非參數(shù)統(tǒng)計-2016

1、華中農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建模基地非參數(shù)統(tǒng)計非參數(shù)統(tǒng)計華中農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建?；厝A中農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建?；貐?shù)檢驗 parametric test 如 t 檢驗： F 檢驗:0:171.2Hcm012:kH一. 問題的提出 非參數(shù)檢驗(nonparametric test)對數(shù)據(jù)的總體分布類型不作嚴格假定，又稱任意分布檢驗(distribution-free test)， 它直接對總體分布的位置作假設(shè)檢驗。 缺點：缺點：方法比較粗糙，對于符合參數(shù)檢驗條件者，采用方法比較粗糙，對于符合參數(shù)檢驗條件者，采用非參數(shù)檢驗非參數(shù)檢驗會損失部分信息，其檢驗效能較低會損失部分信息，其檢驗效能較低；樣本含；樣本含量較大時，

2、兩者結(jié)論常相同量較大時，兩者結(jié)論常相同應(yīng)用非參數(shù)檢驗的情況1.不滿足正態(tài)和方差齊性條件不滿足正態(tài)和方差齊性條件的小樣本資料；的小樣本資料；2.總體總體分布類型不明分布類型不明的小樣本資料；的小樣本資料；3.一端或二端是不確定數(shù)值（如一端或二端是不確定數(shù)值（如0.002、65等）等）的資料的資料；4.單向有序列聯(lián)表單向有序列聯(lián)表資料；資料；5. 各種資料的各種資料的初步分析初步分析。無效無效有效有效顯效顯效實驗組 61935對照組 142024秩次(rank)將數(shù)值變量值從小到大，或等級變量值從弱到強所排列的序號。例例1 11只大鼠存活天數(shù)：只大鼠存活天數(shù)：存活天數(shù)存活天數(shù) 4，10，7，50，

3、3，15，2，9，13，60，60秩次 3 6 4 9 2 8 1 5 7 10 11 10.5 10.5例例2 7名名 肺炎病人的治療結(jié)果：肺炎病人的治療結(jié)果：危險程度危險程度 治愈治愈 治愈治愈 死亡死亡 無效無效 治愈治愈 有效有效 治愈治愈秩次 1 2 7 6 3 5 4平均秩次平均秩次 2.5 2.5 7 6 2.5 5 2.5本次介紹的非參數(shù)的假設(shè)檢驗方法 主要基于秩次秩次秩次相同(tie)取平均秩次！二. 基本思想(4)由樣本值計算由樣本值計算T的值，若的值，若T W，則拒絕，則拒絕H0 否則否則, ,接受接受H0 0(1)根據(jù)實際問題提出原假設(shè)根據(jù)實際問題提出原假設(shè)H0和備擇假

4、設(shè)和備擇假設(shè)H1(2)選取適當?shù)慕y(tǒng)計量選取適當?shù)慕y(tǒng)計量T,并在并在H0成立條件下確定成立條件下確定出出T的分布的分布(3)確定拒絕域確定拒絕域W,使使PT W|H0真真=三. 基本步驟華中農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建?；厝A中農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建?；厮? 非參數(shù)檢驗的方法介紹1. 兩組樣本數(shù)據(jù)的檢驗兩組樣本數(shù)據(jù)的檢驗 1.1 兩個兩個相關(guān)樣本相關(guān)樣本檢驗檢驗 1.2 兩個兩個獨立樣本獨立樣本檢驗檢驗2.多組樣本數(shù)據(jù)的檢驗多組樣本數(shù)據(jù)的檢驗 2.1 多組個獨立樣本獨立樣本檢驗 2.2 多組個相關(guān)樣本相關(guān)樣本檢驗3.相關(guān)性指標與檢驗相關(guān)性指標與檢驗 1.1 兩個相關(guān)樣本檢驗配對樣本比較的Wilcoxon符號秩檢驗

5、（Wilcoxon signed-rank test）1配對樣本差值的中位數(shù)與0的比較2單個樣本中位數(shù)和總體中位數(shù)比較 表 12份血清兩法測血清谷-丙轉(zhuǎn)氨酶（nmol S-1/L）的比較 （1）配對樣本差值的中位數(shù)與配對樣本差值的中位數(shù)與0的比較的比較1. 建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水平2. 求檢驗統(tǒng)計量T值 省略所有差值為0的對子數(shù)檢驗步驟 按差值的絕對值從小到大編秩，相同秩（ties）則取平均秩 任取正秩和或負秩和為任取正秩和或負秩和為T，本例取，本例取T=11.5。3. 確定P值，作出推斷結(jié)論 (1)當n50時，查T界值表 判斷原則判斷原則: T 在范圍之外，Pn=12, =0.10 :13

6、-53 =0.05 :10-56T=11.5(2)若當n50，超出附表9范圍，可用正態(tài)近似法作z檢驗。 3(1)/4z()(1)(21)2448jjTn nttn nn注：注：tj(j=1,2,L)為第j個相同秩次的個數(shù)data d1; input id x1 x2 ; d=x1-x2; cards; 1 60 80 2 142152 3 195243 4 80 82 5 242240 6 220220 7 190205 8 25 38 9 212243 10 38 44 11236200 12 95100;proc univariate;var d; run;SAS 程序Univariate

7、 ProcedureVariable=D1 Tests for Location: Mu0=0 Test -Statistic- -p Value- Students t t 1.60232 Pr |t| 0.1374 Sign M 3.5 Pr = |M| 0.0654 SAS 輸出結(jié)果（2）單個樣本中位數(shù)和總體中位數(shù)比較11n，單側(cè)0.05的T范圍為13-53；T=1.5 在此范圍之外， P |t| 0.0072Sign M 4.5 Pr = |M| 0.0117 SAS 輸出結(jié)果1.2 兩個獨立樣本檢驗Wilcoxon秩和檢驗 Wilcoxon rank sum test 1區(qū)間（計量）

8、數(shù)據(jù)的兩樣本比較 2有序（等級）數(shù)據(jù)的兩樣本比較1區(qū)間（定量）數(shù)據(jù)的兩樣本比較 符合參數(shù)條件時，采用兩樣本均數(shù)的t檢驗表15.1 不同作業(yè)的兩組工人的血鉛值 例數(shù)較小者為n1、T1檢驗步驟求檢驗統(tǒng)計量T 值 把兩樣本數(shù)據(jù)混合從小到大編秩，遇數(shù)據(jù)相等者取平均秩； 以樣本例數(shù)小者為1n，其秩和（1T）為T，若兩樣本例數(shù)相等，可任取一樣本的秩和（1T或2T）為T，本例T=93.5。 H0：兩組總體分布位置相同； H1 ：分布位置不相同；0.05確定P值，作出推斷下結(jié)論 1. 查表法 (樣本含量較小，根據(jù)T查P值) 2. 較大作正態(tài)近似性檢驗 1312312(1)/2()(1)112(1,2,)jjj

9、Tn Nzttn n NNNtjjNnn為第 個相同秩次的個數(shù)Ldata a; input y g; cards;515161719112 113 115 118 121 117 218 220 225 234 243 22;proc npar1way wilcoxon; class g; var y; run;SAS 程序 The NPAR1WAY Procedure Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable y Classified by Variable g Sum of Expected Std Dev Mean g N Scores Under

10、 H0 Under H0 Score - 1 10 59.50 90.0 10.234386 5.950000 2 7 93.50 63.0 10.234386 13.357143 Average scores were used for ties. Wilcoxon Two-Sample Test Statistic 93.5000 Normal Approximation Z 2.9313 One-Sided Pr Z 0.0017 Two-Sided Pr |Z| 0.0034 t Approximation One-Sided Pr Z 0.0049 Two-Sided Pr |Z|

11、0.0098 Z includes a continuity correction of 0.5. Kruskal-Wallis Test Chi-Square 8.8813 DF 1 Pr Chi-Square 0.0029SAS 輸出結(jié)果 2 單項有序列聯(lián)表數(shù)據(jù)的兩樣本比較 名義數(shù)據(jù)的兩樣本比較，采用率或構(gòu)成比的卡方 檢驗常錯誤采用 卡方檢驗 表 吸煙與不吸煙工人的HbCO(%)含量的比較 注：HbCO：一氧化碳血紅蛋白，一氧化碳血紅蛋白，HbCO不具有與氧氣進行有效交換的功能，會導(dǎo)致攜帶氧氣能力下降0H：吸煙工人和不吸煙工人的 HbCO 含量總體分布位置相同 1H：吸煙工人的 HbCO

12、含量高于不吸煙工人的 HbCO 含量 0.05 先確定各等級的合計人數(shù)、秩范圍和平均秩，見表8-6的（4）欄、（5）欄和（6）欄，再計算兩樣本各等級的秩和，見（7）欄和（8）欄； 本例T=1917； 3191739 (79 1)/23.702339 40 (79 1)52230(1)127979Z查附表得單側(cè)0.0005P ，按0.05水準拒絕0H，接受1H，可認為吸煙工人的 HbCO（%）含量高于不吸煙工人的 HbCO（%）含量。 139n ，240n ，394079N 計算Z值333333()(33)(3131)(2727)(1414)(44) 52230jjttdata a; input

13、 y g FREQ; cards;1112183116411051412222233211424520;proc npar1way wilcoxon; class g; FREQ FREQ； var y; run;SAS 程序 The NPAR1WAY Procedure Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable y Classified by Variable g Sum of Expected Std Dev Mean g N Scores Under H0 Under H0 Score - 1 39 1917.0 1560.0 96.426663

14、49.153846 2 40 1243.0 1600.0 96.426663 31.075000 Average scores were used for ties. Wilcoxon Two-Sample Test Statistic 1917.0000 Normal Approximation Z 3.6971 One-Sided Pr Z 0.0001 Two-Sided Pr |Z| 0.0002 t Approximation One-Sided Pr Z 0.0002 Two-Sided Pr |Z| 0.0004 Z includes a continuity correctio

15、n of 0.5. Kruskal-Wallis Test Chi-Square 13.7070 DF 1 Pr Chi-Square 0.0002SAS 輸出結(jié)果2.1 多組個獨立樣本檢驗完全隨機設(shè)計多個樣本比較的Kruskal-Wallis H檢驗 1區(qū)間（計量）數(shù)據(jù)的樣本比較 2有序（等級）數(shù)據(jù)的樣本比較（1）區(qū)間（定量）數(shù)據(jù)的多個樣本比較 Kruskal-Wallis H檢驗H0 :多個總體分布位置相同; H1 :多個總體分布位置。 如果滿足參數(shù)條件，這類資料一般作完全隨機設(shè)計ANOVA確定確定P值，作出推斷結(jié)論值，作出推斷結(jié)論 1. 當3g , 5in 時，查H界值表 2. 若3g

16、且最小ni大于5時，H或CH近似服從1g的2分布，查2界值表。 本例15N ，1235nnn，查附表得0.01P ，按0.05水準拒絕0H，接受1H，可認為三種藥物殺滅釘螺的效果不同。 data a; input y g; cards;32.5135.5140.5146 149 116 220.5222.5229 236 26.5 39 312.5318 324 3;proc npar1way wilcoxon; class g; var y; run;SAS 程序 The NPAR1WAY Procedure Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable

17、y Classified by Variable g Sum of Expected Std Dev Mean g N Scores Under H0 Under H0 Score - 1 5 63.0 40.0 8.164966 12.60 2 5 38.0 40.0 8.164966 7.60 3 5 19.0 40.0 8.164966 3.80 Kruskal-Wallis Test Chi-Square 9.7400 DF 2 Pr Chi-Square 0.0077SAS 輸出結(jié)果（2）單項有序列聯(lián)表數(shù)據(jù)的樣本比較這種數(shù)據(jù)常被錯誤采用卡方檢驗0H：四種疾病患者痰液內(nèi)嗜酸性白細胞總體

18、分布位置相同 1H：四種疾病患者痰液內(nèi)嗜酸性白細胞總體分布位置不全相同 0.05 如表 8-11 第欄（支氣管擴張組）的秩和1R是用第欄各等級的 頻 數(shù) 與 第 （ 8 ） 欄 平 均 秩 相 乘 再 求 和 ， 即10(6)2(21)9(40.5)6(55.5)739.5R ，仿此得表8 11iR下部 行。 222212739.5436.5409.5244.5()3(60 1)14.2860(60 1)17151711H data a; input y g FREQ; cards;1102123194161232253254221352373334321432453434 4 0;proc

19、npar1way wilcoxon; class g; FREQ FREQ; var y; run; SAS 程序 The NPAR1WAY Procedure Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable y Classified by Variable g Sum of Expected Std Dev Mean g N Scores Under H0 Under H0 Score - 1 17 739.50 518.50 58.490529 43.500000 2 15 436.50 457.50 56.205491 29.100000 3 17 40

20、9.50 518.50 58.490529 24.088235 4 11 244.50 335.50 50.225150 22.227273 Average scores were used for ties. Kruskal-Wallis Test Chi-Square 15.5058 DF 3 Pr Chi-Square 0.0014SAS 輸出結(jié)果2.2 多組相關(guān)樣本檢驗隨機區(qū)組設(shè)計隨機區(qū)組設(shè)計多個樣本比較的Friedman M檢驗 在每個配伍組內(nèi)編秩次2222()(1) /4iiMRRRb k k222222(111623.529.5 )84 (41) /4199.5M data a;

21、 input block group y ; cards;118.4129.62111.62212.7319.4329.1419.8428.7518.3528618.6629.8718.9729817.8828.2139.81411.72311.824123310.4349.8439.94412538.6548.6639.66410.67310.67411.4838.58410.8;Proc freq; tables block*group*y / noprint cmh2 scores=rank;run; SAS 程序 The FREQ Procedure Summary Statistic

22、s for group by y Controlling for blockCochran-Mantel-Haenszel Statistics (Based on Rank Scores)Statistic Alternative Hypothesis DF Value Prob 1 Nonzero Correlation 1 15.0722 0.0001 Total Sample Size = 32SAS 輸出結(jié)果3. 等級相關(guān)應(yīng)用：兩個樣本的相關(guān)分析當兩個變量不服從正態(tài)分布時，可以采用等級相關(guān)分析。Pearson相關(guān)系數(shù)的估計和檢驗 1）估計相關(guān)系數(shù)，估計公式：其中，xi和yi是服從正態(tài)

23、分布的兩個隨機變量， 分別是這兩個隨機變量的均值。 y x 80 307 75 259 90 341 70 237 75 254 105 416 70 267 85 320 88 374 78 316回憶：2、 計算估計值r 的標準誤3、 的假設(shè)檢驗 H0: =0 vs H1: 04、統(tǒng)計推斷結(jié)論：查=n-2 的 t-分布表。的估計公式：當兩個隨機變量xi和yi不服從正態(tài)分布或分布未知時，用下面公式估計相關(guān)系數(shù)，這就是Spearman相關(guān)系數(shù)。其中si和ti分別是xi和yi的秩次， 分別是si和ti的均值。Spearman 相關(guān)系數(shù)的估計和檢驗與計算Pearson相關(guān)系數(shù)的區(qū)別：采用秩次代替原

24、變量Spearman相關(guān)系數(shù)的另一計算公式：其中，d= s-t 16122nndrs相同秩次較多時YXYXsTnnTnndTTnnr26/ )(26/ )()(6/ )(3323TX(或TY)(t3t)/12，t為X(或Y)中相同秩次的個數(shù)。 【例15.6】 某地作肝癌病因研究，調(diào)查了10個不同地區(qū)肝癌死亡率(1/10萬)與某種食物中黃曲霉素相對含量，見表15.16第(2)、(4)欄。試作等級相關(guān)分析 。注：在濕熱地區(qū)食品中出現(xiàn)黃曲霉毒素的機率最高。存在于土壤、動植物、各種堅果中，是霉菌毒素中毒性最大、對人類健康危害極為突出的一類霉菌毒素。食品中所污染的主要是黃曲霉毒素B1，其毒性一般認為有三種臨床特征；急性中毒、慢性中毒和致癌性1. 建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準H0: 不同地區(qū)肝癌死亡率與黃曲霉素相對含量不相關(guān)。H1：不同地