數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本概念

1、第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念一、教學(xué)要求1 .理解總體、個(gè)體、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本和統(tǒng)計(jì)量的概念，掌握樣本均值、樣本方差及樣本矩的計(jì)算。2 ,了解必分布、t分布和F分布的定義和性質(zhì)，了解分位數(shù)的概念并會(huì)查表計(jì)算。3 .掌握正態(tài)總體的某些常用統(tǒng)計(jì)量的分布。4 ,了解最大次序統(tǒng)計(jì)量和最小次序統(tǒng)計(jì)量的分布。本章重點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)量的概念及其分布。二、主要內(nèi)容1 .總體與個(gè)體我們把研究對(duì)象的全體稱為總體（或母體），把組成總體的每個(gè)成員稱為個(gè)體。在實(shí)際問(wèn)題中，通常研究對(duì)象的某個(gè)或某幾個(gè)數(shù)值指標(biāo)，因而常把總體的數(shù)值指標(biāo)稱為總體。設(shè)x為總體的某個(gè)數(shù)值指標(biāo)，常稱這個(gè)總體為總體X。X的分布函數(shù)稱為總體分布函數(shù)。當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量

2、時(shí)，稱X的概率函數(shù)為總體概率函數(shù)。當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，稱X的密度函數(shù)為總體密度函數(shù)。當(dāng)X服從正態(tài)分布叫冉“,時(shí)，稱總體X為正態(tài)總體。正態(tài)總體有以下三種類型：（1）"未知，但已知；/未知，但其已知；（3）出和丁均未知。2 .簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法實(shí)質(zhì)上是由局部來(lái)推斷整體的方法，即通過(guò)一些個(gè)體的特征來(lái)推斷總體的特征。要作統(tǒng)計(jì)推斷，首先要依照一定的規(guī)則抽取n個(gè)個(gè)體，然后對(duì)這些個(gè)體進(jìn)行測(cè)試或觀察得到一組數(shù)據(jù)工,這一過(guò)程稱為抽樣。由于抽樣前無(wú)法知道得到的數(shù)據(jù)值，因而站在抽樣前的立場(chǎng)上，設(shè)有可能得到的值為用名Xn維隨機(jī)向量（茍，£,'）稱為樣本。n稱為樣本容量。（&quo

3、t;、/）稱為樣本觀測(cè)值。如果樣本（,一'-'）滿足3 1）'工相互獨(dú)立；（2）Ll，。服從相同的分布,即總體分布；則稱（為，無(wú)產(chǎn)區(qū)）為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。簡(jiǎn)稱樣本。設(shè)總體X的概率函數(shù)（密度函數(shù)）為,，則樣本（為冗）的聯(lián)合概率函數(shù)（聯(lián)合密度函數(shù)為）3 .統(tǒng)計(jì)量完全由樣本確定的量，是樣本的函數(shù)。即：設(shè)“，不是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，是一個(gè)n元函數(shù)，如果目中不含任何總體的未知參數(shù)，則稱/乙，乙,，/）為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，經(jīng)過(guò)抽樣后得到一組樣本觀測(cè)值勺,叼,一,七，則稱g卜,右，一,4）為統(tǒng)計(jì)量觀測(cè)值或統(tǒng)計(jì)量值04 .常用統(tǒng)計(jì)量一I*，=£苞（1）樣本均值：-鏟=-尹=-第（2）

4、樣本方差：.一,，二s=哥二尺空（3）樣本標(biāo)準(zhǔn)差：'7-12它們的觀察值分別為：=，弓"一對(duì)=，±工；一這些觀察值仍分別稱為樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。（4）樣本（k階）原點(diǎn)矩1 .nkAkXi,k=1,2,nii(5)樣本(k階)中心矩2 nBk(XiX)k,k=2,3,ni11n其中樣本二階中心矩Bk=1Z（Xi-X）2,又稱為未修正樣本萬(wàn)差ni1（6）順序統(tǒng)計(jì)量將樣本中的各個(gè)分量由小到大的重排成XMX-X（n）則稱X（1）,X,X（n）為樣本順序統(tǒng)計(jì)量，X（n）X為樣本的極差。rxy(7)樣本相關(guān)系數(shù):n_%(xi-x)(yi-y)i1n_、(Xi-x)(

5、Yi-y)i=1SxSy1X(xx)2*£(yi；)2其中:X,亍分別為數(shù)據(jù)。,yj的樣本均值，Sx,Sy分別為樣本a標(biāo)準(zhǔn)差。5、直方圖與箱線圖（1）直方圖先將所有采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到順序統(tǒng)計(jì)量，找出其中的最小值x（1）,最大值x（n）,即所有的數(shù)據(jù)都落在區(qū)間（1）,x（n/上，現(xiàn)取區(qū)間X）-k,x（n）+kj（其中k可取0.5,1.5等），該區(qū)間能覆蓋區(qū)間7，x（n）|,將區(qū)間入k,x（n）+k等分為m個(gè)小區(qū)間（先取一個(gè)區(qū)間，其下限比最小的數(shù)據(jù)稍小，其上限比最大的數(shù)據(jù)稍大，然后將這一區(qū)間等分為m個(gè)小區(qū)間，通常n較大時(shí)m取10：20,當(dāng)n<50時(shí)則m取5：6。若m取得過(guò)大，

6、則會(huì)出現(xiàn)某些區(qū)間內(nèi)頻數(shù)為零，分點(diǎn)通常取比數(shù)據(jù)精度高一位，以避免數(shù)據(jù)落在分點(diǎn)上），小區(qū)間的長(zhǎng)度記為,=（X（1）+k）一（X（n）一k）=l,稱為組距，小區(qū)間的端點(diǎn)稱為組限，數(shù)出數(shù)據(jù)落mf在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)的頻數(shù)先，算出頻率一（i=1,2，I）,然后自左至右依次n在各個(gè)小區(qū)間上做以"n/（i=1,2,I）為高的小矩形，這樣的圖形就稱其為頻率f:直方圖。顯然這種小矩形的面積就等于數(shù)據(jù)落在該小區(qū)間的頻率上（i=12I）,n直方圖的外廓曲線接近于總體X的概率密度曲線。（2）p分位數(shù)定義設(shè)有容量為n的樣本觀察值X）,x2，xn,樣本p（0<p<1）分為數(shù)記為xp,它具有以下性質(zhì)：

7、（1）至少有nP個(gè)觀察值小于或等于xp;（2）至少有n（1-p）個(gè)觀察值大于或等于xpp樣本p分位數(shù)可按以下法則求得：將x1,x2,，xn按從小到大的順序排成x（1）<x（2）W<x（n）1°,若np不是整數(shù)，則只有一個(gè)數(shù)據(jù)滿足定義中的兩點(diǎn)要求，這一數(shù)據(jù)位于大于np的最小整數(shù)處，即為位于Inp+1處的數(shù)。20,若np是整數(shù)，則xnp,xnp中都符合性質(zhì)要求，故xp取xnp,*np書的平均值。x（hp）n/是整綜上可得：xp=12|l_x（np）-x（np1）np是整1xn1（2）nw特別的：x0,5=med=11-2代廣,（丸n偶0.25分位數(shù)又稱為第一四分位數(shù)，又記為Q

8、"0.75分位數(shù)又稱為第三四分位數(shù)，又記為Q3（3）箱線圖：數(shù)據(jù)集的箱線圖是由箱子和直線組成的圖形，它是在基于以下5個(gè)數(shù)據(jù)的圖形概括：最小值Min,Q1,M,Q3,最大值Max，做法如下：（1）畫一水平數(shù)軸，在軸上標(biāo)記最小值Min,Q1,M,Q3,最大值Max,在數(shù)軸上方畫一個(gè)上下側(cè)平行于數(shù)軸的矩形箱子，箱子的左右兩側(cè)分別位于Q,Q的上方,在M點(diǎn)的上方畫一條垂直線段，線段位于箱子的內(nèi)部；（2）自箱子的左側(cè)中點(diǎn)引一條水平線直至最小值上方；在同一水平高度自箱子右側(cè)引一條水平線直至最大值上方。箱線圖完成。在數(shù)據(jù)集中某一個(gè)觀察值不尋常的大于或小于該數(shù)集中的其他數(shù)據(jù)，稱為疑似異常值。第一四分位

9、數(shù)Q與第三四分位數(shù)Q3之間的距離：IQR=Q3-Qi稱為四分位數(shù)間距，若數(shù)據(jù)小于Q-1.5IQR或大于Q3+1.5IQR,就認(rèn)為他是疑似異常值。將上述箱線圖的做法修改如下：(1)同(1(2)計(jì)算IQR=Q3Q1,若一個(gè)數(shù)據(jù)小于Q11.5IQR或大于Q3+1.5IQR,則認(rèn)為它是一個(gè)異常值，并以“表示；(3')自箱子的左側(cè)中點(diǎn)引一條水平線直至數(shù)據(jù)中除去疑似異常值之后的最小值上方，再自箱子的右側(cè)中點(diǎn)引一條水平線直至數(shù)據(jù)中除去疑似異常值之后的最大值上方；這樣做出的箱線圖稱為修正箱線圖。6關(guān)于分布(1) r(Gamnrja函數(shù)-(-0=0x二"e,dx,(s0)它具有以下運(yùn)算性質(zhì)：.

10、(.二+1)=二：(:);'(n)=(n-1)!,nN;特別地：(1)=1(2)二一1二二(金)=0xedxrdr二I令、x=t=x=t2,dx=2tdto所以'百”(2)設(shè)隨機(jī)變量x服從r分布，即：x:r(a,e),其密度函數(shù)為:f(x)-1一(-：)0xx，e71x00,i0qitafx(x)-十(二)0定理：設(shè)隨機(jī)變量x,y都服從r分布且相互獨(dú)立，即：x：r(a,6),X：)其密度函數(shù)分別為：x：-4xex0.0,10qitay二,e-y0.：0,u0qitayfY(y)-丁(二)0則2=x+丫服從參數(shù)為a+P用的r分布，即：x+y：r(豆+P,e)7、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)設(shè)X1

11、,X2，Xn是總體F的一個(gè)樣本，用S(x),(q<x<收)表示X1,X2:Xn中不大于x的隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，定義經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為：一，、1一-Fn(x)=-S(x),(T>-'x>二)n例題1:設(shè)總體F有一個(gè)樣本值1,2,3,則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為：%F3(x)=«,%,1<x:二2,2<x二3x<11,x>3例題2:設(shè)總體F有一個(gè)樣本值1,1,2,則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為：0,x：1F3(x)=23,1<x二21,x_2格里汶科定理：(1933年)對(duì)于任意一實(shí)數(shù)x,當(dāng)nT8時(shí)，F(xiàn)n(x)以概率1收斂于分布函數(shù)F(x)PlimsupFn(x

12、)-F(x)=01=1n-二-；x一二二8.三個(gè)重要分布(D設(shè)為,為為獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，稱隨機(jī)變量"=瑞的分布為自由度為n的爐分布，記為U"。其密度函數(shù)為：1 1n二一1xf(x)=2n2-(n)20X工01x2e2x0性質(zhì)：(1)若72：72(n),則E(玲=n,D«2)=2n因?yàn)閄iN(0,1)所以：E(XJ=0,D(Xi)=12E(X：)=D(Xi)=1nE(2)=EX；)二ni1又D(X：)=E(X4)-(E(X：)2=E(X4)-1=3-1=2,(i=1,2,n)其中:t4joO2211te2dtt3e2d(2二-二-(tde2)2_3tde2二jod*

13、-oO二3-；tde-oQ-bee_OQf)_2t2方32dt.F3t3de2二-二t2一2'2tedt2二-二t2-2L(te2)而L-bn-be.：et24dt=-2dt=3.2二-二(2)爐分布的可加性并且相互獨(dú)立，則有:設(shè)"：72(門)芯：*(叫)，:2：2(ni(3)始分布的分位點(diǎn)對(duì)于給定的正數(shù)£(0<a.<1),稱滿足條件P(22(n)=2(n)f(x)dx=:的點(diǎn)匕(n)為？2(n)分布的上口分位點(diǎn)。(2) t分布設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，X八血1)¥一0,則稱的分布為自由度n的t分布，記為丁一小)。t分布又稱為學(xué)生氏分布，其密度函數(shù)

14、為：-l(n1)21t2-21h(t)(1一)2,-二；t：二二n二(n2)nt分布的分位點(diǎn)：對(duì)于給定的正數(shù)«(0<«<1),稱滿足條件P(tt.(n)=t(n)h(t)dt=：的點(diǎn)10f(n)為t(n)分布的上a分位點(diǎn)。其中：3)=-ta(n)(3) F分布設(shè)隨機(jī)變量U與V相互獨(dú)立，*(就)，則稱的分布為自由度(明明勺F分布,記為八網(wǎng)凡m)。nmn22,()2y2一2m密度函數(shù)為：n加y>0(n)(mM1r22-m-y<00由定義知：若1_則尸：F(m,n)F分布的分位點(diǎn)對(duì)于給定的正數(shù)a(0<a<1),稱稱滿足：P(FF(n,m)=F：

15、mJ(y)dy=：(n,m)的點(diǎn)己%網(wǎng))為F分布的口上分位點(diǎn)，且有y2.9.抽樣分布(1)有限總體的抽樣分布定理1、設(shè)總體中個(gè)體總數(shù)(也稱總體大小)為N,樣本容量為n(n<N)且總體有有限均值方差。2,則(i)E(X)=(ii)當(dāng)抽樣是有放回時(shí)。(X)=；=.n當(dāng)抽樣是無(wú)放回時(shí)c-(X)=N-n-N-1n其中。(X)即為X的標(biāo)準(zhǔn)差。(2)單正態(tài)總體的抽樣分布設(shè)總體X(不管服從什么分布，只要均值和方差存在)的均值為N,方差為仃2X1,X2,Xn是來(lái)自X的一個(gè)樣本,X,S2分別是樣本均值和樣本方差，則有：_2E(X)=,D(X)n21J-212-2E(S)=E=(XiX)=E”XinX)n-

16、1im_n-1i11n21n22二-222而=-|ZE(X：)-nE(X)卜一-|Z(d+N2)-n(+N2)l=。2n1/3-n-1|_i凸n_E(S2)=；2定理2、設(shè)X1,X2,Xn是來(lái)自正態(tài)總體X:N(巴。2)的一個(gè)樣本，X是樣本均值，則有：2x(i)X:N(,一);(ii)X：N(0,1)nn定理3、設(shè)X1,X2,Xn是來(lái)自正態(tài)總體X:N(N,。2)的一個(gè)樣本，X,S2分別是樣本均值和樣本方差，則有:憶12S2二工(Xi-X)2:72(n-1)'i1(ii)X與S2相互獨(dú)立。定理4、設(shè)X1,X2,Xn是來(lái)自正態(tài)總體X:N(d。2)的一個(gè)樣本，X,S2分別是樣本均值和樣本方差，

17、則有:(n2s2=2n(XiN)2:?2(n)、-i-i4X-1(ii)T-t(n-1)sn注：XN(0,1),VS2：2(n-1)、nT=X-CT.n(3)雙正態(tài)總體的抽樣分布定理5、設(shè)X1,X2,X與MM,丫”分別是來(lái)自正態(tài)總體N(%2)和N(與,式)的樣本，且這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，設(shè)-1叫-1%X=1zXi,Y=1zYi分別是這兩個(gè)樣本的樣本均值；nyn2im1n1一12_S2=，£(XiX)2,s2(Yi-Y)2分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差。則n1-1i15-1i1有：S2s2(1)2:F-1,“-1);二2(2)當(dāng)crj=o；=1時(shí)(XY)-(-2)t(n1n2-2)苴中.S2=(n17)§2gfS；S=£w,w,Dwn1n2-2證明：（1）(n,-1)Si22(ni-1),(n-1)S22(n2-1)因?yàn)镾12,S；相互