第10講指數(shù)分布、正態(tài)分布

1、第第1010講講指數(shù)分布、正態(tài)分布指數(shù)分布、正態(tài)分布2. 指數(shù)分布指數(shù)分布定義定義2.6設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為,0,( )0,.xexf x其他其中其中0為常數(shù)，則稱為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的指數(shù)分布，的指數(shù)分布，記為記為X e(). 某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如無線例如無線電元件的壽命電元件的壽命 、電力設(shè)備的壽命、動(dòng)物的壽命等都、電力設(shè)備的壽命、動(dòng)物的壽命等都服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布.應(yīng)用與背景應(yīng)用與背景分布函數(shù)分布函數(shù)1e,0,( )0, 0.xxF xx 的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為X 00010110 xxexf

2、x 2010 XPBP則則令：令：B= 等待時(shí)間為等待時(shí)間為1020分鐘分鐘 201010101dxex201010 xe 21 ee2325. 0 解解例例15 設(shè)打一次電話所用的時(shí)間設(shè)打一次電話所用的時(shí)間X e(1/10)(單位：單位：min)，如果某人剛好在你前面走進(jìn)電話間，求你需等待如果某人剛好在你前面走進(jìn)電話間，求你需等待10分鐘分鐘到到20分鐘之間的概率分鐘之間的概率. |P XstXsP Xt11()()( )s ttsP XstF steeP XtP XsF se ()()|P XstXsP Xst XsP Xs 定理定理2.2 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的指數(shù)分布

3、，則的指數(shù)分布，則對(duì)于任意的對(duì)于任意的s, t 0, ,有有證明：證明：事實(shí)上事實(shí)上本定理描述了指數(shù)分布的重要性質(zhì)：本定理描述了指數(shù)分布的重要性質(zhì)：“無記憶性無記憶性”解解 (1)()(tTPtFT0),(10, 0ttTPt)0)()(tNPtTPtteet! 0)(0例例16 已知某地在任何長為已知某地在任何長為 t 周的時(shí)間內(nèi)發(fā)生地震的次數(shù)周的時(shí)間內(nèi)發(fā)生地震的次數(shù) N( t ) ( t), 求求(1)相鄰兩次地震的時(shí)間間隔相鄰兩次地震的時(shí)間間隔 T 的概率分布的概率分布;(2)求相鄰的兩周內(nèi)發(fā)生至少求相鄰的兩周內(nèi)發(fā)生至少3次地震的概率次地震的概率(3)在已經(jīng)周無地震的情況下在已經(jīng)周無地震

4、的情況下,未來未來 10 周仍無地震的概率周仍無地震的概率.0,10, 0)(tettFt0,0,0)(tettft即即 ( )Te)8108()818(TTPTTP10)10(eTP(3)(3)(2)3)1(2)0)(2)1)(2)2)P NP NP NP N (2)(2)2222122eee 3. 正態(tài)分布正態(tài)分布(或或高斯分布高斯分布)定義定義2.722()21( ),2xf xex , (0) , 2( ,)XN 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為其中其中為常數(shù)，則稱為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為正態(tài)分布或高斯（正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為）分布，記為的的正態(tài)

5、概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征;)1(對(duì)對(duì)稱稱曲曲線線關(guān)關(guān)于于x ;21)(,)2(xfx取取得得最最大大值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ;0)(,)3( xfx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng);)4(處處有有拐拐點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線在在x ;,)(,)6(軸軸作作平平移移變變換換著著只只是是沿沿圖圖形形的的形形狀狀不不變變的的大大小小時(shí)時(shí)改改變變當(dāng)當(dāng)固固定定xxf;)5(軸軸為為漸漸近近線線曲曲線線以以 x.,)(,)7(圖圖形形越越矮矮越越胖胖越越大大圖圖形形越越高高越越瘦瘦越越小小而而形形狀狀在在改改變變不不變變圖圖形形的的對(duì)對(duì)稱稱軸軸的的大大小小時(shí)時(shí)改改變變當(dāng)當(dāng)固固定定xf正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)txFx

6、tde21)(222)( 正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如例如測(cè)量誤差測(cè)量誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景正態(tài)分布的應(yīng)用與背景 正態(tài)分布是概率論中最重要的分布正態(tài)分布是概率論中最重要的分布 正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見的分布之一，正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見的分布之一，大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的可以大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的

7、可以證明，如果一個(gè)隨機(jī)指標(biāo)受到諸多因素的影響，但其中證明，如果一個(gè)隨機(jī)指標(biāo)受到諸多因素的影響，但其中任何一個(gè)因素都不起決定性作用，則該隨機(jī)指標(biāo)一定服任何一個(gè)因素都不起決定性作用，則該隨機(jī)指標(biāo)一定服從或近似服從正態(tài)分布從或近似服從正態(tài)分布 正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，這些性質(zhì)是其它許多分正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，這些性質(zhì)是其它許多分布所不具備的布所不具備的 正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布正態(tài)分布下的概率計(jì)算正態(tài)分布下的概率計(jì)算txFxtde21)(222)( xXP ? 原函數(shù)不是原函數(shù)不是初等函數(shù)初等函數(shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算)

8、.1, 0(,1, 0),(2NN記記為為態(tài)態(tài)分分布布的的正正態(tài)態(tài)分分布布稱稱為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正這這樣樣時(shí)時(shí)中中的的當(dāng)當(dāng)正正態(tài)態(tài)分分布布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為,e21)(22 xxx 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為.,de21)(22 xtxxt標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形.225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知解解225. 1 XP)25. 1()2( 8944. 09772. 0 例例1717 . 0828. 0 證明證明的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為XZ xZP xXPxXP ,de2122

9、2)( xtt得得令令,ut xZP xuude2122),(x ).1 , 0( NXZ 故故2( ,)XN (0,1)XZN引理引理2.1 若若，則，則解解xdcxde21222)( ,ux 令令uudcde2122 dXcP uudcde2122 .),(2dXcPNX 求求已已知知例例1818 d uudde2122 uucde2122 )()(cFdFdXcP 因而因而. cd . c . cddXcP 即即例例1919 證明證明).(1)(xx xxxxde21)(22 xxxde2122 xxde2122 xxxde2122 ).(1x 證明證明(1) 所求概率為所求概率為89

10、XP)2(5 . 09089 )2(1 9772. 01 .0228. 0 解解例例2020?,99. 080)2(.89,90)1().5 . 0,(,)(,.o2oo至至少少為為多多少少問問低低于于的的概概率率不不至至少少為為若若要要求求保保持持液液體體的的溫溫度度的的概概率率小小于于求求若若且且是是一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量計(jì)計(jì)以以液液體體的的溫溫度度調(diào)調(diào)節(jié)節(jié)器器整整定定在在容容器器內(nèi)內(nèi)貯貯存存著著某某種種液液體體的的將將一一溫溫度度調(diào)調(diào)節(jié)節(jié)器器放放置置在在dCXddNXCXCd 99.080)2( XP99. 0801 XP99. 0)80(1 F99. 05 . 0801 d ,01.

11、 099. 015 . 080 d 327. 20.5-80 d即即.1635.81 d2(,)XN 若若112110 6826( )()( ).PX 22220 954 4( )().PX 33330 997 4( )().PX 33(,) ，3由此可知，一次試驗(yàn)中由此可知，一次試驗(yàn)中X的的值落入值落入以外的概率可忽略不計(jì)，以外的概率可忽略不計(jì)，這就是所謂的這就是所謂的 規(guī)則。規(guī)則。例例21 （1）假設(shè)某地區(qū)成年男性的身高（單位：）假設(shè)某地區(qū)成年男性的身高（單位：cm）XN(170,7.692)，求該地區(qū)成年男性的身高超過，求該地區(qū)成年男性的身高超過175cm的概率。的概率。 解解: (1) 根據(jù)假設(shè)根據(jù)假設(shè)XN(170,7.692)，則，則).1 , 0(69. 7170NX P X175=1751XP)65.0(1)69.7170175(1=0.2578解解: (2) 設(shè)車門高度為設(shè)車門高度為h cm,按設(shè)計(jì)要求按設(shè)計(jì)要求P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，下面我們來求滿足上式的最小的下面我們來求滿足上式的最小的 h.（2）公共汽車車門的高度是按成年男性與車門頂頭碰）公共汽車車門的高度是按成年男性與車