1:00-3:001-204溫海瑞第九周10月29日（周一）1:00-3:001-204鐘漫如第十周11月7日（周三）1:00-3:001-204鐘漫如第十一周11月12日（周一）1:00-3:001-204張偉第十二周11月21日（周三）1:00-3:001-204張偉第十三周11月26日（周一）1:00-3:001-204徐厚寶第十四周12月5日（周三）1:00-3:001-204徐厚寶第十五周12月10日（周一）1:00-3:001-204張文娟第十六周12月19日（周三）1:00-3:001-204

9、張文娟第十七周12月24日（周一）1:00-3:001-204朱國慶第十八周1月2日（周三）1:00-3:001-204朱國慶第十九周1月7日（周一）1:00-3:001-204朱國慶2012-2013學年第一學期高等數(shù)學課程集體答疑安排表幾個常用符號幾個常用符號等價；等價；與與21SS:21SS : : : ：21SS 存在存在(exist)(exist)；任意任意(arbitary)(arbitary)；屬于。屬于。成立；成立；成立推出成立推出由命題由命題21SS 第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限(function & limit)(function & limit)1

10、1 映射與函數(shù)映射與函數(shù)2 2 數(shù)列的極限數(shù)列的極限3 3 函數(shù)的極限函數(shù)的極限4 4 無窮大與無窮小無窮大與無窮小5 5 極限運算法則極限運算法則6 6 極限存在準則與兩個重要極限極限存在準則與兩個重要極限7 7 無窮小比較無窮小比較 8 8 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性9 9 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)映射，函數(shù)，極限和函數(shù)的連續(xù)性等基本概念，映射，函數(shù)，極限和函數(shù)的連續(xù)性等基本概念，其內(nèi)容是研究微積分的最必需的基礎(chǔ)知識。其內(nèi)容是研究微積分的最必需的基礎(chǔ)知識。本章討論：本章討論：分析基礎(chǔ)分析基礎(chǔ) 函數(shù)函數(shù) 極限極限 連續(xù)連續(xù) 研究對象研究對象 研究方法研究方法 研究橋梁研究橋

11、梁1 1 映射與函數(shù)映射與函數(shù)n集合集合n映射映射n函數(shù)函數(shù)一一. . 集合集合(set)(set)概念，集合運算，區(qū)間與鄰域。概念，集合運算，區(qū)間與鄰域。區(qū)間：區(qū)間：(interval)|),(bxaxba 開區(qū)間開區(qū)間|,bxaxba 閉區(qū)間閉區(qū)間|),bxaxba 半開半閉區(qū)間半開半閉區(qū)間|,(bxaxba . 0, 且且是兩個實數(shù)是兩個實數(shù)與與設(shè)設(shè) a).(0aU 記記作作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點點a.叫做這鄰域的半徑叫做這鄰域的半徑 . )( axaxaUxa a a ,鄰鄰域域的的去去心心的的點點 a. 0)( axxaU,鄰域鄰域的的稱為點稱為點數(shù)集數(shù)集 aaxx 鄰

12、域鄰域: : 二二. . 映射映射(mapping)(mapping)1. 1. 概念概念定義定義1 1YXfmappingYXfyYfXxfYX :).(,記做：記做：的映射的映射到到為從為從與之對應，則稱與之對應，則稱中有唯一確定的元素中有唯一確定的元素，在，在，按法則，按法則，使對，使對個法則個法則為非空集合，若存在一為非空集合，若存在一設(shè)設(shè))()(xfyxffxy ，即，即下的像，記作：下的像，記作：在映射在映射稱為元素稱為元素其中其中fD)(XfRf或或XYffDfR，記作：，記作：義域義域的定的定稱為映射稱為映射的一個原像，的一個原像，稱為稱為元素元素)domain(fXyx記作：

13、記作：的值域的值域的集合稱為的集合稱為中的所有元素的像組成中的所有元素的像組成),range(fX注意：注意：；對應法則：；對應法則：；值域范圍；值域范圍三個要素：定義域三個要素：定義域fYRXDff . 1的原像不一定唯一。的原像不一定唯一。是唯一的；對是唯一的；對的像的像，對對yRyyxXxf,. 2 外，所有原像不唯一；外，所有原像不唯一；的原像的原像除除例例000|,)(. 12 xyyyRRDxxfff；軸的區(qū)間上軸的區(qū)間上的點投影到的點投影到心在原點的單位圓周上心在原點的單位圓周上與之對應，將平面上圓與之對應，將平面上圓有唯一確定的有唯一確定的例例1 , 1)0 ,(,),(,:,

14、1|)0 ,(,1| ),(. 222 xYxXyxYXfxxYyxyxX.1 , 1,2,2,sin)(,2,2,1 , 12,2 :. 3 ffRDxxfxf 對對例例定義定義2 21212()()fRYfXYxxf xf xfXYff 若若， 則則稱稱為為到到 上上的的映映射射為為滿滿射射；若若對對，則則稱稱為為到到的的單單射射；若若既既是是單單射射，又又是是滿滿射射，則則稱稱為為一一一一映映射射。2 . 2 . 逆映射與復合映射逆映射與復合映射定義定義3 3。，值域，值域其定義域其定義域的逆映射，記作：的逆映射，記作：為為則稱映射則稱映射，滿足，滿足，規(guī)定，規(guī)定若對每個若對每個，即，即

15、新映射新映射的的到到，定義一個從，定義一個從使使的的，有唯一，有唯一對每個對每個為單射，為單射，設(shè)設(shè)XRRDffgyxfxygRyXRggXRyxfXxRyYXffffffff 11.)()(:)(,:1定義定義4 41212:,:, ( ),:g XYfYZYYgfXZxXf g xZgffgfg XZ 設(shè)設(shè)有有兩兩個個映映射射其其中中則則由由與與可可以以確確定定一一個個從從到到的的法法則則，它它將將每每個個映映成成稱稱這這個個映映射射為為由由映映射射與與構(gòu)構(gòu)成成的的復復合合映映射射，記記作作：，即即X()g X2YZgf2()gfRg XYD注意：注意：例例21)(,1 , 1,1 , 0

16、1 , 1 :sin)(,1 , 1:uufufxxgRxRg |cos|sin1)()(,1 , 0:2xxxgfxgfRxRgf ，有，有對對初等數(shù)學：研究對象為常量，是初等數(shù)學：研究對象為常量，是常量常量的數(shù)學；的數(shù)學；高等數(shù)學：研究對象是事物的高等數(shù)學：研究對象是事物的運動規(guī)律運動規(guī)律和現(xiàn)象的和現(xiàn)象的 變化規(guī)律變化規(guī)律，是，是變量變量的數(shù)學。的數(shù)學。三三. . 函數(shù)函數(shù)(function)(function)1616世紀，機械學，航海學，物理學，力學提世紀，機械學，航海學，物理學，力學提出出許多新的問題：許多新的問題：運動物體的速度和它的運動規(guī)律的關(guān)系；運動物體的速度和它的運動規(guī)律的關(guān)

17、系；天體沿怎樣的軌道運行；天體沿怎樣的軌道運行；不規(guī)則圖形的面積如何計算等等。不規(guī)則圖形的面積如何計算等等。GallilloGallillo在在“兩門新學科兩門新學科”中，用文字和比例的語言表中，用文字和比例的語言表達函數(shù)；達函數(shù)；NewtonNewton于于16651665年開始微積分工作后，用年開始微積分工作后，用“fluentfluent”表示變量間關(guān)系；表示變量間關(guān)系；Leibnize 1673Leibnize 1673年后首次使用年后首次使用 function function 表示變量表示變量間的關(guān)系；間的關(guān)系；).(1734Eulerxf年引進函數(shù)符號年引進函數(shù)符號于于實例實例足

18、關(guān)系足關(guān)系滿滿與時間與時間程程落路落路下，不計空氣阻力，下下，不計空氣阻力，下米處自由落米處自由落離地面離地面在重力作用下，物體從在重力作用下，物體從例例tsh. 1。，其中，其中g(shù)htgts20212 01224T-68t例例2. 2. 某氣象站自動記錄器畫的當?shù)啬骋惶斓臍鉁刈兓Ｄ硽庀笳咀詣佑涗浧鳟嫷漠數(shù)啬骋惶斓臍鉁刈兓?,(|)()range()domain()(:,DxxfyyDfRDDDyxDxxfyDRDfRDff 值域值域，定義域定義域稱為稱為稱為因變量，稱為因變量，稱為自變量，稱為自變量，其中其中，函數(shù)，記為：函數(shù)，記為：上的上的為定義在為定義在則稱映射則稱映射設(shè)數(shù)集設(shè)數(shù)集函

19、數(shù)是從函數(shù)是從實數(shù)集實數(shù)集到到實數(shù)集實數(shù)集的映射。的映射。1. 1. 函數(shù)定義函數(shù)定義定義定義1 1 定義定義1.1.或函數(shù)是量與量之間的依賴關(guān)系。或函數(shù)是量與量之間的依賴關(guān)系。).(),function(,xfyxyyfxXXxyx 記作：記作：的函數(shù)的函數(shù)是是值與之對應，則稱值與之對應，則稱有唯一確定的有唯一確定的，變量，變量根據(jù)某種對應規(guī)則根據(jù)某種對應規(guī)則值，值，中的每一個中的每一個。假如。假如的變化域為的變化域為兩個變量兩個變量和和有有假定在某個變化過程中假定在某個變化過程中 兩個要素：兩個要素：定義域；定義域； 對應關(guān)系（即函數(shù)關(guān)系）對應關(guān)系（即函數(shù)關(guān)系）。 約定：定義域是自變量所能

20、取的使算式有意約定：定義域是自變量所能取的使算式有意 義的一切實數(shù)值。義的一切實數(shù)值。函數(shù)圖形：全體這樣的點函數(shù)圖形：全體這樣的點)(,(),(xfxyxM ),(|)(,(XxxfyxfxM )(xfy oxy),(yxxyX 構(gòu)成的集合構(gòu)成的集合 稱為函數(shù)稱為函數(shù) 的圖形。的圖形。求下列函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域 );10arcsin(log. 1xy 例例解：解：110log1 x2log0 x.1012 x的定義域的定義域，求，求設(shè)設(shè)例例)2()(22ln)(. 2xfxfxxxf 解：解：, 022)( xxxf滿足滿足2, 2 xx2, 2 xx或或 2| x2|2|)2( x

21、xf滿足滿足1| x.2|1|, 2|1 xxDxf即即定義域為定義域為；和和例例xxxyxysinsin. 321 ),(1 D), 0()0 ,(2 D . 0, 0,sin2xxxy無定義，無定義，的定義域。的定義域。求求設(shè)設(shè)例例)(, 80),7)(1()(. 4xffxxxxf 解：解： 8)(080 xfx710)( xxf8788)(2 xxxf0)5)(3( xx35 xx或或 357180 xxxx或或 3175xx0123456781). 1). 公式法，表格法，圖形法；公式法，表格法，圖形法；2. 2. 函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法公式法：公式法：用分析表達法把函數(shù)表示出來的

22、方法稱用分析表達法把函數(shù)表示出來的方法稱為公式法或分析法；為公式法或分析法；列表法：列表法：將自變量的一系列值與對應的函數(shù)值排將自變量的一系列值與對應的函數(shù)值排列成表；列成表；圖形法：圖形法：用坐標平面上的曲線表示函數(shù)的方法。用坐標平面上的曲線表示函數(shù)的方法。2). 2). 分段函數(shù)：分段函數(shù)： 對于其定義域內(nèi)自變量不同的值，不能用對于其定義域內(nèi)自變量不同的值，不能用一個統(tǒng)一的數(shù)學表達式表示。一個統(tǒng)一的數(shù)學表達式表示。 . 0, 1, 0, 0, 0, 1sgn. 1xxxxy符號函數(shù)：符號函數(shù)：例例0 xy1-1 ., 0, 1:Dirichlet. 2為無理數(shù)為無理數(shù)為有理數(shù)，為有理數(shù)，函

23、數(shù)函數(shù)例例xxy0 xy的最大整數(shù)。的最大整數(shù)。表示不超過表示不超過取整函數(shù)：取整函數(shù)：例例xxy. 3 值域：值域：, 2, 1, 0 1 xxx0 xy 0, 10, 12)(. 42xxxxxf例例12 xy12 xy1). 1). 函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性上的有界函數(shù)。上的有界函數(shù)。是是則稱則稱），都有：，都有：，若，若設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)XxfMxfXxMXxxfy)(|(|, 0),( 定義定義2 2. .3. 3. 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性。的一個下界和一個上界的一個下界和一個上界分別是分別是或或上有界，稱上有界，稱在在則稱則稱都有都有使對使對或或)()(,)(,212121xfMM

24、XxfMxfMXxMM |,| |,max|21MMM 取取Mxf | )(|)(xf 1M M2M M 無界定義：無界定義：.)(,| )(|, 01上無界上無界在在則稱則稱使得使得不論它有多大，不論它有多大，若對若對XxfMxfXxM 也即：也即：.| )(|,1MxfXxMyMy 使使外，即外，即總有一點落在兩直線之總有一點落在兩直線之間，間，曲線不全落在兩直線之曲線不全落在兩直線之與與任給直線任給直線M-Myxoy=f(x)XM-MyxoX0 x11.( )(0,)f xx例例 函函數(shù)數(shù)在在無無界界；0,M1(0,),2xM 取取()2.f xMM 則則22.( )4f xx例例討討論

25、論函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)的的有有界界性性；Sep. 16 Fri. Reviewn區(qū)間，鄰域的概念；區(qū)間，鄰域的概念；n映射：滿射，單射，一一映射，逆映射，復合映射：滿射，單射，一一映射，逆映射，復合映射；映射；n函數(shù)概念；函數(shù)概念；n函數(shù)特性：有界性，單調(diào)性，奇偶性，周期性。函數(shù)特性：有界性，單調(diào)性，奇偶性，周期性。2). 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性稱為嚴格單調(diào)性。稱為嚴格單調(diào)性。區(qū)間。等式不成立時，區(qū)間。等式不成立時，的單調(diào)的單調(diào)稱為稱為，上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，則稱在，則稱在或或時，有時，有上有定義，且上有定義，且在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))()()()()()(2121

26、21xfXXxfxfxfxfxxXxfy )(xfy )(1xf)(2xfxyoX)(xfy )(1xf)(2xfxyoX定義定義3.3). 3). 函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性內(nèi)是奇函數(shù)或偶函數(shù)。內(nèi)是奇函數(shù)或偶函數(shù)。在在則稱則稱或或都有都有內(nèi)有定義，若對內(nèi)有定義，若對在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)XxfyxfxfxfxfXxXxfy)()()()()(,)( yx)( xf )(xfy ox-x)(xf偶函數(shù)偶函數(shù) even)( xf yx)(xfox-x)(xfy 奇函數(shù)奇函數(shù) odd定義定義4.4.的和之半。的和之半。與與唯一表示成唯一表示成可以可以是奇函數(shù)，且是奇函數(shù)，且是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，證明：證明：

27、內(nèi)的任意函數(shù)，且內(nèi)的任意函數(shù)，且是定義在是定義在設(shè)設(shè))()()()()()()()()()()()0)(,()(xGxFxfxGxFxfxfxGxfxfxFlllxf 例例. .證明：證明： 1. 1. 直接從定義證明直接從定義證明F F和和GG的奇偶性的奇偶性)()()(xfxfxF )(xF 偶函數(shù)偶函數(shù))()()(xfxfxG )(xG 奇函數(shù)奇函數(shù)2.2.)()(21xGxF )()()()(21xfxfxfxf )(xf 可表示成可表示成使使，奇函數(shù)，奇函數(shù)設(shè)另有偶函數(shù)設(shè)另有偶函數(shù))()()(11xfxGxF，則有，則有)()(2111xGxF )()(21)(11xGxFxf )1

28、()()(2111xGxF )(xf)2()()(2111xGxF )()()()()2()1(1xFxFxfxf 得：得：)()()()()2()1(1xGxGxfxf 得：得：唯一性得證。唯一性得證。4). 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性的周期。的周期。稱為稱為為周期函數(shù)，為周期函數(shù)，則稱則稱，都有，都有使對使對，常數(shù)常數(shù)，若，若，設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))()()()(),()0(),()(xfTxfxfTxfxTTxxfy 2l 2l23l 23l通常所說周期為最小周期通常所說周期為最小周期 定義定義5.5.不是每個周期函數(shù)都有最小周期不是每個周期函數(shù)都有最小周期. .例例 Dirichlet Diri

29、chlet 函數(shù)，任何正有理數(shù)都是它的周期。函數(shù)，任何正有理數(shù)都是它的周期。,l設(shè)設(shè) 為為任任一一正正有有理理數(shù)數(shù)也為有理數(shù)也為有理數(shù)為有理數(shù)時，為有理數(shù)時，則當則當lxx 也為無理數(shù)也為無理數(shù)為無理數(shù)時，為無理數(shù)時，則當則當lxx 1,()0.xD xlx 為為有有理理數(shù)數(shù)，為為無無理理數(shù)數(shù)正有理數(shù)中無最小者，故沒有最小周期正有理數(shù)中無最小者，故沒有最小周期. .4. 復合函數(shù)與反函數(shù)函數(shù)運算：復合函數(shù)與反函數(shù)函數(shù)運算：上的函數(shù)上的函數(shù)也是也是上有定義，則上有定義，則在在設(shè)設(shè)XxgxgxfxgxfxgxfXxgxf)0)()()(, )()(, )()()(),( 函數(shù)的四則運算函數(shù)的四則運

30、算1). 復合函數(shù)復合函數(shù) ffxfyXUXXxuXxxuUuufy的復合函數(shù)，記作的復合函數(shù)，記作與與稱為稱為上可以確定一個函數(shù)上可以確定一個函數(shù)則在則在，若，若的值域記為的值域記為函數(shù)函數(shù)及函數(shù)及函數(shù)設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù))(,)()()(),(, )( ,自自變變量量x,中中間間變變量量u,因變量因變量y定義定義1.1.1.不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的復合函數(shù)的; ;2.2.復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構(gòu)成合構(gòu)成. .注意：注意：X)(X)(X)(Uf fU).(1)(1.2xffxxxf，求，求設(shè)設(shè)例例

31、解：解：2( )( ( )1( )f xf f xfx 222111xxxx .212xx 。求求，且，且，已知已知例例)(0)(1)()(. 22xgxgxxgfexfx 解：解：由題設(shè)和復合函數(shù)的定義可得由題設(shè)和復合函數(shù)的定義可得,1)()(2xexgfxg , 0)( xg且且從而有從而有)1ln()(xxg , 0)1ln( x它的定義域是它的定義域是. 0, 11 xx即即2). 反函數(shù)反函數(shù)(inverse function)上是一一對應的。上是一一對應的。在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)或或若由若由，上有定義，上有定義，在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)XfxxxfxfxfxfxxXxxXxf22212221

32、21)()()()(,)( 1( )()( )( )( )( ).yf xXYf XyYf xyxXxfyxyyf x 設(shè)設(shè)在在上上一一一一對對應應，值值域域為為，用用滿滿足足的的唯唯一一確確定定的的與與之之對對應應。由由這這樣樣對對應應關(guān)關(guān)系系所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)或或就就稱稱為為原原來來函函數(shù)數(shù)的的反反函函數(shù)數(shù)定義定義3.3.定義定義2. 2). 2). 反函數(shù)反函數(shù)(inverse function)(inverse function)定義定義2 211:():(),fXf Xff XXff設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)是是單單射射，則則它它存存在在逆逆映映射射稱稱此此逆逆映映射射為為函函數(shù)數(shù)的的逆逆函

33、函數(shù)數(shù)或或反反函函數(shù)數(shù). .(),yf XxX 根根據(jù)據(jù)定定義義，對對，有有唯唯一一的的11( ),( ),( ).f xyfyxyfx 使使得得于于是是有有也也記記作作定義域定義域 值域值域( )f xX()f XX()f X1( )fx 0y0 x0yxyXW)(xfy 函數(shù)函數(shù)o0 xxyXW)(yx 反函數(shù)反函數(shù)o).(),(),(1XfxxfyXxxfyyx 的反函數(shù)寫成：的反函數(shù)寫成：表示因變量，故表示因變量，故表示自變量，表示自變量，習慣上，用習慣上，用定理定理. .內(nèi)也嚴格上升或下降。內(nèi)也嚴格上升或下降。且反函數(shù)在且反函數(shù)在，函數(shù)函數(shù)升或下降，則必存在反升或下降，則必存在反內(nèi)嚴

34、格單調(diào)上內(nèi)嚴格單調(diào)上在在，若，若，設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))()()()()(1XfXfyyfxXxfXxxfy 注意：注意：單調(diào)函數(shù)必存在反函數(shù)，但不單調(diào)函數(shù)不一定單調(diào)函數(shù)必存在反函數(shù)，但不單調(diào)函數(shù)不一定 沒有反函數(shù)。沒有反函數(shù)。的一一對應。的一一對應。到到是否為是否為取決于取決于)(XfXf 10, 1, 01,)(xxxxxf例例反函數(shù)反函數(shù)上不單調(diào)，但是它存在上不單調(diào)，但是它存在在在1 , 1 . 21, 1, 10,)(1xxxxxf定理證明：定理證明：,上的單調(diào)函數(shù)上的單調(diào)函數(shù)是定義在是定義在若若Xf是一一映射，是一一映射，則則)(:XfXf.1必存在必存在的反函數(shù)的反函數(shù)則則 ff,單調(diào)上升單調(diào)上升在上在上不妨設(shè)不妨設(shè)Xf,),(,2121yyXfyy 且且，使得，使得中存在唯一原像中存在唯一原像的定義，