平面向量解三角形數(shù)列知識點

1、平面向量 解三角形 數(shù)列 知識點概述板塊一：平面向量知識點歸納 一.向量的基本概念與基本運算1概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：幾何表示法 ，；坐標表示法 向量的大小即向量的模（長度），記作|即向量的大小，記作 向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件（注意與0的區(qū)別）單位向量：模為1個單位長度的向量向量為單位向量1平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零

2、向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量數(shù)學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為大小相等，方向相同2向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法設，則+=（1）；（2）向量加法滿足交換律與結合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用

3、平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量（2） 三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：，但這時必須“首尾相連”3向量的減法 相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量關于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若

4、、是互為相反向量，則=,=,+=向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）4實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（）；（）當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，方向是任意的數(shù)乘向量滿足交換律、結合律與分配律5兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=6平面向量的基本定理：如果是一個平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底7 特別注意:（1）向

5、量的加法與減法是互逆運算（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況（4）向量的坐標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關學習本章主要樹立數(shù)形轉化和結合的觀點，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結合起來進行綜合考查，是知識的交匯點特別注意三角形的四心的向量表

6、示：1.平面上點P與不共線的三點A、B、C滿足關系：，則下列結論正確的是( )(A)P在CA上，且2 (B)P在AB上，且2(C)P在BC上，且2 (D)P點為ABC的重心2.ABC中，向量所在直線( )(A)垂直于BC (B)平分BC邊 (C)過ABC的內心 (D)過ABC的外心3.已知點在所在的平面且滿足,則點一定落在( )A.邊的垂直平分線上 B.邊的中線所在的直線上C.邊的高線所在的直線上 D.邊所在的直線上三點共線定理：二.平面向量的坐標表示1平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內的任一向量可表示成，由于與

7、數(shù)對(x,y)是一一對應的，因此把(x,y)叫做向量的坐標，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標(1)相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量(2)向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關2平面向量的坐標運算：(1) 若，則(2) 若，則(3) 若=(x,y)，則=(x, y)(4) 若，則(5) 若，則若，則3向量的運算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內積）及其各運算的坐標表示和性質 運算類型幾何方法坐標方法運算性質向量的加法1平行四邊形法則2三角形法則向量的減法三角形法則向量的乘法是一個向量,滿足:0時,與同

8、向;0)是等比數(shù)列6、若為等比數(shù)列，則(c0且c1) 是等差數(shù)列7、在等比數(shù)列中：（1）若項數(shù)為，則 （2）若項數(shù)為，則8、數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列數(shù)列前n項和Sn=等差數(shù)列等比數(shù)列定義遞推公式；通項公式（）中項（）（）前項和重要性質9、等比數(shù)列的判定方法（1）、an=an1q（n2），q是不為零的常數(shù)，an10an是等比數(shù)列.（2）、an2=an1an1（n2, an1,an,an10）an是等比數(shù)列.（3）、an=cqn（c，q均是不為零的常數(shù)）an是等比數(shù)列.10、等比數(shù)列的前n項和的性質（1）、若某數(shù)列前n項和公式為Sn=an1(a0,1)，則an成等比數(shù)列.（2）、若數(shù)列an是公比

9、為q的等比數(shù)列，則Snm=SnqnSm.（3）、在等比數(shù)列中，若項數(shù)為2n(nN*)，則（4）、Sn,S2nSn,S3nS2n成等比數(shù)列.（片段和的性質）專題三：有遞推公式求通項公式的方法：（整體思想）高考遞推數(shù)列題型分類歸納解析 各種數(shù)列問題在很多情形下，就是對數(shù)列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數(shù)列問題中，數(shù)列通項公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。我現(xiàn)在總結出幾種求解數(shù)列通項公式的方法，希望能對大家有幫助。類型1 解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例1. 已知數(shù)列滿足，求。變式: 已知數(shù)列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其

10、中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通項公式.類型2 解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知數(shù)列滿足，求。例2:已知， ，求。變式:（2004，全國I,理15）已知數(shù)列an，滿足a1=1， (n2)，則an的通項 類型3 （其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數(shù)列求解。例:已知數(shù)列中，求.變式:（2006，重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項_變式:（2006. 福建.理22.本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項公式；（II）若數(shù)列bn滿足證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；

11、（）證明：類型4 （其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)） 。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例:已知數(shù)列中，,，求。變式:（2006，全國I,理22,本小題滿分12分）設數(shù)列的前項的和，（）求首項與通項；（）設，證明：類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。（少見）解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉化為其中s，t滿足類型6 遞推公式為與的關系式。(或)解法：這種類型一般利用與消去 或與消去進行求解。例：已知數(shù)列前n項和.（1）求與的關系；（2）求通項公式.（2）應用類型4（其中p，q均為常數(shù)，）的方法，上式兩

12、邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以變式:（2006，陜西,理,20本小題滿分12分) 已知正項數(shù)列an，其前n項和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項an 變式: (2005,江西,文,22本小題滿分14分）已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足SnSn2=3求數(shù)列an的通項公式.類型7 解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉化為是公比為的等比數(shù)列。例:設數(shù)列：，求.變式:（2006，山東,文,22,本小題滿分14分）已知數(shù)列中，在直線y=x上，其中n=1,2,3 ()令 ()求數(shù)列

13、()設的前n項和,是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在試求出 不存在,則說明理由.類型8 解法：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉化為，再利用待定系數(shù)法求解。例：已知數(shù)列中，求數(shù)列變式:（2005，江西,理,21本小題滿分12分）已知數(shù)列（1）證明 （2）求數(shù)列的通項公式an.變式:（2006,山東,理,22,本小題滿分14分）已知a1=2，點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，（1） 證明數(shù)列l(wèi)g(1+an)是等比數(shù)列；（2） 設Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及數(shù)列an的通項；記bn=，求bn數(shù)列的前項和Sn，并證明Sn+=1 類

14、型9 解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉化為。例：已知數(shù)列an滿足：，求數(shù)列an的通項公式。類型10 或解法：這種類型一般可轉化為與是等差或等比數(shù)列求解。例：（I）在數(shù)列中，求 （II）在數(shù)列中，求類型11 歸納猜想法解法：數(shù)學歸納法變式:（2006，全國II,理,22,本小題滿分12分）設數(shù)列an的前n項和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通項公式 類型12 雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例：已知數(shù)列中，；數(shù)列中，。當時，,，求,.類型15 周期型 解法：由遞推式計算出前幾項，尋

15、找周期。例：若數(shù)列滿足，若，則的值為_。變式:（2005，湖南,文，5）已知數(shù)列滿足，則=（ ）A0BCD專題四：數(shù)列求和教學目標：熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式； 能運用倒序相加、錯位相減、拆項相消等重要的數(shù)學方法進行求和運算；熟記一些常用的數(shù)列的和的公式教學重點：特殊數(shù)列求和的方法（一） 主要知識：等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式的應用； 倒序相加、錯位相減，分組求和、拆項求和等求和方法； （二）主要方法：基本公式法：等差數(shù)列求和公式： 等比數(shù)列求和公式：； .錯位相減法：給各邊同乘以一個適當?shù)臄?shù)或式，然后把所得的等式和原等式相減，對應項相互抵消，最后得出前項和. 一般適應于數(shù)列的前向求

16、和，其中成等差數(shù)列，成等比數(shù)列。分組求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列，然后利用公式法求和。拆項（裂項）求和：把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程中消去中間項，只剩下有限項再求和.常見的拆項公式有：若是公差為的等差數(shù)列，則；倒序相加法：根據(jù)有些數(shù)列的特點，將其倒寫后與原數(shù)列相加，以達到求和的目的。導數(shù)法：靈活利用求導法則有時也可以完成數(shù)列求和問題的解答.遞推法.奇偶分析法.（三）典例分析： 問題1求下列數(shù)列前項和： ，； ，；，；， ； ，；問題2求和； ； 問題3已知數(shù)列的通項，求其前項和 問題4(全國文)設正項等比數(shù)列的首項，前項和為，且.（）求的通項；（）求的前項和.

17、（四）鞏固練習：（北京）設，則等于 明朝程大拉作數(shù)學詩：“遠望巍巍塔七層，紅光點點加倍增，共燈三百八十一，請問尖頭 盞燈”.求數(shù)列，的前項和. 在數(shù)列中，又，則數(shù)列的前 項和為 求數(shù)列，的前項和.（五）課后作業(yè)： (荊州統(tǒng)測)數(shù)列滿足遞推關系：，且，.求、；求；求數(shù)列的前項和.（六）走向高考： （廣東）在德國不萊梅舉行的第屆世乒賽期 間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干準“正三棱錐”形的展品，其中第堆只有一層，就一個乒乓球；第、堆最底層（第一層）分別按圖所示方式固定擺放.從第一層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，則 ； （答案用表示）.（福

18、建）數(shù)列的前項和為，若，則等于 3.（福建文）“數(shù)列的前項和為，（）求數(shù)列的通項；（）求數(shù)列的前項和數(shù)列綜合練習一、選擇題 1、設是等差數(shù)列，若,則數(shù)列前8項的和為( )A.128 B.80 C.64 D.562、記等差數(shù)列的前項和為，若，則該數(shù)列的公差（ ）A、2 B、3 C、6 D、73、設等比數(shù)列的公比，前n項和為，則（ ）ABCD4、設等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）A63 B45 C36 D275、在數(shù)列中， ，則（ ） A B C D6、若等差數(shù)列的前5項和，且，則（ ）（A）12 （B）13 （C）14 （D）157、已知是等比數(shù)列，則=( )（A）16（） （B）16（） （C

19、）（） （D）（）8、非常數(shù)數(shù)列是等差數(shù)列，且的第5、10、20項成等比數(shù)列，則此等比數(shù)列的公比為 （ ） A B5 C2 D9、已知數(shù)列滿足，則=（ ） A0BCD10、在單位正方體ABCD-A1B1C1D1中,黑、白兩只螞蟻均從點A出發(fā),沿棱向前爬行,每爬完一條棱稱為“爬完一段”,白螞蟻的爬行路線是AA1A1D1D1C1；黑螞蟻的爬行路線是ABBB1B1C1,它們都遵循以下的爬行規(guī)則:所爬行的第i+2段與第i段所在的直線必為異面直線(其中i為自然數(shù)),設黑、白螞蟻都爬完2008段后各自停止在正方體的某個頂點處,則此時兩者的距離為 ( ) A 1 B C D 0二、填空題 11已知為等差數(shù)列，則_12設數(shù)列中，則通項 _。13設是等差數(shù)列的前項和，, ,則 14已知函數(shù),等差數(shù)列的公差為.若,則 .15、將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個數(shù)為 三、解答題 16已知數(shù)列的首項，（）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（）數(shù)列的前項和17數(shù)列an是首項為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第六項為正，第七項為負.（1）求數(shù)列的公差；（2）求前n項和Sn的最大值；（3）當Sn0時，求n的最大值18設等比數(shù)列的首項，前n項和為，且，且數(shù)列各項均正。（）求的