近世代數(shù)第二章答案

1、近世代數(shù)第二章群論答案§1. 群的定義1.全體整數(shù)的集合對于普通減法來說是不是一個群？解：不是，因為普通減法不是適合結(jié)合律。例如 2.舉一個有兩個元的群的例。解：令,的乘法由下表給出 首先，容易驗證，這個代數(shù)運算滿足結(jié)合律(1) 因為，由于，若是元素在(1)中出現(xiàn)，那么(1)成立。(參考第一章，§4，習(xí)題3。)若是不在(1)中出現(xiàn)，那么有 而(1)仍成立。其次，有左單位元，就是；有左逆元，就是，有左逆元，就是。所以是一個群。讀者可以考慮一下，以上運算表是如何作出的。3.證明，我們也可以用條件，以及下面的條件，來做群的定義： 里至少存在一個右逆元，能讓 對于的任何元都成立；

2、對于的每一個元，在里至少存在一個右逆元，能讓 解：這個題的證法完全平行于本節(jié)中關(guān)于可以用條件來做群定義的證明，但讀者一定要自己寫一下。§2. 單位元、逆元、消去律1. 若群的每一個元都適合方程，那么是交換群。 解：令和是的任意兩個元。由題設(shè) 另一方面 于是有。利用消去律，得 所以是交換群。2. 在一個有限群里，階大于2的元的個數(shù)一定是偶數(shù)。解：令是一個有限群。設(shè)有元而的階。考察。我們有 設(shè)正整數(shù)而，那么同上可得，與是的階的假設(shè)矛盾。這樣，也是的階，易見。否則 與的假設(shè)矛盾。這樣，我們就有一對不同的階大于2的元和。設(shè)還有元，并且b的階大于2。那么的階也大于2，并且。我們也有。否則 消去

3、得，與假設(shè)矛盾。同樣可證。這樣，除和外，又有一對不同的階大于2的元和。由于是有限群，而的階大于2的元總是成對出現(xiàn)，所以里這種元的個數(shù)一定是偶數(shù)。3.假定是一個階是偶數(shù)的有限群。在里階等于2的元的個數(shù)一定是奇數(shù)。 解：由習(xí)題2知，里階大于2的元的個數(shù)是偶數(shù)。但只有一個階是1的元，就是單位元。于是由于的階是偶數(shù)，得里階等于2的元的個數(shù)是奇數(shù)。4.一個有限群的每一個元的階都有限。 解：令是一個有限群而是的任一元素，那么不能都不相等。因此存在正整數(shù) i，j，使 ，用乘兩邊，得（1） 這樣，存在正整數(shù)，使（1）成立，因此也存在最小的正整數(shù)，使，這就是說，元的階是。4. 群的同態(tài)假定在兩個群和的一個同態(tài)映

4、射之下， 。與的階是不是一定相同？解：不一定。例如，令是本章1中例2所給出的群而是該節(jié)中例1所給出的的群。那么讀者容易證明 是的任意元是到的一個同態(tài)映射。但的每一元都是無限階的，而的階是1。5. 變換群1. 假定是集合的一個非一一變換。會不會有一個左逆元使得解：可能有。例如令=所有正整數(shù)，則： ， 顯然是的一個非一一變換。而的變換： 就能使2. 假定是所有實數(shù)作成的集合。證明，所有的可以寫成 和是有理數(shù)， 形式的變換作成一個變換群。這個群是不是一個變換群？解：令是由一切上述變換作成的集合?？疾斓娜魏蝺蓚€元素： 和是有理數(shù)， ： 和是有理數(shù)， 那么： 這里和都是有理數(shù)，并且。所以仍屬于。結(jié)合律對

5、一般變換都成立，所以對上述變換也成立。單位變換： 屬于。容易驗證，在中有逆，即： 因此作為一個變換群。但不是一個交換群。令： ： 那么： ： 3. 假定是一個集合的所有變換作成的集合。我們暫時用符號： 來說明一個變換。證明，我們可以用： 來規(guī)定一個乘法，這個乘法也適合結(jié)合律并且對于這個乘法來說，還是的單位元。解：令和是的任意兩個元而是的任意一個元。那么和都是的唯一確定的元。因此如上規(guī)定仍是的一個唯一確定的元而我們得到了一個的乘法。令也是一個任意元，那么 所以而乘法適合結(jié)合律。 令是的任意元。由于對一切，都有，所以 即而仍是的單位元。4. 證明，一個變換群的單位元一定是恒等變換。解：設(shè)是由某一集

6、合的變換組成一個變換群，而是的單位元。任取的一個元和的一個元。由于，有 由于是的一個一一變換，所以而是的恒等變換。5. 證明，實數(shù)域上一切有逆的矩陣對于矩陣乘法來說，作成一個群.解：這個題的解法很容易，這里從略。6. 置換群1. 找出所有不能和交換的元。解：有6個元：，。其中的 ，=顯然可以和交換。通過計算，易見其它三個元不能和交換。2. 把的所有元寫成不相連的循環(huán)置換的乘積。解： =（1），=（2 3）=（1 2），=（1 3），=（1 2 3）=（1 3 2）3證明：（）兩個不相連的循環(huán)置換可以交換；（）解：（）看的兩個不相連的循環(huán)置換和。我們考察乘積使數(shù)字1，2，n如何變動。有三種情況。

7、（a） 數(shù)字在中出現(xiàn)，并且把變成j。這時由于和不相連，j不在中出現(xiàn)，因而使j不變，所以仍把變成j。（b） 數(shù)字在中出現(xiàn)，并且把變成。這時不在中出現(xiàn)，因而使不變，所以仍把變成。（c） 數(shù)字不在和中出現(xiàn)。這時使不動。如上考察使數(shù)字1，2，n如何變動，顯然得到同樣的結(jié)果。因此=。（）由于，所以4證明一個循環(huán)置換的階是 。解：一個循環(huán)置換=的一次方，二次方，次方分別把變成。同理把變成,把變成。因此。由上面的分析，若是，那么。這就證明了，的階是。5證明的每一個元都可以寫成（1 2），（1 3），（1 n）這個循環(huán)置換中的若干個的乘積。解：由于每一個置換都可以寫成不相連的循環(huán)置換的乘積，所以只須證明，一個

8、循環(huán)置換可以寫成若干個（1 ）形的置換的乘積。設(shè)是一個循環(huán)置換。我們分兩個情形加以討論。（a） 1在中出現(xiàn)，這時可以寫成容易驗算（b） 1不在中出現(xiàn)，這時§7.循環(huán)群1 證明，一個循環(huán)群一定是交換群。解：設(shè)循環(huán)群。那么的任何兩個元都可以寫成和（m，n是整數(shù)）的形式。但 所以是一個交換群。2.假定群的元a的階是n。證明的階是 ，這里d=( r，n )是r和n的最大公因子。解：由于dr ，r=ds ，所以現(xiàn)在證明， 就是的階。設(shè)的階為。那么 。令 得 但而是的階，所以 而于是 。（參看本節(jié)定理的第二種情形。）為了證明 ，只須反過來證明 。由 而n是a的階，同上有nr , 因而 。但d是n

9、和r的最大公因子，所以互素而有 。3.假定a生成一個階是n的循環(huán)群。證明：也生成，假如（r,n）=1 (這就是說r和n互素)。解：由習(xí)題2，的階是n。所以互不相同。但G只有n個元，所以 ，而生成。4假定是循環(huán)群，并且與同態(tài)。證明也是循環(huán)群。解：由于與同態(tài)，也是一個群。設(shè)，而在到的同態(tài)滿射下， ?？吹娜我庠?。那么在下，有 。這樣，的每一元都是的一個乘方而。5假定是無限階的循環(huán)群，是任何循環(huán)群。證明與同態(tài)。解：令，。定義 ： 我們證明，是到的一個同態(tài)滿射。（）由于是無限階的循環(huán)群，的任何元都只能以一種方法寫成的形式，所以在之下，的每一個元有一個唯一確定的象，而是到的一個映射。（）的每一個元都可以

10、寫成的形式，因此它在之下是的元的象，而是到的一個滿射。（）所以是到的一個同態(tài)滿射。§8. 子 群1 找出的所有子群。解：顯然有以下子群：本身；(1)=(1); (1 2)=(1 2),(1);(1 3)=(1 3),(1);(2 3)=(2 3),(1);(1 2 3)=(1 2 3),(1 3 2)，(1)。若的一個子群H含有（1 2）,(1 3)這兩個2-循環(huán)置換，那么H含有（1 2 ）(1 3)=(1 2 3 ),(1 2 3) (1 2)=(2 3)因而H=.同理，若是的一個子群含有兩個2-循環(huán)置換（2 1），(2 3)或（3 1）,(3 2),這個子群也必然是。用完全類似的

11、方法，讀者也可以算出，若是的一個子群含有一個2-循環(huán)置換和一個3-循環(huán)置換，那么這個子群也必然是。因此上面給出的6個子群是的所有子群。2 證明，群的兩個子群的交集也是的子群。 解：設(shè)和是的子群。令e是的單位元。那么e屬于 ，因而 而令a,b 。那么a，b屬于 。但是子群。所以屬于 ，因而屬于 。這就證明了，是G的子群。3 取的子集(1 2) ,(1 2 3)。生成的子群包含哪些元？一個群的兩個不同的子集會不會生成相同的子群？解：見習(xí)題1的解。4 證明，循環(huán)群的子群也是循環(huán)群。解：設(shè)循環(huán)群G=（a）而H是的一個子群。若H只含單位元e=a0，則H=（e）是循環(huán)群。若H不僅含單位元，那么因為H是子群

12、，它一定含有元am，其中m是正整數(shù)。令是最小的使得屬于H的正整數(shù)，我們證明，這時 .看H的任一元at。令t=iq+r 0ri那么ai=aiqar。由于at和aiq都屬于H，有 ar=a-iqatH于是由假設(shè)r=0,at=（ai）q而H=（ai）。 5找出模12的剩余類加群的所有子群。 解：模12的剩余類加群是一個階為12的循環(huán)群。因此由題4，的子群都是循環(huán)群，容易看出：（0）=0 (1)=(5)=(7)=(11)= (2)=(10)=2,4,6,8,10,0(3)=(9)=3,6,9,0(4)=(8)=4,8,0(6)=6,0是的所有子群。6.假定H是群的一個非空子集并且H的每一個元的階都有限

13、。證明，H作成一個子集的充要條件是： a,bHabH解：由本節(jié)定理1，條件顯然是必要的。要證明條件也是充分的，由同一定理，只須證明： aHa-1H設(shè)aH，由于H的每一元的階都有限，所以a的階是某一正整數(shù)n而a-1=an-1.于是由所給條件得a-1H。 §9. 子群的陪集1. 證明，階是素數(shù)的群一定是循環(huán)群。解：設(shè)群的階為素數(shù)p，在中取一元ae，則a生成的一個循環(huán)子群（a）。設(shè)（a）的階為n，那么n1.但由定理2，np，所以n=p而G=（a）是一個循環(huán)群。2. 證明，階是pm的群（p是素數(shù)，m1）一定包含一個階是p的子群。 解：設(shè)群的階是pm。在中取一元ae，那么由定理3，a的階npm

14、.但n1,所以n=pt,t1,若t=1,那么d的階為p，（a）是一個階為p的子群。若t1,可取b=ap,那么b的階為p，而(b)是一個階為p的子群。3. 假定a和b是一個群的兩個元，并且ab=ba，又假定a的階是m，b的階是n，并且（m,n）=1.證明：ab的階是mn。 解：設(shè)ab的階是k。由ab=ba,得 （ab）mn=amnbmn=e因此kmn。我們反過來證明，mnk。由 e=（ab）kn=aknbkn=akn以及a的階為m，得mkn,但(m,n)=1,所以mk.同理nk。又由（m,n）=1，得mnk. 這樣，ab的階k=mn。4. 假定是一個群的元間的一個等價關(guān)系，并且對于的任意元三個元

15、a，x，x來說 axax xx證明，與的單位元e等價的元所作成的集合是的一個子群。解：令H是與e等價的元所作成的集合。由于ee，所以H不空。設(shè)a,bH，那么ae,be,be可寫成a-1aba-1a因此由題設(shè)，abae而abH。ae可寫成aeaa-1，因此由題設(shè)，ea-1而a-1H。這樣，H作成G的一個子群。5我們直接下右陪集H a的定義如下：H a剛好包含的可以寫成h a （hH）形式的元。由這個定義推出以下事實：的每一個元屬于而且只屬于一個右陪集。 解：取任意元a，由于H是一個子群，單位元eH,因此a=e aH a這就是說，元a屬于右陪集H a。 設(shè)aH b,aH c,那么a=b=h2c (

16、,H)由此得，b=c,而H b的任意元 hb=H c因而H bH c，同樣可證H cH b，這樣H b=H c而a只能屬于一個右陪集。6.若我們把同構(gòu)的群看成一樣的，一共只存在兩個階是4的群，它們都是交換群。 解：先給出兩個階是4的群。 模4的剩余類加群=0,1,2,3.的元1的階是4而是1所生成的循環(huán)群（1）。 的子群 =(1),(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)叫作克萊因四元群。是的子群容易驗證，我們有 (1 2)(3 4)2=(1 3)(2 4)2=(1 4)(2 3)2=（1） (1 2)(3 4)(1 3)(2 4)=(1 3)(2 4)(1 2)(3

17、4)=(1 4)(2 3) (1 3)(2 4)(1 4)(2 3)=(1 4)(2 3)(1 3)(2 4)=(1 2)(3 4) (1 4)(2 3)(1 2)(3 4)=(1 2)(3 4)(1 4)(2 3)=(1 3)(2 4)這兩個群顯然都是交換群。 現(xiàn)在證明，任何階是4的群都和以上兩個群之一同構(gòu)。設(shè)是一個階為4的群。那么的元的階只能是1，2或4若有一個階為4的元d，那么G=（d）是一個循環(huán)群，而與同構(gòu)。若沒有階為4的元，那么除單位元e外，的其他3個元的階都是2，因此有 =e,a,b,c a2=b2=c2=e由于是群，有ab，我們證明ab=c 由ab=e將得ab=a2和b=a ,這

18、不可能. 由ab=a將得b=e,也不可能 由ab=b將得a=e,也不可能. 因此只能ab=c,同樣可證 ab=ba=c, bc=cb=a, ca=ac=b比較和B的代數(shù)運算，易見和B4同構(gòu)。 補充題：利用6題證明，一個有限非交換群至少有6個元。 §10.不變子群 商群1. 假定群的不變子群N的階是2.證明，的中心包含N。解：令N=e,n，這里e是的單位元，取的任意元a。由于N是一個不變子群，有aN=Na，即 a,an=a,na所以an=na。這樣，N的兩個元e和n都可以和的任何元a交換，所以N屬于的中心。2. 證明，兩個不變子群的交集還是不變子群。解 令和是群G的兩個不變子群。那么是

19、的一個子群（§8.習(xí)題2）。我們進一步證明，是的一個不變子群。令aG,n,那么n,n,但和是不變子群，所以ana-1, ana-1,因而 ana-1于是由定理2，是一個不變子群。3. 證明，指數(shù)是2的子群一定是不變子群。 解：令是一個群而N是的一個指數(shù)為2的子群。 若nN，那么顯然有nN=Nn。設(shè)bG,bN。那么由于N的指數(shù)是2，被分成兩個左陪集N和bN；也被分成兩個右陪集N和Nb。因此bN=Nb,這樣，對于的任何元a來說，aN=Na是的一個不變子群。4. 假定H是的子群，N是的不變子群，證明，HN是的子群。解：由于H和N都不空，所以HN也不空。設(shè) aHN , bHN 。那么a= ,

20、 b= (, H , ,N )a= (=)由于N是一個不變子集，有N=N ，= n （nN）由是得a=()nHN，HN是一個子群。5. 舉例證明，的不變子集N的不變子群未必是的不變子群 （取=）. 解 ：令G=, N=(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23) =（1），（12）（34） 已知N是的一個子群（上節(jié)習(xí)題6）。我們證明，N是的一個不變子群。為了證明這一點，我們考察，是否對一切，等式（a） N=N成立。由于任何都可以寫成(1)形的2一循環(huán)置換的乘積。（§6.習(xí)題5），我們只須對(1)形的來看等式（a）是否成立。又由于N的元的對稱性，我們只須看=（12）的情

21、形。但 （12）（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）（12）=（1），（12）（34），（14）（23），（13）（24）所以N是的一個不變子群。由于N是交換群，當然是N的一不變子群。但不是的一個不變子群。因為（13）（12）（34）（13）=（14）（23）6. 一個群G的可以寫成ab形式的元叫作換位子。證明；（i） 所有有限個換位子的乘積作成的集合C是的一個不變子群；（ii） G/C是交換群；（iii） 若N是的一個不變子集，并且G/N是交換群，那么 NC 解：（i），C的兩個元的乘積仍是有限個換位子的乘積，因而仍是C的一個元。一個換位子的逆仍是一個換位子，所以C的一個元的逆仍是C的一個元。這樣C是一個子群。 對于aG，cC ,ac=(ac) cC ,所以C是G的一個不變子群。（ii） 令a,bG 。那么ab=cC。由此得 ab=bac, abC=bacC=baC即aCbC=bCaC而G/C是交換群。（iii） 因為G/N是交換群，所以對的任何兩個元a和b (aN)(bN)= (bN) (aN), abN=baN 由此得 ab=ban (nN) ab= nN。 這樣N含有一切換位子，因此含有C。 補充題。令和（ ）屬于 。證明 （ ）=（ ） §11.同態(tài)與不變子群1. 我們