牛頓插值公式

1、)(,1010 xfxxxxxxfnn 011021,xxxxxfxxxfnnn 牛頓插值公式牛頓插值公式n 階差商階差商)()()(xRxPxfnn 其中，其中， )(,)()(0100 xxxxfxfxPn)()(,11010 nnxxxxxxxxxf- - 牛頓插值多項式牛頓插值多項式)(,)(010ininnxxxxxxfxR - - 牛頓插值余項牛頓插值余項乘除法次數(shù)大約為乘除法次數(shù)大約為: :nn23212 較較L-L-插值法減少了插值法減少了3-43-4倍倍. .,10 xxf,10nxxxf)(0 xf牛頓插值多牛頓插值多項式系數(shù)項式系數(shù)牛頓插值多牛頓插值多項式系數(shù)項式系數(shù)牛頓

2、插值多牛頓插值多項式系數(shù)項式系數(shù)4 差商與牛頓插值多項式差商與牛頓插值多項式5 重節(jié)點差商重節(jié)點差商 定義定義5 ( (重節(jié)點差商重節(jié)點差商) )xxxxxfxxxfxxxxxfxxn )1(10)1(1010,lim,1)1(）（記記 ,00 xxf若若 ,)()()(lim00)1(00)1(00)1(0 xfxxxfxfxx )()()(lim00)1(00)1(00)1(0 xfxxxfxfxx ? ?,10 xxxxfdxdn 則定義則定義 類似的有類似的有!)(,)2(0)(1000nxfxxxfnn 個個分析：分析：(2)首先首先,由定義由定義! 1)()(,0000 xfxfx

3、xf )()(!)()(! 2)()()()(000)(200000nnnxxoxxnxfxxxfxxxfxfxf )()(!)()(! 2)()()()(,10100)(000000 nnnxxoxxnxfxxxfxfxxxfxfxxf泰勒展開式泰勒展開式,lim)1(000)1(0 xxfxx000000000,lim,lim,00 xxxxfxxfxxxfxxxfxxxx 下下證證0000000,lim,0 xxxxfxxfxxxfxx 又又，! 2)(,0000 xfxxxf )()(!)()(! 3)(! 2)(20200)(000 nnnxxoxxnxfxxxfxf(2)首先首先,

4、由定義由定義! 1)()(,0000 xfxfxxf )()(!)()(! 2)()()()(000)(200000nnnxxoxxnxfxxxfxxxfxfxf )()(!)()(! 2)()()()(,10100)(000000 nnnxxoxxnxfxxxfxfxxxfxfxxf000000,xxxxfxxfxxxf 泰勒展開式泰勒展開式證明：證明：000000000,xxxxxfxxxfxxxxf )()(!)()(! 4)(! 3)(30300)(0040 nnnxxoxxnxfxxxfxf）（，及及! 2)(,0000 xfxxxf 000000,xxxxfxxfxxxf 由由于于

5、?。?)(,lim,0300000000000 xfxxxxxfxxxfxxxxfxx ?。╪xfxxxfnn)(,01000 ，)()(!)()(! 3)(! 2)(20200)(000 nnnxxoxxnxfxxxfxf#給定給定)(xfy 的函數(shù)表的函數(shù)表)()()()(1010nnxfxfxfxfxxxx并記并記。), 1 , 0( ,)(nkfxfkk 5 差分，等距節(jié)點插值多項式差分，等距節(jié)點插值多項式5.1 差分及性質(zhì)差分及性質(zhì) ,10bxxxan 且且, ), 2 , 1( , 01nkhxxkk ,nabh 即即1、差分、差分), 1 , 0( ,0nkkhxxk 或或)

6、(kkxff （1 1）記號）記號 向前差分算子；向前差分算子； ,)()(1 kkkkkffhxfxff,)2()2(2121 kkkkkffhxfhxff 在在kxx )(xf 稱為稱為點的步長為點的步長為h的的一階一階向前向前差分差分 中心差分算子中心差分算子. 定義定義6 向后差分算子；向后差分算子； 二階向前差分；二階向前差分；)()2(2kkff 二階向后差分；二階向后差分；)(2kkff 21 kf 若若,121 kkkfff 二階中心差分；二階中心差分； kf2 kkff 1kkkfff 1221 kkff212 kkkfff,1kkff 2121 kkff 112 kkkff

7、f)()(kkxfhxf ,1kkff 、向后向后、中心中心差分差分. .分別分別 (3) 一般地，一般地，kmkmkmkmkmfffff11111)( 階向前差分階向前差分；m11111)( kmkmkmkmkmfffff 階向后差分階向后差分；mI I 不變算子（恒等算子）；不變算子（恒等算子）；mkkmkkffEfEf ,1kkfIf （4 4）設(shè)）設(shè)A與與B為兩算子為兩算子, 如如1)(,)( EIbIEakkBfAf ，則稱算子，則稱算子A與與B為相等。記為為相等。記為;BA 若若IBAAB ，則稱，則稱A為為B的逆算子。記為的逆算子。記為);(11 BAAB 若若kkkfff 1(

8、)(kkkfIEIfEf （自己證）（自己證）,)(,12121212121kkkkkfEfEffEf ).(212121IEEEE ,2121 kkkfff E E 位移算子位移算子 2、性質(zhì)、性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 1 1 )(xf的各階差分均可用函數(shù)值表示。的各階差分均可用函數(shù)值表示。 其中其中.!) 1() 1()(jjnnnCjnnj 證明：證明： njjknnjjf0)()1(用算子二項式定理：用算子二項式定理： njkjjnnjjknfIEfIE0)()1()( njkjjnnjjknfEIfEI011)()()1()(.)()1(0 njjknjjf njkjjnnjjknfEIfEI0

9、11)()()1()(knf njkjjnnjjknfIEfIE0)()1()(得得knf 1 EIIE njkjnnjjknff0,)()1(.)()1(0 njjknjjknff即即# #用歸納法可證。用歸納法可證。 )., 2 , 1( ,!)(!)(,010nmhmxfhmxfxxxfmmmmmm 則則 性質(zhì)性質(zhì) 2 2 差分與差商的關(guān)系差分與差商的關(guān)系 令令), 1 , 0( ,0nkkhxxk ),1, 1 , 0( ,1 nkhxxkk或或 證明：證明： 當(dāng)當(dāng)m=1時，時， hxfxxxfxfxxf)()()(,0010110 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)m=k時，有時，有 ,!)(,010kk

10、khkxfxxxf ,!)(,1121kkkhkxfxxxf 01, 101,21110,xxxxxfxxxfxxxxfkkkkk 則則hkhkxfhkxfkkkk)1(!)(!)(01 hkhkxfxfkkk)1(!)()(01 101)!1()()( kkhkxfxf.)!1()(101 kkhkxf#自己證自己證一般地一般地 nkhkxfxxxfhkxfxxxfkknknnknknkknnn，, 21,!)(,!)(,11 性質(zhì)性質(zhì)3 差分與導(dǎo)數(shù)關(guān)系差分與導(dǎo)數(shù)關(guān)系 ),(),()(0)(0mmmmxxfhxf 其其中中 )(mmxf 證明：證明： mmmhmxxxfxf!,)(100 性

11、質(zhì)性質(zhì)2 2.)(!)()()(mmmmhfhmmf 定理定理7 7 5.2 牛頓向前插值，向后插值公式牛頓向前插值，向后插值公式 )(xfy 函數(shù)表函數(shù)表設(shè)有設(shè)有, 1 , 0,),(,(0nkkhxxxfxkkk 0 xa bxn 1x2x1 nx,bax 被插值點。被插值點。 （1）當(dāng)）當(dāng) 靠近靠近 (表初表初或或差頭差頭)時，時， 通常取插值節(jié)點：通常取插值節(jié)點：nxxx,10 x0 x以下推導(dǎo)以以下推導(dǎo)以 為節(jié)點的為節(jié)點的等距插值公式等距插值公式。nxxx,10 作變換作變換 ,0thxx ,1 , 0 t,010hxxxx 此時，此時，則則又由又由,0khxxk ), 1 , 0(

12、 ,)(nkhktxxk kkxxxfxxxxxx,)()(10110 kkkhkxfktttth!)()1()2)(1(0 1、公式、公式., 2 , 1,nm mmmhmxfxxxf!)(,010 自己證自己證 )(!)1()1(0 xfkktttk 0!)1()1(fkktttk kkxxxfxxxxxx,)()(10110 kkkhkxfktttth!)()1()2)(1(0 khkh )(,)()(0100 xxxxfxfxPn)()(,11010 nnxxxxxxxxxf代入代入(4.2)：（牛頓前插公式或表初公式牛頓前插公式或表初公式）：）：即得即得牛頓向前插值公式牛頓向前插值公

13、式 ),(),()1()!1()()(),0( ,!)()1()()()()(!)1()1()(! 2)1()()()()()()()()(01)1(0000200000nnnntknkktknnnnnxxnttthnfxRkkntttxfxfnntttxfttxftxfthxPxPxRthxPthxfxf 其中其中其中其中1)(0 t規(guī)規(guī)定定)(0 xf)(02xf )(0 xfn )(0 xf )2.5(系數(shù)系數(shù)系數(shù)系數(shù)系數(shù)系數(shù)系數(shù)系數(shù) 作變換作變換 ,thxxn ,0 , 1 t,1nnxxx 此此時時，又又,0khxxk 則則),1 , 1,( ,)( nnkhkntxxk再由再由 )

14、, 1( ,!1)(!1,1nkfhkxfhkxxxfknkknkkknnn （牛頓后插公式或表末公式牛頓后插公式或表末公式）：）：即得即得牛頓向后插值公式牛頓向后插值公式 ），（，）（）（）（其中其中nnnnktknknkknktkknktkknnnnnnnnnnxxnttthnfxRkktttkktttfffnntttfttftxfthxPxPxRxPxf01)1(002)()1()!1()()(!)1()1()1(!)1()1()1()1(!)1()1(! 2)1()()()()()()( （2）當(dāng)）當(dāng) 靠近靠近 時，時，通常取插值節(jié)點：通常取插值節(jié)點：01,xxxnn xnx，以下，以

15、下為為插值插值節(jié)點的節(jié)點的等距插值公式等距插值公式。01,xxxnn 推導(dǎo)以推導(dǎo)以)(nxfnf2 nnf nf )2.5( )(,)()(1nnnnnxxxxfxfxP及及)()(,1101xxxxxxxxxfnnnn 系數(shù)系數(shù)系數(shù)系數(shù)系數(shù)系數(shù)系數(shù)系數(shù)1 nf22 nf0fn 注：注：（1）（）（5.2）、）、(5.3)使用于等距節(jié)點。使用于等距節(jié)點。 （2）（）（5.2）、）、(5.3)的系數(shù)分別為的系數(shù)分別為 ，), 10( ,0nkffnkk，與與 差分表差分表2-72-7nfnxnfnfnffxnffffxfnffffffxffffxffxfnffffixfix12234443223

16、301320412220310211000432)(34 求解方法見求解方法見表表2-72-7。03f 0f 0f02f 04f 0fn (5.2)的系數(shù)的系數(shù)(5.3)的系數(shù)的系數(shù)33 nf1 nfnf22 nf44 nf0fn nf3 nf nf2 nf4 nnf knkf nkf 說明說明: :節(jié)點的取法：取與節(jié)點的取法：取與x盡量接近的節(jié)點。盡量接近的節(jié)點。注意兩點注意兩點，首先，若，首先，若 2、計算量、計算量 （1）計算差分（計算量忽略不記）；）計算差分（計算量忽略不記）； （2）由前插（后插）公式計算近似值：）由前插（后插）公式計算近似值：（計算步驟）（計算步驟）)(!) 1()

17、 1()(! 2) 1()()()(00200 xfnntttxfttxftxfxPnn 乘除法次數(shù)大約為乘除法次數(shù)大約為: : + +!)() 1(! 2)()1()()(00200nxfntxftxftxfn n1 n12 n秦九韶算法秦九韶算法達到了誤差要求，則其他一些節(jié)點就用不到了，因此，表中的達到了誤差要求，則其他一些節(jié)點就用不到了，因此，表中的n可以相當(dāng)大，牛頓可以相當(dāng)大，牛頓插插值公式中的值公式中的n不一定就是表中的不一定就是表中的n；另外；另外,表初表初式計算。式計算。在公式中的比重是一樣的。若在公式中的比重是一樣的。若x不在表初、表末而在表中間，則有不在表初、表末而在表中間，

18、則有例例4。例。例4還有另外的選取節(jié)點的方法，也可以用牛頓向后插值公還有另外的選取節(jié)點的方法，也可以用牛頓向后插值公公式中公式中 似乎占有較大比重，而從誤差公式的對稱性知似乎占有較大比重，而從誤差公式的對稱性知 0fnfff， 10例例4 4 已知已知 Bessel函數(shù)函數(shù))(0 xJ函數(shù)表函數(shù)表2243115458. 09 . 21850360334. 08 . 21424493700. 07 . 20968049544. 06 . 20483837764. 05 . 20025076832. 04 . 20555397844. 03 . 21103622669. 02 . 21666069

19、803. 01 . 22238907791. 00 . 2)(0 xJx試用牛頓試用牛頓向前向前插值公式計算插值公式計算)45. 2(0J近似值。近似值。解：解：取取, 9 . 2, 8 . 2, 7 . 2, 6 . 2, 5 . 2, 4 . 2543210 xxxxxx各階差分見表各階差分見表2-8 表表2-82-8解：解：取取, 9 . 2, 8 . 2, 7 . 2, 6 . 2, 5 . 2, 4 . 2543210 xxxxxx各階差分見表各階差分見表2-8 6545554444332211005432101 . 2107591. 210533988. 2003311151. 00392755124.